T. Q. MƏLİkov müŞAHİDƏ NƏTİCƏLƏRİNİn riyazi araşdirilmasi

İki dürüst sikkə havaya atılır və təsadüfi X dəyişənini yuvarlanan başların sayı kimi təyin edirik. Baş verə biləcək hadisələr aşağıdakılardır:

Müşahidə nəticələrinin riyazi araşdırılması

YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.

T.Q.MƏLİKOV MÜŞAHİDƏ NƏTİCƏLƏRİNİN RİYAZİ ARAŞDIRILMASI BAKI – ELM – 2006 1

• Page 2 and 3: Elmi redaktor: ADNA-nın «KT və p
• Page 4 and 5: 2.3.Analitik funksiyaların qiymət
• Page 6 and 7: 5.2.1. Düzbucaqlılar düsturu…
• Page 8 and 9: 7.3. İnteqral funksiyası………
• Page 10 and 11: MÜƏLLİFDƏN Müəllif 40 ilə ya
• Page 12 and 13: REDAKTORDAN Təbiət və cəmiyyət
• Page 14 and 15: GİRİŞ Bütün təbiətşünaslı
• Page 31 and 32: 3. Təqribi ədədləri kvadrat və
• Page 33 and 34: nəzərə almaq çox çətindir. La
• Page 35: dəyişən təsadüfi qiymət olur.
• Page 101 and 102: 101
• Page 103 and 104: 103
• Page 105 and 106: 105
• Page 107 and 108: 107
• Page 109 and 110: 109
• Page 111 and 112: 111
• Page 113 and 114: 113
• Page 115 and 116: 115
• Page 117 and 118: 117
• Page 119 and 120: 119
• Page 121 and 122: 121
• Page 123 and 124: 123
• Page 125 and 126: 125
• Page 127 and 128: 127
• Page 129 and 130: 129
• Page 131 and 132: 131
• Page 133 and 134: 133
• Page 135 and 136: 135
• Page 137 and 138: 137
• Page 139 and 140: 139
• Page 141 and 142: 141
• Page 143 and 144: 143
• Page 145 and 146: 145
• Page 147 and 148: 147
• Page 149 and 150: 149
• Page 151 and 152: 151
• Page 153 and 154: 153
• Page 155 and 156: 155
• Page 157 and 158: 157
• Page 159 and 160: 159
• Page 161 and 162: 161
• Page 163 and 164: 163
• Page 165 and 166: 165
• Page 167 and 168: 167
• Page 169 and 170: 169
• Page 171 and 172: 171
• Page 173 and 174: 173
• Page 175 and 176: 175
• Page 177 and 178: 177
• Page 179 and 180: 179
• Page 181 and 182: 181
• Page 183 and 184: 183
• Page 185 and 186: 185
• Page 187 and 188: 187
• Page 189 and 190: 189
• Page 191 and 192: 191
• Page 193 and 194: 193
• Page 195 and 196: 195
• Page 197 and 198: 197
• Page 199 and 200: 199
• Page 201 and 202: 201
• Page 203 and 204: 203
• Page 205 and 206: 205
• Page 207 and 208: 207
• Page 209 and 210: 209
• Page 211 and 212: 211
• Page 213 and 214: 213
• Page 215 and 216: 215
• Page 217 and 218: 217
• Page 219 and 220: 219
• Page 221 and 222: 221
• Page 223 and 224: 223
• Page 225 and 226: 225
• Page 227 and 228: 227
• Page 229 and 230: 229
• Page 231 and 232: 231
• Page 233 and 234: 233
• Page 235 and 236: 235
• Page 237 and 238: 237
• Page 239 and 240: 239
• Page 241 and 242: 241
• Page 243 and 244: 243
• Page 245 and 246: 245
• Page 247 and 248: 247
• Page 249 and 250: 249
• Page 251 and 252: 251
• Page 253 and 254: 253
• Page 255 and 256: 255
• Page 257 and 258: 257
• Page 259 and 260: 259
• Page 261 and 262: 261
• Page 263 and 264: 263
• Page 265 and 266: 265
• Page 267 and 268: 267
• Page 269 and 270: 269
• Page 271 and 272: 271
• Page 273 and 274: 273
• Page 275 and 276: 275
• Page 277 and 278: 277
• Page 279 and 280: 279
• Page 281 and 282: 281
• Page 283 and 284: 283
• Page 285 and 286: 285
• Page 287 and 288: 287
• Page 289 and 290: 289
• Page 291 and 292: 291
• Page 293 and 294: 293
• Page 295 and 296: 295
• Page 297 and 298: 297
• Page 299 and 300: 299
• Page 301 and 302: 301
• Page 303 and 304: 303
• Page 305 and 306: ƏDƏBİYYAT 1. Ахиезер Н.
• Page 307 and 308: 27. Михлин С.Г., Смоли
• Page 309 and 310: MƏLİKOV TEYFUR QİYAS OĞLU MÜŞ
• Page 311: 311

T. Q. MƏLİkov müŞAHİDƏ NƏTİCƏLƏRİNİn riyazi araşdirilmasi

Rəyçi: AMEA-nın müxbir üzvü., g.m.e.d. Xeyirov M.B.
AMEA-nın müxbir üzvü., g.m.e.d. Kərimov K.M.
Kaspian Geofizical MMMM, t.e.n.,dos. Butayev E.N.

