İkiqat artımı hesablayın

İkinci üçün də eyni şəkildə davam edin sabit inteqrasiya

İnteqrasiya sabitliyi: məna, hesablama və nümunələr

The sabit inteqrasiya Antiderivativlərin və ya inteqralların hesablanmasına əlavə dəyərdir, bir funksiyanın primitivini təşkil edən həlləri təmsil etməyə xidmət edir. Hər hansı bir funksiyanın sonsuz sayda primitivə malik olduğu özünəməxsus qeyri -müəyyənliyi ifadə edir.

Məsələn: f (x) = 2x + 1 funksiyasını götürsək və onun əleyhdarını alarıq:

∫ (2x + 1) dx = x 2 + x + C ; Harada C dır,-dir,-dur,-dür sabit inteqrasiya və qrafik olaraq primitivin sonsuz imkanları arasındakı şaquli tərcüməni təmsil edir. Bunu söyləmək düzgündür (x 2 + x) olur a f (x) ibtidailərindən.

Eyni şəkildə a (x 2 + x + C ) f (x) ibtidai olaraq.

• 1 Əks xüsusiyyət
• 2 Qeyri -müəyyən inteqral
• 3 İnteqrasiya sabitliyinin digər mənaları
• 4 İnteqrasiya sabitliyi necə hesablanır?
• 5 Nümunələr
  • 5.1 Nümunə 1
  • 5.2 Nümunə 2
  • 5.3 Nümunə 3
  • 6.1 Məşq 1
  • 6.2 Məşq 2
  • 6.3 Məşq 3
  • 6.4 Məşq 4

  Əks mülkiyyət

  Qeyd etmək olar ki, (x 2 + x) f (x) = 2x + 1 funksiyası əldə edilir.Bu, funksiyaların törəməsi ilə inteqrasiyası arasında mövcud olan tərs xüsusiyyətdən irəli gəlir. Bu xüsusiyyət fərqləndirmədən başlayaraq inteqrasiya düsturlarını əldə etməyə imkan verir. Eyni törəmələr vasitəsilə inteqralların yoxlanılmasına imkan verir.

  Lakin (x 2 + x) törəməsi (2x + 1) bərabər olan yeganə funksiya deyil.

  1. d (x 2 + x) / dx = 2x + 1
  2. d (x 2 + x + 1) / dx = 2x + 1
  3. d (x 2 + x + 2) / dx = 2x + 1
  4. d (x 2 + x + 3) / dx = 2x + 1
  5. d (x 2 + x + C) / dx = 2x + 1

  Burada 1, 2, 3 və 4 f (x) = 2x + 1 xüsusi primitivlərini təmsil edir, 5 isə f (x) = 2x + 1 -in qeyri -müəyyən və ya ibtidai inteqralını təmsil edir.

  Bir funksiyanın primitivləri antiderivasiya və ya inteqral proses vasitəsilə əldə edilir. Aşağıdakılar doğrudursa, F f -nin ibtidai olacaq

  Bir funksiyanın inteqrasiya nəticəsində yaranan sonsuz primitivlərindən fərqli olaraq tək bir törəməyə malik olduğunu görmək olar.

  Qeyri -müəyyən inteqral

  Hər bir nöqtənin (x, y) görüntülərinin dəyərində uyğunsuzluq yaşayan eyni naxışlı əyrilər ailəsinə uyğundur. Bu naxışa cavab verən hər bir funksiya fərdi bir primitiv olacaq və bütün funksiyalar dəsti kimi tanınır qeyri -müəyyən inteqral.

  -Nin dəyəri sabit inteqrasiya praktikada hər bir funksiyanı fərqləndirən o olacaq.

  The sabit inteqrasiya bir funksiyanın primitivlərini təmsil edən bütün qrafiklərdə şaquli bir dəyişiklik təklif edir. Aralarındakı paralelliyin harada müşahidə edildiyi və bu C ofsetin dəyəridir.

