Qeyri-müəyyən inteqral: xassələr, tətbiqetmələr, hesablama (nümunələr)

İnteqraldan asılı olaraq, inteqralları həll etmək üçün bir sıra cəbri və ədədi metodlar mövcuddur. Burada qeyd edirik:

“Google” xəritələrində Azərbaycan şəhər və kəndlərinin erməni dilində adları tam silinə bilər – “Azərkosmos”

“Google” xəritələrində Azərbaycan şəhər və kəndlərinin erməni dilində adları tam silinə bilər.

Day.Az Trend-ə istinadən bildirir ki, bunu Azərbaycan Respublikasının Kosmik Agentliyi (Azərkosmos) publik hüquqi şəxsin İdarə heyətinin sədri Saməddin Əsədov deyib.

Onun sözlərinə görə, bununla bağlı olaraq Rəqəmsal İnkişaf və Nəqliyyat Nazirliyi “Google” şirkəti ilə müvafiq xəritələrdə toponimlərin dəyişdirilməsi məqsədilə əməkdaşlıq edir.

“Bu əməkdaşlıq çərçivəsində artıq bir sıra toponimlərin adı Azərbaycan dilinə dəyişdirilib. Kibertəhlükəsizlik mərkəzi də “Google”la daimi təmasdadır. “Google” xəritələrinə baxsaq, artıq adların Azərbaycan dilində əks olunduğunu görə bilərik. Bu, əməkdaşlığımızın nəticəsidir. İstisna olunmur ki, gələcəkdə xəritədə erməni dilində olan digər adlar da silinəcək. Bunun üçün şirkəti inandırmaq lazımdır. Bu, artıq əməkdaşlığın siyasi tərəfidir”, – deyə o bildirib.

Qeyri-müəyyən inteqral: xassələr, tətbiqetmələr, hesablama (nümunələr)

The qeyri-müəyyən inteqral türevinin tərs işidir və bunu ifadə etmək üçün uzanan “s” simvolu istifadə olunur: ∫. Riyazi olaraq F (x) funksiyasının qeyri-müəyyən inteqrasiyası yazılır:

İnteqrand F (x) = f´ (x) dəyişənin funksiyasıdır xbu da öz növbəsində inteqral və ya antiderivativ adlanan başqa bir f (x) funksiyasının törəməsidir.

Öz növbəsində, C olaraq bilinən bir sabitdir inteqrasiya daimi, hər zaman hər qeyri-müəyyən inteqralın nəticəsini müşayiət edir. Nümunə ilə mənşəyini dərhal görəcəyik.

Tutaq ki, bizdən aşağıdakı qeyri-müəyyən inteqralı tapmağımızı xahiş edirik:

Dərhal f´ (x) x ilə müəyyən edilir. Bu o deməkdir ki, f (x) funksiyasını elə gətirməliyik ki, onun törəməsi x olsun, çətin olmayan bir şey olsun:

F (x) çıxarmaqla f´ (x) əldə etdiyimizi bilirik:

İndi funksiya: f (x) = ½ x 2 + 2 də tələbi ödəyir, çünki hasilat xətti və sabitin törəməsi 0-dır, f (x) = ilə nəticələnən digər funksiyalar:

½ x 2 -1, ½ x 2 + 15; ½ x 2 – √2…

Və ümumiyyətlə formanın bütün funksiyaları:

Problemin doğru cavablarıdır.

Bu funksiyalardan hər hansı birinə deyilir antivivativ və ya f´ (x) = x ibtidai və dəqiq olmayan bir inteqrasiya olaraq bilinən bir funksiyanın bütün antidivivlərinin bu dəstinə aiddir.

İlkəllərdən yalnız birini bilmək kifayətdir, çünki göründüyü kimi, aralarındakı yeganə fərq inteqrasiyanın daimi C-sidir.

Əgər problem ilkin şərtləri ehtiva edirsə, onlara uyğun C dəyərini hesablamaq mümkündür (aşağıdakı həll nümunəsinə baxın).

