Integrallar ro yxati – Lists of integrals

Əgər F(x) = F() işarəsini qəbul etsək, onda Nyuton-Leybnis düsturunun analoqunu alırıq:

Qeyri-məxsusi inteqrallar

►Tutaq ki, f(x) funksiyası sonsuz yarıqapılı intervalında kəsilməzdir. Istənilən ba üçün inteqralı mövcüddur və b dəyişdikcə da dəyişir, inteqral b yuxarı sərhədinin kəsilməz funksiyasıdır. Bu inteqralın b şərtində dəyişməsinin xarakterini öyrənək.

Tərif. Əgər

Limiti varsa və sonludursa, onda həmin limitə f(x) funksiyasının intervalında qeyri-məxsusi inteqral deyilir və

simvolu ilə işarə edilir. Deməli, tərifə əsasən

Bu halda deyirlər ki, qeyri-məxsusi inteqral var, yaxud yığılır. Əgər b şərtində inteqralının sonlu limiti yoxdursa, onda deyirlər ki, qeyri-məxsusi inteqralı dağılır, yaxud yoxdur.

Misal 1. qeyri-məxsusi inteqralı hesablayın.

yəni limiti yoxdur. Deməli, qeyri-məxsusi inteqral dağılandır.

Misal 2. inteqralı hesablayın.

yəni qeyri-məxsusi inteqral dağılandır.

Misal 3. inteqralı hesablayın.

Deməli, qeyri-çəxsusi inteqral yığılandır.

►Tutaq ki, F(x) funksiyası f(x) funksiyasının ibtidai funksiyasıdır.

Əgər F(x) = F() işarəsini qəbul etsək, onda Nyuton-Leybnis düsturunun analoqunu alırıq:

f(x) 0 olduqda qeyri-məxsusi inteqralın sadə həndəsi mənası var: inteqralı, y = f(x) əyrisi, absis oxu və x=a, x=b düz xətləri ilə əhatə olunan əyrixətli trapesin sahəsini ifadə etdiyi kimi, qeyri-məxsusi inteqralı da y = f(x) əyrisi, x=a xətti və absis oxu arasında qalan qeyri-məhdud (sonsuz) oblastı sahəsini ifadə etdiyini demek təbiidir.

Başqa sonsuz intervallarda da qeyri-məxsusi inteqral anlayışı oxşar qayda ilə verilir:

2. Kəsilən funksiyaların inteqralları.

►Tutaq ki, f(x) funksiyası a intervalında təyin olunub və kəsilməzdir, lakin x=b nöqtəsində kısilir ( ). a və b nöqtələri arasında nöqtəsini götürək. Onda aydındır ki, f(x) funksiyası parçasında kəsilməzdir və onun inteqralı var. Bu halda

Limitinə qeyri-məxsusi inteqral deyilir və

simvolu ilə işarə olunur. Əgər (3) limiti varsa və sonludursa, onda deyirlər ki, (4) inteqralı yağılandır.

Əgər f(x) funksiyası parçasının daxılı bir x=c nöqtəsində kəsilirsə, onda

Burada sağ tətəfdə duran hər iki qeyri-məxsusi inteqralların varlığı fərz olunur.

2-ci tip inteqrala dəqiq fikir vermək lazımdır, çünkü bir şox hallarda səhvə yol verilir.

Integrallar ro’yxati – Lists of integrals

Ushbu maqola asosan hisoblashda aniqlanmagan integrallar haqida. Aniq integrallar ro’yxati uchun qarang Aniq integrallar ro’yxati.

Vikipediya ro’yxatidagi maqola

Ushbu maqola umumiy ro’yxatini o’z ichiga oladi ma’lumotnomalar, lekin bu asosan tasdiqlanmagan bo’lib qolmoqda, chunki unga mos keladigan etishmayapti satrda keltirilgan. Iltimos yordam bering yaxshilash tomonidan ushbu maqola tanishtirish aniqroq iqtiboslar. ( 2013 yil noyabr ) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

• Funktsiyalar chegaralari
• Davomiylik

• O’rtacha qiymat teoremasi
• Roll teoremasi

• Differentsiya belgisi
• Ikkinchi lotin
• Yashirin farqlash
• Logaritmik farqlash
• Tegishli stavkalar
• Teylor teoremasi

Ixtisoslashgan

• Hisob-kitob lug’ati
• Hisoblash mavzulari ro’yxati

Integratsiya ning asosiy operatsiyasi integral hisob. Esa farqlash to’g’ridan-to’g’ri qoidalar qaysi tomonidan murakkab bir lotin funktsiya oddiy komponent funktsiyalarini farqlash orqali topish mumkin, integratsiya bo’lmaydi, shuning uchun ma’lum integrallarning jadvallari ko’pincha foydali bo’ladi. Ushbu sahifada eng keng tarqalgan ba’zi narsalar ro’yxati keltirilgan antidiviv vositalar.