  Ümumi təcrübələrə görə sabit inteqrasiya Əlavədən sonra “C” hərfi ilə işarə olunur, baxmayaraq ki, sabitin əlavə edilməsinin və ya çıxarılmasının praktikada əhəmiyyəti yoxdur. Həqiqi dəyəri fərqli olaraq fərqli yollarla tapıla bilər ilkin şərtlər.

  İnteqrasiya sabitinin digər mənaları

  Necə olduğu artıq danışılmışdı sabit inteqrasiya filialında tətbiq olunur inteqral hesab; Qeyri-müəyyən inteqralı təyin edən əyrilər ailəsini təmsil edir. Ancaq bir çox digər elm və sahə çox maraqlı və praktik dəyərlər təyin etmişdir sabit inteqrasiya, çoxsaylı tədqiqatların inkişafını asanlaşdırdı.

  İçində fiziki inteqrasiya sabitliyi məlumatların xarakterindən asılı olaraq birdən çox dəyər ala bilər. Çox yayılmış bir nümunə funksiyanı bilməkdir V (t) olanı təmsil edir sürət hissəciyin zamana qarşı t. V (t) primitivini hesablayarkən funksiyanın əldə edildiyi məlumdur R (t) olanı təmsil edir mövqe hissəciklərin zamanla müqayisəsi.

  The sabit inteqrasiya Başlanğıc mövqeyinin dəyərini, yəni t = 0 anında təmsil edəcək.

  Eyni şəkildə, əgər funksiya məlumdursa A (t) olanı təmsil edir sürətlənmə hissəciklərin zamanla müqayisədə. A (t) ibtidai, V (t) funksiyası ilə nəticələnəcək, burada sabit inteqrasiya ilkin sürət V -nin dəyəri olacaq₀.

  İçində iqtisadiyyat, inteqrasiya yolu ilə xərc funksiyasının primitivini əldə etməklə. The sabit inteqrasiya sabit xərcləri təmsil edəcək. Və diferensial və inteqral hesablamağa layiq olan bir çox digər tətbiqlər.

  İnteqrasiya sabitliyi necə hesablanır?

  Hesablamaq üçün sabit inteqrasiya, bilmək həmişə lazım olacaq ilkin şərtlər. Mümkün primitivlərdən hansının uyğun olduğunu təyin etməkdən məsuldur.

  Bir çox tətbiqdə, sabitin olduğu vaxtda (t) müstəqil bir dəyişən olaraq qəbul edilir C təyin edən dəyərləri alır ilkin şərtlər xüsusi işdən.

  İlkin nümunə götürsək: ∫ (2x + 1) dx = x 2 + x + C

  Etibarlı bir ilkin şərt, qrafikin müəyyən bir koordinatdan keçməsi şərtilə ola bilər. Məsələn, ibtidai (x 2 + x + C) nöqtədən keçir (1, 2)

  F (x) = x 2 + x + C; bu ümumi həlldir

  Bu bərabərlikdə ümumi həlli əvəz edirik

  F (1) = (1) 2 + (1) + C = 2

  Bunu asanlıqla izlədiyi yerdən C = 0

  Beləliklə, bu iş üçün müvafiq primitivdir F (x) = x 2 + x

  İşləyən bir neçə növ ədədi məşq var inteqrasiya sabitləri. Əslində, diferensial və inteqral hesablama indiki araşdırmalarda hələ də tətbiq olunur. Fərqli akademik səviyyələrdə tapıla bilər; ilkin hesablamadan fizika, kimya, biologiya, iqtisadiyyat və s.

  Araşdırmasında da görülür diferensial tənliklər, harada sabit inteqrasiya fərqli dəyərlər və həllər ala bilər, bu səbəbdən bu mövzuda həyata keçirilən çoxlu törəmələr və inteqrasiyalardır.

  Nümunələr

  Misal 1

  1. 30 metr yüksəklikdə olan bir top, şaquli olaraq yuxarıya doğru bir mərmi atır. Mərminin ilkin sürətinin 25 m / s olduğu bilinir. Qərar verin:
  • Mərminin zamana görə mövqeyini təyin edən funksiya.
  • Uçuş vaxtı və ya hissəciklərin yerə düşdüyü an.