Qeyri-müəyyən bir inteqral necə hesablanır

Əvvəlki misalda ∫x.dx hesablandı, çünki f (x) funksiyası məlum olduqda inteqranla nəticələndi.

Bu səbəbdən, əsas inteqrallar ən populyar funksiyalardan və onların törəmələrindən tez həll edilə bilər.

Bundan əlavə, bir inteqral həll edilərkən imkanları genişləndirən bəzi vacib xüsusiyyətlər var. Ol k həqiqi bir rəqəm, onda doğrudur:

1.- ∫kdx = k ∫dx = kx + C

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

3.- ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

4.- ∫x n dx = [x n + 1 / n + 1] + C (n–1)

5.- ∫x -1 dx = ln x + C

İnteqraldan asılı olaraq, inteqralları həll etmək üçün bir sıra cəbri və ədədi metodlar mövcuddur. Burada qeyd edirik:

-Cəbri və trigonometrik əvəzetmələr.

-Hissələrə görə inteqrasiya

-Rasional tipin inteqrasiyası üçün sadə kəsrlərə ayrılma

Birdən çox metodla həll edilə bilən integral var. Təəssüf ki, müəyyən bir inteqrasiyanı həll etmək üçün əvvəlcədən ən təsirli metodu təyin etmək üçün tək bir meyar yoxdur.

Əslində, bəzi metodlar müəyyən inteqralların həllinə digərlərindən daha tez çatmağa imkan verir. Ancaq həqiqət budur ki, inteqral həll bacarıqlarını əldə etmək üçün hər metodla tətbiq etməlisiniz.

– Nümunə həll edildi

Subradikal kəmiyyət üçün sadə dəyişən dəyişiklik edək:

İki ifadənin hər hansı birində hər iki tərəfi çıxarmaq belə verir:

İndi I kimi göstərəcəyimiz inteqralın yerini tuturuq:

I = ∫x √ (x-3) dx = ∫ (u + 3) (√u) du = ∫ (u + 3) u 1/2 du

Dağıtım mülkiyyətini və bərabər əsaslı güclərin vurulmasını tətbiq edirik və əldə edirik:

I = ∫ (u 3/2 + 3 u 1/2 ) du

Əvvəlki hissədən 3 əmlak:

I = ∫ u 3/2 du + ∫ 3u 1/2 du

İndi 4 kimi tətbiq olunan əmlak tətbiq olunur güclər qaydası:

Birinci inteqral

. U 3/2 du = [u 3/2 + 1 / (3/2 + 1)] + C₁ =

İkinci inteqral

U 3u 1/2 du = 3 ∫u 1/2 du = 3 [u 3/2 / (3/2)] + C₂ =

Sonra nəticələr I-də birləşdirilir:

I = (2/5) u 5/2 + 2u 3/2 + C

İki sabit problemsiz birinə birləşdirilə bilər. Nəhayət, əvvəllər edilmiş dəyişən dəyişikliyini qaytarmağı və nəticəni orijinal dəyişən x ilə ifadə etməyi unutmayın:

I = (2/5) (x-3) 5/2 + 2 (x-3) 3/2 + C

Nəticəni faktorlaşdırmaq mümkündür:

I = 2 (x-3) 3/2 [(1/5) (x-3) +1] + C = (2/5) (x-3) 3/2 (x + 2) + C

Proqramlar

Qeyri-müəyyən inteqrasiya təbii və sosial elmlərdəki çoxsaylı modellərə aiddir, məsələn:

Hərəkat

Hərəkət problemlərinin həllində, sürətini bilməklə və sürətini bilməklə bir cibin sürətini hesablamaq.

İqtisadiyyat

Məsələn, məhsulların istehsal xərclərini hesablamaq və bir tələb funksiyasını modelləşdirməklə.

