Natural ədədlər

Burada $25$ və $50$ ədədlərinin vuruqlarında 2 dənə $5$ var. Qalanlarında isə yalnız 1 dənədir. Deməli, $50!$ ədədinin vuruqlarının özlərini sadə vuruqlara ayıranda 12 dənə $5$ alınacaq. Yəni bu ədəddə sonda 12 sıfır olacaq.

bilgibitig

Həyatda hər zaman qarşılaşdığımız riyaziyyatın təməl anlayışlarından biridə ədədlərdi. Sayma, ölçmə və hesablama nəticəsində aldığımız bütün sonuclar ədədlərdir. Bu ədədlərdən sayma nəticəsində ortaya çıxan ədədlər isə təbii (natural) ədədlər adlanır. 1,2,3,…,n,… təbii sırasıda tamami ilə təbii (natural) ədədlərdən təşkil edilmişdir. Təbii (natural) ədədlər təbii (natural) ədədlər çoxluğ əmələ gətir və bu çoxluq N hərifi ilə işarə olunur.

Bütün təbii (natural) ədədlər müsbət tam ədədlərdi. Tam ədədlər üzərində toplama, vurma və qüvvətə yüksəltmə riyazi əməlləri icra etmək hər zaman mümkündür. Ancaq çıxma, bölmə və ya kök alma riyazi əməllərin icra olunması isə həmişə mümkün olmur. Çünki, hər hansı bir riyazi əməlin aparılması nəticəsində alınan yeni bir ədəd də həmin çoxluğa daxil olmalıdır. Ancaq iki təbii (natural) ədədi bir birindən çıxdığımız zaman mənfi ədəd də alına bilər ki, bu yeni alınan mənfi ədəd o zaman təbii (natural) ədədlər çoxluğuna daxil olmur. Ona görədə butun təbii (natural) ədədlər tam ədədlər çoxluğuna daxil olsada, bütün tam ədədlər təbii (natural) ədədlər çoxluğuna daxil deyil.

Qaydalar haqqında yazıya burdan baxın.

Mənbə: Şükür Məhişoğlu, Riyaziyyat kitabı.

Natural ədədlər

Əşyaları sayarkən istifadə etdiyimiz ədədlərə natural ədədlər deyilir. $1, 2, 3, …$ ədədlərinin hamısı natural ədədlərdir. Bu ədədləri müsbət tam ədədlər də adlandırırlar. Sıfır ($0$) isə natural ədəd deyil. Natural ədədləri çoxluq kimi $\mathbb$ ilə işarə edirlər. $a$ ədədinin natural ədəd olması riyazi dildə $a \in \mathbb$ kimi yazılır.

Natural ədədlərin cəmi və hasili həmişə natural ədəd verir. Məsələn, $3+5=8$, $3 \cdot 5=15$.

Natural ədədlərin fərqi o zaman natural ədəd verir ki, çıxılan ədəd azalandan kiçik olsun. Məsələn, $8-6=2$. Əgər çıxılan azalana bərabər və ya odan böyük olarsa, fərq natural ədəd olmayacaq.

İki natural ədədi bölərkən də həmişə natural ədəd alınmır. Əgər bir natural ədədi digərinə bölərkən nəticədə natural ədəd alınarsa, deyirlər ki, birinci ədəd ikinciyə tam bölünür. Məsələn, $9$ ədədi $3$ ədədinə tam bölünür. Bu zaman $3$ ədədi $9$ ədədinin böləni adlanır. Çox vaxt “tam bölünür” əvəzinə elə “bölünür” deyirlər. $8$ ədədi $4$-ə bölünür. $7$ ədədi $3$-ə bölünmür.

Natural ədədləri kiçik latın hərfləri ilə işarə edirlər ($a, b, c, …$).

