Makına mühendisliği el kitabı

25 SÜRTÜNME Prof. Dr. Ruşen GEÇİT Birbirine değen iki yüzeyden biri ötekine göre hareket etmek istiyorsa veya hareket ediyorsa, bu harekete karşı bir direnç vardır. Bu dirence kısaca sürtünme adı verilir. Sürtünme, yüzeylerin pürüzlülüğü, aralarında bir başka madde olup olmaması, hareket olup olmaması ve yüzeyleri birbirine bastıran kuvvet gibi etkenlere bağlıdır. Sürtünme direnci, yüzeylerin birbirine uyguladığı, yüzeylere teğet ve hareket yöniiniine ters sürtünme kuvveti olarak ortaya çıkar. Cisimlere uygulanan kuvvetlerin birbirine değen yüzeylere paralel bileşeni sürtünme kuvvetini aşarsa hareket başlar, aksi halde hareket olmaz. Birbirine değen yüzeyler temiz ve kuru ise harekete karşı dirence kuru sürtünme adı verilir. Yüzeyler arasında yağ veya benzeri sıvılardan bir tabaka varsa, o zaman dirence sıvı sürtünmesi adı verilir. Bu bölümde kuru sürtünme incelenecektir. 1. STATİK VE KAYMA SÜRTÜNMESİ Denge ı Hareket I (b) Şekil. 1- Sürtünme kuvveti. Şekil. 1 (a) da gösterilen yatay bir düzlem üzerindeki cismi ele alalım. Bu cisim, ağırlığı P ile yatay olarak uygulanan F kuvvetinin etkisi altındadır. Cismin ü/erinde bulunduğu yüzey de ağırlığa karşı bir N tepkisi ile F kuvvetine karşı yüzeye teğet bir F’ sürtünme kuvveti uygular. F’ kuvvetinin doğmasına neden F kuvvetidir. F yoksa F’ de yoktur. F küçükse cismi hareket ettirmeye yetmez ve cisim dengede kalır. Bu durumda F’ statik sürtünme kuvveti dir. Bu kuvvet cismin düzleme değen yüzeyine yayılı bir kuvvettir, dağılımı tüm olarak bilinmemektedir. Önemli ölçüde temastaki yüzeylerin pürüzlülüğüne bağlıdır. F kuvveti arttıkça sürtünme kuvveti de artar, değeri belirli bir F’ m değerine ulaşıncaya kadar F yi dengede tutabilir. F daha fazla artarca sürtünme kuvveti dengeyi koruyamaz ve cisim kaymaya başlar. Hareket başlayınca sürtünme kuvvetinin değeri daha küçük bir F’ k değerine düşer (Şekil.lb).. Bunun nedeni, yüzeylerdeki prüzlerin hareket halinde birbirinden biraz kurtulmuş olmasıdır. Bu durumda sürtünme kuvveti kinetik (ya da kayma) sürtünme kuvveti adını alır. Cıözlemler, F’ m değerinin N ile doğru orantılı olduğunu göstermektedir : F m =f s N; f s statik sürtünme katsayısıdır. Benzer şekilde F k =f k N yazılabilir; f k da kinetik (kayma) sürtünme katsayısıdır. Gözlemler, f k nın sabit olmayıp, yüzeylerin birbirine göre kayma hızı arttıkça, azaldığını göstermektedir. Ancak, çok düşük hızlarda sabit alınabilir. Aşağıdaki çizelgede genel amaçlar için kullanılabilecek, oldukça düzgün yüzeyler için yaklaşık değerler verilmektedir. Sürtünme katsayılarının birbirine değen cisimlerin malzemeleri dışında, yüzey pürüzlülüğü, toz. nem, sıcaklık, oksitlenme, kayma hızı, titreşim ve yüzeylerin kirliliği ile de önemli ölçüde değişebildiğim hatırda tutmak gerekir. 4-23

MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ E L KİTABI