  Məlumdur ki, vahid dəyişən düz xətti hərəkətdə sürətlənmə sabit bir dəyərdir. Bu, sürətlənmənin cazibə qüvvəsi olacağı mərmi buraxılışına aiddir

  g = – 10 m / s 2

  Sürətlənmənin, mövqenin ikinci törəməsi olduğu da məlumdur ki, bu da məşqin həllində ikiqat inteqrasiyanı göstərir və bununla da iki nəticə əldə edir. inteqrasiya sabitləri.

  V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C₁

  Təlimin ilkin şərtləri ilkin sürətin V olduğunu göstərir₀ = 25 m / s. Bu, t = 0 zaman anındakı sürətdir. Bu şəkildə razı qaldıqda:

  V (0) = 25 = -10 (0) + C₁ və C₁= 25

  Sürət funksiyası təyin olunur

  V (t) = -10t + 25; MRUV düsturu ilə oxşarlıq (V._F = V.₀ + a x t)

  Vəziyyəti təyin edən ifadəni əldə etmək üçün homoloji bir şəkildə sürət funksiyasını birləşdirməyə davam edirik:

  R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t 2 + 25t + C₂

  R (t) = -5t 2 + 25t + C₂ (mövqe ibtidai)

  R (0) = 30 m ilkin mövqeyi məlumdur. Sonra mərminin xüsusi primitivi hesablanır.

  R (0) = 30m = -5 (0) 2 + 25(0) + C₂ . Harada C₂ = 30

  Birinci hissə o vaxtdan həll olunur R (t) = -5t 2 + 25t + 30 ; Bu ifadə MRUV R (t) = R -də yerdəyişmə formuluna homologdur₀ + V.₀t – gt 2 /2

  İkinci hissə üçün kvadratik tənlik həll edilməlidir: -5t 2 + 25t + 30 = 0

  Bu şərtlə hissəcik yerə çatır (mövqe = 0)

  Əslində, 2 -ci dərəcəli tənlik bizə 2 həll T verir: . T = -1 dəyəri nəzərə alınmır, çünki bunlar mənfi ədədləri daxil etməyən vaxt vahidləridir.

  Uçuş vaxtının 6 saniyəyə bərabər olduğu bu şəkildə ikinci hissə həll edilir.

  Misal 2

  1. İlkin şərtləri yerinə yetirən f (x) ibtidai tapın:
  • f ” (x) = 4; f ‘(2) = 2; f (0) = 7

  İkinci türev f ” (x) = 4 məlumatı ilə antiderivasiya prosesi başlayır

  Sonra f ‘(2) = 2 şərtini bilməklə davam edirik:

  C₁ = -6 və f ‘(x) = 4x – 8

  İkinci üçün də eyni şəkildə davam edin sabit inteqrasiya

  f (x) = ∫f ‘(x) dx
  ∫ (4x – 8) dx = 2x 2 – 8x + C₂

  İlkin şərt f (0) = 7 məlumdur və davam edirik:

  C₂ = 7 və f (x) = 2x 2 – 8x + 7

  • f ‘(x) = x 2 ; f ‘(0) = 6; f (0) = 3

  Əvvəlki problemə bənzər şəkildə ilk törəmələri və ilkin şərtlərdən orijinal funksiyanı təyin edirik.

  ∫ (x 2 ) dx = (x 3 / 3) + C₁

  F ‘(0) = 6 şərti ilə davam edirik:

  ( 0 3 / 3) + C₁ = 6; Harada₁ = 6 və f ‘(x) = (x 3 /3 ) + 6

  Sonra ikinci sabit inteqrasiya

  ∫ [(x 3 / 3) + 6] dx = (x 4 / 12) + 6x + C₂

  Başlanğıc şərt f (0) = 3 məlumdur və davam edirik:

  [(0) 4 / 12] + 6 (0) + C₂ = 3; Harada₂ = 3

  Beləliklə, ibtidai xüsusiyyəti əldə edirik

  f (x) = (x 4 / 12) + 6x + 3

  Misal 3

  1. Törəmələri və qrafikdəki bir nöqtəni nəzərə alaraq ibtidai funksiyaları təyin edin:
  • dy / dx = 2x – 2 Hansı nöqtədən keçir (3, 2)

  Törəmələrin, müəyyən bir nöqtədə əyriyə toxunan xəttin yamacına aid olduğunu xatırlamaq vacibdir. Törəmənin qrafikinin göstərilən nöqtəyə toxunduğunu güman etmək düzgün olmadıqda, bu ibtidai funksiyanın qrafikinə aiddir.

  Bu şəkildə diferensial tənliyi aşağıdakı kimi ifadə edirik:

  dy = (2x – 2) dx ; anti-törəmə meyarlarını tətbiq edərkən:

  İlkin şərtlərin tətbiqi:

  Əldə olunur: f (x) = x 2 – 2×1

  • dy / dx = 3x 2 – 1 Bu nöqtədən keçir (0, 2)

  Diferensial tənliyi aşağıdakı kimi ifadə edirik:

  dy = (3x 2 – 1) dx ; anti-törəmə meyarlarını tətbiq edərkən:

  Şən = ∫ (3x 2 – 1) dx

  İlkin şərtlərin tətbiqi:

  Əldə olunur: f (x) = x 3 – x + 2

  Təklif olunan məşqlər

  Məşq 1

  1. İlkin şərtləri yerinə yetirən f (x) ibtidai tapın:
  • f ” (x) = x; f ‘(3) = 1; f (2) = 5
  • f ” (x) = x + 1; f ‘(2) = 2; f (0) = 1
  • f ” (x) = 1; f ‘(2) = 3; f (1) = 10
  • f ” (x) = -x; f ‘(5) = 1; f (1) = -8

  Məşq 2

  1. 16 fut/s sürətlə yüksələn şar, yer səviyyəsindən 64 fut yüksəklikdən bir qum torbasını yerə düşür.
  • Uçuş vaxtını təyin edin
  • V vektoru nə olacaq_F yerə vuranda?

  Məşq 3

  1. Şəkil x oxunun müsbət istiqamətində hərəkət edən avtomobilin sürətlənmə-zaman qrafikini göstərir. Avtomobil 54 km / saat sürətlə hərəkət edərkən sürücü 10 saniyədə əyləcini dayandırdı. Müəyyən edin:
  • Avtomobilin ilkin sürətlənməsi
  • Avtomobilin sürəti t = 5s
  • Əyləc zamanı avtomobilin yerdəyişməsi

  Məşq 4

  1. Törəmələri və qrafikdəki bir nöqtəni nəzərə alaraq ibtidai funksiyaları təyin edin:
  • nöqtədən keçən dy / dx = x (-1, 4)
  • dy / dx = -x 2 +1 Hansı nöqtədən keçir (0, 0)
  • dy / dx = -x + 1 nöqtəsindən keçən (-2, 2)

  İstinadlar

  1. İnteqral hesab. Qeyri -müəyyən inteqrasiya və inteqrasiya üsulları. Wilson, Velasquez Bastidas. Magdalena Universiteti 2014
  2. Stewart, J. (2001). Bir dəyişənin hesablanması. Erkən transsendentallar. Meksika: Thomson Learning.
  3. Jiménez, R. (2011). Riyaziyyat VI. İnteqral hesab. Meksika: Pearson Təhsil.
  4. Fizika I. Mc Graw təpəsi

  İkiqat artımı hesablayın

  Bakteriyaların ştammları, zəmanətli faizlə yatırılan pullar, müəyyən şəhərlərin əhalisi; bu məbləğlər eksponent olaraq artmağa meyllidir. Bu o deməkdir ki, nə qədər böyük olsalar, bir o qədər sürətlə böyüyürlər. Qısa bir “ikiqat vaxt” və ya böyümək üçün lazım olan vaxtla, hətta kiçik bir miqdar tez bir zamanda böyük ola bilər. Qısa və sadə düsturdan istifadə edərək bu dəyəri necə tapacağınızı öyrənin və ya onun arxasındakı riyaziyyata dalın.

