Integral Calculus

На данном рисунке фигура ограничена y = f(x), x = a, x = b, y = 0

Интеграл

В топ-5 страшилок по математике неизменно входит интеграл. Так ли он ужасен на самом деле?

Если объяснять простыми словами, интеграл — это площадь фигуры под графиком функции. Например, в геометрии есть формулы, чтобы посчитать площадь прямоугольника или треугольника, а если нужно посчитать площадь фигуры с кривой стороной, заданной функцией, поможет интеграл.

Если у функции y = f(x) есть первообразная y = F(x), тогда множество значений первообразных у = F(x) + С называют неопределенным интегралом функции y = f(x)

Записывается это следующим образом:

\(\int f(x)dx = F(x) + C\)

Какие бывают интегралы?

Интегралы бывают неопределенные и определенные.

Рассмотрим определенный интеграл. У такого интеграла в отличие от неопределенного есть предел интегрирования, то есть определённый отрезок.

Определенный интеграл функции на отрезке [a; b] – это приращение первообразных

Записывается это следующим образом:

\(\int\limits_a^b f(x)dx = F(b) — F(a)\)

Для данного интеграла пределом является отрезок от a до b

Формула Ньютона-Лейбница

Если функция f(x) непрерывна на промежутке [a; b], то

где F(x) – первообразная для функции f(x),
a – нижний предел интегрирования,
b – верхний предел интегрирования

Данная формула применяется для вычисления определенного интеграла

Пример вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона – Лейбница:

Интеграл для нахождения площади фигуры

Представим, что нам нужно посчитать расстояние, пройденное автомобилем с непостоянной скоростью в промежуток времени [a; b].

Скорость автомобиля V изменяется с течением времени, как f(t). Тогда, чтобы её найти, нам нужно посчитать площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(t) на отрезке [a; b]. Такой фигурой будет являться криволинейная трапеция, а посчитать площадь можно с помощью интеграла. Далее мы подробно разберем, как это сделать.

Криволинейная трапеция – это фигура на плоскости, ограниченная графиком непрерывной функции на определенном отрезке, прямыми линиями и осью абсцисс.

На данном рисунке фигура ограничена y = f(x), x = a, x = b, y = 0

Как найти площадь фигуры, используя интеграл?

Площадь такой фигуры, расположенной над осью абсцисс, можно посчитать, вычислив определённый интеграл по уже известной формуле Ньютона-Лейбница.

\(S = \int\limits_a^b f(x)dx\)

Чтобы понять это, разобьем фигуру на конечное число узких прямоугольных столбцов.

Найдем общую площадь, умножив высоту каждого столбика на его ширину и сложив все полученные значения, такая площадь будет приблизительной.

Если разделить данную фигуру на большее количество столбиков, только уже меньших по ширине, получим более точное значение. Повторять такое действие можно до бесконечности, следовательно, ширина будет стремиться к нулю, а количество прямоугольников — к бесконечности.

Сумму такого количества прямоугольников запишем в виде предела при количестве прямоугольников, стремящемся к бесконечности.

При таких условиях рассматриваемая сумма площадей сходится к пределу, описываемому следующим образом

А если фигура расположена под осью абсцисс, для вычисления площади фигуры нужно добавить минус к изначальной формуле.

\(S = -\int\limits_a^b f(x)dx\)

Если нужно найти площадь фигуры, ограниченной двумя функциями f(x) и g(x), то сначала данные функции приравниваются, так находится предел, а далее определяется функция, которая находится выше, и записывается формула

\(S = \int\limits_a^b (f(x) — g(x))dx\)

где f(x) – функция находящаяся выше
g(x) – функция находящаяся ниже
a и b – границы предела

Пример:

Найти площадь фигуры ограниченной функциями y=x 2 — 2 и y = -x

Фактчек

• Интеграл — это площадь фигуры, находящейся под графиком функции.
• Неопределённый интеграл функции fx : \(\int f(x)dx = F(x) + C\)
• Определенный интеграл функции fx на отрезке [a; b] : \(\int\limits_a^b f(x)dx = F(b) — F(a)\)
• Формула Ньютона-Лейбница \(\int\limits_a^b f(x)dx = F(x) |_a^b = F(b) — F(a)\)
• Формула для нахождения криволинейной трапеции над осью х
  \(S = \int\limits_a^b f(x)dx\)
• Формула для нахождения криволинейной трапеции под осью х
  \(S = -\int\limits_a^b f(x)dx\)
• Формула для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя функциями
  \(S = \int\limits_a^b (f(x) — g(x))dx\), где
  f(x) – функция находящаяся выше
  g(x) – функция находящаяся ниже

Проверь себя

Задание 1.
Найдите значение интеграла \(\int\limits_1^5 3dx\)