2 tmmob makina mühendisleri odası Sümer Sokak 36/1-A Demirtepe / ANKARA Tel : (0-312) Fax : (0-312) Yayın no : 169 ISBN : (Tk. No) ISBN : (1. Cilt) Bu Yapıtın yayın hakkı Makina Mühendisleri Odası’na aittir. Kitabın hiçbir bölümü değiştirilemez. MMO’nın izni olmadan kitabın hiçbir bölümü elektronik, mekanik vb. yollarla kopya edilip kullanılamaz. Kaynak gösterilmek kaydı ile alıntı yapılabilir. Ekim Ankara Dizgi: Ali Rıza Falcıoğlu (Makina Mühendisleri Odası) Baskı: MF Ltd. Şti. Tel: (0-312)

3 BOLUM 4 KATI CİSİMLERİN MEKANİĞİ Hazırlayan Prof. Dr. M. Ruşen GEÇİT, ODTÜ Makina Mühendisliği Bölümü KATI CİSİMLERİN MEKANİĞİ SÜRTÜNME Sayfa Sayfa 1. Fiziksel Mekanik Ölçme Sistem ve Birimleri Rijid Cisimlerin Statiği Kinematik Kinetik tş ve Enerji ttnpuls ve Hareket Miktarı Jiroskopik Hareket ve Jiroskop Statik ve Kayma Sürtünmesi Yuvarlanma Sürtünmesi Makina Elemanlarının Sürtünmesi 26 KAYNAKÇA 31 İLGİLİ TSE STANDARTLARI

4 KATI CİSİMLERİN MEKANİĞİ Prof. Dr. Ruşen GEÇİT 1. FİZİKSEL MEKANİK Temel Tanımlar Kuvvet: Bir cismin diğer bir cisim üzerindeki etkisidir. Değme ile veya yerçekimi kuvveti gibi değmeden uygulanabilir. Bir kuvvet, uygulama noktası, değeri ve yönü verilerek tanımlanır; bir vektörle temsil edilir. Zaman : Olayların sırasını gösteren bir ölçüdür. Nevvton mekaniğinde mutlak bir büyüklüktür. Yaygın birimi saniyedir. Kütle : Bir cismin hareket etmeye veya hareketinin değiştirilmesine karşı koyabilme kabiliyetinin bir ölçüsüdür. Yerçekimi ivmesi: Yeryüzünde belirli bir noktada vakumlu bir ortamda düşen her cismin ivmesi g ile gösterilen aynı değerdedir. Hassas değerler, dünyanın dönmesi ve yarıçapının kutuplara doğru azalması ile deniz seviyesinden yüksekliğin de gözönüne alınmasıyla hesaplanabilir. Yeryüzündeki cisimler için yapılan mühendislik hesaplarında yeterli doğruluk yerçekimi ivmesini m/s 2 almakla sağlanablir. Ağırlık : Bir cismin kütlesine bir çekim alanının uyguladığı toplam kuvvettir. Yeryüzündeki bir cismin ağırlığı cismin, ağırlık merkezine etkiyen kütlesi ile yerçekimi ivmesinin çarpımı değerinde ve dünyanın merkezine doğru bir kuvvettir. x tş : Bir cismin yer değiştirmesi sırasında yapılan iş yer değiştirme ile cisme etkiyen kuvvetin yer değiştirme yönündeki bileşeninin çarpımına eşittir. Bir momentin yaptığı iş de moment ile aynı düzlemdeki dönme açısının çarpımına eşittir. Enerji: Bir cismin iş yapabilme kabiliyetidir. Hareket Miktarı: Doğrusal hareket miktarı kütle ile doğrusal hızın çarpımına eşittir. Doğrusal hareket miktarının sabit bir eksen etrafındaki momenti de o eksen etrafındaki açısal hareket miktarıdır. Temel Kanunlar Newton Kanunları : 1. Hareketsiz bir cisme bileşkesi sıfır olan kuvvetler etkidiğinde, cisim hareketsiz kalır; hareket halindeki bir cisim ise sabit hızla doğrusal hareketine devam eder. 2. Bir cisme etkiyen bileşke kuvvet sıfır değilse, cisim bileşke kuvvet yönünde ve bu kuvvetin değeriyle doğru orantılı bir ivme kazanır :