İSBN 5-8066-3940-6
T.Q.Məlikov. Müşahidə nəticələrinin riyazi araşdırılması.
-Bakı, «Elm», 2006. 308 səh.

Texniki universitet tələbələri, magistr və aspirantları, həmçinin elmi-
tədqiqat institutları əməkdaşları üçün nəzərdə tutulmuşdur

© Elm, 2006
© T.Q.Məlikov 2006

3
MÜNDƏRİCAT

MÜƏLLİFDƏN. 10
REDAKTORDAN. 12
GİRİŞ. 14
1.1 .Təqribi ədədlər xətasının qiymətləndirilməsi. 16
1.1.1.Təqribi ədədlər. Mütləq və nisbi xətalar. 17
L1.2. Cəmin xətası. 23
1.1.3. Fərqin xətası. 24
1.1.4.Hasilin xətası. 26
l.l.S.Qismətin xətası. 28
1.1.6.Qüvvətin nisbi xətası. 29
1.1.7.Kökün nisbi xətası. 29
l.l.S.Xətanı dəqiq nəzərə almayan hesablamalar. 30
L2.Ölçmə xətalarının növləri. 32
1.2.1.Sistematik xətalar. 32
1.2.2.Təsadüfi xətalar. 33
1.2.3.Subyektiv xətalar. 34
1.2.4.Kobud xətalar. 35
1.2.5.Xətaların qiymətləndirmə üsulları…. …. 36
2. FUNKSİYALARIN QİYMƏTLƏRİNİN
HESABLAMA ÜSULLARI. 40
2.1.Çoxhədlilərin qiymətlərinin hesablanması.
Horner üsulu. 40
2.2. Ümumiləşmiş Horner sxemi. 45

2.3.Analitik funksiyaların qiymətlərinin hesablanması. 48
2.4.Loqarifmik funksiyarın qiymətlərinin hesablanması. 50
2.5.Triqonometrik funksiyaların qiymətlərinin
hesablanması. 53
2.6.Hiperbolik funksiyaların qiymətlərinin hesablanması. 57
2.2. Cəbri və qeyri cəbri (Transendent) tənliklərin
təqribi həlli…………………………………………………….59
2.2.1. Tənliklərin köklərinin ayrılışı…………………………59
2.2.2. Tənliklərin qrafiki həlli………………………………..62
2.2.3. Yarıya bölmə üsulu……………………………………63
2.2.4. Mütənasib hissələr üsulu (vətərlər üsulu)………….….65
2.2.5. Nyüton üsulu (toxunanlar üsulu)…………………..…..69
2.2.6. İtepesiya üsulu (ardıcıl yaxınlaşma üsulu)…………….72
2.2.7. Xətti tənliklər sisteminin İterasiya üsulu.
Zeydel üsulu ilə həlli. 76
2.2.8. Xətti tənliklər sisteminin tərs matrisa
vasitəsilə həlli …………………………………………………76
2.2.9. İterasiya üsulu……………………………………..……79
2.2.10. Zeydel üsulu……………………………………..…. 83
3.FUNKSİYANIN YAXINLAŞMASI
MƏSƏLƏSİ…………………………………………………. 86
3.1. Funksiyanın interpolyasiyası …………………………87
3.2.
Triqonometritk polinomlar vasitəsilə
periodik funksiyaların interpolyasiyası………………….……92

5
3.3. Funksiyanın nöqtəvi kvadratik aproksimasimasiyası…98
3.4. Parçada
funksiyanın inteqral kvadratik
aproksimasiyası…. ………………………………………….102
3.5.
Parçada ortoqonal funksiyalar sistemi……………….104
3.6.
Harmonik analiz haqqında anlayış…………………. 105
4. EMPİRİK DÜSTURLAR………………..…………. 113
4.1. Xətti asılılıq. 116
4.2. Eyniləşdirmə üsulu…………………………………. 117
4.3. Kvadratik
(parabolik)
asılılıq………………………. 121
4.4. Empirik
düsturların parametrlərinin təyini…………..123
4.5. Seçmə nöqtələr üsulu ………………………………..124
4.6. Orta
qiymət üsulu…………………………………….126
4.7.
Ən kiçik kvadratlar üsulu…………………………….129
4.8.
İki parametrdən asılı olan empirik
düsturların seçilməsi üçün bəzi mülahizələr…………………133
4.9.
Üç parametrli empirik düsturlar……………………. 140
5. FUNKSİYANIN TƏQRİBİ DİFFERENSİALLANMASI
VƏ İNTEQRALLANMASI ………………………………..147
5.1. Funksiyanın təqribi differensillanması……………….147
5.1.1. Nyütonun interpolyasiya düsturuna əsaslanan
təqribi differensillama……………………………………….149
5.1.2. Stirlinq düsturu əsasında təqribi differensillama
düsturları…………………………………………………….151
5.1.3. Funksiyanın bərabər tərəflərdəki qiymətlərində,
ədədi differensiallama düsturları…………………………….154
5.2. Funksiyanın təqribi inteqrallanması…………………159

