Düz Xəttin Kanonik Tənliyi Necə Yazılır

_{Evklid fəzası.
Tərif. Tutaq ki, həqiqi xətti R fəzasının istənilən iki x və y elementinə , həmin elementlərin skalyar hasili adlanan və (x, y ) ilə işarə olunan , müəyyən bir həqiqi ədədi uyğun qoyma qanunu (skalyar hasil) verilmişdir və bu zaman aşağıdakı şərtlər (aksiomlar) ödənilir}

Fəzada perpendikulyar düz xətlər. Düz xəttin müstəviyə perpendikulyarlığı

Fəzada düz bucaq əmələ gətirən iki düz xəttə perpendikulyar düz xətlər deyilir. A və b düz xətlərin perpendikulyarlığı a b kimi işarə olunur.

Fəzəda düz xəttin xaricində götürülmüş nöqtədən onu kəsən bir perpendikulyar düz xətt, düz xəttin üzərindəki nöqtədən isə sonsuz sayda perpendikulyar düz xətt keçirmək olar.

Teorem 13 Paralel düz xətlərə perpendikulyar düz xətt
Paralel düz xətlərdən birinə perpendikulyar olan düz xətt onların hər birinə perpendikulyardır
Teorem 14. Düz xəttin müstəviyə perpendikulyarlıq əlaməti

Müstəvini kəsən düz xətt, onun üzərindəki iki kəsişən düz xəttə perpendikulyardırsa, müstəvinin özünə də perpendikulyardır.

Müstəvini kəsən və onun üzərindəki hər bir düz xəttə perpendikulyar olan düz xəttə, müstəviyə perpendikiulyar düz xətt, müstəviyə düz xəttə perpendikulyar müstəvi deyilir.

Teorem 15. Nöqtədən müstəviyəı perpendikulyar

Fəzanın ixtiyari nöqtəsindən verilmiş müstəviyə perpendikulyar bir və yalnız bir düz xətt keçirmək olar

• Teqlər:
• perpendikulyar düz xətlər
• , həndəsə
• , planimetriya

Düz Xəttin Kanonik Tənliyi Necə Yazılır

Düz xətt həndəsənin orijinal anlayışlarından biridir. Analitik olaraq düz xətt müstəvidə və fəzada tənliklər və ya tənliklər sistemi ilə təmsil olunur. Kanonik tənlik, ixtiyari istiqamət vektorunun koordinatları və iki nöqtə baxımından müəyyən edilir. Düz xəttin kanonik tənliyi necə yazılır

Təlimat

Addım 1

Həndəsədəki hər hansı bir konstruksiyanın əsası, fəzadakı iki nöqtə arasındakı məsafə anlayışıdır. Düz xətt bu məsafəyə paralel bir xəttdir və bu xətt sonsuzdur. İki nöqtədən yalnız bir düz xətt çəkilə bilər.

Addım 2

Qrafik olaraq düz bir xətt ucları məhdud olmayan bir xətt kimi təsvir olunur. Düz bir xətt tamamilə təsvir edilə bilməz. Buna baxmayaraq, bu qəbul edilmiş sxematik təsvir hər iki istiqamətdə sonsuzluğa gedən bir düz xətt deməkdir. Qrafikdə kiçik bir Latın hərfləri ilə düz bir xətt göstərilir, məsələn a və ya c.

Addım 3

Analitik olaraq, bir müstəvidəki düz xətt birinci dərəcəli bir tənliklə, fəzada – tənliklər sistemi ilə verilir. Kartezyen koordinat sistemi vasitəsilə düz xəttin ümumi, normal, parametrik, vektor-parametrik, tangensial, kanonik tənliklərini ayırın.

Addım 4

Düz xəttin kanonik tənliyi parametrik tənliklər sistemindən çıxır Düz xəttin parametrik tənlikləri aşağıdakı formada yazılır: X = x_0 + a * t; y = y_0 + b * t.