5 KATI CİSİMLERİN MEKANİĞİ 3. RİJİD CİSİMLERİN STATİĞİ Kuvvetler Bir katı cisme etkiyen kuvvetler herhangi bir ivme yaratmıyorsa, bu kuvvetler dengede bir kuvvet sistemi oluşturuyor demektir. Denge konumu statikle esastır. Bir cisme başka cisimlerce uygulanan kuvvetler dış kuvvet, cismin parçalarının birbirlerine uyguladığı kuvvetler ise iç kuvvet olarak adlandırılır. Cismin dengesi incelendiğinde, iç kuvvetleri birbirine eşit ve ters yönlü ikililer olarak, dış kuvvetleri ise tek kuvvet olarak düşünmek gerekir. Bir cisimdeki iç kuvvetler, uygulanan dış kuvvetlerin cisim tarafından desteklere destek reaksiyonları olarak taşınması sırasında doğar. Bu bölümde cisimlerin rijid oldukları, yük taşıma sırasında şekil değiştirmedikleri kabul edilecektir. Bir cisim hareketsizken bu cisme etkiyen dış kuvvetler, denge sağlayan bir küvet sistemidir ve cisim de dengededir denir. Bu. cismin herhangi bir parçası için de geçerlidir. Bu durumda cismin söz konusu parçasına diğer parçalarca uygulanan iç kuvvetler de dış kuvvet olarak değerlendirilmelidir. Bir noktaya etki eden kuvvetlerin bileşkesi, bu kuvvetlerin birlikte etki ettiklerinde yaratacakları dı.ş etkiyi yaratan bir tek kuvvettir. Bir noktaya etki eden iki F ve İş kuvvetinin R bileşkesi, değeri ve yönü bu iki kuvvet tarafından oluşturulan paralel kenarın köşegeni ile belirlenen bir kuvvettir (Şekil. 1). Şekil.1- Bileşke kuvvet Yukarıdaki açıklamaların ışığında, bir R kuvveti bu kuvvetin içinde bulunduğu düzlemde iki bileşene ayrılabilir. Üç boyutlu problemlerde genellikle kuvvetler üç koordinat ekseni x,y,z doğrultusunda bileşenlere ayrılır. Bu bileşenlerden aynı doğrultudakilerin cebirsel toplamları bileşke kuvvetin x,y,z bileşenlerini verir. Bileşke kuvvet bu üç biribirine dik bileşenden bulunur : Bileşke kuvvetin x.y.z eksenleriyle yaptığı açılar, a,b,c de cosa = (I F x ) /R, cosb =(I F y )/R. eose = (I F z )/R biçiminde hesaplanabilir. Kuvvetlerin tümü aynı düzlemde ise bu düzleme dik doğrultudaki bileşenlerin tümü sıfırdır. Denge için birbirine dik üç doğrultuda bileşke kuvvet R nin bileşenlerinin veya onu oluşturan kuvvetlerin bu doğrultulardaki bileşenlerinin toplamları ayrı ayrı sıfır olmalıdır. Kuvvetlerin tümü aynı düzlemde ise, birbirine dik iki doğrultudaki bileşen toplamları sıfır olmalıdır. Kuvvet Çifti ve Moment Birbirine paralel, aynı değerde, ters yönlü iki kuvvet aynı çizgi üzerinde değilse, bir kuvvet çifti oluşturur (Şekil.2). Kuvvet çiftinin bileşkesi olan kuvvet sıfırdır. Ancak, etki çizgileri arasındaki uzaklıktan dolayı, bileşke bir momenttir. Bu momentin değeri kuvvetlerden birinin değeri ile aralarındaki dik uzaklığın çarpımına eşittir, M=Fd, yönü ise sağ el kuralıyla belirlenir, iki kuvvetin oluşturduğu düzleme diktir. Kuvvet çiftleri moment vektörleri, kuvvetlerde olduğu gibi paralelkenar kuralıyla toplanarak birleştirilebilir. Kuvvet çifti, bileşke momentin değeri ve yönü değişmeyecek şekilde kaydırılabilir, döndürülebilir, kuvvetlerin değeriyle veya aralarındaki uzaklıkla oynanabilir. Böylece, aynı veya paralel düzlemlerde bulunan bir kuvvet ile bir kuvvet çifti toplanabilir. Bu toplam, en basit şekilde bir bileşke kuvvetle temsil edilebilir. Bileşkenin değeri ve doğrultusu tek kuvvetle aynı, etki çizgisi ise tek kuvvetin etki çizgisinden (kuvvet çifti momenti) / (tek kuvvetin değeri) kadar uzaklıktadır. Yine benzer düşünceyle, bir kuvvetin etki çizgisi değiştirilebilir. Bu durumda, bu kuvvete, değeri kuvvetin değeri ile eski ve yeni etki çizgileri arasındaki uzaklığın çarpımına eşit olan bir kuvvet çifti momenti eklemek gerekir. 4-03