Tətbiqi məşq

Bir cisimin Yerin cazibə qüvvəsindən qaçması üçün tələb etdiyi minimum sürət belədir:

-v Yerdən qaçmaq istəyən cismin sürətidir

-y planetin mərkəzindən ölçülən məsafəsidir

-M quru kütləsidir

-G sabit cazibə qüvvəsidir

Arasındakı əlaqəni tapmağı xahiş edir v Y Y, obyektə başlanğıc sürət v verilsə, qeyri-müəyyən inteqralların həlli_{və ya} və Yerin radiusu məlumdur və R adlanır.

Həll

İnteqrasiya qaydalarını istifadə edərək həll etmək üçün bizə iki qeyri-müəyyən inteqral təqdim olunur:

Mən₂ = -GM ∫ (1 / y 2 ) dy = -GM ∫ y -2 dy = -GM [y -2+1 / (- 2 + 1)] + C₂ = GM. Y -1 + C₂

Məni eyniləşdiririk₁ və mən₂:

İki sabit birinə birləşdirilə bilər:

İnteqrallar həll edildikdən sonra, aşağıdakı şərtlər olan ilkin şərtləri tətbiq edirik: cisim Yerin səthində olanda onun mərkəzindən R məsafədədir. Bəyanatda y-nin Yerin mərkəzindən ölçülən məsafə olduğunu izah edirlər.

Və yalnız səthdə olmaq ona planetin cazibə qüvvəsindən xilas olacağı ilkin sürət vo verilmişdir. Bu səbəbdən v (R) = v olduğunu təyin edə bilərik_{və ya}. Bu vəziyyətdə, bu şərti yeni əldə etdiyimiz nəticə ilə əvəzləməyimizə heç bir şey mane olmur:

Və v_{və ya} bilinir və G, M və R də bilinir, C inteqrasiya sabitinin dəyəri üçün həll edə bilərik:

Hansı inteqralların nəticəsi ilə əvəz edə bilərik:

Və nəhayət v 2 , faktorinq və uyğun qruplaşdırma:

Bu sürətlə əlaqəli ifadədir v ilkin sürətlə planetin səthindən (radius R) atılan bir peykin vo, məsafədə olduqda Y planetin mərkəzindən.

İstinadlar

1. Haeussler, E. 1992. İdarəetmə və İqtisadiyyat üçün Riyaziyyat. Grupo Editorial Iberoamérica.
2. Hiperfizika. Sürətdən qaçın. Qurtarıldı: hthyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
3. Larson, R. 2010. Dəyişənin hesablanması. 9-cu. Nəşr. McGraw Hill.
4. Purcell, E. 2007. Analitik Həndəsə ilə Hesablama. 9-cu. Nəşr. Pearson Təhsil.
5. Wolfram MathWorld. İnteqral nümunələr. Mathworld.wolfram.com saytından bərpa edildi.

Xəritələr bizi necə aldada bilər?

Xaricələr gündəlik həyatlarımızda getdikcə daha çox iştirak edir və yeni texnologiya ilə xəritələr daha çox görünmək və istehsal etmək üçün əlçatandır. Xəritə elementlərinin müxtəlifliyini (miqyas, proyeksiya, simvollaşdırma) nəzərə alaraq, mapmakers xəritə yaratmaqda olan sayısız seçimləri tanıya bilərik. Bir xəritə müxtəlif coğrafi sahələri təmsil edə bilər; bu xəritəçəkənlərin 2-D səthində gerçək 3-D dünyasını nəql edə biləcəyi müxtəlif yolları əks etdirir.

Bir xəritəə baxdığımızda, tez-tez qəbul etdiyimiz şeyi təbii olaraq təhrif edirlər. Oxunan və anlaşılır olmaq üçün xəritələr həqiqəti təhrif etməlidir. Mark Monmonier (1991) bu mesajı onun seminal kitabında dəqiq ifadə edir:

Təəssüf ki, kritik məlumatları gizli saxlaya bilməməsi üçün xəritənin reallığın seçici, natamam bir görünüşünü təqdim etməsi lazımdır. Kartoqrafik paradoksdan heç bir qaçış yoxdur: faydalı və doğru bir şəkil təqdim etmək üçün dəqiq bir xəritədə ağ yalanları söyləmək lazımdır (S.1).

