Bucaqları hesablayın

α + β + δ+ γ = 360º

Dördbucaqlı: elementlər, xüsusiyyətlər, təsnifat, nümunələr

A dördbucaqlı dörd tərəfi və dörd zirvəsi olan bir çoxbucaqlıdır. Onların əks tərəflər ortaq təpələri olmayan olanlardır ardıcıl tərəflər ortaq bir zirvəyə sahib olanlar.

Dörd tərəfdədirlər bitişik açılar bir tərəfi paylaşanlar isə əks bucaqlar ortaq tərəfləri yoxdur. Dördbucaqlının digər vacib xüsusiyyəti də onun dördünün cəmidir daxili açılar təyyarə bucağının iki qatına, yəni 360º və ya 2π radyana bərabərdir.

Diaqonallar bir təpəni əksinə və müəyyən dördbucaqla birləşdirən seqmentlərdir, hər təpədən tək bir diaqonal çəkilə bilər. Dördbucaqlının ümumi diaqonal sayı ikidir.

Dördbucaqlılar qədim zamanlardan bəşəriyyətə məlum olan rəqəmlərdir. Arxeoloji qeydlər və bu günümüzdə qalan tikililər bunu təsdiqləyir.

Eynilə, bu gün də dördbucaqlılar hər kəsin gündəlik həyatında əhəmiyyətli bir yer tutmağa davam edir. Oxucu bu formanı mətnin oxunduğu ekranda, pəncərələrdə, qapılarda, avtomobil hissələrində və saysız-hesabsız yerlərdə tapa bilər.

Dördtərəfli təsnifat

Qarşı tərəflərin paralelliyinə görə dördbucaqlar aşağıdakı kimi təsnif edilir:

1. Trapezoid, paralellik olmadıqda və dördbucaq qabarıq olduqda.
2. Trapez, bir cüt əks tərəf arasında paralellik olduqda.
3. Parallelogram, əks tərəfləri ikiyə paralel olduqda.

Parallelogramın növləri

Öz növbəsində paralelloqramlar bucaqlarına və tərəflərinə görə aşağıdakı kimi təsnif edilə bilər:

1. Düzbucaqlı, bərabər ölçüdə dörd daxili bucağına sahib olan paralelogramdır. Düzbucaqlının daxili bucaqları düz bucaq əmələ gətirir (90º).
2. Meydan, dörd tərəfi bərabər ölçüdə olan bir düzbucaqlıdır.
3. Almaz, dörd bərabər tərəfi olan, lakin fərqli bitişik bucaqları olan paralellogramdır.
4. Romboid, müxtəlif bitişik bucaqları olan paralelogram.

Trapez

Trapezoid iki paralel tərəfi olan qabarıq dördbucaqlıdır.

– Bir trapeziyada paralel tərəflər deyilir əsaslar və qeyri-paralellər deyilir yanal.

– The hündürlük trapezoidin iki baza arasındakı məsafəsi, yəni ucları bazalarında və onlara dik olan bir hissənin uzunluğu. Bu hissəyə trapezoidin hündürlüyü də deyilir.

– The orta yanalların orta nöqtələrini birləşdirən seqmentdir. Medianın trapezoidin əsaslarına paralel olduğunu və uzunluğunun bazaların yarı yarısına bərabər olduğunu göstərmək olar.

– Trapezoidin sahəsi hündürlüyü bazaların yarı cəminə vurulur:

Trapezoidin sahəsi = hündürlük * (əsas 1 + əsas 2) / 2

Trapezoid növləri

-Dördbucaqlı trapezoid: əsaslara dik bir yanal olanıdır. Bu tərəf trapeziyanın hündürlüyüdür.

-Trapezium bərabərdir: tərəfləri bərabər uzunluqda olanı. Bir bərabərlikli trapeziyada əsaslara bitişik bucaqlar bərabərdir.

-Scalene trapezoid: tərəfləri müxtəlif uzunluqlarda olanı. Qarşı açıları biri kəskin, digəri isə düz ola bilər, lakin hər ikisinin də açıq və ya hər ikisinin kəskin olması da ola bilər.