6 KATI CİSİMLERİN MEKANİĞİ F Şekil.2- Kuvvet çifti Bir kuvvetin bir nokta etrafında oluşturacağı moment, kuvvetin değeri ile noktadan kuvvetin etki çizgisine olan dik uzaklığın çarpımına eşittir. Moment için SI birim sisteminde N.m birimi kullanılır. Bir kuvvetin, bir doğru etrafındaki momenti de. kuvvetin doğruya dik bileşeni ile doğru ve kuvvetin etki çizgisi arasındaki uzaklığın çarpımına eşittir. Uygulanma noktası farklı kuvvetlerin bileşkesi genellikle bir kuvvet ve bir momentten oluşur. Kuvvetlerin üç koordinat ekseni doğrultusundaki bileşenleri ayn ayn toplanarak bileşke kuvvetin bileşenleri bulunur. Bileşke kuvvet dir. Kuvvetlerin x,y,z eksenleri etrafındaki momentleri de bileşke momentin bileşenleridir. Bunlardan bileşke moment, kullanılarak hesaplanabilir. Denge Denklemleri En genel durumda bir cismin dengede olabilmesi için dış kuvvetlerin bileşkesi (kuvvet ve moment) sıfır olmalıdır. Bu da üç koordinat doğrultusunda kuvvet bileşenlerinin ve bu üç doğrultu etrafındaki momentlerin sıfır olmasını gerektirir. Kısaca, denge için ZF X =O, IF y =0, IF,,=0; M x =0, My=0, M 2 =0 denge denklemlerinin sağlanması gerekir. Kuvvetlerin bir düzlem (x-y düzlemi) içinde olduğu düzlem problemlerinde, sadece IF X =O, IFy=0, M z =0 denklemlerinin sağlanması yeterlidir, çünkü diğerleri zaten sağlanmaktadır. Ele alınmış olan noktalardan statik denge denklemleri kullanılarak en genel durumda ancak altı bilinmeyen, düzlem problemlerinde de eı. çok üç bilinmeyen hesaplanabilir. Hğer destek koşullan bunlardan daha fazla bilinmeyen onaya koyuyorsa, problem hiperstatiktir, sadece denge denklemleri kullanılarak çözülemez (ek denklemler bul’-ımahdır). Bilinmeyen sayısı yukarıda verilen sayılardan fazla değilse, problem izostatiktir, sadece denge denklemleri kullanılarak çözülebilir. Bir statik probleminin çözümünden, genellikle, destek kuvvetlerinin ve bazı iç kuvvetlerin bulunması anlaşılır. Bu bakımdan desteklerdeki gerçek koşulların elden geldiğince doğru modellenmesi gerekir. Bazı tipik destek koşulları söz konusu edilirse, örneğin, sürtünmesiz bir yüzey bu yüzeye değen bir cisme yüzeye dik doğrultuda bir kuvvet uygulayabilir (doğrultu biliniyor, değer bilinmiyor). Eğer yüzey pürüzlü ise, bu kuvvete ek olarak, yüzeye paralel bir sürtünme kuvveti de uygulanır ki, bu iki kuvvetin bileşkesi doğrultusu bilinmeyen bir kuvvettir (doğrultu da, değer de bilinmiyor). Kayıcı destek, üzerinde kaymanın serbest olduğu düzleme dik doğrultuda bir kuvvet uygular (sadece değer bilinmiyor). Basit destek ise doğrultusu ve değeri bilinmeyen bir kuvvet uygular. Ankastre destek buna ek olarak, değeri bilinmeyen bir de moment uygular. 4-04