Mundarija

• 1 Integrallarning tarixiy rivojlanishi
• 2 Integrallar ro’yxati
• 3 Oddiy funktsiyalarning integrallari
  • 3.1 Birlik bilan integrallar
  • 3.2 Ratsional funktsiyalar
  • 3.3 Eksponent funktsiyalar
  • 3.4 Logaritmalar
  • 3.5 Trigonometrik funktsiyalar
  • 3.6 Teskari trigonometrik funktsiyalar
  • 3.7 Giperbolik funktsiyalar
  • 3.8 Teskari giperbolik funktsiyalar
  • 3.9 Funksiyalarning hosilalari, ularning ikkinchi hosilalariga mutanosib
  • 3.10 Mutlaq qiymat funktsiyalari
  • 3.11 Maxsus funktsiyalar
  • 8.1 Integral jadvallar
  • 8.2 Hosilliklar
  • 8.3 Onlayn xizmat
  • 8.4 Ochiq kodli dasturlar

  Integrallarning tarixiy rivojlanishi

  Nemis matematikasi tomonidan integrallar ro’yxati (Integraltafeln) va integral hisoblash texnikasi to’plami nashr etildi Meier Hirsch [de ] (aka Meyer Xirsh [de ] 1810 yilda. Ushbu jadvallar 1823 yilda Buyuk Britaniyada qayta nashr etilgan. Keyinchalik keng jadvallar 1858 yilda gollandiyalik matematik tomonidan tuzilgan David Bierens de Haan uning uchun Tables d’intégrales définies, tomonidan to’ldirilgan Supplément aux tables d’intégrales définies taxminan 1864. Yangi nashr 1867 yilda ushbu nom bilan chiqdi Nouvelles tables d’intégrales définies. Asosan elementar funktsiyalarning integrallarini o’z ichiga olgan ushbu jadvallar 20-asrning o’rtalariga qadar amalda bo’lgan. Keyinchalik ular juda keng jadvallar bilan almashtirildi Gradshteyn va Rijik. Gradshteyn va Ryzhikda Bierens de Haan kitobidan kelib chiqqan integrallar BI bilan belgilanadi.

  Hammasi emas yopiq shakldagi iboralar yopiq shakldagi antiderivativlarga ega; ushbu tadqiqot mavzusini tashkil qiladi differentsial Galua nazariyasi, dastlab tomonidan ishlab chiqilgan Jozef Liovil ga olib keladigan 1830 va 1840 yillarda Liovil teoremasi qaysi iboralar antiderivativlarning yopiq shakli bo’lganligini tasniflaydi. Antiderivativning yopiq shakli bo’lmagan funktsiyalarning oddiy misoli e −x 2 , antivivativ (doimiygacha) bo’lgan xato funktsiyasi.

  1968 yildan beri mavjud Risch algoritmi atamasida ifodalanishi mumkin bo’lgan noaniq integrallarni aniqlash uchun elementar funktsiyalar, odatda kompyuter algebra tizimi. Elementar funktsiyalar yordamida ifodalanmaydigan integrallarni, kabi umumiy funktsiyalar yordamida ramziy ravishda boshqarish mumkin Meijer G-funktsiyasi.

  Integrallar ro’yxati

  Batafsil ma’lumot uchun quyidagi sahifalarda topishingiz mumkin ro’yxatlari integrallar:

  • Ratsional funktsiyalar integrallari ro’yxati
  • Irratsional funktsiyalar integrallari ro’yxati
  • Trigonometrik funktsiyalar integrallari ro’yxati
  • Teskari trigonometrik funktsiyalar integrallari ro’yxati
  • Giperbolik funktsiyalar integrallari ro’yxati
  • Teskari giperbolik funktsiyalar integrallari ro’yxati
  • Eksponent funktsiyalarning integrallari ro’yxati
  • Logaritmik funktsiyalar integrallari ro’yxati
  • Gauss funktsiyalari integrallari ro’yxati