Xassə: Əgər $m$, $n$ və $k$ natural ədədlərdirsə ($m, n, k \in \mathbb$) və $m$ ədədi $n$-ə, $n$ isə $k$-ya bölünürsə, onda $m$ ədədi də $k$-ya bölünür.

Məsələn, $81$ ədədi $27$-yə, $27$ isə $9$-a bölünür. Deməli, $81$ də $9$-a bölünür.

Hər bir natural ədəd $1$-ə və özünə bölünür.

$p:1=p, \ p:p=1; p \in \mathbb$

Məsələ 1: Əgər $n$ natural ədədi $p \ (p>1)$ natural ədədinə bölünürsə, isbat edin ki, $n+1$ ədədi $p$-yə bölünmür.

Həlli: Əgər $n$ ədədi $p$-yə bölünürsə, onda onu $n=p \cdot k$ şəklində yazmaq olar. Burada $k$ da natural ədəddir. Onda $p$-yə bölünən növbəti ədəd $p \cdot k+p$ olmalıdır. $p>1$ olduğu halda $p \cdot k +1$ ədədi heç cürə $p$-yə bölünə bilməz.

Məsələ 2: İlk $99$ dənə natural ədəd götürülüb. $1, 2, 3, … ,99$. Aralarındakı vergül işarələrini götürüb ardıcıl yazmaqla yeni bir ədəd alınıb.
a) alınan ədəddə neçə dəfə $0, 1, 2, 3, …, 9$ rəqəmlərinə rast gəlinir?
b) bu ədəd $9$-a bölünürmü?

Həlli: Bizim baxacağımız ədəd $1234567891011 … 9899$-dur.
a) Bu ədəddə ilk $0$ rəqəmi 11-ci yerdədir, çünki natural ədədlərdən ilk sıfırla bitəni $10$ ədədidir. Növbəti sıfırla bitən ədəd $20$, daha sonra $30$-dir. Beləliklə, 9 dənə sıfır olacaq.

İndi $1$ rəqəmini axtaraq. Birinci rəqəm $1$-dir. Daha sonra təklik şəklində $1$ rəqəmi, $11$, $21$, $31$, . $91$ ədədlərində iştirak edir. Beləliklə 10 yerdə $1$ rəqəmi təklik şəklində iştirak etmiş olur. İndi onluq şəklində iştirak etdiyi halları sayaq. $10$, $11$, $12$, … , $19$. Burada da $1$ rəqəminə onluq şəklinə 10 dəfə rast gəlinir. Deməli ümumilikdə $1$ rəqəminə 20 dəfə rast gəlinir.

Eyni mülahizələri $2$, $3$, …, $9$ rəqəmləri üçün də aparsaq görərik ki, bunların hər biri 20 dəfə iştirak edir.

b) Əvvəlcə istənilən ədədin $9$-a bölünməsi şərtini tapaq. $9$-dan sonra ilk $9$-a bölünən ədəd $18$, daha sonra $27$, $36$, …, $99$-dur. Fikir versəniz, görərsiniz ki, bu ədədlərin cəmi də $9$-a bölünür. Üçrəqəmli ədədlərə baxsaq, görərik ki, $108$, $117$, $126$, …, $999$ hamısı həmin şərti ödəyir. Deməli aldığımız ədədin rəqəmlərinin cəmi $9$-a bölünərsə, həmin ədəd özü də $9$-a bölünəcək.

Bu ədədləri yarıdan iki yerə bölsək ortada $50$ ədədi qalacaq. $50$ ədədindən bir ədəd solda və sağda qalan ədədləri toplasaq $100$ alarıq ($49+51=100$). İki ədəd solda və sağda gələn ədədlərin cəmi də $100$ olacaq ($48+52=100$ ). Daha sonra $47+53=100$ və s. alınacaq. Beləliklə 49 dənə $100$-lük alınacaq. Bunları cəmləyib üzərinə ortada qalan $50$-ni gəlsək $4950$ ədədini alarıq. Bu ədədin də rəqəmlərinin cəmi $9+4+5=18$ olacaq. $18$ isə $9$-a bölünür. Deməli axtarılan ədəd də $9$-a bölünür.

