Dədi oxşarlıqlar: növləri, tətbiqləri və məşqləri

Pi sayının simvolu “π”, Yunan əlifbasının 16-cı hərfidir. Bu hərf, eyni zamanda, Yunanca çevrə mənasını verən “perimetier” sözünün də ilk hərfidir. İsveçrəli riyaziyyatçı Leonard Euler 1737-ci ildə nəşr etdiyi əsərində, çevrə uzunluğunun diametrinə nisbəti söz mövzusu olduğunda, bu simvolu istifadə etdi. Leonard Eulerdən əvvəl gələn bəzi riyaziyyatçılar tərəfindən də bu simvol istifadə edilmişdir. Ancaq Leonard Eulerdən sonra gələn bütün riyaziyyatçılar bu simvolu mənimsəyib istifadə etdilər.

Ədədi sıralar, onların yığılması. Yığılan sıraların xassələri

2. Sıranın yığılmasının zəruri əlaməti. Müsbət hədli sıraların müqayisəs i.

3. Sıranın yığılmasının əlamətləri: Dalamber əlaməti, Koşi

əlaməti, inteqral əlaməti.

1. Əsas anlayışlar və ümumi teoremlər.

Tutaq ki, sonsuz ədədlər ardıcıllığı verilmişdir. Bu ardıcıllığın elementlərindən düzəldilmiş

ifadəsi ədədi sıra adlanır. ədədlərinə sıranın hədləri deyilir. Sıranın sonlu sayda ilk n həddinin cəminə sıranın n-ci xüsusi cəmi deyilir və ilə işarə edilir:

Əgər limiti varsa və sonludursa, onda bu limit (1) sırasının cəmi adlanır və bu halda deyirlər ki, sıra yığılandır. limiti yoxdursa (məsələn, ) deyirlər ki, (1) sırası dağılandır və cəmi yoxdur.

sırasının hədləri hər hansı bir parçasında qiymətlər alan x dəyişənindən asılı funksiyalardırsa, bu sıraya funksional sıra deyilir:

x dəyişəninə müxtəlif qiymətlər verməklə müxtəlif ədədi sıralar almış olarıq. Bu ədədi sıralar yığılan və ya dağılan ola bilər.

(2) sırasının yığıldığı x ədədləri çoxluğuna funksional sıranın yığılma oblastı deyilir. Aydındır ki, sıranın cəmi x dəyişənindən asılı bir funksiyadır və bu funksiyanın təyin oblastı həmin yığılma oblastından ibarətdir. Buna görə də funksional sıranın cəmini ilə işarə edirlər. (2) sırasının ilk n həddinin cəmini ilə işarə edək. Əgər bu sıra yığılırsa və onun cəmi olarsa, onda

Bu halda funksiyası (2) sırasının qalığı adlanır. Yığılma in tervalından götürülmüş bütün x -lər üçün , buna görə də

yəni yığılan sıranın qalığı şərtində sıfra yaxınlaşır.

Ədədi sıraların aşağıdakı xassələrinə baxaq.

Teorem 1. Verilmiş (1) sırasının bir neçə həddini atdıqdan sonra alınan sıra yığılırsa, verilmiş sıranın özü də yığılır.

Əksinə, verilmiş sıra yığılırsa, bu sıranın bir neçə həddini atdıqdan sonra alınan sıra da yığılır. Başqa sözlə, sıranın sonlu sayda hədlərinin atılması onun yığılmasına təsir etmir.

Teorem 2. Əgər sırası yığılırsa və onun cəmi S ədədinə bərabərdirsə, onda

sırası da yığılır və onun cəmi cS ədədinə bərabərdir; burada c hər hansı qeyd edilmiş ədəddir.

Teorem 3. Əgər və sıraları yığılırsa və onların cəmləri uyğun olaraq S və ədədlərinə bərabərdirsə, onda

sıraları da yığılır və onların cəmi uyğun olaraq və ədədlərinə bərabərdir, yəni

2. Sıranın yığılmasının zəruri əlaməti. Müsbət hədli

sıraların müqayisəs i.

► Teorem 1. (sıraların yığılmasının zəruri əlaməti). Əgər sıra yığılırsa, onda n qeyri-məhdud artdıqda onun n-ci həddi sıfra yaxınlaşır.