  Gradshteyn, Rijik, Geronimus, Tseytlin, Jeffri, Tsvillinger, Moll’s (GR) Integrallar, seriyalar va mahsulotlar jadvali katta natijalar to’plamini o’z ichiga oladi. Bundan ham kattaroq, ko’p jildli jadval bu Integrallar va seriyalar tomonidan Prudnikov, Brychkov va Marichev (1-3 jildlar ro’yxati bilan integrallar va qatorlar boshlang’ich va maxsus funktsiyalar, hajmi 4-5 jadvallar Laplas o’zgaradi ). Ko’proq ixcham to’plamlarni masalan, Brychkov, Marichev, Prudnikov Noaniq integrallar jadvallariyoki Zwillingerning boblari sifatida CRC standart matematik jadvallari va formulalari yoki Bronshtein va Semendyayev “s Matematika bo’yicha qo’llanma, Matematika bo’yicha qo’llanma yoki Matematikadan foydalanuvchilar uchun qo’llanma va boshqa matematik qo’llanmalar.

  Boshqa foydali manbalarga quyidagilar kiradi Abramovits va Stegun va Bateman qo’lyozmalari loyihasi. Ikkala asarda ham alohida jadvalga to’plash o’rniga eng dolzarb mavzu bilan tartibga solingan aniq integrallarga oid ko’plab o’ziga xosliklar mavjud. Betmen qo’lyozmasining ikki jildi ajralmas o’zgarishlarga xosdir.

  Talab bo’yicha integral va integral jadvallari mavjud bo’lgan bir nechta veb-saytlar mavjud. Wolfram Alpha natijalarni va ba’zi bir sodda ifodalar uchun, shuningdek, integratsiyaning oraliq bosqichlarini ko’rsatishi mumkin. Wolfram tadqiqotlari boshqa onlayn xizmatni ham ishlaydi Wolfram Mathematica Onlayn Integratori.

  Oddiy funktsiyalarning integrallari

  C uchun ishlatiladi o’zboshimchalik bilan integralning doimiyligi faqat biron bir vaqt ichida integralning qiymati haqida biror narsa ma’lum bo’lgan taqdirda aniqlanishi mumkin. Shunday qilib, har bir funktsiya cheksiz songa ega antidiviv vositalar.

  Ushbu formulalar faqat boshqa shaklda tasdiqlaydi hosilalar jadvali.

  Birlik bilan integrallar

  Qachon a o’ziga xoslik antidivivatsiya aniqlanmaydigan yoki biron bir nuqtada (o’ziga xoslik) bo’ladigan tarzda birlashtiriladigan funktsiyada C birlikning ikkala tomonida ham bir xil bo’lishi shart emas. Quyidagi shakllar odatda quyidagicha qabul qilinadi Koshining asosiy qiymati qiymatidagi bir birlik atrofida C ammo bu umuman zarur emas. Masalan

  ∫ 1 x d x = ln ⁡ | x | + C < displaystyle int , dx = ln chap | x o'ng | + C>

  0 va birlikda birlik mavjud antivivativ u erda cheksiz bo’ladi. Agar yuqoridagi integraldan −1 va 1 oralig’idagi aniq integralni hisoblash uchun foydalanilsa, noto’g’ri javob bo’ladi 0. Ammo bu birlikning atrofidagi integralning Koshi asosiy qiymati. Agar integratsiya murakkab tekislikda amalga oshirilsa, natija kelib chiqadigan yo’lga bog’liq bo’ladi, bu holda o’ziga xoslik hissa qo’shadi –men π kelib chiqishi va ustidagi yo’ldan foydalanganda men π kelib chiqishi ostidagi yo’l uchun. Haqiqiy chiziqdagi funktsiya butunlay boshqacha qiymatdan foydalanishi mumkin C kelib chiqishining har ikki tomonida quyidagicha:

  Ratsional funktsiyalar

  Qo’shimcha integrallar: Ratsional funktsiyalar integrallari ro’yxati ∫ a d x = a x + C < displaystyle int a , dx = ax + C>

  Quyidagi funktsiya 0 uchun integrallanmaydigan singularlikka ega a ≤ −1 :

  ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (uchun n ≠ − 1 ) < displaystyle int x ^ , dx = < frac > > + C qquad < text <(for>> n neq -1 < text <)>>> (Kavalyerining kvadrati formulasi ) ∫ ( a x + b ) n d x = ( a x + b ) n + 1 a ( n + 1 ) + C (uchun n ≠ − 1 ) < displaystyle int (ax + b) ^ , dx = < frac <(ax + b) ^ > > + C qquad < text <(uchun>> n neq -1 < text <)>>> ∫ 1 x d x = ln ⁡ | x | + C < displaystyle int , dx = ln chap | x o'ng | + C> Umuman olganda, [1] ∫ 1 x d x = < ln ⁡ | x | + C − x < 0 ln ⁡ | x | + C + x >0 < displaystyle int , dx = < begin ln left | x right | + C ^ & x 0 end >> ∫ v a x + b d x = v a ln ⁡ | a x + b | + C < displaystyle int < frac > , dx = < frac > ln chap | ax + b right | + C>