Ardıcıl gələn $n \ (n\geqslant 2)$ sayda natural ədədlərin hasilinə faktorial deyilir. $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot … \cdot (n-1) \cdot n$ hasili $n!$ kimi işarə edilir və n-faktorial oxunur. Məsələn,

$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$

Məsələ 3: Aşağıdakı ədədlərin sonunda neçə dənə sıfır ($0$) var?

Həlli:

a) $10!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10$

Bu hasilə əvvəldən baxaq. Soldan vura-vura gəlsək, əvvəl $2$, sonra $6$, daha sonra $24$ və $120$ alarıq. Deməli ilk dəfə sonda sıfır $5$-ə vurmada alındı. Bu sıfır daha itməyəcək. Çünki biz sona qədər vurma əməli yerinə yetiririk. Ona gərə sonda olan sıfırların sayı yalnız arta bilər. Növbəti hasillərdə sonda $0$ bir də $10$-a vurmada olacaq. Deməli, $10!$ ədədinin sonunda 2 sıfır olacaq.

b) Yuxarıdakı üsulu artıq $50!$ üçün təsəvvür etmək bir az çətindir. Lakin yuxarıda əldə etdiyimiz təcrübə köməyimizə gələcək. $10!$ ədədinin bütün vuruqlarını sadə vuruqlara ayırsaq aşağıdakı hasili alarıq.

$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot (2 \cdot 2) \cdot 5 \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5)$

$10$ vuruğunu almaq üçün bizə $5$ və $2$ lazımdır. $2$ -lərin sayı kifayət qədərdir. Ona görə nə qədər $5$ varsa, o qədər də $10$ almış olacağıq. Doğrudan da $10!$ ədədinin sonunda gördük ki 2 dənə sıfır var. Eynilə $50!$-ın vuruqlarını sadə vuruqlara ayırsaq yalnız aşağıdakı ədədlərdə 5 vuruğunun olduğunu görərik.

$5$, $10$, $15$, $20$, $25$, $30$, $35$, $40$, $45$, $50$

Burada $25$ və $50$ ədədlərinin vuruqlarında 2 dənə $5$ var. Qalanlarında isə yalnız 1 dənədir. Deməli, $50!$ ədədinin vuruqlarının özlərini sadə vuruqlara ayıranda 12 dənə $5$ alınacaq. Yəni bu ədəddə sonda 12 sıfır olacaq.

c) $100!$ ədədini $50! \cdot 51 \cdot 52 \cdot … \cdot 100$ kimi yazsaq görərik ki, bizi əslində $51$-dən $100$-ə qədər ədədlərin hasili maraqlandırır. Bu hasildəki vuruqların özlərini sadə vuruqlarına ayırsaq yenə 10 dənə $5$-ə bölünən ədəd olduğunu görərik.

$55$, $60$, $65$, $70$, $75$, $80$, $85$, $90$, $95$, $100$

Bu ədədlərdən $75$ və $100$-ün sadə vuruqlarında $5$ ədədi 2 dəfə iştirak edir. Qalanlarında isə yalnız 1 dəfə iştirak edir. Deməli, faktorialın bu hissəsində də 12 dənə $5$ vuruq kimi iştirak edir. 12 dənə də $5$ artıq $50!$-da var idi. Yəni nəticədə 24 dənə sıfır olacaq.

Qeyd: Məqalənin yazılışında bu dərslik kitabından istifadə edilib: С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. Алгебра 7 класс

Məsələ

Əvvəlcə özünüz həll etməyə çalışın

Məsələ 1: İsbat edin ki, üç qonşu tək ədəddən biri 3-ə bölünür.