İsbat ı. Tutaq ki,

kafi deyil, yəni sıranın n-ci həddinin sıfra yaxınlışmasından onun yığılması alınmır, sıra dağıla da bilər.

Məsələn, harmonik sıra adlanan

► M üsbət hədli sıraların müqayisəs i. Tutaq ki, müsbət hədli iki sıra verilmişdir:

Onlar üçün aşağıdakı təkliflər doğrudur.

► Teorem 2 . Əgər (1) sırasının hədləri (2) sırasının uyğun hədlərindən böyük deyildirsə, yəni (n = 1, 2, …) və (2) sırası yığılırsa, onda (1) sırası da yığılır.

► Teorem 3 . Əgər (1) sırasının hədləri (2) sırasının uyğun hədlərindən kiçik deyildirsə, yəni (n = 1, 2, …) və (2) sırası dağılırsa, onda (1) sırası da dağılır.

Qey d. Bu əlamətlər (1-ci və 2-ci teorem) ancaq müsbət hədli sıralar üçün doğrudur. Bu sıraların bəzi hədləri sıfır olduqda da bu əlamətlər öz gücündə qalır, ancaq sıraların hədləri içərisində mənfi hədlər olarsa, onda bu əlamətlər doğru olmaya da bilər.

3. Sıranın yığılmasının əlamətləri: Dalamber əlaməti, Koşi

əlaməti, inteqral əlaməti.

► Teorem 1. ( Dalamber əlaməti ). Əgər müsbət hədli

1) l 1 olduqda sıra dağılır,

3) l = 1 olduqda sıranın yığılan olub-olmaması sualına bu teorem ca­vab vermir.

► Teorem 2. (Koşi əlaməti ). Əgər müsbət hədli (1) sırası üçün ,

onda: 1) l 1 olduqda sıra dağılır.

Qey d. Dalamber əlamətində olduğu kimi burada da

qeyri-məxsusi inteqralı yığılırsa, (1) sırası da yığılır,

2) həmin inteqral dağılırsa, (1) sırası da dağılır.

Ədədi oxşarlıqlar: növləri, tətbiqləri və məşqləri

The ədədi oxşarlıqlar bu oxşarlığı bir bənzətmə adlandıracağımız ədədi düzülüşlərin xüsusiyyətlərində, qaydasında və mənasında olan oxşarlıqlara istinad edirlər. Əksər hallarda, bir binanın və hər birində bir əlaqənin və ya əməliyyatın təsdiq olunduğu bilinməyən bir quruluş qorunur.

Ədədi bənzətmələr ümumiyyətlə daha sonra dərindən təsnif edəcəyimiz fərqli düşünmə növlərinə tabe olan idrak təhlilini tələb edir.

Bənzətmənin mənası və onun əsas növləri

Müxtəlif elementlər arasında təqdim olunan oxşar cəhətlərə bənzətmə ilə başa düşülür, bu oxşarlıqlar hər hansı bir xarakteristikada təqdim edilə bilər: Tip, forma, ölçü, nizam, kontekst və s. Aşağıdakı analogiya növlərini müəyyənləşdirə bilərik:

• Ədədi oxşarlıqlar
• Söz bənzətməsi
• Məktub bənzətməsi
• Qarışıq oxşarlıqlar

Bununla birlikdə, fərddə kəmiyyət vermək istədiyiniz qabiliyyət növündən asılı olaraq çoxsaylı testlərdə fərqli oxşarlıqlar istifadə olunur.

Həm akademik, həm də peşə testlərinin çoxu abituriyentlərdəki bacarıqları ölçmək üçün ədədi oxşarlıqlardan istifadə edir. Bunlar ümumiyyətlə məntiqi və ya mücərrəd mülahizə kontekstində təqdim olunur.

Binalar necə təmsil olunur?