Addım 5

Bu sistemdə aşağıdakı təriflər qəbul edilir: – x_0 və y_0 – düz bir xəttə aid olan bəzi N_0 nöqtəsinin koordinatları; – a və b – düz xəttin yönləndirici vektorunun koordinatları (ona aid və ya ona paralel); – x və y – bir düz xəttdəki ixtiyari N nöqtəsinin koordinatları və N_0N vektoru düz xəttin istiqamətverici vektoruna bərabərdir; – t dəyəri başlanğıc nöqtəsindən N_0-a nöqtəyə qədər olan məsafəyə mütənasib olan bir parametrdir. N (bu parametrin fiziki mənası, N nöqtəsinin istiqamətverici vektor boyunca düzbucaqlı hərəkət vaxtıdır, yəni t = 0 nöqtəsində N nöqtəsi N_0 nöqtəsi ilə üst-üstə düşür).

Addım 6

Beləliklə, düz xəttin kanonik tənliyi parametrik birdən, bir tənliyi digərinə bölməklə t parametri aradan qaldırılaraq əldə edilir: (x – x_0) / (y – y_0) = a / b. Buradan: (x – x_0) / a = (y – y_0) / b.

Addım 7

Məkanda bir düz xəttin kanonik tənliyi üç koordinatla təyin olunur, buna görə: (x – x_0) / a = (y – y_0) / b = (z – z_0) / c, burada c istiqamət vektorunun tətbiqidir. Bu vəziyyətdə a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2? 0.

Fəzada düz xətt və müstəvilər

bərabərlikləri alınır. Buna L düz xəttinin kanonik tənliyi deyilir. Verilmiş M_o və M₁ nöqtələrindən kecən düz xəttin tənliyi.

Fəzada iki düzxətt arasındakı bucaq .
Tutaq ki, tənlikləri uyğun olaraq

olan iki L₁ və L₂ düz xətti verilmişdir. α

Bu düz xəttlər arasındakı φ bucağı onların L₁

istiqamətləndirir və vektorları

arasındakı , bucağa bərabərdir. Həmin bucağı isə

düsturu ilə tapmaq olar. (1) və (2) düz xəttinin perpendikulyar olması şərti

Həmin düz xəttlərin paralel olması ücün onların istiqamətləndirici və vektorları kollinear olmalıdır;

_{Müstəvinin normal tənliyi.}

Ax+By+Cz+D=0 (1)
şəklindədir. (1) şəklində olan hər bir xətti tənlik fəzada bir müstəvini təyin edir. Bu isə müstəvinin ümumi tənliyi deyilir. (1) tənliyinə ekvivalent olan

normal tənlik şəklinə gətirmək ücün onun hər iki tərəfini

(2)
ədədinə vurmaq lazımdır. (2) kəmiyyətinə müstəvi tənliyinin normallaşdırıcı vuruğu deyilir.

İki müstəvi arasındakı bucaq.
Tənlikləri uyğun olaraq

olan Q₁ və Q₂ müstəviləri arasındakı bucaq

Həmin müstəvilərin paralellik şərtləri

Fəzada düz xəttlə müstəvinin qarışılıqlı vəziyyəti..
Tutaq ki, fəzada tənliyi

olan L-düz xətti və tənliyi

olan Q müstəvisi verilmişdir. L – düz xəttinin

istiqamətləndirici vektoru ilə (2) müstəvisinin

normalı arasındakı bucaq olarsa , onda həmin düz xəttlə müstəvi arasındakı φ bucağını münasibətindən tapmaq olar.

Verilmiş L –düz xəttinin Q müstəvisinə ┴ olması onun istiqamət-

ləndirici vektorunun vektoru ilə kollinear olması deməkdir;

. Buradan verilmiş L –düz xəttinin (2) müstəvisinə ┴ olma- QQQQQ

sı şərti alınır;

L- düz xəttinin (2) müstəvisinə paralel olması şərti və ya (3) düsturuna görə

Nöqtədən müstəviyə qədər olan məsafə.