Riyaziyyat natural ededler çoxluqlar

Çoxluq riyaziyyatın ilk riyazi anlayışlarindan biridir. O müxtəlif obyektlərin (kitabların, dəftərlərin, qoyunların, atların, uiduzların, ədədlərin, fiqurların və s) toplusudur.

Çoxluğu əmələ gətirən obyekt onun elementi adlanır.

Məsələn: həndəsi fiqurlardan ibarət çoxluğu həndəsi fiqurlar çoxluğu adlandirsaq onun elementləri çevrə, dairə, üçbucaq, dördbucaq, prizma, piramida və sairə olar.

Çoxluqlar böyük mötərizələrin köməyi ilə yazılır, latın əlifbasının böyük hərfləri A,B,C,……. Z ilə işarə olunur.

Məsələn:A=

a-nın A çoxluğunun elementi olması €-daxildir işarəsinin köməyi ilə a€ A kimi, p-nin A çoxluğunun elementi olmaması daxil deyil işarəsi ilə p€A kimi işarə yazılır. Çoxluqlar elementlərinini sayına görə sonlu və sonsuz olur.

Sonlu sayda elementi olan çoxluğa sonlu çoxluq deyilir.
Əlifbamızdakı hərflər və yasəslər çoxluqları sonlu çoxluqlardır.
Elementlərinin sayı sonsuz olan çoxluğa sonsuz çoxluq deyilir.
Ulduzların, ədədlərin (natural ədədlərin) əmələ gətirdiyi çoxluqlar sonsuz çoxluqlardır.
Natural ədədlərdən ibarət olan çoxluğa natural ədədlər çoxluğu deyilir.

Natural ədədlər çoxluğu N= şəklində yazılır. 1 ən kiçik natural ədəddir, ən böyük ədəd yoxdur. Natural ədədlər çoxluğu sonsuz çoxluqdur.

Heç bir elementi olmayan çoxluq boş çoxluq adlanır və ᴓ işarəsi ilə yazılırş

Məsələn: 7 və 8 arasında yerləşən natural ədədlər çoxluğu boş çoxluğudur (yəni 7 və 8) arasında natural ədəd yoxdur.

Çoxluqların birləşməsi

İki çoxluqdan heç olmasa birinə (və yahər ikisinə) daxil olan elementlərdən təşkil olunmuş çoxluğa bu çoxluqların birləşməsi deyilir.

A= və B= çoxluqların birləşməsi A U B= çoxluğudur(U- birləşmə işarəsidir.)
Çoxluqların birləşməsini Venn diaqramı vasitəsi ilə əyani şəklində təsvir etmək olar.
İstənilən çoxluğun boş çoxluqla birləşməsi özünə bərabərdir.(A U /O=A)
A U A =A
Çoxluqların kəsişməsi
İki çoxluğun ortaq elementlərindən yaranan çoxluğa bu çoxluqların kəsişməsi deyilir.

Qutuda müxtəlif rəngdə kürələr vardı Vasif qutudan ağ, sarı, mavi rəngli, Elçin mavi, yaşıl, bənönşəyi rəngli kürələr götütdü. Hansı rəngdə kürə uşaqların hər ikisində var? -Mavi, rəngdə uaşqların zövqü eynidir, maraqları kəsişir.

A=-qalın saitlər və B= -dodaqlanan saitlər şoxluqlarının ortaq elemetlərindən təşkil olunmuş
C=çoxluğuna A və B çoxluqlarının kəsişməsi deyilir, C= A Ƞ B kimi yazılır.A Ƞ B=
Çoxluqların kəsişməsini Venn diaqramının köməyi ilə daha aydın şəkildə təsvir etmək olar.
Ortaq elementi olmayan çoxluqların kəsişməsi boş çoxluqdur.
C= D= olduqda C Ƞ D =/O

İstənilən çoxluğun boş çoxluqla kəsişməsi boş çoxluqdur. Özü ilə kəsişməsi özünə bərabərdir. C Ƞ C= C
Bərabər çoxluqlar. Alt çoxluq

Bir – birindən yalnız elementlərinin düzülüşünə ilə fərqlənən çoxluqlar bərabər çoxluqlardır. Məsələn, C= çoxluğu D= çoxluğuna bərabərdir. (C=D)

Əgər iki çoxluqdan birinin bütün elementleri o biri çoxluğa daxildirsə, onda birinci çoxluğa ikinci çoxluğun alt çoxluğu deyilir.

