MÜhaziRƏ 1 Analizə giriş Riyazi induksiya üsulu

Aşağıdan isə bu ardıcıllıq özünün birinci həddi ilə məhduddur. Deməli, . Beləliklə, baxılan ardıcıllıq monoton artan və məhdud ardıcıllıqdır. Ona görə də onun limiti var. Həmin limit e ilə işarə olunur:

RİYAZİYYAT (MÜHAZİRƏLƏR)

Bu mühazirələr toplusunda Funksiya anlayışı, Limitlər, Funksiyanın kəsilməzliyi, Dəyişən və sabit kəmiyyətlər, Törəmə anlayışı, Törəmənin həndəsi, mexaniki və iqtisadi mənası, Törəmənin tapılması qaydaları, Mürəkkəb funksiyanın törəməsi, Yüksək tərtiblt törəmələr, Diferensial haqqında anlayış, Orta qiymət teoremləri, Yüksəktərtibli törəmələr, Funksiyanın tədqiqi, Funksiyanın artması və azalması, Çoxdəyişənli funksiya, Çoxdəyişənli funksiyanın limiti və kəsilməzliyi, Xüsusi törəmələr, Tam diferensial, Yüksək tərtibli xüsusi törəmələr, Çoxdəyişənli funksiya anlayışı, Çoxdəyişənli funksiyanın ekstremumu, Empirik düsturlar haqqında anlayış, İkidəyişənli funksiyanın ekstremumu, Şərti ekstremum, İbtidai funksiya və qeyri-müəyyən inteqral, Qeyri-müəyyən inteqralın əsas xassələri, Əsas inteqral cədvəli, İbtidai funksiya və qeyri-müəyyən inteqral, Qeyri-müəyyən iqteqralın tapılması üsulları, İnteqrallamanın əsas üsulları, Müəyyən inteqral, Müəyyən inteqralın əsas xassələri,Müəyyən və qeyri-müəyyən inteqrallar arasında əlaqə, Müəyyən inteqral, Nyuton-Leybnis düsturu, Müəyyən inteqralın hesablanması üsulları, Nyuton-Leybnis düsturu, Müəyyən inteqralın bəzi tətbiqləri, Müəyyən inteqralın həndəsi və mexaniki tətbiqləri, Müəyyən inteqralın təqribi hesablama üsulları, Qeyri-məxsusi inteqrallar, Puasson inteqralı, Matrislər və determinantlar, Matrislər üzərində əməllər, Tərs matris, Matris anlayışı, Xətti tənliklər sisteminin həll üsulları, Ədədi sıralar, onların yığılması, Yığılan sıraların xassələri, Müsbət hədli sıralar və onların yığılma əlamətləri, Əsas anlayışlar,İşarəsini dəyişən sıralar, Mütləq və şərti yığılan sıralar, İşarəsini növbə ilə dəyişən sıralar, Leybnis tnoremi, Qüvvət sıraları, onların yığılma oblastı, Avel teoremi, Qüvvət sıralarının hədvəhəd diferensiallanması və inteqrallanması, Teylor və Makloren sıraları, İşarəsini dəyişən sıralar, Diferensial tənliklər, Birtərtibli bircins və bircins olmayan xətti diferensial tənliklər, Əsas anlayışlar, İkitərtibli diferensial tənliklərin intqerallanan növləri, Sabit əmsallı ikitərtibli xətti bircins və bircins olmayan diferensial tənliklər, Sadə ikitərtibli diferensial tənliklər mövzularına dair mühazirə mətnləri toplanmışdır.

Yükləməyə Keç [1,55 Mb] [ : 1072] –>

MÜhaziRƏ 1 Analizə giriş Riyazi induksiya üsulu

Əvvəlcə tutaq ki, . Onda olduğundan . Fərz edək ki, . Onda . İnduksiyaya əsaslanaraq hökm edə bilərik ki, istənilən n üçün , yəni ardıcıllıq yuxarıdan məhduddur.

və deməli, ardıcıllıq artandır, ona görə də onun limiti var. Bu limiti c ilə işarə edək. Onda rekurrent münasibətdə limitə keçsək

və buradan tapırıq ki, və ya , yəni .

olduqda isə . İnduksiyaya əsaslanaraq müəyyən edirik ki, . Digər tərəfdən . Yəni bu halda ardıcıllıq azalan olub aşağıdan məhduddur. Ona görə də limiti var və analoji qaydada tapırıq ki, .