Monmonier bütün xəritələrin yalan olduğunu iddia etdikdə, bir xəritədə 2-D xaricində bir 3-D dünyasının reallıqlarını sadələşdirmək, saxtalaşdırmaq və ya gizlətmək üçün bir xəritəə istinad edir. Ancaq xəritə xəritələrinin yalanları bu bağışlana bilən və lazımlı “ağ yalanlardan” daha çox ciddi yalanlara qədər dəyişə bilər, bu da tez-tez aşkarlanmayan və xəritəçəkənlərin gündəmi yalan hesab edir. Aşağıdakı xəritələrə aid olan bu “yalanların” bir neçə nümunəsi və kritik bir gözlə xəritələrə necə baxa bilərik.

Lazımlı təhriflər

Xəritəçəkmə ən əsas məsələlərdən biri: bir planetin 2-D səthinə necə düzəldiyini necə bilir? Bu tapşırığı yerinə yetirən xəritə proqnozları , qaçılmaz olaraq bir sıra məkan xüsusiyyətlərini təhrif edir və xəritəçünün qorumaq istədiyi əmlaka əsasən seçilməlidir ki, bu da xəritəin son funksiyasını əks etdirir.

Məsələn, Mercator Projection naviqatorlar üçün ən faydalıdır, çünki xəritədə iki nöqtə arasındakı dəqiq məsafəni əks etdirir, lakin bölgəni qoruyur, bu, təhrif olunmuş ölkə ölçüsünə gətirib çıxarır (bax: Peters – Mercator məqaləsi).

Coğrafi xüsusiyyətlərin (sahələr, xətlər və nöqtələr) təhrif olunduğu bir çox yol var. Bu təhriflər xəritəin funksiyasını və ölçüsünü əks etdirir. Kiçik sahələri əhatə edən xəritələr daha realist detalları əhatə edə bilər, lakin daha böyük coğrafi sahələri əhatə edən xəritələr zərurətlə daha az detallı yerə malikdir. Kiçik xəritələr hələ bir xəritəçəkənin arzularına tabedir; bir xəritəçəkən, daha çox dramatik bir görünüş qazandırmaq üçün, məsələn, bir çox iri və bükülmə ilə bir çay və ya dere vurur. Əksinə, bir xəritə böyük bir sahəsi əhatə edirsə, mapmakers aydınlıq və okunabilirlik üçün bir yol boyunca əyriları düzəldə bilər. Onlar yolları və ya digər detalları xaric edə bilərlərsə və ya xəritədən çıxarsa və ya onun məqsədi ilə əlaqəli deyilsə. Bəzi şəhərlər bir çox xəritələrdə deyil, əksər hallarda onların ölçüsü sayəsində deyil, bəzən digər xüsusiyyətlərə əsaslanır. Baltimore, Maryland, ABŞ, məsələn, Amerika Birləşmiş Ştatlarının xəritələrindən ölçüsündən deyil, kosmik məhdudiyyətlərdən və çöküntülərdən ötəri çıxarılır.

Transit Maps: Metrolar (və digər tranzit xəttləri) tez-tez A B nöqtəsindən B nöqtəsinə B keçəndən birinə mümkün qədər aydınlıq gətirmək üçün vəzifəni yerinə yetirmək üçün məsafə və ya forma kimi coğrafi xüsusiyyətləri təhrif edən xəritələri istifadə edirlər. Metro xətləri, məsələn, bir xəritədə göründüyü kimi tez-tez düz və ya birbaşa deyil, lakin bu dizayn xəritəin okunabilirliyinə kömək edir. Əlavə olaraq, bir çox digər coğrafi xüsusiyyətlər (təbii siteler, yer markerləri və s.) Tranzit xəttlərin əsas nöqtəsidir. Bu xəritə, məsələn, spatially yanıltıcı ola bilər, lakin bir görüntüləyici üçün faydalı olmaq üçün məlumatları manipulyasiya edir və saxlayır; Bu şəkildə funksiya forma diktə edir.

