Diferensial tənliklər (mühazirələr)

II
1) u(0, u) f1 ( y), y [0, b]; 2) u(a, y) f 2 ( y), y [0, b]; 3) u( x,0) f 3 ( x), x [0, a]; 4) u( x, b) f 4 ( x), x [0, a]
• Burada f1 , f 2 , f 3 , f 4 verilmiş funksiyalardır. Hesab edirik ki, verilmiş oblastın daxilində
u(x,y) funksiyası kəsilməz funksiyadır, yəni f1 (0) f 3 (0), f1 (b) f 4 (0), f 2 (0) f 3 (a), f 2 (b) f 4 (a).
x və y-ə uyğun olaraq h və l addımlarını götürək və xi ih, i 0,1,2. n, y j jl, j 0,1,2. m,
haradakı, xn nh a, y m ml b torunu quraq. (1.1) və (1.2) tənliklərini sonlu
fərqlərlə aproksimasiya etmək üçün aşağıdakı şəkildə göstərilən tor oblastı istifadə
u
2u
u
u
(
x
,
y
)
olunur. ij
və y xüsusi törəmələrinin torun daxili
i
j qəbul edək.
x 2
nöqtələrində aproksimasiyası aşağıdakı kimi olar:
2
u u i , j 1 2u ij u i , j 1
2 u ui 1, j 2uij ui 1, j
2
2
o
(
l
)
o
(
h
),
2
2
y
l
x 2
h2
2
2

Diferensial tənliklər

Riyaziyyatda diferensial tənlik bir və ya daha çox funksiya və onların törəmələrini əlaqələndirən bir tənlikdir. Bu cür münasibətlər olduqca yaygın olduğundan, diferensial tənliklər mühəndislik, fizika, iqtisadiyyat və biologiya da daxil olmaqla bir çox fənlərdə məşhur rol oynayır.

İstilik bərabərliyini həll etməklə yaradılan bir nasos korpusundakı istilik köçürməsinin vizuallaşdırılması . İstilik korpus içərisində yaranır və sərhəddə soyudulur, sabit bir temperatur paylanmasını təmin edir.

Diferensial tənliklərin öyrənilməsi əsasən onların həllərinin (tənliyi ödəyən edən funksiyaların məcmusu) və həllərinin xüsusiyyətlərinin öyrənilməsindən ibarətdir. Yalnız ən sadə diferensial tənliklər açıq formullarla həll edilə bilər; lakin verilmiş bir diferensial tənliyin həllərinin bir çox xüsusiyyətləri onları dəqiq hesablamadan müəyyən edilə bilər.

Həlllər üçün qapalı formalı bir ifadə olmadıqda, kompüterlər istifadə edilərək sayları yaxınlaşdırıla bilər. Dinamik sistemlər nəzəriyyəsi, diferensial tənliklərlə təsvir olunan sistemlərin keyfiyyətcə təhlilinə diqqət yetirir, halbuki müəyyən bir dəqiqlik dərəcəsi ilə həlli təyin etmək üçün bir çox sayda metod hazırlanmışdır.

Diferensial tənliklər (mühazirələr)

Bu mühazirələr toplusunda Törəməyə nəzərən həll оlunmuş birtərtibli adi difеnrеnsial tənliklər, Əsas anlayışlar və təriflər, Difеrеnsial tənlik anlayışının həndəsi izahı, Kvadratura ilə həll оlunan difеrеnsial tənliklər, Birtərtibli хətti difеrеnsial tənliklər, Tam difеrеnsialli tənliklər, İntеqrallayiъi vuruğun varlığı, Törəməyə nəzərən həll оlunmamış birtərtibli difеrеnsial tənliklər, Natamam difеrеnsial tənliklər, Klеrо tənliyi, Trayеktоriya haqqinda məsələ, Difеrеnsial tənliklər sistеmi, Yüksək tərtibli difеrеnsial tənliklər, Yüksək tərtibli natamam tənliklər və tərtibi azaldıla bilən tənliklər, Хətti bircins sistеmlər, Sabit əmsallı bircins sistеmin ümumi həllinin qurulması, Yüksək tərtibli хətti tənliklər, Хətti bircins оlmayan tənlik, Sabitlərin variasiyasi üsulu, Yüksək tərtibli sabit əmsalli хətti tənliklər, Həllin пaramеtrlərə nəzərən kəsilməzliyi, Həllin başlanğıc qiymətlərindən asılılığı ümumi intеqralin varlığı mövzularına dair mühazirə mətnləri toplanmışdır.

Aşağıdakı düyməyə vuraraq resursu yükləyə bilərsiniz.