İnduktiv olaraq hökm edə bilərik ki, . məlum bərabərsizliyində götürsək alırıq ki,

yəni, olduqda və ya olduqda . Deməli ardıcıllıq aşağıdan məhduddur. Göstərək ki, o həm də artan deyil.

və ya olduğundan rekurrent münasibətdən yaza bilərik:

Deməli, ardıcıllıq monoton artmayan olub aşağıdan məhduddur. Ona görə onun limiti var və bu limiti c ilə işarə edərək rekurrent münasibətdə şərtilə limitə keçək:

və buradan . Yəni və deməli .

Qeyd edək ki, baxılan ardıcıllığa ədədinin təqribi qiymətlər ardıcıllığı kimi baxmaq olar:

Əvvəlcə qeyd edək ki, verilmiş ardıcıllığı aşağıdakı rekurrent münasibət şəklində yazmaq olar:

Göstərək ki, baxılan ardıcıllıq monoton azalan məhdud ardıcıllıqdır. Bunun üçün riyazi induksiya üsulundan istifadə edək. olduğundan, sonuncu bərabərlikdən alırıq ki,

İndi isə fərz edək ki, . Yenə də funksiyasının aralığında monoton artan olduğunu nəzərə alsaq

Beləliklə, induksiyaya əsaslanaraq hökm edə bilərik ki, baxılan ardıcıllıq monoton azalan məhdud ardıcıllıqdır. Ona görə də onun limiti var. Bu limiti c ilə işarə edərək rekurrent münasibətdə şərtilə limitə keçək:

kəsilməz funksiya olduğundan alırıq ki, . Burada isə , yəni . Həmçinin, hökm edə bilərik ki, .

Artıq isbat etmişik ki, baxılan ardıcıllıq monoton artandır (bax misal 8.3). Göstərək ki, o həm də məhduddur. Bunun üçün sağ tərəfi Nyuton binomuna görə açaq:

Burada , olduğunu nəzərə alsaq tapırıq ki,

Digər tərəfdən, doğru bərabərsizliyinə əsasən

Aşağıdan isə bu ardıcıllıq özünün birinci həddi ilə məhduddur. Deməli, . Beləliklə, baxılan ardıcıllıq monoton artan və məhdud ardıcıllıqdır. Ona görə də onun limiti var. Həmin limit e ilə işarə olunur:

İsbat olunur ki, e ədədi irrasional ədəddir və onun təqribi qiyməti

kimi hesablanır. Toplananların sayı nə qədər çox götürülərsə e ədədinin bir o qədər dəqiqliklə təqribi qiyməti alınır:

e ədədi təkcə riyazi analizdə yox, ümumiyyətlə, riyaziyyatda mühüm əhəmiyyətə malikdir.

Qeyd. ardıcıllığı monoton artan olub limiti ədədi olduğundan Teorem 10-a əsasən hökm edə bilərik ki, və ya . Hər tərəfi əsasdan loqarifmləsək tapırıq ki,

MÜHAZİRƏ 9
Ardıcıllığın xüsusi limiti. Aşağı və yuxarı limit.

Fundamental ardıcıllıq.
Tutaq ki, ədədi ardıcıllığı verilmişdir. artan natural ədədlər ardıcıllığı olduqda ardıcıllığının elementlərindən düzəldilmiş

ardıcıllığına ardıcıllığının alt ardıcıllığı deyilir.

Məsələn, ardıcıllığı verilmişdir.

ardıcıllıqları həmin ardıcıllığın alt ardıcıllıqlarıdır.

Tərif 11. Ardıcıllığın hər bir yığılan alt ardıcıllığının limitinə bu ardıcıllığın xüsusi limiti (və ya limit nöqtəsi deyilir).

Yığılan ardıcıllığın yeganə limit nöqtəsi var. Ona görə də yığılan ardıcıllığın istənilən alt ardıcıllığı da yığılan olub eyni limitə malikdirlər. Ardıcıllığın limit nöqtəsinin istənilən ətrafında həmin ardıcıllığın sonsuz sayda həddi var.

Teorem 12. (Bolsano-Veyerştras) Hər bir məhdud ardıcıllıqdan yığılan alt ardıcıllıq ayırmaq olar.

Buradan nəticə olaraq çıxır ki, hər bir məhdud ardıcıllığın heç olmasa bir limit nöqtəsi var.

