Funksiyanın törəməsi

əvi reaksiyanın sürəti haqqındakı məsələlər

Mövzu 10. Funksiyanin töRƏMƏSİ. TÖRƏMƏNİn həNDƏSİ VƏ mexaniKİ MƏnasi

funksiyasının törəməsi yeni bir funksiyadır.
Laqranj törəməni ilə Leybins isə kimi işarə etmişdir.
Əgər nöqtəsində funksiyasının törəməsi varsa, bu halda deyirlər ki, funksiyası bu nöqtədə diferensiallanandır. Verilmiş intervalın hər bir nöqtəsində diferensiallanan funksiyaya həmin intervalda diferensiallanan funksiya deyilir.
Funksiyanın törəməsinin tapılmasına diferensiallama əməli deyilir. Törəməni tərifə görə tapmaq üçün aşağıdakı addımlar yerinə yetirilir.
1. tapılır.
2. fərqi sadələşdirilir.
3. nisbəti yazılır və sadələşdirilir.
4. olmaqla

limiti (varsa) tapılır.
Verilmiş nöqtəsində ( ( )) törəməsi olan funksiyaya həmin nöqtədə diferensiallanan funksiya deyilir. ( ) intervalının hər bir nöqtəsində törəməsi olan funksiya həmin intervalda diferensiallanan funksiya adlanır. Funksiyanın törəməsini tapmaq əməlinə həmin funksiyanın diferensiallanması deyilir
2.Törəmənin həndəsi mənası. Toxunan. Törəmə həndəsi olaraq , əyriyə çəkilən toxunanın bucaq əmsalıdır.
Çevrəyə toxunanı , həmin çevrə ilə yalnız bir nöqtəsi olan düz xətt kimi tərif edirlər. Bu tərif istənilən əyri üçün yaramır, çünki verilmiş əyrinin hər hansı A nöqtəsində ona toxunan düz xəttin , əyri ilə bir neçə ortaq nöqtəsi də ola bilər.

İxtiyari L əyrisi üzərində qeyd olunmuş A nöqtəsi və ondan fərqli C nöqrəsi götürüb , onlardan AC kəsənini keçirək. C nöqtəsi bu əyri üzərində qalmaqla , yerini dəyişdikcə , kəsən A nöqtəsi ətrafında dönəcək.

Əyri üzərində qalmaqla C nöqtəsi A nöqtəsinə yaxınlaşdıqda AC kəsəninin limit vəziyyəti olan AT düz xəttinə A nöqtəsində bu əyriyə çəkilən toxunan deyilir. (o zaman limit vəziyyəti deyilir ki, hərəkət zamanı həmin düz xətlər arasındakı bucaq sıfıra yaxınlaşsın)

Verilən tərifi funksiyasının qrafiki üzərində göstərək.
Tutaq ki, funksiyasının nöqtəsində törəməsi var. Göstərək ki, funksiyasının qrafikinə nöqtəsində toxunan var və həmin toxunanın bucaq əmsalı -a bərabərdir. Əyri üzərində başqa bir nöqtəsi götürək.

MN kəsənini çəkək və onun O oxunun müsbət istiqaməti ilə əmələ gətirdiyi bucağı ilə işarə edək.

Məlumdur ki, düz xəttin absis oxunun müsbət istiqaməti ilə əmələ gətirdiyi bucağın tangensinə həmin düz xəttin bucaq əmsalı deyilir.

Aydındır ki, N nöqtəsi əyri boyunca M nöqtəsinə yaxınlaşdıqca olar. Bunun tərsi də doğrudur.Əgər şərtində bicağı müəyyən bir limitinə yaxınlaşarsa , onda M nöqtəsindən keçən və O oxunun müsbət istiqaməti ilə bucağı əmələ gətirən düz xətt axtarılan toxunan olar. Toxunanın bucaq əmsalı üçün

