Ardıcıllıq və onun limiti

Matrislər cəbri. Matrislərin toplanması və ədədə vurulması. Matrislərin vurulması. Matrisin tərsi

Mühazirə otağı/Cədvəl I gün, saat: 13 40 -15 20, otaq- 403n IV gün, saat: 15 20 -16 50, otaq- 408N

• Praktikada rast gəlinən kifayət qədər ümumi olan funksiyaların sonsuz kiçilənlər metodu, başqa sözlə limitlər nəzəriyyəsi metodu ilə öyrənilməsi və eyni zamanda riyaziyyatın öyrənilməsində müəyyən mənada fundamentin yaradılması.

• Tələbələrin sonrakı inkişafında müəyyən bazanın yaradılması.

• Tələbələrə akademik yardım göstərmək, onların öz potensialını realizə etmə imkanını daha da təkmilləşdirmək.

Bütün kurs boyu tələbələr inkişafda olmalı və aşağıdakı bacarıq və vərdişlərini qoruyub saxlamalıdırlar:

• Xətti tənliklər sistemini həll etməyi bacarmalı

• Ardıcıllığın və funksiyanın limitini tapa bilməli

• Funksiyaları analiz etməyi, funksiyaların limitini tapmağı, onların

kəsilməzliyini təyin etməyi bacarmalı

•Müxtəlif funksiyaların törəməsinin tapılması

•Törəmənin köməyilə funksiyanın maksimum və minimumunun təyini

•Mütləq ekstremumun tapılması

Tələbələrdən bütün otaqlara öz təhsilinin bir hissəsi kimi diqqət göstərməsi və üzürlü səbəbdən dərsdə iştirak edə bilmədikdə (xəstəlik, ailə üzvlərindən birini itirdikdə) onlardan dekanlığı məlumatlandırmaq tələb olunur.

Ümumiyyətlə, tələbənin 20% dərsdə iştirak etməməsi onun imtahandan kənarlaşdırılmasına gətirib çıxarır.

Əgər tələbə dərsə fənn müəllimindən sonra daxil olarsa, onda onun otağa daxil olması və tələbələri narahat etməsi qadağan olunur. Bununla belə həmin tələbə ikinci qoşa saatda iştirak edə bilər.

Dərsə hazırlaşma

Kursun stukturu onu fərdi öyrənməyə imkan verir və sinifdən kənar dərsə hazırlıq üçün olduqca mühümdür. Mühazirə materialı mətndə müzakirə olunan əsas məsələlər üzərində qurulacaq. Dərsdən əvvəl seçilmiş fəsillərin oxunuşu və onlarla tanışlıq mühazirənin başa düşülməsində sizə böyük köməyi dəyəcəkdir. Mühazirədən sonra siz apardığınız qeydləri öyrənməli və hər fəsilin axırında verilən uyğun məsələlər və yoxlama sualları üzərində çalışmalısınız.

Semestr ərzində çoxlu sayda yoxlamalar olacaqdır. Bu yoxlamalar dərs periodu ərzində keçiriləcəkdir.

İmtahanda iştirak qaydası

Əgər siz yekun imtahanda üzürlü səbəbdən iştirak edə bilməmisinizsə, onda siz imtahanı növbəti müddətdə verməlisiniz. Əgər imtahanda iştirak etməmək üçün əlinizdə tutarlı əsas olmasa, onda imtahanın nəticəsi sıfır kimi qiymətləndiriləcəkdir.

İmtahan (keçmə / kəsilmə )

Tələbənin imtahanda uğur qazanması üçün onun göstəricisi ən aşağısı 60 % olmalıdır. Onun imtahanda müvəffəqiyyət qazanmadığı halda növbəti semestr və ya ildə onun kursu təkrar keçməsinə ehtiyac qalır.

Aldadıcı / xoşagəlməz hərəkətlər

Yoxlama tapşırığı, Aralıq semestr imtahanı və Yekun imtahan ərzində aldadıcı və ya digər xoşagəlməz hərəkətlər tələbənin imtahandan kənarlaşdırılmasına gətirib çıxarır. Bu halda heç bir şeyə baxmayaraq avtomatik olaraq tələbə sıfır (0) alır.

Professionalizmə doğru

Dərs saatı ərzində tələbə akademik yaradıcı və professional mühitə aparan yolla hərəkət etməlidir. Yolverilməz diskussiyalar və qeyri etik hərəkətlər birbaşa qadağan olunur.

Kursun uğurlu alınması

Kursun uğurla başa çatmasından ötrü, tələbələr dərs saatı ərzində aktiv iştirak etməli və diskussiyalara cəlb olunmalıdır.

Öyrənmə və Öyrətmə üsulları

Kursun aktiv öyrənilməsi prosesinə üstünlük verilir. Mühazirələr, diskussiyalar, çalışmalar, tipik nümunələr.

Xətti tənliklər sistemi. Qaus metodu

Matrislər cəbri. Matrislərin toplanması və ədədə vurulması. Matrislərin vurulması. Matrisin tərsi

Determinant. Minor və onun cəbri tamamlayıcısı. Kramer qaydası.

səh10-21 misal 8-15

Problems[3] 1.1.4 -1.1.13

MÖVZU 1. EHTİMAL NƏZƏRİYYƏSİNİN PREDMETİ.ELEMENTAR HADİSƏLƏR FƏZASI.TƏSADÜFÜ HADİSƏLƏR VƏ ONLAR ÜZƏRİNDƏ ƏMƏlLƏR

4.1.Hadisələr arasında daxilolma və eynigüclülük münasibətləri.

4.4.Hadisələrin fərqi və tamamlama əməli.

5.Hadisələrin tam sistemi.

6.Hadisələr ardıcllığının limiti.

7.Hadisələr cəbri və cəbri.

Ə D Ə B İ Y Y T S İ Y A H I S I .

1.Ə. Şahbazov. Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika. Bakı, ”Maarif nəşriyyatı”, 1973.

2. Ə.Ə.Hüseynov, S.Y.Qasımov. Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika. Bakı, Çaşıoğlu, 2006.

MÖVZU 1. EHTİMAL NƏZƏRİYYƏSİNİN PREDMETİ.ELEMENTAR HADİSƏLƏR FƏZASI.TƏSADÜFÜ HADİSƏLƏR VƏ ONLAR ÜZƏRİNDƏ ƏMƏlLƏR

1.Ehtimal nəzəriyyəsinin predmeti.

Bu gün ehtimal nəzəriyyəsi bütün təbiət elmlərinin təməl daşı, statistika isə insan fəaliyyətinin bütün sahələrinin ayrılmaz hissəsidir”.Məşhur Amerika alimi Kasın bu kəlamı ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistikanın müasir dövrdə oynadığı rolu çox gözəl ifadə edir.Buna görə də bu elmlərin əsasları ilə tanış olmağı riyazi mədəniyyətin zəruri komponenti hesab etmək olar.

Ehtimal nəzəriyyəsi – nəzəri və tətbiqi əhəmiyyət kəsb edən riyazi elmdir.İndi elm və texnikanın elə bir sahəsi yoxdur ki, orada ehtimal-statistika üsullarından bu və ya başqa dərəcədə istifadə edilməsin.Bu cəhət həm ehtimal nəzəriyyəsinin, həm də onun tətbiq edildiyi müxtəlif elm sahələrinin (məsələn, riyaziyyat, fizika, kimya, biologiya, iqtisadiyyat, ekonometrika, tibbi elm, hərbi iş, texnika və s.) inkişafına geniş imkan vermişdir.

Son bir neçə onilliklər ərzində riyaziyyatda yeni elmi istiqamətlər meydana gəlmişdir.Bunlardan etibarlılıq, kütləvi xidmət, stoxostik proqramlaşdırma, atəş,dəniz dalğaları, meteorologiya, müşahidənin xətaları, informasiya, radiotexnika, rabitə və s. nəzəriyyələri qeyd etmək olar. Ehtimal nəzəriyyəsinin tətbiq sahələri daim genişlənir və bu proses bu gün də davam edir.Konkret həyati məsələləri həll etməyə imkan verən bu elmi istiqamətlər ehtimal nəzəriyyəsinin inkişafına əsaslanır.İndi ehtimal nəzəriyyəsinə nəinki riyaziyyatçı, habelə mühəndis, iqtisadçı, geoloq, həkim, fizik, kimyaçı, bioloq və s. kimi müxtəlif peşə sahibləri müraciət edir.