Binalar arasındakı əlaqəni təmsil etməyin iki yolu var:

A-dan B-yə kimi C-dən D-yə qədərdir

A – C – B – D – olduğu kimi

Hər iki forma aşağıdakı nümunələrdə inkişaf etdirilmişdir:

Üçdən beşə, doqquzdan on yeddiyə qədərdir. Münasibət 2x-1-dir

• 10 : 2 :: 50 : 10

Ondan əlliyə, ikidən ona qədərdir. Bu nisbət 5x-dir

Ədədi bənzətmə növləri

Binaların əməliyyatlarına və xüsusiyyətlərinə görə ədədi oxşarlıqları aşağıdakı şəkildə təsnif edə bilərik:

Nömrə növünə görə

Fərqli ədədi dəstləri nəzərə ala bilərlər, bu dəstlərə aid olma faktı binalar arasındakı oxşarlıqdır. Əsas, cüt, tək, tam, rasional, irrasional, xəyali, təbii və real ədədlər bu tip problemlərlə əlaqəli çoxluqlar ola bilər.

1: 3 :: 2: 4 Müşahidə olunan bənzətmə bir və üçün ilk tək təbii ədədlər olmasıdır. Buna bənzər şəkildə iki və dörd, hətta ilk təbii ədədlərdir.

3: 5 :: 19: 23 5-in üçün ardınca gələn əsas ədədi olduğu 4 əsas ədədi müşahidə edirik. Eynilə, iyirmi üçü on doqquzdan sonra gələn əsas rəqəmdir.

Elementin daxili əməliyyatları ilə

Elementi təşkil edən rəqəmlər birləşmiş əməliyyatlarla dəyişdirilə bilər, bu əməliyyat qaydası axtarılan bənzətmədir.

231: 6 :: 135: 9 Daxili əməliyyat 2 + 3 + 1 = 6 binalardan birini təyin edir. Eynilə 1 + 3 + 5 = 9.

721: 8 :: 523: 4 Aşağıdakı əməliyyatlar birləşməsi 7 + 2-1 = 8 ilk müddəasını təyin edir. 5 + 2-3 = 4 ikinci bənddə birləşmənin yoxlanılması ilə bənzətmə əldə edilir.

Elementin digər amillərlə əməliyyatları ilə

Birden çox amil hesab əməliyyatları vasitəsilə binalar arasında bir bənzətmə kimi çıxış edə bilər. Çarpma, bölmə, gücləndirmə və radikasiya bu tip problemlərdə ən çox görülən hallardan biridir.

2: 8 :: 3: 27 Elementin üçüncü gücünün 3x3x3 = 27 ilə eyni şəkildə uyğun analog 2x2x2 = 8 olduğu müşahidə edilir.

5:40 :: 7:56 Elementi səkkizə vurmaq bənzətmədir. Bu nisbət 8x-dir

Ədədi oxşarlıqların tətbiqi

Riyaziyyat yalnız ədədi bənzətmələrdə olduqca tətbiq olunan bir vasitə tapmır. Əslində sosiologiya və biologiya kimi bir çox sahə, rəqəmlərdən başqa elementlərin öyrənilməsində belə ədədi bənzətmələrə meyllidir.

Qrafiklərdə, tədqiqatlarda və dəlillərdə olan naxışlar ümumiyyətlə ədədi bənzətmə şəklində tutulur və nəticələrin alınmasını və proqnozlaşdırılmasını asanlaşdırır. Bu hələ qüsurlara həssasdır, çünki tədqiq olunan fenomenə uyğun olaraq ədədi bir quruluşun düzgün modelləşdirilməsi optimal nəticələrin yeganə qarantıdır.

Sudoku, bir çox qəzet və jurnalda tətbiqinə görə son illərdə çox populyardır. Sifariş və formanın əsaslarının qurulduğu riyazi bir oyundan ibarətdir.

Hər 3 × 3 kvadrat hər hansı bir dəyəri həm şaquli, həm də üfüqi olaraq xətti olaraq təkrarlamamaq şərti ilə 1-dən 9-a qədər olan rəqəmləri ehtiva etməlidir.

Ədədi bənzətmə işləri necə həll olunur?

Nəzərə alınacaq ilk şey, hər bir binada iştirak edən əməliyyatların və xüsusiyyətlərin növüdür. Bənzərliyi tapdıqdan sonra bilinməyənlər üçün eyni şəkildə işləməyə başlayırıq.