Müstəvinin tənliyi ümumi şəkildə verildikdə, onu normallaşdırıcı vuruğuna vuraraq , əvvəlcə normal tənlik şəklinə gətirmək , sonra da düsturunu tətbiq etmək lazımdır. Bu halda

İkitərtibli əyrilər.

_{1. Ellips. Tərif. Müstəvi üzərində fokus adlanan verilmlş iki və nöqtəsindən məsafələrinin cəmi sabit ədəd olan nöqtələrin həndəsi yerinə ellips deyilir.}

Ellipsin tənliyini çıxarmaq üçün müstəvi üzərində düzbucaqlı koordinat sistemi götürək və ellepsin fokuslarının absis oxu üzərində koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrik yerləşdiyini fərz edək.

_{Onda ellips üzərində yerləşən nöqtəsi y}

_{Burada 2a ilə tərifdə göstərilən sabit ədəd işarə}

_{olunmuşdur. qəbul etsək , onda A2}

_{və olar. Bu halda iki A2}

_{nöqtə arasındakı məsafə düsturuna görə}

_{(1) bərabərliyinə əsasən ; B2}

_{Bu ellipsin axtarılan tənliyidir. Ellipsin (2) tənliyini sadə şəklə gətirmək üçün onu radikallardan qurtardıqdan sonra}

_{olduğundan qəbul etmək olar. Onda (3) tənliyi}

_{şəklində yazılar. (4) tənliyinə ellipsin kanonik tənliyi y}

<sub>deyilir.
2. Hiperbola. Tərif. Fokus adlanan verilmiş</sub>

_{iki F1 və F2 nöqtəsindən məsafələrinin fərqi mütləq}

_{qiymətcə sabit kəmiyyət olan nöqtələrin həndəsi M}

_{yerinə hiperbola deyilir.}

_{Hiperbolanın tənliyini çıxarmaq üçün yenədə F2 o F1 x}

_{tərifdə göstərilən müsbət sabiti 2a , fokuslar}

_{arasındakı məsafəni 2c və fokusların}

_{absis oxu üzərində koordinat başlanğıcına nəzər-}

_{ən simmetrik yerləşdiyini qəbul edək. Onda tərifə}

_{görə F1( c; o), F2( -c; o) və M( x,y)}

_{tənliyi hiperbolanın axtarılan tənliyidir. Bu tənliyi ellipsin tənliyi kimi sadələşdirsək, yenə də}

_{münasibətini alarıq. Bu halda olduğundan qəbul edərək (2) tən-liyini}

_{(3)
şəklində yazmaq olar. (3) tənliyinə hiperbolanın kanonik tənliyi deyilir.}
3.Parabola . Tərif. Fokus adlanan verilmiş F nöqtəsindən və direktris adlanan verilmiş d düz xəttindən eyni uzaqlıqda olan nöqtələrin həndəsi yerinə parabola deyilir.

Parabolanın tənliyini çıxarmaq üçün F fokusunun absis oxu üzərində yerləşdiyini və d direktrisinin həmin oxa olduğunu qəbul edək. Fokusla direktris arasındakı məsafə olsun . Fərz edək ki, koordinat başlanğıcı FD parçasının orta nöq-təsində yerləşir. Onda

_{və parabolanın ∀ M (x,y) nöqtəsi üçün ;}

_{N M(x,y)}
Buradan D 0 F x

_{(1) d}
(1) tənliyinə parabolanın kanonik tənliyi deyilir.

İkitərtibli səthlər.
Tərif. x y, z dəyişənlərinə nəzərən ikidərəcəli tənliklə təyin olunan səthə ikitərtibli səth deyilir.

İkitərtibli səthlərin ümumi tənliyi.
(1)

Verilən düz xəttə paralel qalan və verilən L xəttini kəsən mütəhərrik düz xəttin cızdığı səthə silindirik səthə deyilir.

Elliptik silindir, tənliyi ilə həll olunmuş və doğuranları Oz oxuna paralel olan silindrə deyilir. Elliptik silindrin yönəldicisi Oxy müstəvisi üzərində yerləşən ellipsdir.

tənliklər ilə, təyin olunan və doğuranları Oz oxuna paralel olan silindrik səthlərə uyğun olaraq hiperbolik və parabolik silindr deyilir.