Cüt ədədlər çoxluğu natural ədədlər çoxluğunun alt çoxluğur. Cüt ədədlər çoxluğunu A= natural ədədlər çoxluğunu N=

Bərabər çoxluqlardan biri digərininalt çoxluğudur.
MÖVZU: Venn diaqramının tətbiqi ilə məsələ həlli
Standartlar: 1.1.4.İki sonlu çoxluğun birləşməsini və kəsişməsini tapır.
Dərsin tipi: İnduktiv.
İş formaları: Fərdi,cütlərlə.
İş üsulları: Müzakirə, beyin həmləsi.
İteqrasiya: Həyat bilgisi, Azərbaycan dili, Çoxluqlara aid mövzular.
Resurslar: Dərslik, iş vərəqləri, kompyuter, proyektor.
Şagird bacarıqları:
1.Müəyyən qanunauyğunluqlara əsasən verilmiş çoxluqları yazır.
2.Çoxluqların kəsişməsini və birləsməsini tapır.
3.İki çoxlugun kəsişməsini və birləşməsini Eyler- Venn diaqramları ilə təqdim edir.

Sinifə daxil olub salamlaşıram və əhvallarını soruşuram. Sinif numayəndəsinin sinif davamiyyəti haqqindakı məlumatı dinləyirəm. Ev tapşirıqlarına nəzarət edib başa düsmədikləri başa salıram.Keşmiş dərsə aid sual-cavab edirəm.

Sonra onlara “HƏYAT” adlı hekayə oxuyuram

Tanrı yaratdığı varlıqları müxtəlif çoxluqlarda yerləşdirərək həyat kürəsini nizamladı. Zamanla çoxluqlar birləşərək böyümək, kəsişərək ortaq gəlib zamana hakim olmaq istədilər. Lakin nə qədər genişlənsələr də dairəvi məkanin elementi olaraq təkrarlanan zamandan asılı oldular. Birləşdikdə fərqli elementlərdən, kəsişdikdə yalnız ortaq elementlərdən ibarət olduqlarrından həyatın, günəşin, torpağın, havanın, suyun bir hissəsi oldular.

Sonra sinifə aşağıdakı suallarla müraciət edirəm;

Hekayədən çoxluqların kəsişməsi və birləşməsi haqqında hansı nəticə çıxartdınız? Fikirlər müxtəlif olur, hər fikirə hörmətlə yanaşıb və fikirləri ilə bölüşürəm.

Davamı olaraq heyvanlar, quşlar, rəqəmlər, həriflər olan çoxluqlar şəkillərini təqdim edirəm.tapşırıqlar verirəm.

1. Rəqəmlərdən və ya həriflərdən ibarət çoxluqların birləşməsini və kəsişməsini yazırlar .

2. İnternetdən və kitablardan öyrəndikləri məlumatlara əsasən heyvanları müəyyən qanunauyğunluqlara görə (məsələn, ət yeyən və ot yeyən) çoxluqlara ayırırlar.

Onlarında birləşməsini və kəsişməsini tapırlar.

Tədqiqat sualı: Çoxluqlara aid məsələləri Eyler- Venn diaqramında təsvir etməklə həll etmək olarmı?
Tədqiqatın aparılması:Azəri cizgi filimləri nümayiş etdirirəm.