Təbiət və cəmiyyət qanunları səbəb əlaqələrinin təzahürü formalarına görə deteminik və statistik qanunlara bölünür

Məlumdur ki, riyaziyyat , başqa elm sahələrində olduğu kimi, gerçək aləmdə baş verən hadisə və proseslərin qanunlarını öyrənir.Buna klassik nümunə kimi Nyuton mexanikasını göstərmək olar.Göy cisimlərinin çoxəsrlik müşahidəsi nəticəsində onların hərəkət qanununları riyazi düsturlar şəklində verilmişdir.Mexanikanın qanunlarına əsasən Günəş sisteminin planetlərinin mövcud vəziyyətinə görə onların gələcək zamanın istənilən anına vəziyyəti praktiki olaraq birqiymətli təyin edilə bilir.Eyni zamanda günəş və ay tutulmalarının tarixini əvvəlcədən söyləmək olar.Bütün bunlar determinik qanunulardır.

Bununla yanaşı makroaləmin əksər hadisələri haqqında bizim günbəgün dərinləşən və dəqiqləşən kifayət qədər biliklərimiz olmasına baxmayaraq onların keçmişi və gələcəyi haqqında dəqiq fikir söyləmək mümkün deyildir.Məsələn, iqlimin uzunmüddətli, havanın isə qısa müddətli dəyişməsi proqnozlaşdırmanın obyekti sayıla bilməz.Mikroaləmin əksər qanun və qanunauyğunluqları determinik çərçivəyə daxil edilə bilməz.Məsələn, nəzəri fizikaya görə konkret anda elektronun vəziyyəti haqqında heç nə demək mümkün olmadığı halda, onun fəzada paylanma vəziyyəti haqqında danışmaq olar.Bü cür qanunlara statistik qanunlar deyilir.Statistik qanunlara görə sistemin gələcək vəziyyəti birqiymətli olaraq deyil, müəyyən ehtimalla müəyyən edilir.

Ehtimal nəzəriyyəsinin mühüm tətbiq sahələrindən biri də iqtisadiyyatdır.Bu gün iqtisadi proseslərin tədqiqi və proqnozlaşdırılmasını ehtimal nəzəriyyəsinə əsaslanan ekonometrik proqnozlaşdırma, reqressiya analizi, trend və hamarlaşdırma modelləri və bir sıra digər üsullardan istifadə etmədən təsəvvür etmək mümkün deyildir.

İqtisadiyyatın sığorta ehtiyatı, ehtiyat gücləri, Dövlət ehtiyatı və bu kimi anlayışları statistik qanunauyğunluqların mövcudluğunu təsdiq edir.Bu isə ehtimal nəzəriyyəsinin tətbiqini zəruri edir.Eyni zamanda qeyd etmək lazımdır ki, təsadüfsüz inkişaf mümkün deyildir.Həyatın yaranmasını, bioloji növlərin təkamülünü, bəşəriyyət tarixini, insanların yaradıcılıq fəaliyyətini, sosial-iqtisadi sistemlərin inkişafını təsadüfsüz təsəvvür etmək olmaz.Beləliklə, təsadüfün təzahürünə hadisənin artıq formalaşmış istiqamətdən müsbət ( yeni elmi kəşflərin və texnologiyaların tətbiqi, istesalın təşkili və idarə edilməsinin yeni formaları və s.) və mənfi ( kortəbii fəlakətlər, avadanlığın sıradan çıxması, işçilərin xəstələməsi, onların fiziki və psixi vəziyyəti və s.) kənarlaşma kimi baxmaq lazımdır.Bütün bunlar bilavasitə hadisənin axarının əhəmiyyətli surətdə dəyişməsinə gətirib çıxarır.Bazat iqtisadiyyatı şəraitində xalq təsərrüfatı sahələrinin əlaqələri daha da mürəkkəbləşir.Beləliklə, dinamik sistemin inkişaf qanunauyğunluqlarına görə sosial-iqtisadi hadisələri təsvir edən qanunların statistik xarakteri güclənməlidir.

Bütün bunlar iqtisadi hadisə və proseslərin statistik analizinin bir vasitəsi kimi ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistikanın metodlarının mənimsənilməsini zəruru edir.

Insan fəaliyyətinin bütün sahələrində nəticəsi təsadüfdən asılı olan, yəni nəticəsini əvvəlcədən söyləmək mümkün olmayan hadisələrə tez-tez rast gəlinir.Məsələn, sığorta edilmiş əmlakın təbii fəlakət nəticəsində sıradan çıxması təsadüfün nəticəsidir.Belə olan halda təsadüfü hadisələr haqqında əvvəlcədən nə isə söyləmək olarmı və yaxud sığorta şirkətləri öz işlərində nəyi əsas tuturlar? Məlum olur ki, sığorta edilmiş ayrıca bir obyektin gələcək taleyi haqqında heç nə söyləmək mümükn olmasa da, onların əksəriyyətinin vəziyyəti haqqında yəqinliklə cox şey demək olar.

Real gerçəklikdə baş verən hər bir hadisəni öyrənmək üçün insanlar müəyyən müşahidələr, təcrübələr, ölçmə işləri – sınaqlar aparırlar.Mümkün qədər çox aparıla bilən , praktiki olaraq qeyri- məhdud sayda təkrar edilə bilən sınaqların nəticəsinə əsasən həmin hadisənin xassələri və qanuna uyğunluğu aşkar edilir. İnsanlar bu qanunauyğunluğu öyrənməklə müəyyən dərəcədə təsadüfü hadisələri idarə etməyi, onların təsirinin nəticələrini əvvəlcədən söyləməyə və aradan qaldırmağa, hətta onlardan öz praktiki fəaliyyət sahələrində məsədyönlü şəkildə istifadə etmək imkanı əldə edirlər.

Tutaq ki, eyni şərtlər kompleksi daxilində aparılan sınaq nəticəsində hadisə baş verə və verməyə bilər.Onda təsadüfü hadisəni, hadisənin başvermə sayının aparılan sınaqların sayına nisbəti olan hadisənin tezliyi ilə xarakterizə etmək olar. Tezliyə misal olaraq müəyyən yaşayış məntəqəsində il ərzində doğulan oğlanların hissəsini, məhsul istehsalında keyfiyyətsiz məhsulun xüsusi çəkisini və s. göstərmək olar.

Coxlu sayda sınaqlardan ibarət müxtəlif seriyalarda hadisənin tezliyi müəyyən sabit ədəd ətrafında ehtizas etdikdə deyirlər ki, bu hadisənin tezliyi dayanıqlıq xassəsinə malikdir.Məsələn, oğlan doğulma hadisəsinin tezliyi bu xassəyə malikdir.

Tezlikləri dayanıqlıq xassəsinə malik olan təsadüfü hadisələrə müxtəlif bilik sahələrində o cümlədən, fizikada , biologiyada, kimyada, maşınqayırma sənayesində, atəş nəzəriyyəsində, iqtisadiyyatda və s. tez-tez təsadüf edilir.