Həll olunmuş məşqlər

Məşq 1

10 : 2 :: 15 : ?

Atlayan ilk münasibət, ikisinin 10-un beşdə biri olmasıdır. Bu şəkildə binalar arasındakı oxşarlıq X / 5 ola bilər. Harada 15/5 = 3

Bu məşq üçün mümkün bir ədədi bənzətmə ifadə ilə müəyyən edilir:

İdman 2

24 (9) 3

12 (8) 5

32 (?) 6

İlk 2 binanı təsdiqləyən əməliyyatlar müəyyən edilmişdir: Birinci ədədi dördə bölün və nəticəyə üçüncü nömrəni əlavə edin

Sonra eyni alqoritm naməlum olan sətrə tətbiq olunur

24 (9) 3 olmaq (A / 4) + C = B münasibətinə görə mümkün həll

Hər bir binada fərdi ümumi bir A (B) C quruluşu götürsək.

Bu məşqlərdə müxtəlif quruluşların binaları necə yerləşdirə biləcəyi göstərilir.

İdman 3

26 : 32 :: 12 : 6

14 : 42 :: 4 : ?

Forma ii) 26-nın 12 olduğu 32-nin 6 olduğu binaları düzəltmək üçün sübut olunur

Eyni zamanda, binalarda tətbiq olunan daxili əməliyyatlar da mövcuddur:

Bu nümunə müşahidə edildikdən sonra üçüncü şərtdə sübut olunur:

Mümkün həlli əldə etmək üçün bu əməliyyatı yalnız bir dəfə tətbiq etmək qalır.

Mümkün bir ədədi bənzətmə kimi 26: 32 :: 12: 6 əldə etmək.

Həll etmək üçün təklif olunan məşqlər

Bu tip problemlərin mənimsənilməsinə nail olmaq üçün təcrübə etmək vacibdir. Bir çox digər riyazi metodlarda olduğu kimi, tətbiqetmə və təkrarlama həll müddətlərini, enerji xərclərini və mümkün həll yollarını tapmaqda səlisliyi optimallaşdırmaq üçün vacibdir.

Təqdim olunan hər bir ədədi bənzətmə üçün mümkün həll yollarını tapın, təhlilinizi əsaslandırın və inkişaf etdirin:

Məşq 1

104 : 5 :: 273 : ?

Məşq 2

8 (66) 2

Məşq 3

10A 5B 15C 10D 20E?

Məşq 4

72 : 10 :: 36 : 6

İstinadlar

1. Holyoak, K. J. (2012). Analogiya və əlaqəli əsaslandırma. K. J. Holyoak & R. G. Morrison’da. Düşüncə və düşünmə Oxford el kitabı New York: Oxford University Press.
2. UŞAQLARDA ANALOJİK MÜSABİQƏ Usha Goswami, Uşaq Sağlamlığı İnstitutu, London Universitet Kolleci, 30 Guilford St., London WC1N1EH, U.
3. Aritmetik Müəllim, Cild 29. Milli Riyaziyyat Müəllimləri Şurası, 1981. Michigan Universiteti.
4. Düşüncə üçün ən güclü kitab, rəqabət imtahanları üçün mülahizələrdə qısa (şifahi, şifahi və analitik). Disha nəşri.
5. Rəqəm nəzəriyyəsinin öyrənilməsi və tədrisi: İdrak və təlim sahəsindəki araşdırmalar / Stephen R. Campbell və Rina Zazkis tərəfindən redaktə edilmişdir. Ablex nəşriyyat 88 Post Road West, Westport CT 06881

Pi ədədi haqqında maraqlı məlumatlar

Pi ədədi riyaziyyat aləmində olduqca geniş istifadə olunan və məşhur sirlərələ dolu bir sabitdir.

Pi ədədinin riyaziyyatda bir ədəddən daha artıq dəyər verilməsi çevrə ilə olan və heç zaman dəyişməyən əlaqəsindən qaynaqlanır. Pi ədədi çevrənin uzunluğunun diametrinə bölünməsi ilə ortaya çıxır. Pi ədədinin işarəsi Qədim yunanca çevrə mənasına gələn “περίμετρον” sözündən gəlmişdir və bu səbəblə günümüzdə “π” simvolu ilə göstərilir. Ludolph ədədi və Arximed sabiti olaraq da bilinən pi ədədi, haqqında bəlkə ən çox fərziyyə irəli sürülən sabitlərdən biridir.