1.Tülkü həccə gedir.
2.Tık-tık xanim

Cizgi filimlərindən 1-ci və 2-ci filimlərdəki hansı personajlar iştirak etdiyini sorusuram. Onlar cizgi filimlərə A və B çoxluqları kimi baxıb yazırlar. Sonra tülkünün hiyləgərliyini əks etdirən hər iki cizgi filimdə birlikdə neçə personal olduğunu soruşuram. Bu işi çoxluqların birləşməsini Eyler-Venn diaqramında təsvir etməklə yerini yetirmələrini tapşırıram. Şagirdlər verilənləri Venn diaqramında təsvir etməklə cizgi filmindəki personajları müəyyənləşdirirlər.

Diqqəti məsələ həllinə yönəltmək üçün şagirdlərə fərdi yanaşır və onlara iki variantda hazırladığım iş vərəqlərini paylayıram. Onlarda tapşırıqları işləyərk həm çoxluqların birləşməsini və kəsişməsini tapır,həm də müxtəlif şəkillərə uyğun məsələləri Venn diaqramın köməyi ilə həll edirlər.

İş vərəqləri paylayıram:
1. Çoxluqların birləşməsini yazın və Eyler- Venn diaqramında təsvir edin.
A=(heyvanlar) B=(quşlar)

2. Azərbaycanın işğal olunmuş rayonların adlarından ibarət iki sonlu çoxluq yazıb, çoxluğun kəsişməsini tapın və Eyler-Veen diaqramında təsvir edin.

3. Rəqəmlədən və həriflərdən ibarət iki və daha çox sonlu çoxluq yazın və kəsişməsini tapın və Eyler-Venn diaqramında təsvir edin.

4. Azərbaycanın işğal olunmuş rayonlarının adlarından ibarət iki sonlu çoxluq yazıb,çoxluğun birləşməsini tapın və Eyler-Veen diaqramında təsvir edin.

Tapşırıqların yerinə yetirilməsinə ayrılan vaxt bitdikdən sonra hər qrupdan bir şagird işləri təqdim edir. Müzakirə aparırıq, səhv və düzgün cavablar müəyyənləşdiririk.

Eyler-Veen diaqramında məsələlərin həlli üçün aşağıdakı nəticəyə gəlirik.

1)Əvvəlcə hər iki şoxluğa aid olan elementləri diaqramların kəsişdikləri hissədə yerləşdirməliyik. Elementləri diaqramda nöqtələrlə, işarələrlə, rəqəmlərlə və s.göstərmək olar.

2) Fərqli elementləri diaqramların kəsişmədikləri hissələrdə qeyd edirik. Bu zaman diaqramın bütün hissələrindəki elementlərinin sayına bərabər olur.

Yaradıcı tətbiqetmə:
Müzakirələrdən sonra ümumi sinifə hazirladığım iş vərəqlərini paylayıram.
İş vərəqi:

Sinifdəki 28 şagirddən hər biri ya Səməd Vurğunun,ya da Bəxtiyar Vahabzadənin heç olmasa bir şerini əzbər bilir. Yalnız Səməd Vurğunun şerini bilənlər 20 nəfər, Bəxtiyar Vahabzadənin şerini bilənlər isə 16 nəfərdir. Şagirdlərdən neçəsi həm Səməd Vurğunun, Bəxtiyar Vahabzadənin şerlərini əzbər bilirlər.

Vaxt tamam olduqdan sonra şagirdlər öz işlərini təqdim edir. Müzakirələr yekunlaşır.

Evə tapşıriq verirəm ,əlavə olaraq şagirdlərə evdə xoşladıqları meyvə və tərəvəzlər haqqında internetdən məlumat toplamağı, yoldaşı ilə ortaq zövqləri(1 nəfərlə) müəyyənləşdirməyi tapşırıram.

Qiymətləndirmə:

Qruplarin fəaliyyətini qiymətləndirmək üçün həm mövzu ilə bağlı, həm də meyarlar əks olunmuş qiymətləndirmə cədvəlindən istifadə edirəm.