7 KATI CİSİMLERİN MEKANİĞİ Dengede bir cisim için statik problemi çözerken önce bir serbest cisim diyagramı çizilmesi en uygun adımdır. Bu, söz konusu cisim ile bu cisme uygulanan (bilinen ve bilinmeyen) tüm dış kuvvetlerin gösterildiği basit bir şemadır. Bu adımda, problemde incelenen sistem içinde serbest cisim diyagramı bir parça için çiziliyorsa, bu parçaya uygulanan gerçek dış kuvvetlerle birlikte sistemin diğer parçalarının bu parçaya uyguladıkları sistem için gerçekte iç kuvvet sayılan kuvvetler ve desteklerin söz konusu parçaya uyguladıkları destek kuvvetleri de gösterilmelidir. Daha sonra, kullanıma hazır denge denklemleri (daha önce verildiği şekilde ya da onların yerine geçebilecek aynı sayıda, başka şekillerde ifade edilen denklemler) kullanılarak bilinmeyen kuvvetler hesaplanır. Ağırlık Merkezi Dünyanın bir cisme uyguladığı yerçekimi kuvveti, yani cismin ağırlığı, cismi oluşturan parçacıklara ayrı ayrı etki eden küçük kuvvetlerden oluşan, cismin kapladığı hacıma yayılmış bir kuvvettir. Bu yayılmış kuvvet, küçük kuvvetlerin bileşkesi (ağırlık) P ile gösterilir ve cismin ağırlık merkezinden geçer. Bir cismin ağırlık merkezi deneysel olarak bulunabilir. Cisim, Şekil.3 de görüldüğü gibi farklı noktalarından bir iple asılıp her seferinde ipin devamı olan doğru işaretlenirse, bütün doğrular bir ortak noktada kesişir. Bu nokta (G) bu cismin ağırlık merkezidir. Şekil3- Ağırlık merkezi Cismin yoğunluğunun sabit olduğu durumlarda, ağırlık, cismin hacmına eşit bir şekilde yayılmış olacağı için, cismin hacım merkezi ağırlık merkeziyle çakışır. Ağırlık merkezinin matematiksel olarak bulunması için P kuvvetinin gerçekte cismi oluşturan parçacıklara etkiyen küçük dp kuvvetlerinin bileşkesi olduğunu, bu nedenle, örneğin x,y,z eksenleri etrafındaki momentlerinin dp kuvvetlerinin momentlerinin toplamına eşit olacağını düşünmek yeterlidir. Böylece, ağırlık merkezinin koordinatları denklemlerinden bulunur. x P ‘ = [ x dp yp = ydp zp= zdp -1 Örnek olarak, sabit yoğunluklu cisimler ele alınırsa, x ekseni çap, y ekseni de simetri ekseni seçildiğinde, x-y düzleminde bulunan r yançaplı bir yanm daire yayı için x=o,y=2r/jı, z=0; bir yarım daire için x=0, y=4r/3ıt, z=0 bulunur. Yine sabit yoğunluklu bir üçgenin kenar ortaylarının kesişim noktası, bir koninin ekseni üzerinde tabandan yüksekliğin dörttebir uzakuğındaki nokta, bir yanm kürenin de simetri ekseni üzerinde tabandan 3/8 yarıçap uzaklığındaki nokta ağırlık merkezidir. Eylemsizlik Momenti Katı bir cismin bir eksene göre eylemsizlik momenti, bu cismi oluşturan parçacıkların kütlelerinin eksene olan uzaklıklarının kareleriyle çarpımlarının toplamıdır : I = f y 2 dm 4-05

8 KATI CİSİMLERİN MEKANİĞİ Burada m cismin kütlesini, y ise cismin dm kütlesindeki bir parçacığımın eksenden uzaklığını göstermektedir. Eylemsizlik momenti I = k 2 m biçiminde tanımlandığında, k eylemsizlik yarıçapı adını alır. Bir A alanının bir eksene göre eylemsizlik momenti de benzer şekilde I = jy 2 da olarak tanımlanır. Aslında bu büyüklüğe alanın ikinci momenti demek daha doğru olur. Bir önceki bölümde ağırlık merkezinin bulunmasında kullanılan ydw biçimindeki birinci moment, cismin ağırlığının etrafında toplandığı noktanın konumu için bir ölçü oluşturuyordu. Eylemsizlik