Tərif 12. ardıcıllığının xüsusi limitlərinin ( və ya limit nöqtələrinin) ən böyüyünə onun yuxarı limiti deyilir və

kimi işarə olunur.

ardıcıllığının xüsusi limitlərinin ( və ya limit nöqtələrinin) ən kiçiyinə onun aşağı limiti deyilir və

kimi işarə olunur.

Hər bir məhdud ardıcıllığın sonlu aşağı və yuxarı limiti var və

Əgər ardıcıllıq yuxarıdan (aşağıdan) qeyri-məhdud olarsa ( ) qəbul olunur.

Teorem 13. Ardıcıllığın yığılan olması üçün zəruri və kafi şərt onun məhdud olması və aşağı limiti ilə yuxarı limitinin üst-üstə düşməsidir, yəni

bərabərliyinin ödənməsidir.

Göründüyü kimi ardıcıllığın yığılanlığını müxtəlif yollarla müəyyən etmək olar: limitin tərifinə əsasən, limiti bilavasitə hesablamaqla, ardıcıllığın monoton məhdudluğuna və sonuncu teoremə görə. Bunun üçün daha ümumi kriteriya (meyar) isə aşağıdakı teorem vasitəsilə verilir.

Teorem 14 (Koşi kriteriyası). ardıcıllığın yığılan olması üçün zəruri və kafi şərt ixtiyari üçün elə nömrəsinin olmasıdır ki, və istənilən natural ədəd olduqda

bərabərsizliyi ödənsin.

Koşi kriteriyasının şərtlərini ödəyən ardıcıllığa fundamental ardıcıllıq deyilir.

Deməli, ardıcıllığın yığılan olması üçün zəruri və kafi şərt onun fundamental ardıcıllıq olmasıdır.

Misal 19. Verilmiş ardıcıllığı üçün , , və – i tapın.

alt ardıcıllıqlarını alırıq və verilmiş ardıcıllığın bütün hədləri bu ardıcıllıqlardan birinə daxildir. Ona görə də baxılan ardıcıllığın xüsusi limitləri (və ya limit nöqtələri) bu alt ardıcıllıqların limiti kimi tapıla bilər:

Ardıcıllığın iki limit nöqtəsi var və göründüyü kimi

İndi isə ardıcıllığın dəqiq aşağı və dəqiq yuxarı sərhədlərini tapaq.

Asanlıqla müəyyən etmək olar ki, ardıcıllığı azalan ardıcıllıqdır. Ona görə də

Eynilə müəyyən edilir ki, ardıcıllığı artan ardıcıllıqdır və ona görə də

, , və nömrəli hədlərdən düzəldilmiş alt ardıcıllıqlara baxaq.

Baxılan ardıcıllığın bütün hədləri bu alt ardıcıllıqlardan birinə daxildir. Ona görə də limit nöqtələri və ya xüsusi limitlər bu alt ardıcıllıqların limiti kimi tapıla bilər:

Ardıcıllığın üç limit nöqtəsi var və göründüyü kimi,

Hər bir alt ardıcıllığın dəqiq aşağı və dəqiq yuxarı sərhədlərini tapaq.

və ardıcıllıqları sabit ardıcıllıqlardır və

alt ardıcıllığı azalan ardıcıllıqdır və ona görə də

Bu nəticələri yekunlaşdıraraq tapırıq ki,

Qeyd edək ki, alt ardıcıllıqları seçərkən , , və də götürmək olardı.

, və , nömrəli hədlərdən düzəldilmiş alt ardıcıllıqlara baxaq.

Xüsusi limitləri tapa bilərik:

Əvvəlki misaldakına oxşar mühakimələr apararaq tapmaq olar ki,

alt ardıcıllıqlarını alırıq.

Hər iki alt ardıcıllıq sonsuz böyük kəmiyyətlərdir. Ona görə də

Misal 20. Koşi kriteriyasından istifadə edərək ardıcıllıqların yığılanlığını araşdırın.

İstənilən natural ədədi üçün yaza bilərik:

Burada doğru bərabərsizliyini nəzərə alsaq tapırıq ki,

Deməli, baxılan ardıcıllıq yığılan ardıcıllıqdır.

İxtiyari və istənilən natural ədədi üçün yaza bilərik:

Sonuncu bərabərsizlik isə olduqda ödənir. Deməli, ardıcıllıq yığılır.

Xüsusi halda olarsa

Beləliklə, , yəni ixtiyari və istənilən natural ədədi üçün Koşi şərti ödənmir. Deməli, ardıcıllıq dağılır.