Elliptik, hiperbolik və parabolik silindirlərə ikitərtibli silindirlər deyilir.
İkitərtibli səthlərin aşağıdakı növləri vardır .
1. Ellipsoid, Kanonik tənliyi.

_{olan ikitərtibli səthə ellipsoid deyilir. a=b=c olduqda ellipsoid sferaya çevrilir.}

2. Biroyuqlu hiperboloid , Kanonik tənliyi

_{olan ikitərtibli səthə deyilir.}

3. İkioyuqlu hiperboloid , Kanonik tənliyi

_{olan ikitərtibli səthə deyilir.}

4. Konus, Kanonik tənliyi

_{olan ikitərtibli səthə deyilir.}

5. Elliptik paraboloid, Kanonik tənliyi

_{olan ikitərtibli səthə deyilir.}

6. Hiperbolik paraboloid, Kanonik tənliyi

olan ikitərtibli səthə deyilir.

_{Evklid fəzası.
Tərif. Tutaq ki, həqiqi xətti R fəzasının istənilən iki x və y elementinə , həmin elementlərin skalyar hasili adlanan və (x, y ) ilə işarə olunan , müəyyən bir həqiqi ədədi uyğun qoyma qanunu (skalyar hasil) verilmişdir və bu zaman aşağıdakı şərtlər (aksiomlar) ödənilir}

_{10. İstənilən və üçün ;}

_{20. İstənilən və , üçün ;}

_{30. Elə sıfır elementi var ki, istənilən üçün ;}

_{40. Istənilən elementi üşün onun əksi adlanan elə elementi var ki,}

_{50. Istənilən elementi üşün}

_{60. Istənilən elementi , və həqiqi λ μ ədədləri ücün ;}

_{70. Istənilən və həqiqi λμ ədədləri ücün ;}

_{80. İstənilən x∈R , y∈R və həqiqi λ ədədi üçün ;}

9 0 . İstənilən və üçün ;

10 0 . İstənilən , y∈R və üçün ;

_{110. İstənilən xϵR , yϵR və həqiqi λ ədədi üçün ;}

_{120. İstənilən x≠o üçün (x1,x)>o və x = o olduüda ; (x1,x)=o}

Bu halda , həqiqi xətti R fəzasına həqiqi Evklid fəzası deyilir.

Funksiya və onun verilmə üsulları.
Tərif. Dəyişmə oblastları uyğun olaraq X və Y olan iki x və y dəyişən kəmiyyətini götürək.Hər-hansı ƒ qayda və ya qanun vasitəsilə dəyişən x kəmiyyətinin X dəyişmə oblastındakı hər bir qiymətinə, dəyişən y kəmiyyətinin müəyyən bir qiymətini uyğun və ya qarşı qoymaq mümkündürsə, onda X çoxluğundan Y çoxluğuna funksiya verilmişdir deyilir və y=ƒ(x) ilə göstərilir.

x-ə sərbəst dəyişən və ya arqument, y-ə isə funksiyanın asılı dəyişəni və ya qiyməti deyilir. X çoxluğuna funksiyanın təyin oblastı, Y çoxluğuna isə onun qiymətləri çoxluğu deyilir.

1. funksiyanın təyin oblastı, yəni x arqumentinin ola bildiyi qiymətlər çoxluğu göstərilsin;
2. x-in hər bir qiymətinə y-in müəyyən bir qiymətini uyğun qoyma qanunu, yəni x və y arasındakı uyğunluq qanunu göstərilsin.

Bu halda alınan funksiyasına mürəkkəb funksiya və ya funksiyanın funksiyası deyilir.