momenti (veya yarıçapı) ise cismin kütlesinin (veya bir alanın) belirli bir eksenden ne kadar uzaklıkta kümelendiğinin bir ölçüsüdür. Dikkat edilecek olursa eylamsizlik momenti kütle (veya alan) ile uzaklık karesinin çarpanıdır, dolayısıyla hep pozitiftir. Polar eylemsizlik momenti, bir alanın içinde bulunduğu düzleme dik bir eksene göre eylemsizlik momentidir. Buna göre (Şekil.4): olur. J hep pozitiftir. l=fr 2 da = Ix+Iv Şekil.4- Polar eylemsizlik momenti Bir A alanının x ve y eksenlerine göre çarpım eylemsizlik momenti I xy = f xy da olarak tanımlanır ve alanın seçilen koordinat sistemine göre daha çok birinci veya üçüncü mü yoksa ikinci veya dördüncü dörttebire mi yayıldığını gösteren bir ölçüdür. Ixy pozitif veya negatif olabilir “» 11» * * II I İTİ

9 KATI CİSİMLERİN MEKANİĞİ Paralel Eksen Teoremi Şekil.4 deki eksenler ve uzaklıklar gözönüne alındığında aşağıda verilen ilişkiler yazılabilir : i,=ix + a 2 A, I y =I Y + b 2 A, I^kv + aba x-y koordinat sisteminin saatin tersi yönünde bir 8 açısı kadar döndürülmesiyle elde edilen x’-y’ eksenlerine göre eylemsizlik momentleri I’ x = I x cos I y sin 2 ö – I xy sin 2 G I’ y = î x sin Iy cos I xy sin 2 9 I’xy = Ixy cos (I x – I y ) sing cosg ifadeleri kullanılarak hesaplanabilir. Bu ifadelerden de görülebileceği gibi aynı düzlem içinde öyle bir koordinat sistemi vardır ki, eylemsizlik momenti bu koordinat eksenlerinden birine göre maksimum, diğerine göre ise minimumdur. Ayrıca çarpım eylemsizlik momenti de bu eksenlere göre sıfırdır. Bu eksenlere asal eksenler, bunlara göre eylemsizlik momentlerine de asal eylemsizlik momentleri adı verilir. Bir alanın (varsa) simetri eksenleri asal eksenlerdir. Örnek olarak, bazı çok kullanılan şekil ve cisimlerin eylemsizlik momentleri aşağıda verilmektedir. Bu ifadelerde m kütleyi, L uzunluğu, r yarıçapı, b genişliği ve h yüksekliği göstermektedir. 1. Bir dikdörtgen alanın, merkezinden geçen yatay bir eksene göre I = bh 3 / Bii’ dayire alanının, merkezinden geçen bir eksene göre I = Ttr 4 / 4 3. înce bir çubuğun, merkezinden geçen, çubuğa dik bir eksene göre I = nıl 2 / ince bir dikdörtgen plağın, merkezinden geçen yatay bir eksene göre I = mh 2 / Bir dikdörtgenler prizmasının, merkezinden geçen uzunlamasına bir eksene göre I = m (b 2 + h 2 ) /12 6. Bir dayiresel silindirin, eksenine göre I = mr 2 / 2, merkezinden geçen eksenine dik bir eksene göre I = mçip+l?) / KİNEMATİK Kinematik, cisimlerin hareketini, harekele neden olan kuvvetlerle kütleyi söz konusu etmeden, geometri bakımından inceleyen bilim dalıdır. Yer değiştirme, hız, ivme ve zaman arasındaki ilişkileri inceler. Bir noktanın yer değiştirmesi, hareketin sözkonusu bölümünün başlangıcında bulunduğu noktadan, sonunda bulunduğu noktaya uzanan, s ile gösterilen bir vektördür. Bir noktanın hızı, yer değiştirme vektörünün zamana göre türevidir, v – ds dt Hız vektörü her an noktanın üzerinde hareket ettiği yörüngeye teğettir. Bir noktanın ivmesi, hız vektörünün zamana göre türevi olan vektördür, a=iy. dt Yukarıda verilen vektörel denklemler skaler olarak da yazılabilir. Bu denklemler birlikte kullanıldığında a =^L dt 2 gibi sonuçlar da çıkanlabilir. Sİ birim sisteminde yer değiştirme.hız ve ivme için m, m/s, m/s 2 bilimleri kullanılır. a = dv ds 4-07