alarıq.
Deməli, törəmə həndəsi olaraq əyriyə çəkilən toxunanın bucaq əmsalıdır.
Funksiyanın törəməsinin nöqtəsindəki qiyməti absisi olan nöqtədə qrafikə çəkilmiş toxunanın bucaq əmsalına bərabərdir:
( nöqtəsindən keçən və bucaq əmsalı k olan düz xəttin tənliyi şəklindədir. funksiyasının qrafikinə absisi olan nöqtədə çəkilmiş toxunanın tənliyi
olar. Bu tənliyə funksiyasının qrafikinə çəkilən toxunanın tənliyi deyilir.
funksiyasının qrafikinə absisi olan nöqtədə çəkilən toxunanın tənliyini yazaq.
, , olduğundan toxunanın tənliyi və ya olar.
3.Törəmənin mexaniki mənası. Hər hansı cismin düzxətli dəyişən sürətli hərəkətinə baxaq. Bu cismin ölçülərini və şəklini nəzərə almayaraq onu nöqtə hesab etmək olar.
Məlumdur ki, hərəkət edən nöqtənin getdiyi yol zamandan asılıdır : . Bu funksiyasına deyilir. Nöqtənin t vaxtda getdiyi yol vaxtda getdiyi yol isə olarsa onda nöqtə vaxtda məsafəsini gedmiş olar.

nisbəti , nöqtənin t anından anına qədər müddətdəki hərəkətinin orta sürətinə bərabər olar. (1) orta sürətinin -da limiti cismin t anındakı sürəti adlanır və

ilə işarə olunur. Törəmənin tərifinə görə (2) bərabərliyinin sağ tərəfi s(t) funksiyasının t dəyiıəninə nəzərən törəməsidir: .
Buradan törəmənin mexaniki mənası alınır: hərəkət edən nöqtənin sürəti gedilən məsafənin zamana görə törəməsinə bərabərdir.

Ə. A. Quliyev

ə loqarifmik funksiyaların törəmələri ilə tanış olurlar.

II. Funksiyanın törəməsi anlayışını daxil edərkən hər hansı növ

ərin əhəmiyyətli olduğunu və bununla da onların öyrənilməsinin

əruriliyini göstərən məsələlərə baxmaq faydalıdır. Belə məsələlərə

ə olaraq cismin düzxətli hərəkətinin ani sürəti, cərəyan şiddətinin

əti, cismi nöqtədə istilik tututmu və nöqtədə xətti sıxlığı, funk-

siyanın qrafikinə toxunan çəkmək, kimyəvi reaksiyanın sürəti və s. haq-

qındakı məsələləri göstərmək olar. Cismin düzxətli hərəkətinin ani

ətini tapmaq, funksiyanın qrafikinə toxunan çəkmək və nöqtədə xətti

ıxlıq haqqındakı məsələlər X sinfin “Cəbr analizin başlanğıcı” tədris

əsaitində izah edilmişdir. Burada cərəyan şiddətinin ani qiyməti,

cismin istilik tutumu, kimy

əvi reaksiyanın sürəti haqqındakı məsələlər

ərində bir qədər müfəssəl dayanırıq. Ani sürət və toxunan haqqındakı

əsələlərdən isə bilavasitə törəmə anlayışını daxil etmək məqsədi ilə

ərəyan şiddətinin ani qiyməti haqqında məsələ

ər hansı mənbəyli cərəyan şiddətinin elektrik dövrəsini təsəvvür

ək. t müddətində naqilin en kəsiyindən keçən elektrikin miqdarını

ə işarə edək. Elektrik miqdarı zamanın funksiyasıdır.

Çünki t zamanın hər bir qiymətinə elektrik miqdarının müəyyən

zamanın hər-hansı aralığı

ərilən kəsikdən zamanın t anından

anına qədər aralıqda ke-

ən elektrik miqdarıdır. Onda

ərəyan şiddəti deyilir və

Başqa sözlə naqildən vahid zamanda keçən elektrik miqdarına orta

ərəyan şiddəti deyilir. Sabit cərəyan halında

əyə dəyişən cərəyan buraxılmışdırsa onda zamanın müxtəlif

anlarında (və ya zamanın müxtəlif aralıqlarında)

dır. Odur ki, dəyişən cərəyan dövrəsi üçün ani cərəyan şiddəti və ya

zamanın verilmiş anında cərəyan şiddəti anlayışı daxil edilir.

artımının bu artımın yayındığı

şərtində limitinə t momentində (anında) ani

ərəyan şiddəti deyilir. O belə işarə edilir.