Dostları ilə paylaş:

Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2023
rəhbərliyinə müraciət

Riyazi gözləmə: düstur, xassələr, nümunələr, məşq

The riyazi ümid və ya gözlənilən dəyəri təsadüfi dəyişən X, E (X) ilə qeyd olunur və təsadüfi hadisənin baş vermə ehtimalı ilə deyilən hadisənin dəyəri arasındakı məhsulun cəmi olaraq təyin olunur.

Riyazi formada belə ifadə olunur:

Harada x_mən hadisənin dəyəri və P (x_mən) baş vermə ehtimalı. Toplama, X-in qəbul etdiyi bütün dəyərlərə uzanır və bunlar sonlu olduqda, göstərilən cəm E (X) dəyərinə yaxınlaşır, lakin cəm yaxınlaşmazsa, dəyişənin sadəcə gözlənilən dəyəri yoxdur.

Davamlı dəyişəndən söz düşəndə x, dəyişən sonsuz dəyərlərə sahib ola bilər və inteqrallar xülasəni əvəz edir:

Burada f (x) ehtimal sıxlığı funksiyası.

Ümumiyyətlə, riyazi gözləntilər (ağırlıqlı ortalama) aritmetik ortalama və ya ortalamaya bərabər deyil, əgər ayrı-ayrı paylamalarla məşğul olmasaq. hər hadisə eyni dərəcədə ehtimal olunur. Sonra və yalnız sonra:

Harada n mümkün dəyərlərin sayıdır.

Konsepsiya tez-tez müəyyənliklərin olmaması, lakin ehtimalların olduğu maliyyə bazarlarında və sığorta şirkətlərində çox faydalıdır.

Riyazi gözləmənin xüsusiyyətləri

Riyazi gözləmənin ən vacib xüsusiyyətləri arasında aşağıdakılar diqqət çəkir:

– Bürc: X müsbətdirsə, E (X) da müsbət olacaqdır.

– Sabitin gözlənilən dəyəri: həqiqi bir sabitin gözlənilən dəyəri k sabitdir.

– Cəmdə doğrusallıq: təsadüfi bir dəyişənin gözlənti öz növbəsində X və Y iki dəyişəninin cəmi gözləntilərin cəmidir.

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

– Sabit ilə vurma: təsadüfi dəyişən formadırsa kX, harada k sabitdir (həqiqi ədədi), gözlənilən dəyərin xaricində çıxır.

– Məhsulun gözlənilən dəyəri və dəyişənlər arasında müstəqillik: təsadüfi bir dəyişən X və Y təsadüfi dəyişənlərin məhsuludursa, müstəqil olanlar, onda məhsulun gözlənilən dəyəri gözlənilən dəyərlərin məhsuludur.

– Formanın təsadüfi dəyişənidir Y = aX + b: əvvəlki xüsusiyyətləri tətbiq edərək tapıldı.

E (aX + b) = aE (X) + E (b) = aE (X) + b

Ümumiyyətlə, bəli Y = g (X):

– Gözlənilən dəyər üzrə sifariş: X ≤ Y varsa, onda:

Çünki hər birinin gözlənilən dəyərləri var.

Bahislərdə riyazi ümid

Məşhur astronom Christian Huygens (1629-1695) göyləri müşahidə etmədikdə, özünü digər fənlər arasında şans oyunlarında ehtimal öyrənməyə həsr etdi. Riyazi ümid konsepsiyasını 1656 adlı əsərində təqdim edən o idi:Qumar haqqında düşünmək.

Huygens, mərclərin gözlənilən dəyərə əsasən üç şəkildə təsnif edilə biləcəyini aşkar etdi:

– Üstünlüklü oyunlar: E (X)> 0

– Ədalətli mərclər: E (X) = 0

-Qeyri-dezavantajlı oyun: E (X)

Məsələ burasındadır ki, bir şans oyununda riyazi ümidin hesablanması həmişə asan olmur. Bacardığınız zaman nəticə bahis edib etməməyi düşünənlər üçün bəzən məyus olur.