Şüphəsiz ki, bir riyazi sabitlə əlaqəli fərziyyə irəli sürülməsi qulağa biraz məntiqli gəlməsə də ,əslində pi ədədi ilə insanlıq tarixi arasındakı əlaqə müzakirə mövzusu olmaqdadır. Antik dövr və daha qədim zamanlarda bir çox tikilinin Pi ədədindən faydalanaraq inşa edildiyi dair fikirlər, bilinən insanlıq tarixinin inkişaf prosesilə ziddiyyət təşkil edən bir sıra şərhləri də ardınca gətirmişdir. Misir ehramlarından Şimali Amerikadakı bir sıra tikililərə qədər və dünyanın bir çox bölgələrində yer alan minlərcə il yaşı olan tikililərin necə inşa edilməsi haqqında olan araşdırmalarda Pi ədədinə rast gəlmiş təqiqatçılar, dövrümüzdən minlərlə il əvvəl mədəniyyət səviyyəsinin yüksək səviyyədə olan toplumlar olduğunu irəli sürməkdədirlər.

Isaac Newton, Leonhard Euler, Fabrice Bellard, Nilakantha Somayaji və Franciscus Vieta kimi elm tarixinin ən əhəmiyyətli adları, Pi sayını istifadə edərək fərqli düsturlar meydana gətirmişlər. Əsrlər əvvəl belə riyaziyyatçılar Pi sabitinə istifadə edərək fərqli sahələrdə hesablamalar edilməsini təmin edəcək düsturlar üzərində çalışmışlar. Pi sayının sonsuza qədər dövrlü bir şəkildə davam edən olması riyaziyyatçıların bu ədədə olan marağının artmasına səbəb olmuşdur. Günümüzə qədər bir çox riyaziyyatçı Pi sayının tam dəyərini ya da varsa təkrar periodunu tapmaq üçün saysız araşdırma etmişdir. Necə ki 2010-ci ildə Fabrice Bellard, Chudnovsky alqoritmini istifadə edərək Pi sayının ilk “2.699.999.990.000” pilləsini tapmağı bacarmışdır.

Şübhə yeri qalmayacaq bir qətiliklə Pi sayının minlərlə il əvvəl məlum olduğuna və insanoğlunun riyaziyyatda və arxitektura də bu saydan yararlandığına dair fərziyyələr isə günümüzün məşhur mədəniyyətində böyük maraq çəkir. Bəşəriyyətin ibtidaidən aliyə doğru irəlilədiyini söyləyən inkişaf modelini yıxmaq istəyən bəzi elm insanları və müstəqil araşdırmaçılar, Pi sayından yola çıxaraq bilinən insanlıq tarixinin qaranlıq dövrlərinə dair göstərişlər tapmağa çalışır. Şübhəsiz bu cür düşüncələr bir iddia olmaqdan kənara çıxa bilməməkdədirlər.

Pi sayı haqqındakı bu məlumatların ardından diləsəniz artıq Pi sayı haqqındakı maraqlı və maraqlı məlumatlara keçək;

Pi simvolu haradan gəlir?

Pi sayının simvolu “π”, Yunan əlifbasının 16-cı hərfidir. Bu hərf, eyni zamanda, Yunanca çevrə mənasını verən “perimetier” sözünün də ilk hərfidir. İsveçrəli riyaziyyatçı Leonard Euler 1737-ci ildə nəşr etdiyi əsərində, çevrə uzunluğunun diametrinə nisbəti söz mövzusu olduğunda, bu simvolu istifadə etdi. Leonard Eulerdən əvvəl gələn bəzi riyaziyyatçılar tərəfindən də bu simvol istifadə edilmişdir. Ancaq Leonard Eulerdən sonra gələn bütün riyaziyyatçılar bu simvolu mənimsəyib istifadə etdilər.

Qədim sivilizasiyalar pi sayını neçə almışlar?