Hadisənin təsadüfülüyü onun səbəbsiz olması anlamına gətirmir.Təbiət hadisələri bir-biri ilə qarşılıqlı əlaqədədirlər və bir-birilərini şərtləndirirlər.Onların birinin dəyişilməsi digərinin dəyişilməsinə səbəb olur.Gerçək aləmdə ayrıca götürülmüş heç bir hadisəni anlamaq mümkün deyildir.Əksinə istənilən hadisə onu əhatə edən hadisələrlə qarşılıqlı əlaqədə götürüldükdə onu anlamaq və əsaslandırmaq olur. Məsələn, atəş zamanı mərminin hədəfi vurması təsadüfü hadisədir və onun səbəbini əsaslandırmaq olar.Belə ki, mərminin üçüş traektoriyasına coxlu sayda faktorlar təsir edir.Onların hər biri müxtəlif anlarda kəmiyyətcə müxtəlif təsirlərə malikdirlər.Ona görə də müəyyən zaman kəsiyində onların hər birinin mərminin traektoriyasına ayrılıqda və birgə təsirini qiymətləndirmək mümkün olmur və nəticədə mərminin hədəfi vurması təsadüfün nəticəsi olur.Deməli, mərminin hədəfi vurmasına bir hadisə kimi baxdıqda, aparılan təcrübə zamanı o, baş verə də bilər, verməyə də bilər.Belə hadisənin konkret bir təcrübə zamanı baş verməsi haqqında qabaqcadan heç nə demək mümkün olmasa da , çoxlu sayda ardıcıl aparılan təcrübələr nəticəsində onun baş verib-verməməsi haqqında bəzən müəyyən qanunauyğunluq almaq olar.

Beləliklə, ehtimal nəzəriyyəsi tezlikləri dayanıqlı olan təsadüfü hadisələri öyrənir və bu hadisələrin kütləvi təkrarında onların qanunauyğunluqlarını aşkar edir.

Qanunauyğun hadisə dedikdə münasib şəraitdə hökmən baş verən hadisə başa düşülür.Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, elə hadisələr də vardır ki, onların baş verib-verməməsi təsadüfü xarakter daşıyır.Məsələn, bir atəş zamanı atılan güllə hədəfə dəyədə bilər, dəyməyədə bilər; sığorta edilmiş əmlak təbii fəlakət nəticəsində sıradan çıxada bilər çıxmayada bilər. Belə hadisələrin qanunauyğunluğunu qabaqcadan söyləməkdə seçilən riyazi model böyük rol oynayır, yəni ehtimal nəzəriyyəsi əslində təsadüfü proseslərin riyazi modelini öyrənən riyazi elmdir.Başqa sözlə, ehtimal nəzəriyyəsi riyazi modellərdə təsadüfü hadisələrin ehtimalları arasında elə əlaqə təyin edir ki, bu əlaqələr mürəkkəb hadisələrin ehtimallarını daha sadə hadisələrin ehtimalları vasitəsilə hesablamaq imkanı verir.

Eyni şəraitdə hər hansı hadisəni öyrənmək üçün ardıcıl olaraq aparılan müşahidə və təcrübələrin nəticəsi çox zaman eyni olmur.Dəyişməyən şəraitdə eyni bir cihazla aparılan ölçmələrin nəticəsi, ümumiyyətlə müxtəlif olur.Buna görə də aparılan hər bir təcrübənin və ya müşahidənin nəticəsini əvvəlcədən söyləmək çox zaman mümkün olmur.

Təsadüfü hadisənin qanunauyğunluğunu ancaq onu eyni bir şəraitdə təkrarən coxlu sayda müşahidə etdikdə görmək olar.Buradan belə bir nəticəyə gəlirik ki, ancaq praktiki olaraq qeyri-məhdud sayda müşahidə edilə bilən hadisələri öyrənmək olar.Belə hadisələrə kütləvi hadisələr deyilir Buna görə də ehtimal nəzəriyyəsində əsasən kütləvi hadisələr, yəni praktiki olaraq eyni şəraitdə istənilən sayda təkrar oluna bilən hadisələr öyrənilir.

Burada qeyd etmək lazımdır ki, təsadüfü hadisələri öyrənmək üçün heç də onların faktiki olaraq coxlu sayda müşahidə etməyə lüzum yoxdur.Ən sadə hadisələrin qanunauyğunluqlarını öyrənənib və bunun əsasında müvafiq nəzəriyyəni quraraq daha mürəkkəb hadisələrin, hətta praktiki olaraq bilavasitə müşahidə edilə bilməyən, lakin prinsip etibarı ilə xəyalən coxlu sayda müşahidə edilə bilən hadisələri nəzəri olaraq öyrənmək olar.Məsələn bir uçuş üçün nəzərdə tutulmuş kosmik gəminin layihələndirilməsi prosesində bütün vasitələrin saz işləməsinə və üçuşun müvəffəqqiyyətlə həyata keçməsinə əmin olmaq üçün üçüşü təmin edən vasitələrin etibarlılığını tədqiq etmək olar.Elmin gücü ondadır ki, bilavasitə müşahidələrdən alınan sadə müddəalara əsaslanaraq bilavasitə müşahidə aparmadan nəzəri üsullarla yeni faktları aşkara cıxarmaq və onların axarlnı əvvəlcədən söyləmək olar.

Hər bir hadisə kimi təsadüfü hadisələr də müəyən səbəblər üzündən meydana çıxır.Hadisələrin ümumi əlaqələri qanununa görə ətraf aləmdə başverən bütün hadisələr qarşılıqlı əlaqədədirlər və biri digərinə təsir edir.Ona görə də müşahidə edilən hər bir hadisə qeyri -məhdud sayda digər haisələrlə səbəb əlaqəsindədir və onların axarı qeyri – məhdud sayda amillərdən asılıdır.Qeyri-məhdud sayda olan bu əlaqələrinin hamısını öyrənmək və onların hər birinin təsirini qiymətləndirmək ümumiyyətlə mümkün deyildir.Ona görə də bu və ya digər hadisə öyrənildikdə hadisənin axarını müəyyənedən əsas amillərlərlə kifayətlənirlər və kifayət qədər çoxlu sayda ikinci dərəcəli amilləri nəzərə almırlar.Bütün bunlar isə hadisənin mahiyyətini daha dərindən anlamağa və onun qanunauyğunluğunu aşkar etməyə imkan verir.Başqa sözlə öyrənilən hadisə müvafiq sadə model ilə əvəz edilir.Bunun nəticəsində elmin istənilən qanunu öyrənilən hadisənin əsas mahiyyətini əks etdirir, lakin, o, hadisənin özündən daha bəsitdir.Heç bir qanun hadisəni hərtərəfli, onun bütün müxtəlifliyi və tamlığı ilə xarakterizə edə bilməz.Qeyri – məhdud sayda nəzərə alınmayan amilərin birgə təsri hesabına real hadisənin qanunauyğunluqdan müşühidə edilən kənarlaşmaları təsadüfü hadisələrdir.

Hər hansı bir hadisənin qanunauyğunluğunu təcrübü olaraq müəyyən etmək üçün onu eyni bir şəraitdə təkrarən cox sayda müşahidə etmək lazımdır.Bu zaman eyni bir şərait dedikdə nəzarət edilən amillərin bütün kəmiyyət xarakteristikalarının eyni bir qiymət alması başa düşülür.Bununla belə nəzarət edilən bütün amillər müxtəlif olacaqdır.Nəticədə eyni bir hadisənin müxtəlif müşahidələrində nəzarət edilən amillərin təsiri praktiki olaraq eyni olacaqdır.Hdisənin qanunauyğunluğu elə burada aydınlaşır.Nəzarət edilə bilməyən amillərin təsiri hesabına qanunauyğunluqdan təsadüfü kənarlaşmalar isə müxtəlif müşühidələr də müxtəlif olacaqdır. Təsadüfü kənarlaşmaların konkret müşahidədə hansı qiymət alacağını prinsip etibarı ilə əvvəlcədən söyləmək mümkün deyildir.

Ehtimal nəzəriyyəsində riyaziyyat elminin bir çox sahələrində istifadə olunan üsullardan və alınan nəticələrdən (kombinator analizdə, riyazi analizdə, cəbrdə, məntiqdə və s.) geniş istifadə olunur.Ancaq ehtimal nəzəriyyəsinin sırf özünə məxsus öyrənmə üsulları vardır.Çünki onun öyrəndiyi məsələlərin əksəriyyətində dəqiq riyazi quruluş olmur və belə məsələlərin riyazi modelini qurmaqda nəzəri ehtimal intuisiyadan istifadə oluna bilər.

