Ekstremun şərti teoremi

$\color$ Bir noktadaki min ve max değerlerinden bahsedebilmemiz için o noktanın tanımlı olması gerekir. Yani $\\[1ex]$ kritik nokta olarak analiz edeceğimiz noktada bir boşluk olmaması gerekir; $f(\colorc)$ = tanımlı! $\hspace4em$ $\color<\Rightarrow>\hspace1em$ Yeşil grafikler

Trigonometrik Ceva Teoremi

Trigonometrik Ceva birçok model/zihin sorusunun üretilmesine ve çözülmesine yardımcı olmuştur. Sayfanın sonunda bir uygulamasını görebilirsiniz.

Kanıt:

Sinüs teoreminden faydalanarak Trigonometrik Ceva Teoremi’ni kanıtlayalım.

Trigonometrik Ceva Teoremi

$PAB$ üçgeninde sinüs teoremi uygularsak;

Eşitlikleri taraf tarafa çarparsak

$\Rightarrow sin \alpha.sin \beta .sin\theta = sinx. siny. sinz$ veya

UYGULAMA:

Trigonometrik ceva teoremiyle ilgili bir problem.

Trigonometrik Çözüm:

$ABC$ üçgeninde açı ölçülerini yerleştirdiğimizde $m(\widehat)= (20-\alpha)^$ yazabiliriz.

Trigonometrik Ceva Teoreminden faydalanırsak,

$ \Rightarrow 20-\alpha = \alpha$

$ \Rightarrow \alpha = 10^$

Sentetik Çözüm:

$APC$ üçgeninin $AC$’ye göre simetriği $AKC$ üçgenidir. ($40^-70^-70^$ -> $B$, $A$, $K$ doğrusaldır.)

$BCA$ ve $ACK$ açılarının ölçüleri eşit, $30^$ ve $\left | PC \right |=\left | KC \right |$ olduğu için $KPC$ eşkenar üçgendir. $\left | PC \right |=\left | KC \right |=\left | KP \right |$’dir.

$PBK$ ve $PBC$ üçgenlerinin eş üçgenler olduğu görülür. ($BP$ simetri ekseni)

O halde $KBP$ ve $PBC$ açılarının ölçüleri eşit olup, $\alpha=10^$’dir.

İSTEMBİL

Bir önceki bölümde, kritik noktaların ne olduğunu anlamıştık (fonksiyonun bir formdan başka bir forma döndüğü noktalar). Bu bölümde, bu noktaların nasıl bulunacağını öğreneceğiz. Maksimum ve Minimum değerler aslında fonksiyonun belli bir aralıkta ulaştığı en büyük ve en küçük değerlerdir. Fonksiyon bu değerlerden sonra artış veya azalış trendine girer.

Daha fazla detaya girmeden önce sıkça kullanacağımız bazı terimlerin ne anlama geldiğini öğrenelim:

Maximum -Minimum- Ekstremum

1) Mutlak max (Global – Absolute max) = fonksiyonun ($-\infty$,$\ +\infty$) aralığında (büyük resimde) $\\[1ex]$ alabileceği en büyük değer.

2) Mutlak min (Global – Absolute min) = fonksiyonun ($-\infty$,$\ +\infty$) aralığında (büyük resimde) $\\[1ex]$ alabileceği en küçük değer.

3) Yerel max (Local – Relative max) = fonksiyonun ($a$,$b$) aralığında (küçük resimde) alabileceği en büyük değer.

4) Yerel min (Local – Relative min) = fonksiyonun ($a$,$\ b$) aralığında (küçük resimde) alabileceği en küçük değer.

5) $\color>$ = fonksiyonun mutlak (global-absolute) max ve min değerleri.