Cismin istilik tutumu haqqında məsələ

əsi 1q olan cismin temperaturu

artırsa, onda bu onun nəticəsində olur ki, cismə müəyyən Q miqdarında

istilik verilir, dem

əli Q cismin qızdırdığı

ədər qızdırılır) funksiyasıdır.

ərz edək ki, cismin temperaturu

Bu qızdırılmaya sərf edilən

əyişməsində cismi “orta hesabla”

qızdırmaq üçün lazım olan istilik

ətə verilmiş cismin

orta istilik tutumu deyilir v

temperaturunun ixtiyari qiym

əti üçün istilik

tutumu haqqında təsəvvür yaratmadığından, verilmiş

əsində) istilik tutumu anlayışı daxil edilir. İstilik miq-

temperatur artımına nisbətinin

əsində) istilik tutumu deyi-

əvi reaksiyanın sürəti haqqında məsələ

ərz edək ki, hər hansı cisim kimyəvi reaksiya daxil edilir.

Zamanın t anında, artıq reaksiyaya daxil edilmiş bu cismin miqdarını

ə işarə edək. Beləliklə y zamanın başqa sözlə t dəyişəninin funk-

zamanın hər hansı aralığıdırsa, onda zamanın t anından

ə qədər aralıq vaxtında daha bir qədər

cisim daxil olar. Bel

reaksiyanın orta sürətini ifadə edir. Verilmiş t anında kimyəvi

reaksiyanın sürətini xarakterizə etmək üçün

ətin limitinə baxmaq lazımdır, başqa sözlə

əliklə nəticədə şagirdlərin diqqətini o cəhətə yönəltmək lazım-

dır ki, baxdığımız məsələlərdə zaman ərzində elektrik miqdarının dəyiş-

ə sürətini xarakterizə edən kəmiyyət olaraq ani cərəyan şiddəti an-

layışı temperaturun dəyişməsi zamanı istilik miqdarının dəyişmə sürəti

kimi verilmiş temperaturada cismin istilik tutumu anlayışı zaman ər-

ə reaksiyada iştirak edən cismin miqdarının dəyişmə sürəti kimi za-

man anında kimyəvi reaksiyanın sürəti haqqında söhbət gedir. Qeyd

edilir ki, yuxarıda baxılan anlayışların hamısının daxil edilməsində xü-

susi növ limitd

ən belə ki, arqument artımı sıfıra yaxınlaşmaqla funksiya

artımını arqument artımına nisbətinin limitindən istifadə edildi.

əllində hər hansı funksiyanın dəyişmə sürətinin tapılması lazım

əsələlər göstərmək olar. Məsələn: Müyyən anda məhlulun

sentrasiyasının, mayenin məsarifinin, fırlanan cismin bucaq sürəti-

ədə xətti sıxlığın tapılması və s.

ən olan məsələlərin nəzərdən keçirilməsi ilə şagirdlər belə

əticəyə gəlməlidirlər ki, funksiyanın dəyişmə sürəti anlayışı praktik

əhətdən əhəmiyyətli olan çoxlu sayda məsələlərin həllində lazımdır.

əmə anlayışının daxil edilməsinin hamıya məlum və geniş

yayılmış yanaşılması (ali məktəb kursundan istifadə edilən) aşağıda-

(1) Verilmiş t momentində hərəkət edən cismin (məsələn, sərbəst

düşən) sürətinin tapılması haqqında fiziki məsələ;

(2) Əyriyə (verilmiş funksiyanın, məsələm

ət) onun üzərində verilmiş nöqtədə toxunanın qurulması haqqında

əyyən edilir ki, məzmunlarına görə müxtəlif olan bu iki mə-

ələnin həlli eyni bir əməliyyata gəlir. Bu əməliyyatı ümumi şəkildə

aşağıdakı şəkildə izah etmək olar.