Ehtimal nəzəriyyəsinin analitik üsullarının işlənib hazırlanmasında və ümumiləşdirilməsində Muavrın (1667-1754), Laplasın (1749-1827), Qausun (1821-1894), Puassonun (1781-1840), Çebışevin (1821-1894 ), Markovun (1856-1922), Lyapunovun (1857-1918) böyük xidmətləri olmuşdur.

Müasir ehtimal nəzəriyyəsini aksiomlar sistemi əsasında qurmağa cəhd edən S.N.Bernşteyn (1880-1948), lakin tam quran A.N.Kolmoqorov (1903-1987) olmuşdur.Bu nəzəriyyəyə inkişaf tempi verən bir sıra alimlərin, o cümlədən, Xinçinin (1894-1959), Sluskinin (1880-1948), Levinin (1886-1971) v. s. alimlərin adlarını qeyd etmək olar.

2. TƏSADÜFÜ SINAQLAR

Ehtimal nəzəriyyəsinin əsas anlayışlarından biri təsadüfü (stoxastik) sınaq anlayışıdır. Nəticəsini əvvəlcədən söyləmək mümkün olmayan sınaqlara təsadüfi sınaqlar deyilir.

Praktiki və elmi fəaliyyətin müxtəlif sahələrində çoxlu sayda təkrar edilə bilən sınaqlara və müşahidələrə rast gəlinir. Bu cür hallarda sınağın nəticələrinin müəyyən xarakteristikaları hər hansı bir əlamət üzrə müşahidə edilir və yaxud ölçülür.

Əksər hallarda bu xarakteristikalar müəyyən kəmiyyətlə ifadə edilirlər. Müəyyən hallarda isə müşahidənin nəticəsi keyfiyyət xarakteristikasına malik olur. Aydındır ki, əgər sınaq zamanı hər hansı bir obyektin rəngi müşahidə edilirsə və yaxud sınaq ilə əlaqədar hadisənin baş verməsi və ya verməməsi, məhsulun keyfiyyəti müşahidə edilirsə onda sınağın nəticəsi keyfiyyət xarakteristikasına malikdir. Axırıncı halda şərti işarələr sistemindən istifadə etməklə sınağın nəticələrini, yəni xarakteristikaları həmişə kəmiyyətlə ifadə etmək olar.

1. Əgər sınaq zamanı zər atılırsa onda sınağın nəticəsi 1,2,…,6 rəqəmlərindən biri ilə ifadə edilir.
2. Əgər müəyyən heyvanlar qrupunun hər bir nümayəndəsinin çəkisi və uzunluğu ölçülürsə, onda müşahidənin nəticəsi 2 ədədlə ifadə edilir.
3. Əgər müəyyən zaman kəsiyində k sayda əmtəənin qiyməti müşahidə edilirsə, onda hər bir müşahidənin nəticəsi k sayda ədədlə ifadə edilir.
4. Əgər hər hansı rayonda doğulmuş uşağın cinsi müşahidə edilirsə, onda hər bir müşahidənin nəticəsi bilavasitə kəmiyyətlə (müəyyən ədədlə) ifadə edilmir. Ancaq şərti olaraq oğlan doğulmasını “1”-lə, qız doğulması “0” ilə işarə etsək onda hər bir müşahidənin nəticəsi ədədlə ifadə ediləcəkdir.

5. Фабрикдя мямулат щяр бирində н ядяд мямулат олан партийа иля бурахылыр. Мямулатын кейфиййятинин йохланылмасы онун сырадан чыхмасы иля нятиcялянир. Она эюря дя кейфиййятя нязарят мягсядиля н мямулатдан тясадцфи сечмя йолу иля м сайдаsı эютцрцлцр вя онларын кейфиййяти йохланылыр. Сынаьын нятиcяси сечилмиш мямулатдан йарарсызларын сайы олаcагдыр. Йарарсыз мямулатларын сайы бцтцн мямулатлар кейфиййятли вя йахуд йарарсыз олдугда тяйин едиля биляр. Тясвир едилян сынаг тясадцфи сынагдыр. Гейд едяк ки, мямулатын кейфиййятинин йохланылмасынын бу цсулу истещсал просесиндя истифадя едилир вя сечмя цсулу адланыр.

6. Алынмыш лотерейа билетиня ойунда нязярдя тутулмуш удушлардан истянилян бири дцшя биляр. Анcаг ойунун сонуна гядяр билетин удушлу олуб – олмамасыны мцяййян етмяк олмаз. Беляликля, лотерейа ойуну тясадцфи сынаьа мисал ола биляр.

7. Инфексион хястялийин епидемийасыna нятиcяси бу вя йа диэяр епидемийанын ахыны олан тясадцфи сынаг кими бахыла биляр.

Bir çox hallarda müşahidə edilən hadisə o dərəcədə yaxşı öyrənil­miş olur ki, hər bir müşahidənin nəticəsini əvvəlcədən qiymət­lən­dirmək olur. Məsələn, əgər sınaq zamanı hər hansı rəsədxanada il ərzində günəşin tutulma sayı müşahidə edilirsə, onda astroloji hesablamaların köməyi ilə yaxın illər üçün il ərzində günəş tutulmalarının sayını əvvəlcədən söyləmək olar.

Oxşar mənzərəni hadisəni idarə edən qanunlar məlum olduqda və təcrübi hesablamalarda onların istifadəsi kifayət qədər sadə olduqda da söyləmək olar.

Ancaq əksər hallarda ayrı-ayrı müşahidələrin nəticələrini əvvəl­cə­dən söyləmək üçün bizim biliklərimiz kifayət etmir. Yuxarıda ba­xı­lan 1-7 məhz bu hallara aiddir. Bu cür sınaqlara təsadüfü sınaqlar deyilir.

Sınaq anlayışının çox geniş mənası vardır.Metal pulun döşəmə üzərinə atılması, müəyyən hədəfə atəş açılması, hər hansı fiziki kəmiyyətin ölçülməsi, nərd oyunu zərinin taxta üzərinə atılması və s. sınağa misaldır.

Hər bir sınaq müəyyən şərtlər və ya şərtlər kompleksi daxilində yerinə yetirilir.Sınağın aparılma şərtləri əvvəcədən məlum olur və yalnız bu şərtlər ödənildikdə sınaq aparılır.Təkrarən aparılan sınaq zamanı bu şərtlər dəyişilməz qalır.

Hər bir sınaq öz aparılma şərtləri və nəticələri ilə xarakterizə

olunur.Sınağın aparılma şərtləri dəyişdikdə həmin sınaq dəyişir , başqa sınaq alınır.

Tutaq ki, , təkrarən aparıla bilən ( əlbəttə, eyni şərtlər daxilində ) sınaqdır. sınağının hər bir icrası zamanı alınan nəticəyə hadisə deyilir.Məsələn, sınağı tam düzgün formada olan bir zəri çox hamar səthi olan taxta üzərinə atmaqdan ibarət olduqda hadisə olaraq

a) “zərin 6 xalı olan üzünün yuxarı düşməsini“, b) “zərin cüt sayda xalı olan üzünün yuxarı düşməsini“, c) “zərin tək xalı olan üzünün yuxarı düşməsini “ və s. götürmək olar.

b) Atıcı 4 hissəyə bölünmüş hədəfə atəş açır.Bu zaman atəş sınaqdır, hədəfin müəyyən hissəsinə düşmək isə hadisədir.

c) Qutuda rəngli şarlar vardır.Qutudan təsadüfü qaydada hər hansı şar çıxarılır.Şarın çıxarılması sınaq, şarın müəyyən rəngə malik olması isə hadisədir.

Aparılan sınaq zamanı nəzərdə tutulan hadisə baş verə də bilər, verməyə də bilər.

Sınağın hər bir icrasında hökmən baş verən hadisəyə yəqin hadisə deyilir.Sınağın heç bir icrasında baş verməyən ( və ya hökmən baş verə bilməyən ) hadisəyə mümkün olmayan hadisə deyilir.