Tərs funksiya
X çoxluğunda təyin olunmuş y=ƒ(x) funksiyasının qiymətlər çoxluğu Y olsun. y-in Y çoxluğundakı hər bir y_o qiymətinə x-in X çoxluğundan y_o=ƒ(x_o) (1) bərabərliyini ödəyən ancaq bir x_o qiyməti uyğun olarsa (yəni y=ƒ(x) funksiyası X çoxluğunu Y çoxluğuna qarışılıqlı birqiymətli inikas etdirirsə ) , bu uyğunluqla Y çoxluğuna təyin olunan x=φ(y) funksiyasına y=ƒ(x) funksiyasının tərs funksiyası deyilir. Aydındır ki, y=ƒ(x) funksiyasını da x=φ(y) funksiyasının tərs funksiyası hesab etmək olar. Buna görə də çox zaman

y=ƒ(x) və x=φ(y) funksiyalarına qarışılıqlı tərs funksiyalar deyilir. Tərifə əsasən

ƒ və bərabərlikləri doğrudur.
Funksiyanın limiti.
Tərif 1. X çöxluğunun a-ya yığılan istənilən nöqtələri ardıcılığına ƒ(x) funksiyasının uyğun olan qiymətləri ardıcıllığının hamısı eyni bir A ədədinə yığıldıqda , həmin A ədədinə x→a şərtində funksiyasının limiti deyilir.

Aydındır ki, a-ya yığılan heç olmazsa iki ardıcıllığına funksiyasının və uyğun qiymətləri ardıcıllıqları müxtəlif limitlərə yığılarsa, onda funksiyasının x=a nöqtəsində limiti yoxdur. Funksiyanın nöqtədə limitinin başqa tərifi də vardır.

Tərif 2. Tutaq ki, sonlu a və A ədədləri və istənilən ədədi üçün elə ədədi varki, x-in X çoxluğundan götürülmüş və (1) bərabərsizliyini ödəyən bütün qiymətlərində (2) münasibəti ödənilir.Onda A ədədinə x→a şərtində funksiyasının limiti deyilir.

Qeyid edək ki, A ədədi x→a şərtində funksiyasının limiti olduqda (2) bərabərsizliyinin x=a qiymətində ödənilib ödənilməməsinin heç bir əhəmiyyəti yoxdur. funksiyası x=a nöqtəsində təyin olunduqda isə onun həmin nöqtədə limiti xüsusi qiymətinə bərabər olada bilər, olmayada bilər.

Funksiya limitinin birinci tərifinə “ limitin ardıcıllıq dilində tərifi ” (və ya Heyns mənada tərifi) , ikinci tərifinə isə

“ limitin dilində tərifi ”(və ya Koşi mənada tərifi ) deyilir.

Nöqtədə funksiyanın kəsilməzliyi.
Tərif 1. Tutaq ki, istənilən ədədi üçün elə ədədi var ki, x-in bərabərsizliyini ödəyən bütün qiymətlərində bərabərsizliyi ödənilir. Bu halda funksiyasına x=x_o nöqtəsində kəsilməyən funksiya deyilir.

Parçada kəsilməz funksiyanın bəzi xassələri .
Xassə1. (Veyerştrasın birinci teoremi) Sonlu parçasında kəsilməyən funksiyası həmin parçada məhduddur.

Xassə 2. (Veyerştrasın ikinci teoremi) Sonlu parçasında kəsilməyən funksiyası bu parçanın heç olmasa bir α nöqtəsində özünün həmin parçadakı dəqiq aşağı sərhəddini, heç olmasa bir nöqtəsində isə dəqiq yuxarı sərhəddini alır, yəni

Xassə 3. parçasında kəsilməyən funksiyası həmin parçanın uc nöqtələrində müxtəlif işarəli qiymətlər alırsa, onda a və b nöqtələri arasında yerləşən ən azı bir C(a c b ) nöqtəsi var ki, bu nöqtədə funksiyası sıfıra çevrilir;

Xassə 4. parçasında kəsilməyən funksiyası həmin parcanın uc nöqtələrində bərabər olmayan qiymətlərini alırsa, onda həmin A və B ədədləri arasında yerləşən hər bir c ədədi üçün parçasında yerləşən ən azı bir nöqtəsi var ki, olar.