Dostları ilə paylaş:

Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©muhaz.org 2023
rəhbərliyinə müraciət

RİYÂZÎ

NAMIK AÇIKGÖZ, “RİYÂZΔ, TDV İslâm Ansiklopedisi, https://islamansiklopedisi.org.tr/riyazi (20.03.2023).

Kopyalama metni

980 (1572) yılında babası Birgili Mustafa Efendi’nin kadılık yaptığı Mekke’de doğdu. Asıl adı Mehmed olup anne tarafından da köklü bir ulemâ ailesine mensuptur. Düzenli bir medrese eğitimi görüp Müeyyedzâde Abdülkadir Şeyhî Efendi’den mülâzım oldu. 1010 (1601) yılından itibaren Ahmed Paşa, Dâvud Paşa, Fatma Sultan, Siyavuş Paşa, Mihr ü Mâh ve Sahn-ı Semân medreselerinde müderrislik yaptı. 1019’da (1610) Edirne Beyazıt Medresesi’ne tayin edildiyse de oraya gitmedi ve iki yıllık bir aradan sonra tekrar Sahn-ı Semân’da görevlendirildi. 1022 (1613) yılından itibaren Yenişehir, Halep, Şam, Kudüs, Kahire kadılıklarında bulundu ve Cemâziyelâhir 1034’te (Mart 1624) emekli edildi. Kulağı ağır işittiğinden “utrûş, esamm” lakaplarıyla anılan Riyâzî 29 Safer 1054 (7 Mayıs 1644) gecesi vefat etti. Riyâzî’nin ölüm yerini Belîğ, Bursalı Mehmed Tâhir ve Muhibbî İstanbul diye kaydederken Hammer’den naklen Franz Babinger Kahire, Şemseddin Sâmi, Üsküplü Riyâzî ile karıştırdığı için Tımışvar olarak gösterir. Mezarının nerede olduğu bilinmemektedir. Riyâzî’nin divanındaki bir mersiyesinden küçük yaşlarda öldüğü anlaşılan çocuklarından başka Riyâzîzâde lakabıyla bilinen, kadılık ve müderrisliklerde bulunmuş Mahmud Efendi, Lutfî mahlaslı, divan sahibi ve Mevżûʿâtü’l-ʿulûm müellifi Abdüllatif Efendi ve Kapıcıbaşı Nasûhî Bey isimli üç oğlu daha vardır. Riyâzî, kendinden önce yaşayan şairlerden etkilendiği gibi kendinden sonraki şairleri de etkilemiştir. Kendi döneminde edebiyat muhitlerinde etkili sayıldığı, Kafzâde Fâizî, Azmîzâde Mustafa Hâletî, Şeyhülislâm Yahyâ Efendi, Nev‘îzâde Atâî gibi şairlerle dost olduğu, Nef‘î ve Tıflî Ahmed Çelebi’nin husumetini üzerine çektiği bilinmektedir. Eserleri. 1. Divan . Tevhid ve münâcâtın bulunmadığı eserde yirmi beş kaside, terkibibend tarzında bir sâkînâme, bütün harflerde 652’si tam, on yedisi tamamlanmamış 669 gazel, sekizi Türkçe, biri Farsça dokuz kıta, 171 rubâî, seksen dokuz matla‘, on bir miyâne beyit bulunmaktadır. Şiirlerinde Bâkî’den Nedîm’e uzanan çizgide zaman zaman tasavvufî izleri, az da olsa hikemî anlayışı yansıtırsa da daha çok zevkperest bir tavır göstermektedir. 2. Sâkīnâme . 1054 beyitlik bu mesnevide hânendeler, sâzendeler, sazlar, mûsiki terimleri ve eğlenme şekilleriyle eğlence meclisleri anlatılmaktadır. 3. Düstûrü’l-amel . Eserde 1050 civarında Farsça deyim, tabir, bazı kelimelerin Türkçe karşılıkları ve bunlarla ilgili Farsça şiirlerden örnekler yer almaktadır. Divan , Sâkīnâme ve Düstûrü’l-amel ’in metinleri Namık Açıkgöz tarafından doktora çalışması olarak incelenmiştir (bk. bibl.). 4. Riyâzü’ş-şuarâ . 