  Eksponent funktsiyalar

  Logaritmalar

  Qo’shimcha integrallar: Logaritmik funktsiyalar integrallari ro’yxati ∫ ln ⁡ x d x = x ln ⁡ x − x + C < displaystyle int ln x , dx = x ln x-x + C>∫ jurnal a ⁡ x d x = x jurnal a ⁡ x − x ln ⁡ a + C = x ln ⁡ x − x ln ⁡ a + C < displaystyle int log _ x , dx = x log _ x - < frac < ln a>> + C = < frac < ln a>> + C>

  Trigonometrik funktsiyalar

  Qo’shimcha integrallar: Trigonometrik funktsiyalar integrallari ro’yxati ∫ gunoh ⁡ x d x = − cos ⁡ x + C < displaystyle int sin , dx = - cos + C> ∫ cos ⁡ x d x = gunoh ⁡ x + C < displaystyle int cos , dx = sin + C> ∫ sarg’ish ⁡ x d x = − ln ⁡ | cos ⁡ x | + C = ln ⁡ | soniya ⁡ x | + C < displaystyle int tan , dx = - ln < chap | cos o'ng |> + C = ln < chap | sek o'ng |> + C > ∫ karyola ⁡ x d x = ln ⁡ | gunoh ⁡ x | + C < displaystyle int cot , dx = ln < left | sin right |> + C> ∫ soniya ⁡ x d x = ln ⁡ | soniya ⁡ x + sarg’ish ⁡ x | + C = ln ⁡ | sarg’ish ⁡ ( θ 2 + π 4 ) | + C < displaystyle int sec , dx = ln < left | sec + tan right |> + C = ln chap | tan chap ( < dfrac < theta>> + < dfrac < pi>> right) right | + C> (Qarang Sekant funktsiyasining integrali. Bu natija 17-asrda taniqli taxmin edi.) ∫ csc ⁡ x d x = − ln ⁡ | csc ⁡ x + karyola ⁡ x | + C = ln ⁡ | csc ⁡ x − karyola ⁡ x | + C = ln ⁡ | sarg’ish ⁡ x 2 | + C < displaystyle int csc , dx = - ln < left | csc + cot right |> + C = ln < left | csc - cot right |> + C = ln < left | tan < frac > right |> + C> ∫ soniya 2 ⁡ x d x = sarg’ish ⁡ x + C < displaystyle int sec ^ x , dx = tan x + C> ∫ csc 2 ⁡ x d x = − karyola ⁡ x + C < displaystyle int csc ^ x , dx = - cot x + C> ∫ soniya ⁡ x sarg’ish ⁡ x d x = soniya ⁡ x + C < displaystyle int sec , tan , dx = sec + C> ∫ csc ⁡ x karyola ⁡ x d x = − csc ⁡ x + C < displaystyle int csc , cot , dx = - csc + C> ∫ gunoh 2 ⁡ x d x = 1 2 ( x − gunoh ⁡ 2 x 2 ) + C = 1 2 ( x − gunoh ⁡ x cos ⁡ x ) + C < displaystyle int sin ^ x , dx = < frac > chap (x – < frac < sin 2x>> right) + C = < frac > (x- sin x cos x) + C> ∫ cos 2 ⁡ x d x = 1 2 ( x + gunoh ⁡ 2 x 2 ) + C = 1 2 ( x + gunoh ⁡ x cos ⁡ x ) + C < displaystyle int cos ^ x , dx = < frac > chap (x + < frac < sin 2x>> o’ng) + C = < frac > (x + sin x cos x) + C> ∫ sarg’ish 2 ⁡ x d x = sarg’ish ⁡ x − x + C < displaystyle int tan ^ x , dx = tan x-x + C> ∫ karyola 2 ⁡ x d x = − karyola ⁡ x − x + C < displaystyle int cot ^ x , dx = - cot x-x + C> ∫ soniya 3 ⁡ x d x = 1 2 ( soniya ⁡ x sarg’ish ⁡ x + ln ⁡ | soniya ⁡ x + sarg’ish ⁡ x | ) + C < displaystyle int sec ^ x , dx = < frac > ( sec x tan x + ln | sec x + tan x |) + C> (Qarang sekant kubikning ajralmas qismi.) ∫ csc 3 ⁡ x d x = 1 2 ( − csc ⁡ x karyola ⁡ x + ln ⁡ | csc ⁡ x − karyola ⁡ x | ) + C = 1 2 ( ln ⁡ | sarg’ish ⁡ x 2 | − csc ⁡ x karyola ⁡ x ) + C < displaystyle int csc ^ x , dx = < frac > (- csc x cot x + ln | csc x- cot x |) + C = < frac > chap ( ln chap | tan < frac > right | – csc x cot x right) + C> ∫ gunoh n ⁡ x d x = − gunoh n − 1 ⁡ x cos ⁡ x n + n − 1 n ∫ gunoh n − 2 ⁡ x d x < displaystyle int sin ^ x , dx = - < frac < sin ^ cos > > + < frac > int sin ^ , dx> ∫ cos n ⁡ x d x = cos n − 1 ⁡ x gunoh ⁡ x n + n − 1 n ∫ cos n − 2 ⁡ x d x < displaystyle int cos ^ x , dx = < frac < cos ^ sin > > + < frac > int cos ^ , dx>