Parallelogram

Parallelogram, qarşı tərəfləri ikiyə paralel olan dördbucaqlıdır. Parallelogramda əks bucaqlar bərabərdir və qonşu bucaqlar tamamlayıcıdır və ya başqa cür desək, qonşu bucaqlar 180º-ə qədər olur.

Parallelogramın düz bucağı varsa, bütün digər bucaqlar da çox olacaq və nəticədə rəqəm deyilir düzbucaqlı. Ancaq düzbucaqlının eyni uzunluqdakı bitişik tərəfləri varsa, bütün tərəfləri bərabərdir və nəticədə alınan rəqəm kvadrat.

Parallelogramın eyni uzunluqda iki qonşu tərəfi olduqda, bütün tərəfləri eyni uzunluqda olacaq və nəticədə alınan rəqəm almaz.

Paralellogramın hündürlüyü, ucları əks tərəflərində və onlara dik olan bir hissədir.

Parallelogramın sahəsi

Paralellogramın sahəsi bazanın hündürlüyündən qatının məhsuludur, baza hündürlüyə dik bir tərəfdir (şəkil 6).

Parallelogramın sahəsi = baza x hündürlük = a. h

Parallelogramın diaqonalları

Bir təpədən başlayan diaqonalın kvadratı, yuxarıya bitişik iki tərəfin kvadratlarının cəminə və həmin tərəfin bucağının kosinusu ilə bu tərəflərin ikiqat məhsuluna bərabərdir:

F 2 = a 2 + d 2 + 2 a d Cos (α)

Parallelogramın təpəsinə qarşı olan diaqonalın kvadratı, yuxarıdakı tərəfə bitişik olan iki tərəfin kvadratlarının cəminə bərabərdir və bu tərəflərin ikiqat məhsulunu həmin təpənin bucağının kosinusu ilə çıxardır:

g 2 = a 2 + d 2 – 2 a d Cos (α)

Parallelogramlar qanunu

Hər hansı bir paralelogramda, tərəflərinin kvadratlarının cəmi, diaqonalların kvadratlarının cəminə bərabərdir:

üçün 2 + b 2 + c 2 + d 2 = f 2 + g 2

Yenidənctangle

Dördbucaq, qarşı tərəfləri iki-iki paralel olan və düz bucağa da sahib olan dördbucaqlıdır. Başqa sözlə, düzbucaqlı düz bucaqlı paralellogram növüdür. Parallelogram olduğum üçün düzbucağın a = c və b = d bərabər uzunluqda əks tərəfləri var.

Ancaq hər hansı bir paralel qrafada olduğu kimi, qonşu bucaqlar tamamlayıcıdır və əks bucaqlar bərabərdir, düz bucağa sahib olduğu üçün düzbucaqlıda, digər üç bucaqda da mütləq düz bucaqlar əmələ gətirəcəkdir. Deməli bir düzbucaqlıda bütün daxili açılar 90º və ya π / 2 radian ölçülür.

Bir düzbucaqlının diaqonalları

Bir düzbucaqlıda çaprazlar bərabər uzunluqdadır, aşağıda göstərildiyi kimi. Səbəb belədir; Düzbucaqlı, bütün düz bucaqları olan bir paralel parqoldur və buna görə də diaqonalların uzunluğunu verən düstur da daxil olmaqla paralellogramın bütün xüsusiyyətlərini miras alır:

F 2 = a 2 + d 2 + 2 a d Cos (α)

g 2 = a 2 + d 2 – 2 a d Cos (α)

ilə α = 90º

Necə Cos (90º) = 0, onda belə olur:

F 2 = g 2 = a 2 + d 2

Yəni f = gvə buna görə də uzunluqlar F Y g düzbucaqlının iki diaqonalından bərabərdir və uzunluğu aşağıdakı kimi verilir:

Bir düzbucağın diaqonal uzunluğu = √ (a 2 + b 2 )

Həm də, bitişik tərəfləri olan bir düzbucaqlı içindədirsə üçün Y b bir tərəf təməl olaraq alınır, digər tərəf hündürlüyə və nəticədə düzbucaqlının sahəsi olacaqdır:

Düzbucaqlının sahəsi = a x b.