Задание 2.
Вычислите площадь фигуры ограниченной \(y = \sin x, x = 0, x = \frac<\pi>\)

Задание 3.
Вычислите площадь фигуры ограниченной y = 2x 2 — 5, x = -1, x = 1

Задание 4.
Вычислите площадь фигуры ограниченной y = x 2 — 3 и y = -2x 2 + 9

Ответы: 1. – 3; 2. – 1; 3. – 2; 4. – 1

Integral Calculus

Integral calculus helps in finding the anti-derivatives of a function. These anti-derivatives are also called the integrals of the function. The process of finding the anti-derivative of a function is called integration. The inverse process of finding derivatives is finding the integrals. The integral of a function represents a family of curves. Finding both derivatives and integrals form the fundamental calculus. In this topic, we will cover the basics of integrals and evaluating integrals.

1.	What is Integral Calculus?
2.	Fundamental Theorems of Integrals
3.	Types of Integrals
4.	Properties of Integrals
5.	Integrals Formulas
6.	Methods of Integrals
7.	Applications of Integrals
8.	FAQs on Integrals

What is Integral Calculus?

Integrals are the values of the function found by the process of integration. The process of getting f(x) from f'(x) is called integration. Integrals assign numbers to functions in a way that describe displacement and motion problems, area and volume problems, and so on that arise by combining all the small data. Given the derivative f’ of the function f, we can determine the function f. Here, the function f is called antiderivative or integral of f’.

Example: Given: f(x) = x 2 .

Derivative of f(x) = f'(x) = 2x = g(x)

if g(x) = 2x, then anti-derivative of g(x) = ∫ g(x) = x 2

Definition of Integral

F(x) is called an antiderivative or Newton-Leibnitz integral or primitive of a function f(x) on an interval I. F'(x) = f(x), for every value of x in I.

Integral is the representation of the area of a region under a curve. We approximate the actual value of an integral by drawing rectangles. A definite integral of a function can be represented as the area of the region bounded by its graph of the given function between two points in the line. The area of a region is found by breaking it into thin vertical rectangles and applying the lower and the upper limits, the area of the region is summed up. We specify an integral of a function over an interval on which the integral is defined.

Fundamental Theorems of Integral Calculus

We define integrals as the function of the area bounded by the curve y = f(x), a ≤ x ≤ b, the x-axis, and the ordinates x = a and x =b, where b>a. Let x be a given point in [a,b]. Then \(\int\limits_a^b f(x) dx\) represents the area function. This concept of area function leads to the fundamental theorems of integral calculus.

• First Fundamental Theorem of Integral Calculus
• Second Fundamental Theorem of Integral Calculus

First Fundamental Theorem of Integrals

A(x) = \(\int\limits_a^b f(x) dx\) for all x ≥ a, where the function is continuous on [a,b]. Then A'(x) = f(x) for all x ϵ [a,b]

Second Fundamental Theorem of Integrals

If f is continuous function of x defined on the closed interval [a,b] and F be another function such that d/dx F(x) = f(x) for all x in the domain of f, then \(\int\limits_a^b f(x) dx\) = f(b) -f(a). This is known as the definite integral of f over the range [a,b], a being the lower limit and b the upper limit.

Types of Integrals

Integral calculus is used for solving the problems of the following types.

a) the problem of finding a function if its derivative is given.

b) the problem of finding the area bounded by the graph of a function under given conditions. Thus the Integral calculus is divided into two types.

• Definite Integrals (the value of the integrals are definite)
• Indefinite Integrals (the value of the integral is indefinite with an arbitrary constant, C)

Indefinite Integrals

These are the integrals that do not have a pre-existing value of limits; thus making the final value of integral indefinite. ∫g'(x)dx = g(x) + c. Indefinite integrals belong to the family of parallel curves.

Definite Integrals

The definite integrals have a pre-existing value of limits, thus making the final value of an integral, definite. if f(x) is a function of the curve, then \(\int\limits_a^b f(x) dx = f(b) – f(a)\)

Properties of Integral Calculus

Let us study the properties of indefinite integrals to work on them.

• The derivative of an integral is the integrand itself. ∫ f(x) dx = f(x) +C
• Two indefinite integrals with the same derivative lead to the same family of curves and so they are equivalent. ∫ [ f(x) dx -g(x) dx] =0
• The integral of the sum or difference of a finite number of functions is equal to the sum or difference of the integrals of the individual functions. ∫ [ f(x) dx+g(x) dx] = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
• The constant is taken outside the integral sign. ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx, where k ∈ R.
• The previous two properties are combined to get the form: ∫ [k\(_1\)f\(_1\)(x) + k\(_2\)f\(_2\)(x) +. k\(_n\)f\(_n\)(x)] dx = k\(_1\)∫ f\(_1\)(x)dx + k\(_2\)∫ f\(_2\)(x)dx+ . k\(_n\) ∫ f\(_n\)(x)dx

Integrals Formulas

We can remember the formulas of derivatives of some important functions. Here are the corresponding integrals of these functions that are remembered as standard formulas of integrals.

