İkiqat Inteqralları Necə Həll Etmək Olar

Əvvəlki hissədən 3 əmlak:

Inteqral Double. Tapşırıqlar. xassələri

Hər nümunə vəzifələri göründüyü kimi, biz müxtəlif problemlər eyni növ ikili məbləğlərin nəzərə gətirib ki, bağlamaq.

ikiqat inteqrallar xassələri.

Biz problem yaradır. müəyyən bir qapalı bölgədə verdiyi ilə, iki dəyişənlərin bir funksiyası verilir ki, düşünək davamlı funksiyası. sahə həmsərhəddir olduğundan, o, tamamilə müəyyən bir sahə kəsir xüsusiyyətləri olan hər hansı bir düzbucaqlı yerləşdirilə bilər. Biz bərabər hissəyə düzbucaqlı bölmək. Biz demək nəticəsində düzbucaqlı diaqonal qırılma ən böyük diametri edir. Biz indi bu düzbucaqlı kəsir sərhədləri seçin. Bu nöqtədə dəyəri məbləği qoymaq üçün tapmaq, onda bu məbləğ bir etki bir funksiyası tərkib adlanacaq. şəraitdə belə tərkib məbləğin sərhədləri, fasilə diametri 0 olacaq, düzbucaqlı sayı ki, – daimi. Belə bir sərhəd var və düzbucaqlı daxil sahəsi və şərtlər seçimi qırılma metodu asılı deyil, onda adlanır – ikiqat inteqral.

ikiqat inteqral həndəsi content: Problemi 2 təsvir edilmişdir bədən ikiqat inteqral rəqəmləri əqdlərin həcmi.

ikiqat inteqral (tərif) biləndir, aşağıdakı xassələri bilərsiniz:

1. daimi tərkib əlaməti xaricində qəbul edilə bilər.
2. inteqral məbləğ (fərq) inteqrallar məbləğində (fərq) bərabərdir.
3. funksiyaları daha az olacaq ki, ikiqat inteqral azdır.
4. modul ikiqat inteqral işarəsi altında edilə bilər.

İkiqat Inteqralları Necə Həll Etmək Olar

Riyazi analiz kursundan ikiqat inteqrasiya anlayışı məlumdur. Həndəsi olaraq ikiqat inteqral, D üzərində qurulmuş və z = f (x, y) səthi ilə məhdudlaşmış silindrik bir cismin həcmidir. İkiqat inteqrallardan istifadə edərək müəyyən bir sıxlığa malik olan nazik bir lövhənin kütləsini, düz fiqurun sahəsini, səth parçasının sahəsini, homojen bir lövhənin ağırlıq mərkəzinin koordinatlarını və digər miqdarda. İkiqat inteqralları necə həll etmək olar

Təlimat

Addım 1

İkiqat inteqralların həlli müəyyən inteqralların hesablanmasına endirilə bilər. Əgər f (x, y) funksiyası bəzi D domenində qapalı və fasiləsizdirsə, y = c sətri və x = d sətri ilə c

Addım 2

Əgər f (x, y) funksiyası bəzi D domenində qapalı və fasiləsizdirsə, y = c sətri və x = d sətri ilə c

Addım 3

Daha mürəkkəb D bölgələrində cüt inteqrasiyanı hesablamaq lazımdırsa, D bölgəsi hər biri 1-ci və ya 2-ci bəndlərdə göstərilən bölgə olan hissələrə bölünür, inteqrasiya bu bölgələrin hər birində hesablanır, alınan nəticələr xülasə edilmişdir.

Qeyri-müəyyən inteqral: xassələr, tətbiqetmələr, hesablama (nümunələr)

The qeyri-müəyyən inteqral türevinin tərs işidir və bunu ifadə etmək üçün uzanan “s” simvolu istifadə olunur: ∫. Riyazi olaraq F (x) funksiyasının qeyri-müəyyən inteqrasiyası yazılır:

İnteqrand F (x) = f´ (x) dəyişənin funksiyasıdır xbu da öz növbəsində inteqral və ya antiderivativ adlanan başqa bir f (x) funksiyasının törəməsidir.