  Teskari trigonometrik funktsiyalar

  Qo’shimcha integrallar: Teskari trigonometrik funktsiyalar integrallari ro’yxati ∫ arcsin ⁡ x d x = x arcsin ⁡ x + 1 − x 2 + C , uchun | x | ≤ + 1 < displaystyle int arcsin , dx = x arcsin + < sqrt >> + C, < text >> vert x vert leq +1> ∫ arkos ⁡ x d x = x arkos ⁡ x − 1 − x 2 + C , uchun | x | ≤ + 1 < displaystyle int arccos , dx = x arccos - < sqrt >> + C, < text > vert x vert leq +1> ∫ Arktan ⁡ x d x = x Arktan ⁡ x − 1 2 ln ⁡ | 1 + x 2 | + C , hamma uchun haqiqiy x < displaystyle int arctan , dx = x arctan - < frac > ln < vert 1 + x ^ vert> + C, < text > x> ∫ arkot ⁡ x d x = x arkot ⁡ x + 1 2 ln ⁡ | 1 + x 2 | + C , hamma uchun haqiqiy x < displaystyle int operator nomi , dx = x operator nomi + < frac > ln < vert 1 + x ^ vert> + C, < text > x> ∫ arcsec ⁡ x d x = x arcsec ⁡ x − ln ⁡ | x ( 1 + 1 − x − 2 ) | + C , uchun | x | ≥ 1 < displaystyle int operator nomi , dx = x operator nomi - ln chap vert x , left (1 + < sqrt >> , right) right vert + C, < text > vert x vert geq 1> ∫ arccsc ⁡ x d x = x arccsc ⁡ x + ln ⁡ | x ( 1 + 1 − x − 2 ) | + C , uchun | x | ≥ 1 < displaystyle int operator nomi , dx = x operator nomi + ln chap vert x , left (1 + < sqrt >> , right) right vert + C, < text > vert x vert geq 1>

  Giperbolik funktsiyalar

  Qo’shimcha integrallar: Giperbolik funktsiyalar integrallari ro’yxati ∫ sinx ⁡ x d x = xushchaqchaq ⁡ x + C < displaystyle int sinh x , dx = cosh x + C>∫ xushchaqchaq ⁡ x d x = sinx ⁡ x + C < displaystyle int cosh x , dx = sinh x + C>∫ tanh ⁡ x d x = ln ( xushchaqchaq ⁡ x ) + C < displaystyle int tanh x , dx = ln , ( cosh x) + C>∫ mato ⁡ x d x = ln ⁡ | sinx ⁡ x | + C , uchun x ≠ 0 < displaystyle int coth x , dx = ln | sinh x | + C, < text > x neq 0> ∫ sech x d x = Arktan ( sinx ⁡ x ) + C < displaystyle int operator nomi , x , dx = arctan , ( sinh x) + C> ∫ CSH x d x = ln ⁡ | tanh ⁡ x 2 | + C , uchun x ≠ 0 < displaystyle int operator nomi , x , dx = ln left | tanh right | + C, < text > x neq 0>