Digər Map Manipulations

Yuxarıda göstərilən nümunələr göstərir ki, bütün xəritələr zərurətə görə bəzi materialları dəyişdirir, sadələşdirir və ya buraxır. Amma necə və hansı redaksiya qərarı verilir?

Bəzi detalları vurğulamaq və başqalarını məqsədəuyğun şəkildə şişirtmək arasında gözəl bir xətt var. Bəzən xəritəçünün qərarları müəyyən bir gündəmi ortaya çıxaran yanlış məlumatlar olan bir xəritəə gətirə bilər. Bu, reklam məqsədləri üçün istifadə edilən xəritədə olduğu kimi aydındır. Bir xəritə elementləri strateji istifadə edilə bilər və bir məhsul və ya xidmət müsbət işıqda təsvir etmək üçün bəzi detalları buraxa bilər.

Xaricələr də tez-tez siyasi alətlər kimi istifadə edilmişdir. Robert Edsall (2007) dediyi kimi, “bəzi xəritələr xəritələrin ənənəvi məqsədlərinə xidmət etmir, əksinə, korporativ loqotiplər kimi, simvol kimi görünür, mənalı ünsiyyət və emosional reaksiyalara səbəb olur” (s. 335). Bu mənada Maps, mədəni əhəmiyyətə malikdir və tez-tez milli birliyin və gücün hisslərini yaşadır. Bunu həyata keçirmək yollarından biri güclü qrafik təsvirləri istifadə etməkdir: cəsarətli xəttlər və mətnlər və evocative simvollar. Bir mənalı xəritəyə imza atmanın başqa bir əsas üsulu, rəngin strateji istifadəsidir. Rəng xəritə dizaynının mühüm bir hissəsidir, amma hətta gözəgörünməz bir şəkildə tamaşaçıda güclü hisslər doğurmaq üçün istifadə edilə bilər. Məsələn, xloroplet xəritələrində strateji rəngli gradient, sadəcə olaraq məlumatları əks etdirən bir fenomenin dəyişkən intensivliyini nəzərdə tutur.

Yer Reklamı: Şəhərlər, əyalətlər və ölkələr tez-tez xəritələri istifadə edərək, ziyarətçiləri ən yaxşı şəkildə işıqlandıran bir yerə çəkmək üçün istifadə edirlər. Bir sahil dövləti, məsələn, çimərlik sahələrini qeyd etmək üçün parlaq rənglər və cəlbedici simvollardan istifadə edə bilər.

Sahilin cazibədar xüsusiyyətlərini təcəssüm etdirərək, tamaşaçıları aldatmağa çalışır. Bununla belə, məskunlaşmalar və ya çimərlik əlçatanlığı barədə müvafiq faktorlar göstərən yollar və ya şəhər ölçüsü kimi digər məlumatlar istisna edilə bilər və ziyarətçiləri yanlış yola sala bilər.

Smart Map Xəritəçəkmə

Ağıllı oxucular duz taxıl ilə yazılı məlumatlar almaq məcburiyyətindədirlər; biz qəzetlərin məqalələrini yoxlamasını gözləyirik və tez-tez şifahi yalanlardan qorxuruq. Niyə bu kritik gözü xəritələrə tətbiq etmərik? Bir xəritədə xüsusi məlumatlar xaricində və ya şişirdilsə və ya onun rəng nümunəsi xüsusilə emosional olsa, biz özümüzdən soruşmalıyıq: bu xəritə nə məqsədlə xidmət edir? Monmonier kartofobi və ya xəritələrin qeyri-sağlam bir şübhəsini xəbərdar edir, lakin ağıllı xəritəsi görüntüləyiciləri həvəsləndirir; ağ yalanları bilən və böyüklərdən qorxanlar.

References

Edsall, RM (2007). Amerika Siyasi Söyünteki Iconic Maps. Cartographica, 42 (4), 335-347. Monmonier, Mark. (1991). Maps ilə necə yalan danışırsınız? Chicago: Chicago Universiteti Press.