Öz növbəsində, C olaraq bilinən bir sabitdir inteqrasiya daimi, hər zaman hər qeyri-müəyyən inteqralın nəticəsini müşayiət edir. Nümunə ilə mənşəyini dərhal görəcəyik.

Tutaq ki, bizdən aşağıdakı qeyri-müəyyən inteqralı tapmağımızı xahiş edirik:

Dərhal f´ (x) x ilə müəyyən edilir. Bu o deməkdir ki, f (x) funksiyasını elə gətirməliyik ki, onun törəməsi x olsun, çətin olmayan bir şey olsun:

F (x) çıxarmaqla f´ (x) əldə etdiyimizi bilirik:

İndi funksiya: f (x) = ½ x 2 + 2 də tələbi ödəyir, çünki hasilat xətti və sabitin törəməsi 0-dır, f (x) = ilə nəticələnən digər funksiyalar:

½ x 2 -1, ½ x 2 + 15; ½ x 2 – √2…

Və ümumiyyətlə formanın bütün funksiyaları:

Problemin doğru cavablarıdır.

Bu funksiyalardan hər hansı birinə deyilir antivivativ və ya f´ (x) = x ibtidai və dəqiq olmayan bir inteqrasiya olaraq bilinən bir funksiyanın bütün antidivivlərinin bu dəstinə aiddir.

İlkəllərdən yalnız birini bilmək kifayətdir, çünki göründüyü kimi, aralarındakı yeganə fərq inteqrasiyanın daimi C-sidir.

Əgər problem ilkin şərtləri ehtiva edirsə, onlara uyğun C dəyərini hesablamaq mümkündür (aşağıdakı həll nümunəsinə baxın).

Qeyri-müəyyən bir inteqral necə hesablanır

Əvvəlki misalda ∫x.dx hesablandı, çünki f (x) funksiyası məlum olduqda inteqranla nəticələndi.

Bu səbəbdən, əsas inteqrallar ən populyar funksiyalardan və onların törəmələrindən tez həll edilə bilər.

Bundan əlavə, bir inteqral həll edilərkən imkanları genişləndirən bəzi vacib xüsusiyyətlər var. Ol k həqiqi bir rəqəm, onda doğrudur:

1.- ∫kdx = k ∫dx = kx + C

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

3.- ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

4.- ∫x n dx = [x n + 1 / n + 1] + C (n–1)

5.- ∫x -1 dx = ln x + C

İnteqraldan asılı olaraq, inteqralları həll etmək üçün bir sıra cəbri və ədədi metodlar mövcuddur. Burada qeyd edirik:

-Cəbri və trigonometrik əvəzetmələr.

-Hissələrə görə inteqrasiya

-Rasional tipin inteqrasiyası üçün sadə kəsrlərə ayrılma

Birdən çox metodla həll edilə bilən integral var. Təəssüf ki, müəyyən bir inteqrasiyanı həll etmək üçün əvvəlcədən ən təsirli metodu təyin etmək üçün tək bir meyar yoxdur.

Əslində, bəzi metodlar müəyyən inteqralların həllinə digərlərindən daha tez çatmağa imkan verir. Ancaq həqiqət budur ki, inteqral həll bacarıqlarını əldə etmək üçün hər metodla tətbiq etməlisiniz.

– Nümunə həll edildi

Subradikal kəmiyyət üçün sadə dəyişən dəyişiklik edək:

İki ifadənin hər hansı birində hər iki tərəfi çıxarmaq belə verir:

İndi I kimi göstərəcəyimiz inteqralın yerini tuturuq:

I = ∫x √ (x-3) dx = ∫ (u + 3) (√u) du = ∫ (u + 3) u 1/2 du

Dağıtım mülkiyyətini və bərabər əsaslı güclərin vurulmasını tətbiq edirik və əldə edirik:

I = ∫ (u 3/2 + 3 u 1/2 ) du

Əvvəlki hissədən 3 əmlak:

I = ∫ u 3/2 du + ∫ 3u 1/2 du

İndi 4 kimi tətbiq olunan əmlak tətbiq olunur güclər qaydası:

Birinci inteqral

. U 3/2 du = [u 3/2 + 1 / (3/2 + 1)] + C₁ =

İkinci inteqral

U 3u 1/2 du = 3 ∫u 1/2 du = 3 [u 3/2 / (3/2)] + C₂ =

Sonra nəticələr I-də birləşdirilir:

I = (2/5) u 5/2 + 2u 3/2 + C

İki sabit problemsiz birinə birləşdirilə bilər. Nəhayət, əvvəllər edilmiş dəyişən dəyişikliyini qaytarmağı və nəticəni orijinal dəyişən x ilə ifadə etməyi unutmayın:

I = (2/5) (x-3) 5/2 + 2 (x-3) 3/2 + C

Nəticəni faktorlaşdırmaq mümkündür:

I = 2 (x-3) 3/2 [(1/5) (x-3) +1] + C = (2/5) (x-3) 3/2 (x + 2) + C

Proqramlar

Qeyri-müəyyən inteqrasiya təbii və sosial elmlərdəki çoxsaylı modellərə aiddir, məsələn:

Hərəkat

Hərəkət problemlərinin həllində, sürətini bilməklə və sürətini bilməklə bir cibin sürətini hesablamaq.

İqtisadiyyat

Məsələn, məhsulların istehsal xərclərini hesablamaq və bir tələb funksiyasını modelləşdirməklə.

Tətbiqi məşq

Bir cisimin Yerin cazibə qüvvəsindən qaçması üçün tələb etdiyi minimum sürət belədir:

-v Yerdən qaçmaq istəyən cismin sürətidir

-y planetin mərkəzindən ölçülən məsafəsidir

-M quru kütləsidir

-G sabit cazibə qüvvəsidir

Arasındakı əlaqəni tapmağı xahiş edir v Y Y, obyektə başlanğıc sürət v verilsə, qeyri-müəyyən inteqralların həlli_{və ya} və Yerin radiusu məlumdur və R adlanır.

Həll

İnteqrasiya qaydalarını istifadə edərək həll etmək üçün bizə iki qeyri-müəyyən inteqral təqdim olunur:

Mən₂ = -GM ∫ (1 / y 2 ) dy = -GM ∫ y -2 dy = -GM [y -2+1 / (- 2 + 1)] + C₂ = GM. Y -1 + C₂

Məni eyniləşdiririk₁ və mən₂:

İki sabit birinə birləşdirilə bilər:

İnteqrallar həll edildikdən sonra, aşağıdakı şərtlər olan ilkin şərtləri tətbiq edirik: cisim Yerin səthində olanda onun mərkəzindən R məsafədədir. Bəyanatda y-nin Yerin mərkəzindən ölçülən məsafə olduğunu izah edirlər.

Və yalnız səthdə olmaq ona planetin cazibə qüvvəsindən xilas olacağı ilkin sürət vo verilmişdir. Bu səbəbdən v (R) = v olduğunu təyin edə bilərik_{və ya}. Bu vəziyyətdə, bu şərti yeni əldə etdiyimiz nəticə ilə əvəzləməyimizə heç bir şey mane olmur:

Və v_{və ya} bilinir və G, M və R də bilinir, C inteqrasiya sabitinin dəyəri üçün həll edə bilərik:

Hansı inteqralların nəticəsi ilə əvəz edə bilərik:

Və nəhayət v 2 , faktorinq və uyğun qruplaşdırma:

Bu sürətlə əlaqəli ifadədir v ilkin sürətlə planetin səthindən (radius R) atılan bir peykin vo, məsafədə olduqda Y planetin mərkəzindən.

İstinadlar

1. Haeussler, E. 1992. İdarəetmə və İqtisadiyyat üçün Riyaziyyat. Grupo Editorial Iberoamérica.
2. Hiperfizika. Sürətdən qaçın. Qurtarıldı: hthyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
3. Larson, R. 2010. Dəyişənin hesablanması. 9-cu. Nəşr. McGraw Hill.
4. Purcell, E. 2007. Analitik Həndəsə ilə Hesablama. 9-cu. Nəşr. Pearson Təhsil.
5. Wolfram MathWorld. İnteqral nümunələr. Mathworld.wolfram.com saytından bərpa edildi.