Nəhayət, sınağın icrası zamanı nəzərdə tutulan hadisə baş verə də bilirsə, verməyə də bilirsə , yəni sınaq zamanı həmin hadisənin baş verib-verməməsi haqqında qabaqcadan heç nə demək mümkün deyildirsə, onda həmin hadisəyə təsadüfü hadisə deyilir.

Əlbəttə, hər bir hadisənin müəyyən bir sınağa nəzərən ( yəni aparılan müəyyən bir sınaq nəticəsində ) yəqin, mümkün olmayan, təsadüfiü olmasından danışmaq olar. Bir sınağa nəzərən yəqin, mümkün olmayan və təsadüfü olan hadisə başqa bir sınağa nəzərən başqa xarakterli ola bilər.

Misal 1.Bir oyun zərini atmaqdan ibarət olan sınaq nəticəsində zərin yuxarı düşən üzərində 1,2,3,4,5,6 xallarının hər hansı birisinin olması – yəqin hadisə, yuxarı düşən üzərində xallar sayının 8 olması – mümkün olmayan hadisə, yuxarı düşən üzündə cüt sayda xalların olması isə tısadüfü hadisədir.

3.ELEMENTAR HADİSƏLƏR FƏZASI.

Tutaq ki, təkrarən aparıla bilən hər hansı sınağının icrasında cüt-cüt uyuşmayan nəticələrindən ancaq biri baş verir.Bu halda , nəticələrinin hər biri sınağının elementar hadisəsi ( və ya elementar nəticəsi ) adlanır.Bütün belə elementar hadisələr çoxluğuna sınağının elementar hadisələr fəzası deyilir və ilə işarə olunur:

Həyatda istənilən sayda təkrarən aparıla bilən müxtəlif sınaqlar və onların elementar nəticələri vardır.Bunların hər birini ayrılıqda öyrənməyin heç bir elmi əhəmiyyəti yoxdur.Buna görə də ehtimal nəzəriyəsində konkret elementar hadisələr və elementar hadisələr fəzası deyil, ümumi ( abstrakt ) elementar hadisələr fəzası öyrənilir.

Ümumiyyətlə, ixtiyari təbiətli elementlərinin çoxluğu elementar hadisələr fəzası, onu təşkil edən elementləri isə elementar hadisələr adlanır.Hər bir real hadisə və prosesi öyrənmək üçün uyğun elementar hadisələr fəzası təyin edilir.Baxılan sınağın cüt-cüt uyuşmayan uyğun nəticələri isə elementar hadisələr hesab olunur.

Hadisə anlayışı ümumi halda da uyğun şəkildə təyin edilir.Elementar hadisələr fəzasının hər bir alt çoxluğuna təsadüfü hadisə və ya sadəcə olaraq hadisə deyilir.Aparılan sınaqda müəyyən hadisənin baş verməsi, onu təçkil edən elementar hadisələrin heç olmasa birinin baş verməsi deməkdir.Beləliklə, baxılan sınaq nəticəsində baş verə bilən bütün hadisələr çoxluğu fəzasının bütün altçoxluqlqrı çoxluğundan ibarətdir. çoxluğundan ibarət olan hadisə, sınaq nəticəsində baş verən hər bir elementar hadisənin baş verməsi nəticəsində baş verir.Deməli, fəzası yəqin hadisədir.Boş çoxluq isə sınağın icrası zamanı heç bir elementar hadisənin baş verməsi nəticəsində baş verə bilməz, yəni boş çoxluğu mümkün olmayan hadisədir.

Qeyd edək ki, hər bir elementar hadisəyə fəzasının bir elementli altçoxluğu kimi baxmaq olar.Buna görə də fəzasını təşkil edən elementar hadisələrin hər biri təsadüfü hadisədir.

n sayda elementdən ibarət olan sonlu çoxluğun asyda alt çoxluğu vardır.Doğrudan da, bu çoxluğun k elementli müxtəlif altçoxluqlarının sayı olduğundan olar.

Buradan aydın olur ki, elementar hadisələr fəzası sayda hadisə ilə bağlıdır.Bu hadisələrdən biri yəqin hadisə ( fəzanın özü ) , o biri isə mümkün olmayan hadisədir (boş çoxluq).Hər bir prosesə uyğun elementar hadisələr fəzası vardır.

1.Metal pulun bir dəfə atılşından ibarət olan sınaq aparılır.Bu sınağın elementar hadisələr fəzası çoxluğu olar.Burada Q metal pulun qerb üzünün Ş isə şəbəkə üzünün düşməsidir.

2.Metal pul iki dəfə atılır.Bu sınağın elementar hadisələr fəzası çoxluğudur.

3.Oyun zəri bir dəfə atılır və zərdə düşən xalın sayı müşahidə edilir.Bu sınağın elementar hadisələr fəzası =(1,2,3,4,5,6) çoxluğu olar.

4. Oyun zəri iki dəfə atıldıqda elementar hadisələr fəzası =çoxluğu olar.

5.Metal pul qerb üzü düşənə kimi atılır. Bu sınağın elementar hadisələr fəzası çoxluğu olar.Burada qerb üzünün ilk dəfə n-ci atılışda düşdüyünü göstərir.

Məsələ 1.Oyun zəri bir dəfə atılır və zərin yuxarı düşən üzündəki xalalrın X sayı müşahidə edilir. Sınağın nəticələr çoxluğunu və aşağıdakı hadisələrə uyğun altçoxluqları təsvir edin.

Həlli.Sınağın icrası zamanı müşahidə edilən hadisələr üçün aşağıdakı işarələri daxil edək:; ;

Sınağın nəticələri əsasında elementar hadisələrin iki çoxluğunu qurmaq olar:. , -yə nisbətən baxılan sınağın formal modelinə daha uyğun gəlir.Belə ki, hadisələri çoxluğunun alt çoxluqları deyillər.Digər tərəfdən bu hadisələrin hər biri çoxluğunun alt çoxluğu kumi təsvir edilə bilər.Doğrudan da, ;;;;;

Bu bərabərliklərdən aydın olur ki, , sınağın nəticələri olan elementlərin ayrılışıdır.Deməli, nəticələri ,nəticələrinə nisbətən daha “bəsitdir.”.

Hadisələri cüt-cüt müqayisə edərək, onların ümumi elementlərini müəyyən etməklə uyuşan və uyuşmayan hadisələr cütlərini təyin edə bilərik:

Deməli, və,və , və ,və,və,və, və, vəhadisələri uyuşan, və ,və ,və ,və ,və hadisələri isə uyuşmayan hadisələrdir.

4.TƏSADÜFİ HADİSƏLƏR ÜZƏRİNDƏ ƏMƏLLƏR

4.1.HADİSƏLƏR ARASINDA DAXİLOLMA VƏ EYNİGÜCLÜLÜK MÜNASİBƏTLƏRİ.

Tutaq ki, – müəyyən sınağının elementar hadisələr fəzasıdır.Bu sınaq ilə əlaqədar bütün hadisələr çoxluğunu , yəni – nın altçoxluqları sinfini S ilə işarə edək.

Fərz edək ki, hadisəsi baş verdikdə hadisəsi hökmən baş verir. Bu halda hadisəsi hadisəsini doğurur deyirlər və bunu AB kimi yazırlar. – daxilolma münasibəti adlanır.Tərifə görə

Məsələn, bir dəfə atılan zərdə 2,4,6 xallarına uyğun üzlərdən hər hansı birinin düşməsi hadisəsi düşən üzdə cüt rəqəmin olması hadisəsini doğurur.Bir elementli və hadisəsi üçün təklifi təklifi ilə eynigüclüdür.Daxilolma münasibəti aşağıdakı xassələrə malikdir.

olduqda A və B hadisələri eynigüclü hadisələr adlanır və bu fakt kimi yazılır.Tərifə görə

Eynigüclülük munasibəti ekvivalentlik münasibətidir, yəni o, simmetriklik, refleksivlik və tranzitivlik xassələrinə malikdir:

Məhz bu mənada eynigüclü hadisələri birləşdirərək bir hadisə kimi baxmaq olar.