  hərəkət kurs

  Metod 1 70-lər qaydasından istifadə edərək ikiqat artırma vaxtını təxmin edin

  • Misal 1: Bir adanın əhalisi eksponent olaraq artır. 2015-ci ildən 2016-cı ilə qədər əhalinin sayı 20.000-dən 22.800-ə qədər artıb. Əhalinin artım tempi necədir?
    • 22.800 – 20.000 = 2.800 yeni insan. 2,800 ÷ 20,000 = 0,14, buna görə də əhali bir nəfər artır Məzənnə 0,14 başına. il, Bu kifayət qədər kiçikdir ki, təxmin olduqca dəqiqdir.
    • Nümunə 1 (davamı): Bu adada 0,14 artım sürəti var idi, ondalıq forma kimi yazılmışdır. üçün dayanır. Say və məxrəci 100-ə vurun və alın İllik 14%.
    • Nümunə 1 (davamı): Artım sürəti 14% idi, buna görə də tələb olunan vaxt intervallarının sayı.
    • Nümunə 1 (davamı): Bu halda, artımı bir il ərzində hesabladığımız üçün hər bir dövr bir ildir. Adanın əhalisi hər 5 ildən bir iki dəfə artır.
    • Misal 2 2:Yaxınlıqdakı digər hörümçəklə yoluxmuş ada daha az populyardır. Əhalisi də 20.000-dən 22.800-ə yüksəldi, lakin 20 il çəkdi. Artımın eksponensial olduğunu fərz etsək, onun ikiqat artma vaxtı nə qədərdir?
      • Bu adada 20 il ərzində 14% artım tempi var. “70 qaydası” bizə deyir ki, ikiqat etmək üçün də 5 vaxt intervalı lazım olacaq, lakin bu halda hər bir zaman intervalı 20 ildir (5 vaxt intervalı) x (20 /_{Vaxt intervalı}) = 100 ilhörümçəklərdən təsirlənən adanın əhalisi ikiqat artana qədər.

      Metod 2 “70 qaydası” üçün düstur çıxarın

      • Bu düsturu tətbiq etmək üçün biz illik 0,02 faiz dərəcəsi ilə 100 € investisiya nəzərdə tuturuq. Hər dəfə artımı hesabladığınız zaman əldə etdiyiniz məbləği 1,02-yə vurun. Bir ildən sonra (€ 100) (1,02), iki ildən sonra (€ 100) (1,02) (1,02) və s. Bu, t vaxt intervallarının sayı olduğu yerdə sadələşdirilə bilər.
      • Qeyd: Əgər r və t eyni vahiddə deyilsə, düsturdan istifadə edin, burada n artımın hesablanmasının sayıdır. Vaxt intervalı. Məsələn, əgər r = 0,05 başına Ay və t = 4 il, n = 12 istifadə edin, çünki bir ilin on iki ayı var.
      • Bu düstur tez-tez əhalinin artımını təxmini hesablamaq üçün və həmişə müntəzəm faiz ödənişləri ilə istifadə olunur. İllik hesablanan faiz dərəcələri kimi artımın müntəzəm intervallarla hesablandığı hallarda yuxarıdakı düstur daha uyğundur.
      • Diferensial və inteqral hesablamadan istifadə edərək, yuxarıdakı düsturdan bunu əldə edə bilərsiniz.
      • Hər iki tərəfi bölün
      • İndi bu düsturu bildiyiniz üçün oxşar vəzifələri həll etmək üçün onu tənzimləyə bilərsiniz. Tap məsələn. Düsturla “üç dəfə artırma vaxtı”.