ənliyi ilə ifadə edilən hər hansı funksiya verilir ((1) mə-

ələsində bu tənlik zamanın funksiyası kimi yolu, (2) məsələsində f

funksiyasının qrafiki kimi əyrini ifadə edir).

ər iki məsələnin həlli zamanı (eləcə də əvvəldə baxdığımız mə-

ələlərin) biz aşağıdakı əməliyyatı yerinə yetiririk.

. Arqumentin verilmiş x qiymətindən ((1) məsələsində – zamanın

baxılan aralığının başlanğıcı, (2) məsələsində əyrinin verilmiş M

əsinin absisi) yenə funksiyanın təyin oblastına daxil olan yeni

Törəmənin tərifi və tapılma qaydası

Tərif 1. Əgər sonlu limiti varsa, onda həmin limitə y=f(x) funksiyasının x nöqtəsində törəməsi deyilir.

► Törəmənin həndəsi mənasının tərifi. İxtiyari L əyrisi və onun üzərində M₀ nöqtəsində götürək. L əyrisinin ixtiyari M və M₀ nöqtəsindən bir kəsən çəkək. M nöqtəsi L əyrisi boyunca öz yerini dəyişdikdə M₀M kəsəni də ümümiyyətlə M₀ nöqtəsi ətrafında öz vəziyyətini dəyişər və nəticədə M₀ nöqtəsinə yaxınlaşdıqda M₀M kəsəni müəyyən M₀T limit vəziyyətinə yaxınlaşarsa, kəsənin həmin limit vəziyyətinə M₀ nöqtəsində L əyrisinə toxunan deyilir.

Deməli törəmənin həndəsi mənası belədir: y=f(x) funksiyasının x₀ nöqtəsində

f ꞌ(x₀) funksiyanın qrafiki olan əyriyə M₀ (x₀ , f (x₀)) nöqtəsində çəkilmiş bucaq əmsalına bərabərdir:

►İndi isə həmin L əyrisinə M₀ nöqtəsində çəkilmiş M₀T toxunanın tənliyini yazaq. Məlumdur ki verilmiş nöqtədən keçən və bucaq əmsalı k olan M₀T düzxəttinin tənliyi

şəklində yazılır. y₀= olduğundan toxunanın tənliyini

►L əyrisinə M₀ nöqtəsində çəkilmiş toxunana həmin nöqtədə perpendikulyar olan düzxəttə əyrinin normalı deyilir. Həmin normalın tənliyi

► Törəmənin mexaniki mənasının tərifi. Hər hansı cismin dəyişənsürətli düzxətli hərəkətinə baxsaq, həmin cismin ülçülərini və şəklini nəzərə almayaraq, onun fiziki baximindan maddi nöqtə hesab etmək olar. məlumdur ki, hərəkət edən nöqtənin getdiyi yolu zamandan asılıdır: s = s(t) nöqtənin t zaman əslində getdiyi yol s(t), t+∆t zamanında isə getdiyi yol s(t+∆t) = s(t) + ∆s olarsa, onda baxılan nöqtə ∆t zamanı ərzində ∆s məsafəni getmiş olar. Belə olan halda

v_or = (5)

nisbəti nöqtənin hərəkətinin orta sürətinə bərabər olar. Həmin nisbətdə şərtində limitə keçsək nəticədə alırıq ki,

Buradan törəmənin mexaniki mənası alınlır: hərəkət edən nöqtənin sürəti gedilən məsafənin zamana görə törəməsinə bərabərdir.

► Törəmənin iqtisadi mənası. Təbiətdə baş verən istənilən prosesləri öyrənərlən bir-biri ilə bağlı olan kəmiyyətlər arasındakı deyişmə sürətini törəmənin köməyi ilə qiymətləndirmək olar. buna əsasən, törəmə iqtisadiyyatda geniş tətbiq olunur.