$\hspace3em$ i) Mutlak $\color>$ (Global – Absolute $\color>$) = Mutlak (Global – Absolute) max & min

$\hspace3em$ ii) Yerel $\color>$ (Local – Relative $\color>$) = Yerel (Local – Relative) max & min

Not: Yerel extremum noktaları için, fonksiyona kritik noktada hem sağdan hemde soldan bakabilmeliyiz, bu nedenle yerel extremum değerleri uç noktalarda aranmaz. Fakat bazı kitaplarda ve tanımlamarda uç noktalar da yerel extremum noktası olabiliyor. Bu konu üzerinde halen bazı tartışmalar sürüyor. Biz bu derste yerel extremum noktalarını fonksiyonun uçlarında tanımlamayacağız!

Şimdi şekiller üzerinde bu tanımlamaların ne anlama geldiğini anlamaya çalışacağız.

$\color$ Bir noktadaki min ve max değerlerinden bahsedebilmemiz için o noktanın tanımlı olması gerekir. Yani $\\[1ex]$ kritik nokta olarak analiz edeceğimiz noktada bir boşluk olmaması gerekir; $f(\colorc)$ = tanımlı! $\hspace4em$ $\color<\Rightarrow>\hspace1em$ Yeşil grafikler

$\color$ Yerel max ve min değerleri uç noktalarda aranmaz, fonksiyon o noktada tanımlı olsa dahi.$\hspace4em$ $\color<\Rightarrow>\hspace1em$ Yeşil grafikler

$\color$ Bazı durumlarda sonsuz çoklukta mutlak ve yerel max ve min değerlerimiz olabilir; örneğin $\\[1ex]$ tanım aralığı sınırlandırılmayan $sinx$ veya $cosx$ fonksiyonunda sonsuz tane mutlak ve yerel değerimiz vardır. $\hspace40em$ $\color<\Rightarrow>\hspace1em$ Kırmızı grafik

Ekstremum Değer Teorisi (Extreme Value Theorem)

Yukarıdaki analizimizde kullandığımız fonksiyonların hepsi sürekli fonksiyonlardı, bu gözlemler bizi Ekstremum Değer Teorisi’ne (Extreme Value Theorem) götürür. Bu teoreme göre: eğer [a,b] kapalı aralığında sürekli bir fonksiyonumuz var ise bu aralıkta bir yerde kesinlikle mutlak max ve mutlak min değerlerimiz vardır. Fakat bu teorem bize:

$\color$ bu değerlerin nerede oluştuğunu veya birden fazla olup olmadığını söylemez, ama en azından biryerlerde var olduklarını söyler.
$\color$ eğer kapalı bir aralıkta çalışmıyorsak mutlak extremum değerleri hakkında hiç birşey söylemez.

Yalnızca Ekstermum Değer Teoremi’ni kullanacaksak şartların sağlandığından emin olmamız gerekir, yani; bir tanım aralığımız olmalı ve fonksiyon bu aralıkta sürekli olmalıdır. Eğer tanım aralığımız yok ve/veya fonksiyon o aralıkta sürekli değilse fonksiyonun mutlak ekstremum değerleri olabilir veya olmayabilir!

Şunu da belirtmek gerekir ki; fonksiyonun bir noktada süreksiz olması, her iki mutlak ekstremum (max ve min) değerinin o aralıkta (süreksiz noktayı da kapsayan) olmadığı anlamına gelmez! Şekil 3.3 d ‘te görüldüğü gibi, fonksiyon $[a,b]$ kapalı aralığında bulunuyor ve $c$ noktasında süreksiz, fakat bu noktada süreksiz olmasına rağmen her iki mutlak ekstremum değerine de sahip olabiliyor.

Şekil 3.3 d: Süreksiz fonksiyon ve ekstremum değerler.

Önceki Sayfa 3.2 Kritik Noktalar (Critical Points)
Sonraki Sayfa 3.4 Mutlak Ekstremum Değerlerinin Bulunması (Finding Absolute Extrema)

İSTEMBİL’e sponsor olarak gelişimine destek olmak ve burada her sayfanın altında reklamınızı görmek ister misiniz?