      Məsləhətlər

      • Bəzi maliyyə investisiyaları sabit sürətlə böyümək əvəzinə yuxarı və aşağı dalğalanır. Bunları digər variantlarla müqayisə etmək üçün investorlar davamlı illik artım sürətindən (CAGR) istifadə edirlər: Həll, artım sabit olsaydı, eksponensial artım sürətinin nə olacağını izah edir. Qeyd edək ki, artım sürəti onluq formada istifadə olunur.
      • Əgər artım ümumi ölçüdən asılı olmayaraq sabit sürətlə baş verirsə (məsələn, faiz əvəzinə “ildə 5 nəfər”), yuxarıdakı üsuldan istifadə etməməlisiniz. Bu xətti böyümə modelini bir anda müddəti olduğu kimi təsvir edin t müddəti hazırda 0, r sabit artım tempi və t keçən vaxt. Xətti artım sürəti ilə sabit ikiqat artırma vaxtı yoxdur, ancaq müəyyən bir zamanın ikiqat artmasını tapa bilərsiniz. Dərhal mərc edin və geri alın t, Sizin həll yalnız bu xüsusi dəyəri üçün düzgün olacaq.

      xəbərdarlıqlar

      • Bəzi təlimatlar əvəzinə 0,7 ÷ artım sürəti düsturundan istifadə edirlər. Artım sürəti onluq dəyər kimi verilirsə, bu düzgün düsturdur. Ehtiyatlı olun ki, bunu yuxarıdakı düsturla qarışdırmayın (faizlə 70 ÷ artım tempi), əks halda həlliniz 100 əmsalı ilə səhv olacaq.

      İkiqat inteqral onun tətbiqi

      Oxy müstəvisində L xətti ilə əhatə olunmuş qapalı* D oblastı göstərək.

      Tutaq ki, D oblastında

      z = f (x, y)

      kəsilməz funksiyası verilmişdir.

      D oblastını istənilən qayda ilə xətlər çəkərək n hissəyə bölək (şəkil 1):

      bu parçaları hissəciklər adlandıracağıq. Yeni simvollar (işarələr) işlətməmək üçün həmin hissəciklərin sahələrini də, onların adları kimi, uyğun olaraq

      ∆s₁ , ∆s₂ , . , ∆s_n ilə işarə edəcəyik. Hər bir ∆s_i hissəciyində (daxilində və ya sərhədində) istənilən P_i nöqtəsi götürək; onda n nöqtə götürmüş olaraq

      P₁ , P₂ , . , P_{n .}

      Verilmiş funksiyanın həmin seçilmiş nöqtələrindəki qiymətlərini uyğun olaraq

      f (P₁), f (P₂), . f (P_n) ilə işarə edək və f (P_i) ∆s_i hasillərinin cəminə düzəldək:

      V_n = f (P₁) ∆s₁ + f (P₂) ∆s₂ + . + f (P_n) ∆s_n = . (1)

      Bu cəmə f (x, y) funksiyasının D oblastında inteqral cəmi deyilir.

      D oblastında olarsa, cəmin f (P_i) ∆s_i toplananlarından hər birini həndəsi olaraq, oturacağı ∆s_i və hündürlüyü f (P₁) olan kiçik bir silindrin həcmi kimi təsəvvür etmək olar.

      V_n cəmi həmin kiçik (elementar) silindrlərin həcmləri cəmindən, yəni “pilləli” cismin həcmindən ibarət olur (şəkil 2).

      Verilmiş D oblastını müxtəlif qaydalarla ∆s_i hissələrinə bölək və f (x, y) funksiyası üçün həmin bölgülərə uyğun düzəldilmiş inteqral cəmlərinin istənilən ardıcıllığını götürək:

      Şəkil – 2 Şəkil – 3

      Fərz edəcəyik ki, şərtində ∆s_i hissəciklərinin diametrlərindən ən böyük sıfra yaxınlaşır. Bu şərtlər daxilində, isbatsız verdiyimiz aşaöıdakı təklif doğru olur.

      Related posts:

      1. Azrbaycan dili 6-cı sinif kitabı cavabları
      2. Azrbaycanda manilik
      3. Faydalılıq faydalılıq hddi anlayışı
      4. Klassik alman fəlsəfəsi felsefe