  Teskari giperbolik funktsiyalar

  Qo’shimcha integrallar: Teskari giperbolik funktsiyalar integrallari ro’yxati ∫ arsinh x d x = x arsinh x − x 2 + 1 + C , hamma uchun haqiqiy x < displaystyle int operator nomi , x , dx = x , operator nomi , x - < sqrt +1>> + C, < text < barchasi haqiqiy>> x> ∫ arcosh x d x = x arcosh x − x 2 − 1 + C , uchun x ≥ 1 < displaystyle int operator nomi , x , dx = x , operator nomi , x - < sqrt -1>> + C, < text < >> x geq 1> ∫ artanh x d x = x artanh x + ln ⁡ ( 1 − x 2 ) 2 + C , uchun | x | < 1 < displaystyle int operator nomi , x , dx = x , operator nomi , x + < frac < ln chap (, 1-x ^ o'ng)> > + C, < text > vert x vert ∫ arcoth x d x = x arcoth x + ln ⁡ ( x 2 − 1 ) 2 + C , uchun | x | > 1 < displaystyle int operator nomi , x , dx = x , operator nomi , x + < frac < ln chap (x ^ -1 o'ng)>> > + C, < text > vert x vert> 1> ∫ arsech x d x = x arsech x + arcsin ⁡ x + C , uchun 0 < x ≤ 1 < displaystyle int operator nomi , x , dx = x , operator nomi , x + arcsin x + C, < text >> 0 ∫ kamon x d x = x kamon x + | arsinh x | + C , uchun x ≠ 0 < displaystyle int operator nomi , x , dx = x , operator nomi , x + vert operator nomi , x vert + C, < text > x neq 0>

  Funksiyalarning hosilalari, ularning ikkinchi hosilalariga mutanosib

  ∫ cos ⁡ a x e b x d x = e b x a 2 + b 2 ( a gunoh ⁡ a x + b cos ⁡ a x ) + C < displaystyle int cos ax , e ^ , dx = < frac > + b ^ >> chap (a sin ax + b cos ax o’ng) + C> ∫ gunoh ⁡ a x e b x d x = e b x a 2 + b 2 ( b gunoh ⁡ a x − a cos ⁡ a x ) + C < displaystyle int sin ax , e ^ , dx = < frac > + b ^ >> chap (b sin ax -a cos ax o’ng) + C> ∫ cos ⁡ a x xushchaqchaq ⁡ b x d x = 1 a 2 + b 2 ( a gunoh ⁡ a x xushchaqchaq ⁡ b x + b cos ⁡ a x sinx ⁡ b x ) + C < displaystyle int cos ax , cosh bx , dx = < frac + b ^ >> chap (a sin ax , cosh bx + b cos ax , sinh bx o’ng) + C> ∫ gunoh ⁡ a x xushchaqchaq ⁡ b x d x = 1 a 2 + b 2 ( b gunoh ⁡ a x sinx ⁡ b x − a cos ⁡ a x xushchaqchaq ⁡ b x ) + C < displaystyle int sin ax , cosh bx , dx = < frac + b ^ >> chap (b sin ax , sinh bx- a cos ax , cosh bx right) + C>

  Mutlaq qiymat funktsiyalari

  Ruxsat bering f aniqlangan har bir oraliqda ko’pi bilan bitta ildizga ega bo’lgan funktsiya bo’lishi va g antidivivativ f bu har bir ildizda nolga teng f (agar antidivivativ shart mavjud bo’lsa va mavjud bo’lsa) f mamnun), keyin

  qayerda sgn (x) bo’ladi belgi funktsiyasi, qachonki -1, 0, 1 qiymatlarini oladi x mos ravishda manfiy, nol yoki musbat. Bu quyidagi formulalarni beradi (qaerda a ≠ 0 ):

  ∫ | ( a x + b ) n | d x = sgn ⁡ ( a x + b ) ( a x + b ) n + 1 a ( n + 1 ) + C [ n toq va n ≠ − 1 ] . < displaystyle int left | (ax + b) ^ right | , dx = operatorname (ax + b) <(ax + b) ^ over a ( n + 1)> + C quad [, n < text > n neq -1 ,] ,.> ∫ | sarg’ish ⁡ a x | d x = − 1 a sgn ⁡ ( sarg’ish ⁡ a x ) ln ⁡ ( | cos ⁡ a x | ) + C < displaystyle int left | tan right | , dx = - < frac > operator nomi ( tan ) ln ( chap | cos right |) + C>

  qachon a x ∈ ( n π − π 2 , n π + π 2 ) < displaystyle ax in chap (n pi - < frac < pi>>, n pi + < frac < pi>> o’ng)> butun son uchun n .

  qachon a x ∈ ( n π , n π + π ) < displaystyle ax in chap (n pi, n pi + pi o'ng)>butun son uchun n .