10 ıı r ı KATI CİSİMLERİN MEKANİĞİ Doğrusal Hareket Bir noktanın yörüngesi bir doğru çizgi ise hareket doğrusaldır denir. Bu durumda yer değiştirme, hız ve ivme hep aynı (yörüngeyle çakışan) doğrultudadır. Örnek olarak, sabit doğrusal harekette ivme sıfır, a=0, hız sabittir ve s o noktanın başlangıçtaki yeri olmak üzere s=so+vt dir. Sabit ivmeli harekette ise, v 0 ve s o başlangıç anındaki hız ve yeri göstermek üzere v,=v,,+at, s=s o +v o t+at 2 /2 dir. îvmenin sabit olmadığı genel durumda da hız ve yer değiştirme başlangıç anından itibaren ivme ve hızın zamana göre integrasyonuyla bulunur. Hız ve ivme vektörlerle gösterilen büyüklükler olduğu için. paralelkenar kuralına göre toplanabilir veya bileşenlere ayrılabilir. Düzlemde Eğrisel Hareket Hareket halindeki noktanın yörüngesi düzlemsel bir eğridir. Bu durumda doğrusal hız v, doğrusal harekette olduğu gibidir ve doğrultusu yörüngeye teğettir. Oysa ivmenin doğrultusu artık yörüngeye teğet değildir. Doğrusal ivme yörüngeye teğet ve dik doğrultularda bileşenlere ayrıldığında, p (o noktada) yörünge eğrilik yarıçapı olmak üzere, teğetsel ivme a,=dv/dt, dik ivme ise an=v 2 /p olup an hep eğrilik merkezine doğru yöndedir (Şekil.5). Şekil.5- Kğrisel hart-ket. Şekil.6- Kutupsal bileşenler. Hız ve ivme kutupsal koordinatlar kullanılarak da ifade edilebilir. Şekil.6 dan görülebileceği gibi hız ve ivme birbirlerine dik r ve 0 bileşenlerine ayrıldığında dt 4dt 2 dt dt dt olur ve bileşkeler kullanılarak hesaplanabilir. v= Vv r 2+v, a= Örnek olarak, r yarıçaptı bir çember üzerinde hareket etmekte olan bir noktanın açısal hızının o), açısal ivmesinin de a olduğu bir anda. doğrusal hızı v=wr, doğrusal ivme bileşenleri ise ar=an=co 2 r, ao=a t =ar olur. Açısal hızın sabit olduğu özel durumda, noktanın yer değiştirme, hız ve ivmesinin x ve y eksenleri üzerindeki izdüşümleri incelenirse bunların zamanla sinüs eğrisi gibi değişim gösterdiği görülür. Bu tür harekete harmonik hareket denir. Açısal hız için radyan/saniye (rad/s) veya devir/dakika (d/d), açısal ivme için ise rad/s 2 birimleri kullanılmaktadır. 4-08

11 KATI CİSİMLERİN MEKANİĞİ Uzayda Eğrisel Hareket Noktanın üzerinde hareket ettiği yörünge bir uzay eğıisidir. Bu yörüngenin şekline göre hareket kartezyen, silindirik veya küresel koordinatlar kullanılarak tanımlanabilir. Hız ve ivmenin koordinat doğrultularında bileşenlerine ayrılması, işlemleri önemli ölçüde basilleştirir. Kartezyen koordinatlarda hız ve ivme bileşenleri doğrudan doğruya x,y,z koordinatlarının zamana göre birinci ve ikinci türevleridir. Bileşke hız ve ivme ise ifadeleri kullanılarak bulunur. v = V v, v y + v 2, a = V a, 2 + a^ + aj 2 Silindirüc koordinatlarda (Şekil.7a) r ve 6 doğrultularındaki hız ve ivme bileşenleri daha önce düzlemde eğrisel hareket için kutupsal koordinatlara ilişkin olarak verilenlerle aynı, z doğrultusundakiler de yine z koordinatının zamana göre birinci ve ikinci türevleridir. (a) (b) Şekil.7(a)- Silindirik koordinatlar, (b) Küresel koordinatlar. Bileşke hız ve ivme v= VV 2 +VB+V, a= Va?+as+a 2 ifadelerinden bulunur. Küresel koordinatlarda (Şekil.7b) bileşenler dt dt 2 dt dt ( dt 2 Vdt dt dt, = r sinb. a» = r sin9 + 2 (^ sin9 + r^ – cos6j dt dt 2 ‘dt dt / dt 4-09