Sadə bir mərc cəhd edək: başlar və ya quyruqlar və uduzan 1 dollarlıq qəhvə ödəyir. Bu mərcin gözlənilən dəyəri nədir?

Yaxşı, başların yuvarlanma ehtimalı ½, quyruqlara bərabərdir. Təsadüfi dəyişən $ 1 qazanmaq və ya $ 1 itirməkdir, mənfəət + işarəsi və zərər – işarəsi ilə göstərilir.

Məlumatı bir cədvəldə təşkil edirik:

Sütunların dəyərlərini vururuq: 1. ½ = ½ və (-1). ½ = -½ və nəticədə nəticələr əlavə olunur. Cəmi 0-dur və iştirakçıların nə qazanacağı, nə də məğlub olacağı gözlənilən ədalətli bir oyun.

Fransız ruleti və lotereya, ən çox bahisçinin uduzduğu handikap oyunudur. Daha sonra həll olunan məşqlər hissəsində bir az daha mürəkkəb bir mərc var.

Nümunələr

Riyazi gözləmə konsepsiyasının intuitiv olduğu və konsepsiyaya aydınlıq gətirdiyi bəzi sadə nümunələr:

Nümunə 1

Dürüst bir ölümü yuvarlamaqla başlayacağıq. Lansmanın gözlənilən dəyəri nədir? Ölüm dürüstdürsə və 6 başlıdırsa, hər hansı bir dəyərin (X = 1, 2, 3… 6) yuvarlanma ehtimalı 1/6, buna bənzər:

E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3.5

Bu vəziyyətdə gözlənilən dəyər ortalamaya bərabərdir, çünki hər üzün eyni çıxma ehtimalı var. Ancaq E (X) mümkün bir dəyər deyil, çünki heç bir baş 3.5 deyil. Bəzi paylamalarda bu tamamilə mümkündür, baxmayaraq ki, bu halda nəticə bahisçiyə çox kömək etmir.

İki sikkə atmaqla başqa bir nümunəyə baxaq.

Nümunə 2

İki dürüst sikkə havaya atılır və təsadüfi X dəyişənini yuvarlanan başların sayı kimi təyin edirik. Baş verə biləcək hadisələr aşağıdakılardır:

-Başlar çıxmır: 2 quyruğa bərabər olan 0 baş.

-1 baş və 1 damğa və ya quyruq çıxır.

C üz və T möhür olsun, bu hadisələri təsvir edən nümunə sahəsi aşağıdakılardır:

Baş verən hadisələrin ehtimalları bunlardır:

P (X = 0) = P (T). P (T) = ½. ½ = ¼

P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½

P (X = 2) = P (C). P (C) = ½. ½ = ¼

Cədvəl əldə edilən dəyərlərlə qurulur:

Başlanğıcda verilən tərifə görə, riyazi gözləntilər belə hesablanır:

Dəyərləri əvəz etmək:

E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Bu nəticə belə şərh olunur: bir insanın iki sikkəni çırparaq çox sayda təcrübə etmək üçün kifayət qədər vaxtı varsa, hər flipdə bir baş əldə etmələri gözlənilir.

Bununla birlikdə, 2 etiketli buraxılışların tamamilə mümkün olduğunu bilirik.

Məşq həll edildi

İki dürüst sikkənin atılmasında aşağıdakı bahis edilir: 2 baş çıxsa 3 dollar qazanırsınız, 1 baş çıxsa 1 dollar qazanırsınız, ancaq iki marka çıxsa 5 dollar ödəməlisiniz. Bahisin gözlənilən qələbəsini hesablayın.

Həll

Təsadüfi dəyişən X, pulun bahisdə götürdüyü dəyərlərdir və ehtimallar əvvəlki nümunədə hesablanmışdır, buna görə də mərc cədvəli:

E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0

Gözlənilən dəyər 0 olduğu üçün ədalətli oyun olduğu üçün bahisçinin qalib gəlməməsi və ya uduzmaması gözlənilir. Bununla birlikdə, mərclərin bir handikap oyunu və ya bir handikap oyunu olması üçün mərc məbləğləri dəyişdirilə bilər.

İstinadlar

1. Brase, C. 2009. Anlaşılan Statistikalar. Houghton Mifflin.
2. Olmedo, F. Təsadüfi bir dəyişənin gözlənilən dəyər və ya riyazi gözləntiləri anlayışına giriş. Personal.us.es saytından bərpa edildi.
3. Statistika LibreTexts. Diskret təsadüfi dəyişənlərin gözlənilən dəyəri. Stats.libretexts.org saytından bərpa edildi.
4. Triola, M. 2010. İbtidai Statistika. 11-ci. Ed. Addison Wesley.
5. Walpole, R. 2007. Elm və mühəndislik üçün ehtimal və statistika. 8-ci. Nəşr. Pearson Təhsil.