4.2.HADİSƏLƏRİN HASİLİ.

və hadisələrinin hasili elə hadisəyə deyilir ki, o ancaq və ancaq və birlikdə baş verdikdə yerinə yetir. və hadisələrinin hasili və ya ilə işarə edilir.Buradan aydın olur ki, hasili həm hadisəsinə həm də hadisəsinə daxil ilan elementar hadisələrdən ibarətdir, yəni

n sayda hadisələrinin hasili

bərabərliyi ilə verilən hadisəyə deyilir.

Vurma əməli aşağıdakı xassələrə malikdir:

4.3. HADİSƏLƏRİN BİRLƏŞMƏSİ.

və hadisələrinin birləşməsi elə hadisəyə deyilir ki, o ancaq və ancaq və -dən heç olmasa biri yerinə yetdikdə baş verir. və hadisələrinin birləşməsi ilə işarə edilir.Deməli birləşməsi və hadisələrindən heç olmasa birinə daxil olan elementar hadisələrdən ibarətdir. Yəni,

bərabərliyi ilə verilən hadisəyə hadisələrinin birləşməsi deyilir.Birləşmə əməli aşağıdakı xassələrə malikdir:

Məsələ 2.Hadisələrin birləşməsi və hasili əməllərinin aşağıdakı xassələrini ödədiyini isbat edin.

Həlli.Birinci iki xassə bilavasitə hadisələrin hasili və birləşməsinin tərifindən alınır.Belə ki, “və hadisələrinindən heç olmasa biri baş verdikdə” və “vəhadiisələri eyni zamanda baş verdikdə “ hadisələri bu hadisələrin ardıcıllığından asılı deyildir.

və hadisələrinin eynigüclü olduqlarını isbat edək.

Tutaq ki, .Hadisələrin hasilinin tərifinə əsasən . o deməkdir ki, və hadisələrinindən heç olmasa birinə daxildir.Yəni, .Deməli, olduqda olar.Beləlikə,

Indi isə fərz edək ki, .Deməli, və yaxud .Bu isə o deməkdir ki, və və hadisələrindən heç olmasa birinə daxildir.Hadisələrin hasilinin tərifinə əsasən

Məsələ 3.eyniliyini isbat edin.

Həlli. Tutaq ki, .vəhadisələrinin fərqi -nın baş verməsi -nin isə baş verməməsi hadisəsidir. baş vermədikdə hadisəsi hökmən baş verir.Deməli, .Əksinə olduqda olar.Deməli,.Bu isə o deməkdir ki,

Məsələ 4. Tutaq ki, ixtiyari hadisələrdir.Aşağıdakı hadisələr üçün sadə ifadələr tapın.

a)=( hadisələrindən heç biri baş vermir);

b) =( hadisələrindən heç olmasa ikisi baş verir);

c) = (hadisələrindən heç olmasa biri baş vermir).

Həlli. hadisələrinin baş verməməsi hadisələri müvafiq olaraq hadisələridir.Deməli, .Hadisələrin hasilinin tərifinə əsasən- vəhadisələrinin baş verməsi -nin baş verməməsi; – və-nin baş verməsi -nin isə baş verməməsi; –nın baş verməməsi və -nin baş verməsi hadisəsidir. Hadisələrdən heç olmasa birinin baş verməməsi onlarda heç olmasa birinin, ikisinin və yaxu hər üçünün baş verməməsi deməkdir.Hadisələrin birləşməsinin tərifinə əsasən

Məsələ 5. Tutaq ki, ixtiyari hadisələrdir.Aşağıdakı hadisələr üçün sadə ifadələr tapın.

a)=( hadisələrindən ancaq biri baş verir),;

b) E=( hadisələrindən ancaq ikisi baş verir.

Məsələ 6. A və hadisələrinin birləşməsi onların hasili ilə üst üstə düşə bilərmi?

Həlli.Tutaq ki, və eynigüclü hadisələrdir.Bu halda +=

Məsələn, tutaq ki, hədəfə atəş açılır.Hədəfi vurma onun məhv olması ilə nəticələnir və hədəf heç bir başqa üsulla məhv edilə bilməz.

ilə hədəfi vurma və ilə hədəfin məhv olması hadisələrini işarə edək. və eynigüclü hadisələrdir və onalar üçün

4.4. HADİSƏLƏRİN FƏRQİ VƏ TAMAMLAMA ƏMƏLİ.

və hadisələrinin fərqi

bərabərliyi ilə verilən hadisəyə deyilir.Deməli , – fərqi -nın baş verməsi, – nin isə baş verməməsi hadisəsidir.A hadisəsinin baş verməməsi hadisəsi A-nın tamamlayanı (əksi ) adlanır və kimi işarə olunur.

Aşağıdakı münasibətlər doğrudur:

5. HADİSƏLƏRİN TAM SİSTEMİ.

hadisələr sistemi aşağıdakı üç şərti ödədikdə tam sistem adlanır:

2-ci və 3-cü şərtləri ödəyən hadisələr uyğun olaraq uyuşmayan və yeganə mümkün adlanır.

Misal 1. Yeşikdən bir məmulat götürülür.Məmulatın keyfiyyətli olması onun keyfiyyətsiz olmasını istisna edir. “məmulat keyfiyyətlidir” və “məmulat keyfiyyətsizdir” hadisələri uyuşmayandır.

Misal 2.Metal pul bir dəfə atılır. “pulun gerb üzünün yuxarı düşməsi” ( hadisəsi) və “pulun şəbəkə üzünün yuxarı düşməsi” hadisələri uyuşmayandır.

Uyuşmayan hadisələrin birləşməsinə bu hadisələrin cəmi deyilir və bunu

kimi işarə edirlər.

Əgər A hadisəsi cüt-cüt uyuşmayan hadisələrinin cəmidirsə , yəni

münasibəti ödənilirsə, onda deyirlər ki, A hadisəsi xüsusi hallarına ayrılır.

Misal 3.Bir zəri bir dəfə atmaqdan ibarət olan sınaqda zərin yuxarı düşən üzündə cüt sayda xalın olmasından ibarət olan A hadisəsi kimi xüsusi hallara ayrılır:

Zərin yuxarı düşən üzündə tək sayda xalın olmasından ibarət olan B hadisəsi kimi xüsusi hallara ayrılır:

Burada zərin yuxarı düşən üzundə uyğun olaraq 2,4, 6 xalının olması hadisəsidir.

Misal 4.Tutaq ki, natural ədədlər çoxluğudur və ;;

.Onda coxluğu hadisələrin tam sistemini təşkil edir.

Doğrudan da – üçə tam bölünən, – üçə bölündükdə qalıqda bir,-isə qalıqda iki alınan natural ədədlərdir. Aydındır ki, ,və uyşmayan, yeganə mümükün hadisələrdir.Deməli, çoxluğu hadisələrin tam sistemini təşkil edir.

Hadisələrin tam sisteminə aid başqa bir misal göstərək.

Misal 5.Tutaq ki, hadisələrdir.Bu hadisələrdən düz i saydasının baş verməsi hadisəsini ilə işarə edək.Bu halda hadisələri tam sistem təşkil edəcəkdir. Xüsusi halda n=2 olarsa

Şahmat oyununda növbəti partiyanı udmaq, uduzmaq və heç-heçə qurtarmaq hadisələri də hadisələrin tam sisteminə masadır. o

Aşağıdakı düstur hadisələrin birləşməsini onların cəmi ilə ifadə etməyə imkan verir:

İsbatı.Aşağıdakı hadisələrə baxaq:

İxtiyari i və j indeksləri üçün goğru olan

münasibətindən alırıq.Burada i və j eynii hüquqlu olduğuna görə , olar.Demıli, uyuşmayan hadisələrdir.