Perimetr düzbucaqlının bütün tərəflərinin cəmidir, lakin əkslər bərabər olduğundan tərəfləri olan bir düzbucaqlı üçün belə çıxır üçün Y b perimetri aşağıdakı düsturla verilir:

Düzbucaqlının ətrafı = 2 (a + b)

Meydan

Meydan bitişik tərəfləri eyni uzunluqda olan bir düzbucaqlıdır. Meydanın bir tərəfi varsa üçün, sonra çaprazları F Y g eyni uzunluğa sahibdirlər, yəni f = g = (-2) a.

Bir kvadratın sahəsi onun kvadratıdır:

Bir kvadratın sahəsi = a 2

Bir kvadratın ətrafı tərəfdən iki dəfə çoxdur:

Kvadratın ətrafı = 4 a

Almaz

Romb, qonşu tərəfləri eyni uzunluqda olan bir paralel qrafadır, lakin paralel qrafadakı kimi qarşı tərəflər bərabərdir, bir rombun bütün tərəfləri uzunluğa bərabərdir.

Bir rombun diaqonalları fərqli uzunluqdadır, lakin düz açılarla kəsişirlər.

Nümunələr

Nümunə 1

Dördbucaqlıda (kəsişməmiş) daxili açıların 360º-a qədər olduğunu göstərin.

Dördbucaqlı ABCD nəzərə alınır (şəkil 10-a baxın) və diaqonal BD çəkilir. ABD və BCD iki üçbucağı meydana gəlir. ABD üçbucağının daxili açılarının cəmi:

Və BCD üçbucağının daxili açılarının cəmi:

β2 + γ + δ₂ = 180º

İki tənliyi əlavə etsək:

Qruplaşdırmaq və adını dəyişdirməklə nəhayət göstərilir:

α + β + δ+ γ = 360º

Nümunə 2

Trapeziyanın orta hissəsinin əsaslarına paralel olduğunu və uzunluğunun bazaların yarısı cəm olduğunu göstərin.

Trapeziyanın medianı, tərəflərinin orta nöqtələrini, yəni paralel olmayan tərəfləri birləşdirən hissədir. Şəkil 11-də göstərilən ABCD trapeziyasında orta MN-dir.

M AD-nin orta nöqtəsi və N BC-nin orta nöqtəsi olduğundan AM / AD və BN / BC nisbətləri bərabərdir.

Yəni AM, AD ilə BC nisbətində BN ilə mütənasibdir, buna görə də aşağıdakıları ifadə edən Thales (qarşılıqlı) teoreminin tətbiqi üçün şərtlər verilir:

“Əgər mütənasib seqmentlər iki saniyə ilə kəsilmiş üç və ya daha çox sətirdə təyin olunarsa, bu sətirlərin hamısı paraleldir”.

Bizim vəziyyətimizdə MN, AB və DC xətlərinin bir-birinə paralel olduğu qənaətinə gəlirik:

“Lbir trapeziyanın medianı onun əsaslarına paraleldir”.

İndi Thales teoremi tətbiq olunacaq:

“İki və ya daha çox sekansın kəsdiyi paralellər dəsti mütənasib seqmentləri təyin edir”.

Bizim vəziyyətimizdə AD = 2 AM, AC = 2 AO, buna görə DAC üçbucağı MAO üçbucağına bənzəyir və nəticədə DC = 2 MO.

Bənzər bir arqument, CAB-in CA ilə oxşar olduğunu təsdiqləməyə imkan verir, burada CA = 2 CO və CB = 2 CN. Dərhal AB = 2 ON olduğu ortaya çıxır.