• ∫ x n dx=x n+1 /n+1+C, where n ≠ -1
• ∫ dx =x+C
• ∫ cosxdx = sinx+C
• ∫ sinx dx = -cosx+C
• ∫ sec 2 x dx = tanx+C
• ∫ cosec 2 x dx = -cotx+C
• ∫ sec 2 x dx = tanx+C
• ∫ secx tanxdx = secx+C
• ∫ cscx cotx dx = -cscx+C
• ∫1/(√(1-x 2 ))= sin -1 x + C
• ∫-1/(√(1-x 2 ))= cos -1 x + C
• ∫1/(1+x 2 )= tan -1 x + C
• ∫-1/(1+x 2 )= cot -1 x + C
• ∫1/(x√(x 2 -1))= sec -1 x + C
• ∫-1/(x√(x 2 -1))= cosec -1 x + C
• ∫ e x dx=e x + C
• ∫dx/x=ln|x| + C
• ∫ a x dx=a x /ln a + C

Methods to Find Integrals

There are several methods adopted for finding the indefinite integrals. The prominent methods are:

• Finding integrals by integration by substitution method
• Finding integrals by integration by parts
• Finding integrals by integration by partial fractions.

Finding Integrals by Substitution Method

A few integrals are found by the substitution method. If u is a function of x, then u’ = du/dx.

∫ f(u)u’ dx = ∫ f(u)du, where u = g(x).

Finding Integrals by Integration by Parts

If two functions are of the product form, integrals are found by the method of integration by parts.

∫f(x)g(x) dx = f(x)∫ g(x) dx – ∫ (f'(x) ∫g(x) dx) dx.

Finding Integrals by Integration by Partial Fractions

Integration of rational algebraic functions whose numerator and denominator contain positive integral powers of x with constant coefficients is done by resolving them into partial fractions.

To find ∫ f(x)/g(x) dx, decompose this improper rational function to a proper rational function and then integrate.

∫f(x)/g(x) dx = ∫ p(x)/q(x) + ∫ r(x)/s(x), where g(x) = a(x) . s(x)

Applications of Integral Calculus

Using integration, we can find the distance given the velocity. Definite integrals form the powerful tool to find the area under simple curves, the area bounded by a curve and a line, the area between two curves, the volume of the solids. The displacement and motion problems also find their applications of integrals. The area of the region enclosed between two curves y = f(x) and y = g(x) and the lines x =a, x =b is given by

Area = \(\int\limits_a^b (f(x) -g(x))dx\)

Let us find the area bounded by the curve y = x and y = x 2 that intersect at (0,0)and (1,1).

The given curves are that of a line and a parabola. The area bounded by the curves = \(\int\limits_0^1 (y_2 -y_1)dx\)

Area = \(\int\limits_0^1 (x-x^2)dx\)

Important Notes

• The primitive value of the function found by the process of integration is called an integral.
• An integral is a mathematical object that can be interpreted as an area or a generalization of area.
• When a polynomial function is integrated the degree of the integral increases by 1.

☛ Also Check:

• Integration of uv formula
• Definite integral formula

Integral Calculus Examples

Example 1. Find the integral of e 3x Solution: ∫ d/dx(f(x)) = ∫ d/dx( e 3x ) We know this is of the form of integral, ∫ d/dx( e ax ) = 1/a e ax + C ∫ d/dx( e 3x ) = 1/3 e 3x + C Answer: The integral of e 3x = 1/3 e 3x + C

Example 2. Find the integral of cos 3x. Solution: ∫ d/dx(f(x)) =∫ cos 3x Let 3x = t thus x = t/3 dx = dt/3 The given integral becomes ∫1/3(cos t) dt = 1/3(sin t) + C = 1/3 sin (3x) + C Answer: The integral of cos 3x = 1/3 sin (3x) + C

Example 3. Evaluate the integral i = \(\int\limits_2^3\) (x+1) dx Solution: By the 2nd theorem of fundamentals of integrals we know that \(\int\limits_a^b F(x) dx = f(b) – f(a)\) \(\int\limits_2^3\) (x+1) dx = f(3) -f(2) f(x) = x 2 /2 + x + C f(3) = 3 2 /2 +3 = 9/2 + 3 = 15/2 f(2)= 2 2 /2 + 2 = 4/2 + 2 = 4 f(3) -f(2) = 15/2 – 4 = 7/2 Answer: The value of the given integral I = 7/2

Great learning in high school using simple cues

Indulging in rote learning, you are likely to forget concepts. With Cuemath, you will learn visually and be surprised by the outcomes.