1607-1610 yılları arasında telif edilen ve Riyâzî’nin en önemli eseri olan tezkire Sultan I. Ahmed’e ithaf edilmiştir. Başlangıçtan yazıldığı tarihe kadar 424 Osmanlı şairini ihtiva eder. Tezkirede önce şair padişahlar kronolojik biçimde sıralanmış, ardından diğer şairler alfabetik sıraya göre kaydedilmiştir. Riyâzü’ş-şuarâ dîbâcesindeki şiir anlayışı ve şair değerlendirmesiyle de önemlidir. Şiirde anlam ve söz dengesinin iyi kurulması gerektiği belirtilen dîbâcede şairler dört gruba ayrılır: Mânada yaratıcı olanlar, önceki mânaya yeni mânalar katarak güzelleştirenler, önce söylenmiş bir mânayı güzel bir ifadeyle yeniden söyleyenler, önceki mânadan başka mânalar bulanlar. Tezkirenin bir başka özelliği de ele alınan şairlerle ilgili değerlendirmelerdir. Riyâzî tezkiresi, şairlerin ölümleri konusunda verilen dikkatli bilgiler ve düşürülen tarihlerin kaydedilmesiyle de dikkat çekmektedir. Ayrıca derkenarlarda başka şairlere atfedilen şiirlerin asıl sahiplerinin tesbiti hususunda kayıtlar düşülmüştür. Eser üzerinde Namık Açıkgöz tarafından bir yüksek lisans çalışması yapılmıştır (bk. bibl.). Riyâzü’ş-şuarâ ’nın çeşitli kütüphanelerde nüshaları vardır (İÜ Ktp., TY, nr. 761; Nuruosmaniye Ktp., nr. 3724; Süleymaniye Ktp., Esad Efendi, nr. 3871; TSMK, Hazine, nr. 1276; Kütahya İl Halk Ktp., nr. 1200; Yapı Kredi Sermet Çifter Araştırma Ktp., nr. 203).
BİBLİYOGRAFYA Riyâzî, Riyâzü’ş-şuarâ (haz. Namık Açıkgöz, yüksek lisans tezi, 1982), AÜ DTCF, s. 4. Atâî, Zeyl-i Şekāik , s. 250, 265, 295. Muhibbî, Ḫulâṣatü’l-es̱er , III, 463-464. Uşşâkīzâde İbrâhim, Zeyl-i Şekāik , İÜ Ktp., TY, nr. 191, vr. 48 b , 171 a . İsmâil Belîğ, Güldeste-i Riyâz-ı İrfân , İstanbul 1287, s. 401. a.mlf., Nuhbetü’l-âsâr , İÜ Ktp., TY, nr. 1182, vr. 82 a . Şeyhî, Vekāyiu’l-fuzalâ , İÜ Ktp., TY, nr. 81, s. 133, 134. Müstakimzâde Süleyman Sâdeddin, Mecelletü’n-niṣâb , Süleymaniye Ktp., Hâlet Efendi, nr. 628, vr. 237 b . Mehmed Tevfik, Mecmûatü’t-terâcim , İÜ Ktp., TY, nr. 192, vr. 41 a . Osmanlı Müellifleri , II, 183. Babinger (Üçok) , s. 196. Namık Açıkgöz, Riyâzî: Hayatı, Eserleri ve Edebi Kişiliği, Dîvan, Sâkînâme ve Düstûrü’l-Amel’in Tenkidli Metni (doktora tezi, 1986), Fırat Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü. a.mlf., Riyâzî Divanı’ndan Seçmeler , Ankara 1990, s. 24, 27, 28, 112-119. a.mlf., “Tahkiyevî Bir Metin Olarak Riyâzî’nin Sâkînâmesi”, TDA , sy. 55 (1988), s. 73-83. a.mlf., “Riyâzî’nin Düstûrü’l-Amel’i ve Ansiklopedik Önemi”, Fırat Üniversitesi Dergisi (Sosyal Bilimler) , II/2, Elazığ 1988, s. 1-18. N. Gamm, “Riyāzī’s Teẕkire as a Source of Information on Ottoman Poets”, JAOS , XCIX/4 (1979), s. 643-652. Kāmûsü’l-a‘lâm , II, 2385. Gönül Alpay, “Riyâzî”, İA , IX, 751-753.

Bu madde TDV İslâm Ansiklopedisi’nin 2008 yılında İstanbul’da basılan 35. cildinde, 144-145 numaralı sayfalarda yer almıştır. Matbu nüshayı pdf dosyası olarak indirmek için tıklayınız.