Bir sözlə, AB = 2 ON və DC = 2 MO. Yəni əlavə edərkən bizdə var:

AB + DC = 2 ON + 2 MO = 2 (MO + ON) = 2 MN

Nəhayət MN təmizlənir:

Və bir trapezoid medianın əsasların yarı cəmini ölçdüyü və ya başqa bir şəkildə qoyduğu qənaətinə gəlinir: orta, ikiyə bölünən əsasların cəmini ölçür.

Nümunə 3

Bir rombda diaqonalların düz açılarla kəsişdiyini göstərin.

Şəkil 12-də olan lövhə tələb olunan konstruksiyanı göstərir. Əvvəlcə ABCD paralellogramı AB = BC, yəni bir romb ilə çəkilir. AC və DB diaqonalları şəkildə göstərilən səkkiz bucağı təyin edir.

Sekan tərəfindən kəsilmiş paralellər arasındakı alternativ daxili açıların bərabər bucaqları təyin etdiyini bildirən teoremi (a.i.p.) istifadə edərək aşağıdakıları qura bilərik:

Digər tərəfdən, bir rombun bitişik tərəfləri bərabər uzunluqda olduğundan, dörd yanbucaqlı üçbucaq təyin olunur:

DAB, BCD, CDA və ABC

İndi bazaya bitişik bucaqların bərabər ölçüdə olduğunu bildirən üçbucaq (bərabərbucaqlı) teoremi səsləndirilir:

( *) Və ( * *) münasibətləri birləşdirilirsə, aşağıdakı bucaq bərabərliyinə çatılır:

α₁ = α2 = γ₁ = γ₁ bir tərəfdən və β₁ = β2 = δ₁ Digər tərəfdən = δ2.

İki bərabər bucaq arasındakı bərabər tərəfi olan iki üçbucağın bərabər olduğunu bildirən bərabər üçbucaqlar teoremini xatırladaraq:

AOD = AOB və nəticədə ∡AOD = ∡AOB açıları da.

Sonra ∡AOD + ∡AOB = 180º, lakin hər iki bucaq bərabər ölçüdə olduğundan ∡AOD = 90º olduğunu nəzərdə tutan 2 ∡AOD = 180º var.

Yəni, bir rombun diaqonallarının düz açılarla kəsişdiyi həndəsi olaraq göstərilir.

Məşqlər həll edildi

– Məşq 1

Düz bir trapeziyada düz olmayan bucaqların əlavə olduğunu göstərin.

Həll

ABCD trapeziyası AB və DC paralel əsaslarla inşa edilmişdir. A təpəsinin daxili bucağı düzdür (ölçüsü 90º), buna görə düz bir trapezoidə sahibik.

Α və δ bucaqları iki paralel AB və DC arasındakı daxili açılardır, buna görə bərabərdirlər, yəni δ = α = 90º.

Digər tərəfdən, dördbucağın daxili açılarının cəminin 360º-a qədər olduğu göstərilmişdir, yəni:

α + β + γ + δ = 90º + β + 90º + δ = 360º.

Yuxarıda göstərilənlər gətirib çıxarır:

Göstərmək istədiklərini, β və δ açılarının əlavə olduğunu təsdiqləyirik.

– Məşq 2

Parallelogram ABCD AB = 2 sm və AD = 1 sm, BAD açısı isə 30º-dir. Bu paralelloqramın sahəsini və iki diaqonalının uzunluğunu təyin edin.

Həll

Parallelogramın sahəsi bazanın uzunluğu və hündürlüyünün məhsuludur. Bu vəziyyətdə hissənin uzunluğu b = AB = 2 sm əsas götürüləcək, digər tərəfin uzunluğu a = AD = 1 sm olacaq və h hündürlüyü aşağıdakı kimi hesablanacaq:

h = AD * Sen (30º) = 1 sm * (1/2) = ½ sm.

Beləliklə: Sahə = b * h = 2 sm * ½ sm = 1 sm 2 .