  ∫ | soniya ⁡ a x | d x = 1 a sgn ⁡ ( soniya ⁡ a x ) ln ⁡ ( | soniya ⁡ a x + sarg’ish ⁡ a x | ) + C < displaystyle int left | sec right | , dx = < frac > operatorname ( sec ) ln ( left | sec + tan o’ng |) + C>

  qachon a x ∈ ( n π − π 2 , n π + π 2 ) < displaystyle ax in chap (n pi - < frac < pi>>, n pi + < frac < pi>> o’ng)> butun son uchun n .

  qachon a x ∈ ( n π , n π + π ) < displaystyle ax in chap (n pi, n pi + pi o'ng)>butun son uchun n .

  Agar funktsiya bo’lsa f ning nollarida nol qiymatini oladigan uzluksiz antidivivativ mavjud emas f (bu sinus va kosinus funktsiyalari uchun), keyin sgn (f(x)) ∫ f(x) dx ning antiderivatividir f har birida oraliq qaysi ustida f nolga teng emas, lekin qaerda bo’lsa, to’xtab qolishi mumkin f(x) = 0 . Uzluksiz antidiviv vositaga ega bo’lish uchun yaxshi tanlanganni qo’shish kerak qadam funktsiyasi. Agar biz sinus va kosinusning absolyut qiymatlari davr bilan davriy bo’lishidan ham foydalansak π , keyin olamiz:

  ∫ | gunoh ⁡ a x | d x = 2 a ⌊ a x π ⌋ − 1 a cos ⁡ ( a x − ⌊ a x π ⌋ π ) + C < displaystyle int left | sin right | , dx = left lfloor < frac < pi>> right rfloor – cos < chap (ax- chap lfloor < frac < pi>> right rfloor pi right)> + C> [ iqtibos kerak ] ∫ | cos ⁡ a x | d x = 2 a ⌊ a x π + 1 2 ⌋ + 1 a gunoh ⁡ ( a x − ⌊ a x π + 1 2 ⌋ π ) + C < displaystyle int left | cos right | , dx = left lfloor < frac < pi>> + < frac > right rfloor + sin < left (ax- left lfloor < frac < pi>> + < frac > right rfloor pi right)> + C> [ iqtibos kerak ]

  Maxsus funktsiyalar

  Yopiq shakldagi antiderivativlardan mahrum bo’lgan aniq integrallar

  Antidivivativlari bo’lgan ba’zi funktsiyalar mavjud qila olmaydi bilan ifodalanishi yopiq shakl. Shu bilan birga, ushbu funktsiyalarning ba’zilarining ba’zi bir umumiy intervallar bo’yicha aniqlangan integrallarining qiymatlarini hisoblash mumkin. Quyida bir nechta foydali integrallar keltirilgan.

  Agar funktsiya bo’lsa f bor chegaralangan o’zgarish oraliqda [a,b] , keyin charchash usuli integral uchun formulani taqdim etadi:

  ∫ 0 1 x − x d x = ∑ n = 1 ∞ n − n ( = 1.29128 59970 6266 … ) ∫ 0 1 x x d x = − ∑ n = 1 ∞ ( − n ) − n ( = 0.78343 05107 1213 … ) < displaystyle < begin int _ ^ x ^ , dx & = sum _ ^ < infty>n ^ && ( = 1.29128 , 59970 , 6266 nuqta) [6pt] int _ ^ x ^ , dx & = – sum _ ^ < infty>( -n) ^ && (= 0.78343 , 05107 , 1213 nuqta) end >>

  Shuningdek qarang

  • Tugallanmagan gamma funktsiyasi
  • Cheklanmagan summa
  • Limitlar ro’yxati
  • Matematik qatorlar ro’yxati
  • Simvolik integratsiya

  İnteqralların hansı növləri var?

  The inteqral növləri hesablamalarda tapdığımız qeyri -müəyyən inteqrallar və qəti inteqrallardır. Müəyyən inteqralların qeyri-müəyyən inteqrallardan daha çox tətbiqi olsa da, ilk növbədə qeyri-müəyyən inteqralların həllini öyrənmək lazımdır.

  Müəyyən inteqralların ən cəlbedici tətbiqlərindən biri, inqilab cisminin həcminin hesablanmasıdır. Hər iki növ inteqral eyni xətti xüsusiyyətlərə malikdir və bundan əlavə, inteqrasiya üsulları inteqralın növündən asılı deyildir.

  Ancaq çox oxşar olmasına baxmayaraq, bir əsas fərq var; birinci növ inteqralda nəticə funksiyadır (xüsusi deyil), ikinci tipdə isə nəticə ədəddir.

  İnteqralların əsas növləri

  İnteqrallar dünyası çox genişdir, lakin içərisində gündəlik həyatda böyük tətbiq oluna bilən iki əsas inteqral növünü ayırd edə bilərik.