E.ə. 2000-ci illərdə Babillilər π = 3,125; Antik Misirlilər isə π = 256/81 yəni təxminən 3,1605 ‘i istifadə etməkdə idi. Qədim Yunanıstanda √10 ya da 3,162 ədədi istifadə edilirdi. Arximed isə (e.ə. 287- 212) 3.10 / 71 və 3.1 / 7 ° Pi sayı olaraq istifadə etmişdir. E.ə. 500-ci illərdə Pi ədədi üçün 3, 1415929 olaraq istifadə edilirdi. 1424-ci ildə İranda vergüldən sonrakı 16 ədəd doğru olaraq bilinirdi. 1596-ci ildə Alman Ludolph van Ceulen, Pi-nin vergüldən sonrakı 20 pilləsini hesabladı və bu sayı Avropa da Ludolph sabiti olaraq bilindi. O tarixdən sonra Pi sayının vergüldən sonrakı milyardlarla rəqəm hesablanmışdır.

Pi sayının neçə pilləsini bilirsiniz?

Pinin rəqəmlərini əzbərləmək də çox adamın marağını çəkmişdir. Bu mövzudakı rekord Pinin ilk 67.890 rəqəmini əzbərləmiş olan Lu Chao adındakı bir Çinliyə aiddir. Ginnessin Dünya rekordu olaraq qeydə keçən bu hadisə 24 saat 4 dəqiqə davam etmişdir. 2006-ci ildə Akira Haraguchi adında bir Yapon Pinin 100.000 rəqəmini əzbərlədiyini söyləmişsə də bu və rəsmi olaraq izlənilib bir rekord olaraq qeydə keçməmişdir.

Dünya pi günü haqqında maraqlı bir məlumat

Pi günü dünyada məşhur riyaziyyat sabiti pi sayı xatirəsinə xüsusi qəbul edilmişdir və hər il 14 martda qeyd edilir. Pi gününün 14 Martda qeyd edilmə səbəbi isə Amerikan tarix formatında bu günün 3/14 olaraq keçməsi (Mart 14) və bu tarixin pi sayının ən məşhur istifadəsini xatırlatmasıdır (3.14)

Pi sayının neçə rəqəmi bilinir?

İndiki vaxtda ən uzun pi hesablanma rekordu Fabrice Bellard tərəfindən hesablanmışdır və bu hesablama 2 trilyon 700 milyard rəqəmdən ibarətdir. Pi sayı 1.24 trilyonuncu pilləsinə qədər hesablandı ki bu hesablanan rəqəmi belə kompüterə yazmaq üçün 310 milyon səhifə, 2.4 TB harddisk yeri gərək idi. Yəni 1 milyon mp3 qədər.

Haqqındakı bütün məlumatlar Pinin içində mövcud

Pi ədədi kifayət qədər uzunluqda yazıldığında, hər rəqəm dizisini Pi içində tapa bilərsiniz. Yəni ad gününüzü, telefon nömrələrinizi, ya da təsadüfi yazacağınız hər hansı bir sayı Pinin bir yerlərində vardır. Daha da irəli gedək. Hərflərlə ədədləri bir-birinə çevirən bir kod çıxarıldığında nəzəri olaraq hər hansı adamın və ya təşkilatın adını, bir sözü, cümləni, hətta bir kitabı Pi içində tapa bilərsiniz.

Pi ədədinin ilk 1000 rəqəmi necə görünür?

Aşağıda π sayının ilk 1000 ədəd verilmişdir. Sonsuza uzanan bu səfərdəki çox çox kiçik sayıla biləcək bu 1000 pillə belə π sayının möhtəşəm gözəlliyini gözlər önünə sərir.

3,1415926535897932384626433832795028841971693993,14159265358979323846
26433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348
25342117067982148086513282306647093844609550582231359408128481117450
28410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847564
82337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491
41273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011
33053054882046652138414695194151160943305727036575959195309218611738
19326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491
29833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217
17629317675238467481846766940513200056812714526356082778577134275778
96091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420
19956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372
97804995105973173281609631859502445945534690830264252230825334468503
52619311881710100031378387528865875332083814206171776691473035982534
90428755468731159562863882353787593751957781857780532171226806613001
9278766111959092164201989