İstinadlar

1. C. E. A. (2003). Həndəsə elementləri: məşqlər və pusula həndəsəsi ilə. Medellin Universiteti.
2. Campos, F., Cerecedo, F. J. (2014). Riyaziyyat 2. Grupo Redaktor Patria.
3. Azad, K. (2007). Çoxbucaqları kəşf edin. Benchmark Təhsil Şirkəti.
4. Hendrik, V. (2013). Ümumiləşdirilmiş poliqonlar. Birkhäuser.
5. IGER. (s.f.). Riyaziyyat Birinci Dövr Tacaná. IGER.
6. Kiçik həndəsə. (2014). Poliqonlar. Şirkət Adı Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren və Hornsby. (2006). Riyaziyyat: Düşüncə və tətbiqetmə (Onuncu nəşr). Pearson Təhsil.
8. Patiño, M. (2006). Riyaziyyat 5. Redaktor Progreso.
9. Vikipediya. Dördbucaqlılar. Yenilənib: es.wikipedia.com

Bucaqları hesablayın

Həndəsədə bucaq yarım xətlərin yaratdığı eyni son nöqtəsi və ya təpəsi olan iki yarım xətt və ya xətt seqmenti arasındakı boşluqdur. Adətən bucaqlar dərəcələrlə ölçülür, tam dairə 360 dərəcəyə uyğun gəlir. Əgər çoxbucaqlının formasını və digər bucaqların ölçüsünü bilirsinizsə və ya düzbucaqlı üçbucaq vəziyyətində iki tərəfin uzunluğunu bilirsinizsə, çoxbucaqlıdakı bucağın ölçüsünü hesablaya bilərsiniz.

hərəkət kurs

Metod 1 Çoxbucaqlıda bucaq kəmiyyətlərini hesablayın

• Üçbucağın (3 tərəfli çoxbucaqlı) bucaqlarının cəmi 180 dərəcədir.
• Kvadratın (4 tərəfli çoxbucaqlı) bucaqlarının cəmi 360 dərəcədir.
• Beşbucaqlının (5 tərəfli çoxbucaqlı) bucaqlarının cəmi 540 dərəcədir.
• Altıbucaqlının (6 tərəfli çoxbucaqlı) bucaqlarının cəmi 720 dərəcədir.
• Səkkizbucağın (8 tərəfli çoxbucaqlı) bucaqlarının cəmi 1080 dərəcədir.

• Çoxbucaqlı düzgün çoxbucaqlıdırsa, sadəcə olaraq bütün bucaqların cəmini onun bucaqlarının sayına bölün. Beləliklə, bərabərtərəfli üçbucağın hər bir bucağının ölçüsü 180 dərəcə / 3 və ya 60 dərəcədir və kvadratdakı hər bir bucağın ölçüsü 360 dərəcə / 4 və ya 90 dərəcədir (baxmayaraq ki, düzbucaqlı müəyyən bir çoxbucaqlı deyil, onun bütün bucaqların da düz bucaqları var və 90 dərəcə var).
• Çoxbucaqlı müntəzəm çoxbucaqlı deyilsə, bilinməyən bucağın ölçüsünü hesablamaq üçün çoxbucaqlıdakı digər bucaqların ölçülərini bilməlisiniz. Növbəti addıma keçin.

• Üçbucaqdakı bucaqlardan ikisi 60 və 80 dərəcədirsə, ədədləri birlikdə toplayıb 140 dərəcə cəmi alırıq. Sonra 180 dərəcə olan üçbucağın bucaqlarının ümumi cəmindən bu məbləği çıxarırıq: 180 dərəcə – 140 dərəcə = 40 dərəcə (bütün bucaqların müxtəlif ölçülərdə olduğu bu tip üçbucaq bərabərtərəfli üçbucaq adlanır).
• Yuxarıdakı üsulu düstur kimi yaza bilərik: bir = 180 dərəcə – (b + c), harada bir böyüklüyünü müəyyən etmək istədiyimiz bucaqdır və b və c ölçülərini artıq bildiyimiz bucaqlardır. 3-dən çox tərəfi olan çoxbucaqlılar üçün yalnız “180” dərəcəni çoxbucaqlının ümumi bucaq cəmi ilə əvəz etməliyik və hər hansı digər məlum bucaq üçün fərqli təyinat əlavə etməliyik.
• Bəzi çoxbucaqlılarla naməlum bucaqların ölçülərini tapmaq üçün “kömək” var. Vahid üçbucaq eyni uzunluqda iki tərəfi və eyni ölçülü iki bucağı olan üçbucaqdır. Paraleloqram, əks tərəflərin eyni uzunluqda və diaqonal olaraq əks bucaqların eyni ölçüdə olduğu kvadratdır.