Indi fərz edək ki, -dir.ardıcıllığında -nı öz daxilinə alan berinci hadisədir.Onda

6.HADİSƏLƏR ARDICILLIĞI VƏ ONUN LİMİTİ

a) şərtini ödədikdə artan,

b) şərtini ödədikdə azalan,

c) artan və ya azlan olduqda monoton

d) və şərtlərini ödədikdə isə yox olan ardıcıllıq adlanır.

Misal 1. İstənilənhadisələri üçün artan, isə azalan ardıcıllıqdır.

Misal 2. Fərz edək ki, elementar hadisələr fəzası müstəvidir.ilə müvafiq olaraq təsadüfi seçilən nöqtəsinin uyğun olaraq 1-1/n və 1+1/n radiuslu dairənin daxilində olması hadisələrini işarə edək.Başqa sözlə,

Asanlıqla göstərmək olar ki, artan, isə azalan ardıcıllıqdır.

Misal 3. artan ardıcıllıq olduqda

artan ardıcıllıq olduğuna görə, azalan olar.Buradan isə

Tutaq ki, hadisələr ardıcıllığıdır.ilə -lərin qeyri məhdud saydasının başverməsi hadisəsini işarə edək. Asanlıqla görmək olar ki,

Doğrudan da, olduqda yəni qeyri məhdud sayda –lərə daxil olduqda istənilən n üçün olar.Beləliklə, .Bu isə o deməkdir ki, . Əksinə olduqda olar.

Tutaq ki, müəyyən nömrədən sonra bütün -lərin başverməsi, yəni yalnız sonlu sayda -lərin başverməməsi hadisəsidir.Eyni qayda ilə göstərmək olar ki, =.Aydındır ki,

və hadisələrinə uyğun olaraq hadisələr ardıcıllığının yuxarı və aşağı limiti deyilir.

= olduqda ardıcıllığına yığılan ardıcıllıq, hadisəsinə isə onun limiti deyilir.

Tərifə görə ardıcıllığı hadisəsinə yalnız və yalnız o zaman yığılır ki, hər bir elementar hadisəsi sonlu saydası müstəsna olmaqla hamısına, hər bir isə yalnız sonlu sayda -lərə daxil olmasın.

Tutaq ki, monoton artan ardıcıllıqdır, yəni Onda =Bu isə o deməkdir ki, ardıcıllığı yığılandır və

monoton azalan ardıcıllıq, yəni olduqda

.Beləliklə, hadisələr ardıcıllığı yığılandır və

7.Cəbr və -cəbr anlayışları

Tutaq ki, , sınağı ilə bağlı elementar hadisələr fəzasıdır.Ehtimal nəzəriyyəsində ehtimala hadisələrin funksiyası kimi baxılır.Lakin fəzasının istənilən altçoxluğu üçün ehtimalı təyin etmək mümkün deyildir.Ehtimal anlayışı fəzanınm müəyyən hadisələri (altçoxluqları) sisteminə daxil olan hadisələr ( çoxluqlar) üçün təyin edilir.Buna görə də hadisələrin ehtimalını riyazi olaraq təyin etmək üçün belə hadisələr sistemi əvvəlcədən müəyyən edilməlidir.

Tutaq ki, fəzasının hər hansı hadisələr ( altçoxluqları ) sistemi ilə işarə edilmişdir və bu sistem üçün aşağıdakı şərtlər ödənilir:

olur.Onda sisteminə hadisələr cəbri deyilir.

Hadisələr cəbrinin bir sıra xassələri vardır. fəzası sisteminə daxil olduğundan 2-ci şərtə görə boş çoxluğu da sisteminə daxildir. Hadisələrin cəmi və fərqi üçün qruplaşdırma xassəsi doğru olduğindan sisteminə daxil olan sonlu sayda hadisələrinin cəmi və hasili də həmin sistemə daxildir:

Bir çox məsələləri həll etmək üçün ehtimal nəzəriyyəsində hadisələr cəbri anlayışı ilə kifayətlənmək olar.Lakin bir sıra mürəkkəb məsələləri həll etmək üçün hadisələr cəbrinin əlavə bir xassəni də ödəməsi tələb edilir.Bu xassə, sistemin hesabi sayda hadisələrin cəmi və hasilinin yenə də həmin sistemə daxil olmasından ibarətdir:

Bu halda , yəni hadisələr cəbri 3) şərtini ödədikdə , ona -cəbr və yaxud Borel cəbri deyilir.

sisteminə daxil olduğundan 2-ci şərtə görə boş çoxluğu da sisteminə daxildir. Hadisələrin cəmi və fərqi üçün qruplaşdırma xassəsi doğru olduğindan sisteminə daxil olan sonlu sayda hadisələrinin cəmi və hasili də həmin sistemə daxildir:

Tutaq ki, -nın müəyyən alt çoxluqları sistemidir:

2) şərtini ödəyən istənilən –cəbri üçün olarsa

-ə sinfini öz daxilində saxlayan ən kiçik –cəbr deyilir.

Teorem 1.İstənilən çoxluqlar sinfini öz daxilində saxlayan ən kiçik cəbri vardır.

İsbatı.Əvvəlcə qeyd edək ki, sinfini öz daxilində saxlayan heç olmasa bir –cəbr vardır.Məsələn, belə bir cəbr olaraq -nın bütün altçoxluqları sinfini götürmək olar. sinfini öz daxilində saxlayan bütün –cəbrlərin kəsişməsini ilə işarə edək.Onda -də –cəbr olar. sinfini öz daxilində saxlayan istənilən–cəbri üçün olar.Beləliklə, , sinfini öz daxilində saxlayan ən kiçik–cəbrdir .

Misal 3.Minimal cəbrə misal olaraq və çoxluqlarından ibarət olan cəbri göstərmək olar.Doğrudan da,

olduğu üçün cəbrdir.

bərabərlikləri ödənilidiyi üçün sinfi də cəbrə misaldır.

Misal 5.Tutaq ki, . isə dözbucaqlılar və kəsişməyən düzbucaqlıların sonlu cəmindən ibarət çoxluqdur.Onda cəbrdir.

şərtlərini ödədikdə ona monoton sinif deyilir.

Istənilən –cəbr monoton sinifdir.

Teorem 2.cəbrinin –cəbr olması üçün onun monoton sinif olması zəruri və kafidir.

Zərurilik. cəbri –cəbr olduqda o, eyni zamanda monoton sinifdir.

Kafilik. Tutaq ki, cəbri monoton sinifdir. Göstərək ki, olduqda olar.işarə edək.Aydındır ki, .cəbr olduğu üçün . eyni zamanda monoton sinif olduğu üçün olar.

sinfini öz daxilində saxlayan monoton sinfi:

2) sinfini öz daxilində saxlayan istənilən monoton sinfi üçün

şərtləri ödənildikdə monoton sinfi sinfini öz daxilində saxlayan ən kiçik monoton sinif adlanır.

Teorem 3.İstənilən sinfi üçün onu öz daxilində saxlayan ən kiçik monoton sinif vardır.

İsbatı. sinfini öz daxilində saxlayan heç olmasa bir monoton sinif vardır.Məsələn, belə bir sinif olaraq -nın bütün altçoxluqları sinfini götürmək olar. sinfini öz daxilində saxlayan bütün monoton siniflərin kəsişməsini ilə işarə edək.Monoton siniflərin kəsişməsi də monoton sinif olduğu üçün monoton sinifdir. sinfini öz daxilində saxlayan istənilən monoton sinfi üçün olar.Beləliklə, sinfini öz daxilində saxlayan ən kiçik monoton sinifdir.