  1- Qeyri-müəyyən inteqrallar

  Əgər f dairəsində olan bütün x üçün F ‘(x) = f (x) olarsa, biz deyirik ki, F (x) f (x)-in antitörəmə, primitiv və ya inteqralıdır.

  Digər tərəfdən, (F (x) + C) ‘= F’ (x) = f (x) olduğunu müşahidə edək ki, bu da funksiyanın inteqralının unikal olmadığını göstərir, çünki fərqli dəyərlər verir. sabit C fərqli antiderivatives əldə edəcəyik.

  Bu səbəbdən F (x) + C -yə f (x) -in qeyri -müəyyən inteqralı, C -yə inteqrasiya sabiti deyilir və bunu aşağıdakı kimi yazırıq.

  Gördüyümüz kimi, f (x) funksiyasının qeyri -müəyyən inteqralı funksiyalar ailəsidir.

  Məsələn, f (x) = 3x² funksiyasının qeyri-müəyyən inteqralını hesablamaq istəyirsinizsə, əvvəlcə f (x) funksiyasının əks törəməsini tapmalısınız.

  F (x) = x³-nin antiderivativ olduğunu görmək asandır, çünki F ’(x) = 3x². Buna görə də belə bir nəticəyə gəlmək olar

  ∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.

  2- Müəyyən inteqrallar

  Y = f (x) qapalı [a, b] intervalında həqiqi, davamlı bir funksiya olsun və F (x) f (x) əleyhinə vasitə olsun. a və b hədləri arasında f (x)-in müəyyən inteqralına F (b) -F (a) ədədi deyilir və aşağıdakı kimi işarələnir.

  Hesablamanın əsas teoremi

  Yuxarıda göstərilən düstur daha yaxşı “Hesablamanın Əsas Teoremi” olaraq bilinir. Burada “a” a alt hədd, “b” yə isə yuxarı hədd deyilir. Gördüyünüz kimi, funksiyanın müəyyən inteqralı ədəddir.

  Bu halda, [0,3] intervalında f (x) = 3x² -nin müəyyən inteqralı hesablanarsa, bir ədəd alınar.

  Bu ədədi müəyyən etmək üçün f (x) = 3x²-in əks törəməsi kimi F (x) = x³ seçirik. Sonra F (3) -F (0) hesablayırıq ki, bu da bizə 27-0 = 27 nəticə verir. Sonda, [0,3] intervalında f (x) -in müəyyən inteqralı 27 -dir.

  Qeyd etmək olar ki, əgər G (x) = x³ + 3 seçilərsə, G (x) F (x) dən fərqli olaraq f (x) əleyhinədir, lakin G (3) – dən bəri nəticəyə təsir etmir. G (0) = (27 + 3) – (3) = 27. Bu səbəbdən də müəyyən inteqrallarda inteqrasiya sabiti görünmür.

  Bu tip inteqralın ən faydalı tətbiqlərindən biri, uyğun funksiyaları və inteqrasiya sərhədlərini (və fırlanma oxunu) quraraq düz bir fiqurun sahəsini (həcmini) hesablamağa imkan verməsidir.

  Müəyyən edilmiş inteqrallar içərisində biz onun müxtəlif uzantılarını tapa bilərik, məsələn, xətt inteqralları, səth inteqralları, düzgün olmayan inteqrallar, çoxsaylı inteqrallar və digərləri arasında elm və mühəndislikdə çox faydalı tətbiqlərlə.

  İstinadlar

  1. Casteleiro, J. M. (2012). İnteqrasiya etmək asandır? Öz-özünə iş təlimatı. Madrid: ESIC.
  2. Casteleiro, J. M., & Gómez-vlvarez, R. P. (2002). İnteqral hesab (Şəkil red.). Madrid: ESIC Redaksiyası.
  3. Fleming, W. və Varberg, D.E. (1989). Hesablama Öncəsi Riyaziyyat. Prentice Hall PTR.
  4. Fleming, W. və Varberg, D.E. (1989). Precalculus riyaziyyatı: problem həll yanaşması (2, İllüstrasiyalı red.). Miçiqan: Prentice Hall.
  5. Kishan, H. (2005). İnteqral Hesablama. Atlantik Nəşriyyatları və Distribyutorları.
  6. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Hesablama (Doqquzuncu nəşr). Prentice Hall.

  Related posts:

  1. Azrbaycan dili didaktik material 6 ci sinif
  2. Kitab oxu
  3. Biofizika və molekulyar biologiya
  4. Hedef ingilis dili