Metod 2 Düzbucaqlı üçbucaqda bucaq ölçülərini hesablayın

• Üçüncü bucağın ölçüsü. Bu halda, onun ölçüsünü 90 dərəcəyə, düzgün bucağın ölçüsünə əlavə edirsiniz və cəmini 180 dərəcədən çıxarırsınız.
• İki üçbucaqlı tərəfin uzunluğu. Bu vəziyyətdə triqonometriyadan istifadə edərək bucağın ölçüsünü hesablaya bilərsiniz.

• Bucağa qarşı olan tərəfin uzunluğunu və hipotenuzanın uzunluğunu (düz bucağın qarşı tərəfi) bilirsinizsə, qarşı tərəfin uzunluğunun hipotenuzun uzunluğuna bölünməsi olan sinus funksiyasından istifadə edə bilərsiniz.
• Bucaqda yatan tərəfin uzunluğunu və hipotenuzanın uzunluğunu bilirsinizsə, kosinus funksiyasından istifadə edə bilərsiniz, bu da bitişik tərəfin uzunluğunun hipotenuzun uzunluğuna bölünməsidir.
• Qarşılıqlı və bitişik tərəflərin uzunluqlarını bilirsinizsə, qarşı tərəfin uzunluğunun bitişik tərəfin uzunluğuna bölünməsi olan tangens funksiyasından istifadə edə bilərsiniz.

• Qarşı tərəfdəki uzunluğu (5) hipotenuzun uzunluğuna (10) bölsək, 5/10 = 0,5 alırıq.

• Kalkulyatorların mövcudluğundan əvvəlki günlərdə 0-dan 90 dərəcəyə qədər bucaqlar üçün sinus, kosinus və tangens dəyərləri olan çap edilmiş cədvəldən istifadə olunurdu. “0,5” dəyərini tapana qədər sinus sütunu ilə aşağı enin və sonra sinus dəyərinə uyğun olan bucağı oxuyun.
• Triqonometrik funksiyaları olan bir kalkulyatorla siz sinus dəyərini daxil edə bilərsiniz (əgər siz hipotenuzanın əks tərəfini kalkulyatorla paylaşmamısınızsa) və sonra müvafiq düyməni (lər) basın. Kalkulyatorunuzdakı işarədən asılı olaraq, “sin” düyməsini basmazdan əvvəl “sin” qeyd olunan tək düyməni və ya “Inv”, “2ndF” və ya “Shift” qeyd olunan düyməni basa bilərsiniz.
• Bu nümunə üçün hansı üsuldan istifadə edirsinizsə, bucağın 30 dərəcə olduğunu kəşf edin.

Məsləhətlər

• Bucaqlar neçə dərəcə olduqlarına görə adlandırılır. Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, düz bucaq 90 dərəcədir. 0-dan böyük, lakin 90 dərəcədən kiçik bucaq kəskin bucaq adlanır. 90-dan çox, lakin 180 dərəcədən az olan bucaq küt bucaq adlanır. 180 dərəcə bucaq uzadılmış bucaq, 180 dərəcədən çox olan bucaq isə küt bucaqdır.
• Böyüklüyü 90 dərəcəyə qədər olan iki bucaq tamamlayıcı bucaqlar adlanır (düzbucaqlı üçbucaqdakı digər iki bucaq (düz bucaq deyil) tamamlayıcı bucaqlardır). Böyüklüyü 180 dərəcəyə qədər olan iki bucaq ikinci dərəcəli bucaq adlanır.

Nə lazımdır

• Bucaq funksiyaları olan triqonometrik cədvəllər və ya kalkulyatorlar