Xüsusi törəməli diferensial tənliklərin həlli metodları

I
Müasir texnikanın bir çox nəzəri və tətbiqi məsələləri xüsusi törəməli diferensial
tənliklərlə ifadə olunur. Bu tənliklərin həlli üçün analitik şəkildə düsturlar almaq
əksər hallarda mümkün olmur. Bununla əlaqədar olaraq xüsusi törəməli diferensial
tənliklərin sərhəd məsələlərinin həlli üçün təqribi metodların istifadə oluması mühüm
əhəmiyət kəsb edir. Ona görə də iki naməlum dəyişəni olan ikinci tərtib xüsusi törəmələri olan xətti tənliklər üçün sərhəd məsələlərinə baxaq.
2
2
(1.1) 2u 2u
; (1.2) u u
x
2
y
2
0
x
2
y
2
F
Puasson tənlikləri üçün Dirixle məsələsinin həllinə baxaq. Yəni (1.1) və (1.2)
tənliklərini və aşağıdakı sərhəd şərtlərini ödəyən u(x,y) funksiyasını tapmaq lazımdır.

3.

II
1) u(0, u) f1 ( y), y [0, b]; 2) u(a, y) f 2 ( y), y [0, b]; 3) u( x,0) f 3 ( x), x [0, a]; 4) u( x, b) f 4 ( x), x [0, a]
• Burada f1 , f 2 , f 3 , f 4 verilmiş funksiyalardır. Hesab edirik ki, verilmiş oblastın daxilində
u(x,y) funksiyası kəsilməz funksiyadır, yəni f1 (0) f 3 (0), f1 (b) f 4 (0), f 2 (0) f 3 (a), f 2 (b) f 4 (a).
x və y-ə uyğun olaraq h və l addımlarını götürək və xi ih, i 0,1,2. n, y j jl, j 0,1,2. m,
haradakı, xn nh a, y m ml b torunu quraq. (1.1) və (1.2) tənliklərini sonlu
fərqlərlə aproksimasiya etmək üçün aşağıdakı şəkildə göstərilən tor oblastı istifadə
u
2u
u
u
(
x
,
y
)
olunur. ij
və y xüsusi törəmələrinin torun daxili
i
j qəbul edək.
x 2
nöqtələrində aproksimasiyası aşağıdakı kimi olar:
2
u u i , j 1 2u ij u i , j 1
2 u ui 1, j 2uij ui 1, j
2
2
o
(
l
)
o
(
h
),
2
2
y
l
x 2
h2
2
2

4.

III
Bunları (14.1) və (14.2)-də nəzərə alaq:
ui 1, j 2uij ui 1, j ui , j 1 2uij ui , j 1
0 (1.3) i 1. n 1,
u i 1, j
h2
2u ij u i 1, j
h
2
l2
u i , j 1 2u ij u i , j 1
l
2
F
(1.4) i 1. n 1,
j 1. m 1.
j 1. m 1.
Diferensial tənliklərin belə aproksimasiyası zamanı xəta o(h 2 l 2 ) olur. (14.1) və (14.2)
tənlikləri u(x,y)-in torun ( xi , yi ) nöqtələrindəki təqribi qiymətlərinə görə xətti cəbri tənliklər
sisteminə çevrilir.

5.

IV
l=h olan halda bu sistem aşağıdakı kimi olar:
u ij (u i 1, j u i 1, j u i , j 1 ) / 4,
(1.5)
u i 0 f 3 ( xi ), u i ,m f 4 ( xi ), u 0 j f1 ( yi ), u nj f 2 ( yi ),
Y
i=0,1,2. n-1, j=0,1,2. m-1.
• Beləliklə, verilmiş düzbucaqlı oblastda Laplas və Puasson
tənlikləri üçün Dirixle məsələsinin həlli u(x,y) funksiyasının
torun daxili nöqtələrində u ij təqribi qiymətlərinin
tapılmasına gəlir. u ij -ları tapmaq üçün isə (1.5) tənliklər
sistemini həll etmək lazımdır. Bu sistemi həll etmək üçün
Qauss-Zeydel metodundan istifadə etmək daha əlverişlidir.
Bu üsul aşağıdakı şəkildə iterasiyalar ardıcıllığının
qurulmasına əsaslanır: u ( s 1) 1 u ( s 1) u ( s ) u ( s ) u ( s 1)
ij
i 1, j
i 1
i , j 1
i , j 1
4
i,j+1
i-1,j
i,j
i+1,j
i,j-1
x

6.

V
(s )
u
s
Yuxarıdaki düsturda “s” – iterasiyaların nömrəsini göstərir.
şərtində ij ardıcıllığı (1.5)
(s)
( s 1)
sisteminin dəqiq həllinə yığılır. İterasiya prosesinin sonu kimi max u ij u ij
,
1 i n 1, 1 j m 1 qəbul edilir. Baxılan məsələnin kompüterdə həlli üçün C++
proqramlaşdırma dilində proqram kodunu aşağıdakı kimi tərtib etmək olar:

double v[50];
1) #include
2)
#include
double u[50];
#include
using namespace std;
double p(double x)
return exp(x);
>
double q(double x)
return x/2;
>
double f(double x)
return x * x;
>
double y[50];
double a,b,aa,bb,t,c,d,a0,a1,b0,b1,x,h,r1,r2;
int i,j,n;
int main()
cout cin >> a,b,h;
cout cin >> a0,a1,c,b0,b1,d;
r1:=h*h;r2:=h/2;u[0]:=-a1/(a0*h-a1);
v[0]:=c*h/(a0*h-a1);
x:=a;n:=trunc((b-a)/h);
for (int i = 0; i