Ardıcıllıq və onun limiti

.3.2 Prosesin ardıcıllıq (alqoritm) diaqramının qurulması 4 Təhlilin ən effektiv və tez-tez tətbiq olunan üsullarından biri də müəyyən qrafik simvolların köməyi ilə prosesin mərhələlərini və oradakı fəaliyyətləri əks etdirən sistematik təsvirin qurulmasıdır. Qrafik simvolların bir çox sistemləri mövcuddur, onların böyük bir hissəsi informasiyanın emalı prosesləri üçün yaradılmışdır (VISIO qrafik redaktorunun “Flowchart” paketi). Prosesin mərhələlərinin işarələnməsi üçün istifadə olunan sadə simvollar aşağıdakı Əlavədə göstərilmişdir. Bu simvolların köməyi ilə səkil 14-də göstərildiyi kimi proses mərhələlərinin ardıcıllığını təsvir etmək olar. Kompüterin köməyi ilə belə bir alqoritmin qurulması üçün məsələn, VISIO qrafik redaktorundan istifadə edilməsi faydalı ola bilər. Buna bənzər alqoritmdən proses xəritəsinin qurulmasında münasib şəkildə istifadə edilə bilər (maddə 6.3.4). Qurulmuş alqoritmi (fəaliyyətlərin ardıcıllıq diaqramı) proseslərin planlaşdırılması və sonrakı təhlili üçün istifadə etmək olar. Şöbələrin və vəzifəli şəxslərin prosesdə iştirak səviyyəsini və ardıcıllığını dəqiqləşdirmək üçün ilk növbədə həmin prosesin alqoritmi qurulmalıdır, bu zaman proses iştirakçılara görə mərhələlərə bölünür (şəkil 15). Belə bir təsvir proses iştirakçılarının məsuliyyətlərinin rasional bölüşdürülməsinə və fəaliyyət ardıcıllığının təmin edilməsinə və işlərin icra olunma müddətinin qısaldılmasına və xərclərin azaldılmasına kömək edə bilər. Rentgen müayinəsinin proses alqoritmi Digər bir üsul yerinə yetirilmə məkanına görə mərhələlərin ayrılması üzrə proses alqoritminin qurulmasıdır. Prosesin alqoritminin qurulmasına dair digər bir üsul prosesin mərhələlərinin həyata keçirilmə yerinə (məkanına) görə bölüşdürülməsindən ibarətdir. Burada prosesin xəritəsi yaranır ki, o da proses həyata keçirilən bina və tikililərin koordinatını və ya coğrafi koordinatları əmələ gətirən sahələri əks etdirir. Belə bir xəritəyə dair şərti nümunə aşağıdakı şəkildə göstərilmişdir (şəkil 16). Şəkildə müştərinin ofis üzrə hərəkəti əks olunub. Əgər prosesin yerinə yetirilmə müddətinə təsir edən proses mərhələlərin yerləşdiyi məkan arasındakı məsafə böyük olarsa və daşınma zamanı məhsulun xarab olması riski mövcud olarsa, nəqliyyat xərcləri və digər xərclər yaranarsa, o halda bu üsul prosesin təhlili və yaxşılaşdırılması imkanlarının tapılmasında kömək edə bilər. Proses mərhələlərinin onların istehlakçılar (daxili və xarici) üçün dəyər yaratması nöqteyi-nəzərindən təhlil edilməsi xüsusilə vacibdir. Bu baxımdan əgər hər hansı bir mərhələ, fəaliyyət, proses əməliyyatı istehlakçılar və ya maraqlı tərəflər üçün əlavə dəyər yaratmırsa, onlar üçün faydalı deyilsə, bu xərclərin daha da artmasına gətirib çıxarır. Təşkilatların tez-tez üzləşdikləri bu problemi “faydalı” mərhələlərin daha rasional təşkili hesabına aradan qaldırmaq mümkündür. Belə bir təhlil üçün qurulmuş alqoritm nümunəsi şəkil 17-də göstərilmişdir. Qeyd etmək lazımdır ki, alqoritm şəklində təsvir əsasən əvvəlcədən müəyyənləşdirilərək ardıcıl şəkildə yerinə yetirilən fəaliyyətlərlə bağlı olan proseslərə münasibətdə tətbiq edilə bilər. Digər hallarda isə 6.3.3 maddəsində göstərilən metodlardan istifadə oluna bilər. 6.3.3 Qeyri-müəyyən proseslərin təsviri Alqoritm şəklində təsvir adətən fəaliyyət tərkibi, ardıcıllığı və yerinə yetirilmə vaxtı əvvəlcədən müəyyən edilmiş proseslər üçün istifadə olunur. Lakin elə proseslər də var ki, onları yuxarıda sadalanan metodların köməyi ilə ətraflı şəkildə təsvir etmək mümkün deyil və yaxud bu, təhlil məqsədlərinin həyata keçirilməsi işində səmərəli olmayacaq. Qeyri-müəyyən proseslərə dair misallar aşağıdakılardır: bəzi elmi-tədqiqat işləri; qeyri-müəyyən xarici şəraitlərdə və ya qeyri-müəyyən resurslarla həyata keçirilən proseslər; səbəbi müəyyən edilməyən yeni müəyyən olunmuş problem üzrə düzəldici fəaliyyətlərin yerinə yetirilməsi; mürəkkəb avadanlıqdakı nasazlıqların diaqnostikası. Bu proseslərin əksəriyyəti ilk dəfə, onların bir çoxu isə yalnız bir dəfə yerinə yetirilir, Qeyri-müəyyən proseslərə həmçinin, daimi və eyni qaydada davam edən prosesləri aid etmək olar, lakin xarici şəraitlər planlaşdırılmış nəticələrə nail olmaq üçün əksər hallarda onların gedişatını dəyişdirməyə məcbur edir. Belə proseslərin təhlili və təsviri digər metodların köməyə ilə həyata keçirilə bilər. Bu kimi proseslərin təsviri metodlarından biri də qərar qəbulu prosesinin diaqramıdır (Process Decision Program Chart). Qeyd olunan metod “Keyfiyyəti idarəetmənin yeddi aləti”ndən biri hesab edilir. Qərar qəbulu prosesinin diaqramı “ağac” şəklində olan iyerarxik strukturdur, onun “kökü” isə qarşıya qoyulmuş vəzifələrin konkret həllini ifadə edir. Bu diaqram baş verəcək mümkün hadisələr silsiləsini planlaşdırmağa və proses məqsədlərinə nail olmaq üçün zəruri fəaliyyətləri yerinə yetirməyə imkan verir. Qeyri-müəyyən prosesin təhlili metodlarından biri də onların obyekt və hadisələr sistemi kimi təsvir edilməsidir. Bu metod gözlənilən nəticələrin əldə edilməsi üçün prosesin imkanlarının bəlli olduğu, lakin hansı fəaliyyətlərin və hansı ardıcıllıqla həyata keçiriləcəyi məlum olmadığı hallarda tətbiq edilə bilər. Qeyd etmək lazımdır ki, bir çox proseslər yalnız hadisələrə cavab olaraq həyata keçirilən fəaliyyətlərdən ibarətdir. Bu yanaşma proqram vasitələrinin işlənib hazırlanması sahəsində obyekt-hadisə proqramlaşdırılması adlanır. Qeyd olunan yanaşmaya əsasən bütün proses hadisələrin müşahidə edilməsi (monitorinqi) və bu hadisələrə uyğun olaraq obyektlərdə dəyişiklik edilməsindən ibarətdir. Bu modelin nümunəsi kimi obyektlər və onun xassələri cədvəli (cədvəl 3) və hadisə və fəaliyyətlər diaqramının qurulması göstərilə bilər (şəkil 19).

Комментарии 0

Новые комментарии
Для того чтобы оставить комментарий, войдите или зарегистрируйтесь
Сервисы VK
добавлена 9 февраля в 08:27
İlməkçinin vəzifə təlimatları kimdə varsa at bilər zəhmət olmasa
добавлена 4 февраля в 11:25

TikTok’ta SƏTƏM GROUP (@hse_support) |750 Beğeni.835 Takipçi.təhlükəsizliyini fikirləş, təhlükəsiz işlə.SƏTƏM GROUP (@hse_support) adlı kullanıcıdan en yeni videoyu izleyin.

добавлена 9 апреля 2022 в 19:44

Salam, keyfiyyətə nəzarət üzrə mütəxəssisin peşə təlimatı ve ya buna oxşar bir təlimati tapmaqda kömək ede bilersiz ?