12 ifadeleriyle verilebilir ve bileşke hız ve ivme JJ KATI ClSÎMLERÎN MEKANİĞİ M ifadelerinden bulunur., a= V a?+ Rijid Cisimlerin Hareketi Her türlü etki altında herhangi iki noktası arasındaki uzaklık değişmeyen cisimlere rijid adı verilir. Bir rijid cismin üzerindeki bir doğrunun açısal hareketi ile bu doğru üzerindeki bir noktanın hareketi biliniyorsa bu rijid cismin tamamının hareketi belirlenebilir. Bir rijid cisim, üzerindeki herhangi iki noktayı birleştiren bir doğru başlangıçtaki doğrultusuna paralel kalarak hareket ediyorsa, bu harekete öteleme denir. Doğrusal ötelemede bütün noktalar paralel doğrular üzerinde hareket eder. Eğrisel ötelemede ise bütün noktalar paralel eğriler üzerinde dönmeden hareket eder. Dönme, sabit veya sabit olmayan bir eksen etrafındaki açısal harekettir. Bütün noktalarının hareketlerinin paralel düzlemlerde gerçeklettiği rijid cisim hareketine düzlemsel hareket denir. Açısal Hareket Açısal yer değiştirme, bir doğrunun b. lirli bir referans doğrudan ölçülen açısal konumunda meydana gelen ‘.loğişimdir. Şekil.8 de gösterilen AB doğrı parçası b : r 9 açısı kadar dönerek A’B’ konumuna geldiğinde, açısal /er değiştirmesi değeri 8, doğrultusu da sa el kuralıyla bulunan bir vektördür. B/ \, Şekil.8- Açısal yerdeğiştirme. Açısal hız ve ivme, açısal yerdeğiştirmenin zamana göre birinci ve ikinci türevleri olan vektörlerdir : r = dt dt dt 2 Rijid Cisimlerin Düzlemsel Hareketi Rijid cisimlerin bütün noktalan paralel düzlemler içinde hareket etmektedir. Bu durumda, cismin hareket düzlemlerine paralel ince bir diliminde bulunan noktaları ve bu noktaların içinde hareket ettiği düzlemi düşünmek yeterlidir. Cismin hareketinin gözlendiği belirli bir anda, hareket düzlemine dik bir eksen etrafında döndüğü düşünülebilir. Bu eksene ani dönme ekseni adı verilir. Cismin bu eksen üzerindeki noktalarının hzı o anda sıfırdır ve hareket sırasında bu eksen sürekli yer değiştirir. Bu eksenin, gözönüne alınan hareket düzlemini kestiği ani dönme merkezi, cismin aynı düzlemde bulunan iki noktasından o noktalardaki hız vektörlerine dik olarak çizilen iki doğrunun kesiştiği noktadır. Cismin çeşitli noktalarının hızlarının değeri ani dönme ekseninden uzaklıkla doğru orantılıdır ve doğrultuları da hareket düzleminde ve o noktaları ani dönme eksenine birleştiren dik doğrulara diktir. Ani dönme merkezini bulmak için söz konusu edilen iki noktanın hızları biribirine paralel ise bunlara dik olarak çizilecek doğrular ancak sonsuzda kesişir. Bu durumda cismin açısal hızı sıfırdır ve bütün noktalarının doğrusal hızı aynıdır. Eğer söz konusu iki noktanın paralel hız vektörleri bu iki noktayı birleştiren doğruya dik ise, ani dönme merkezi bu doğru üzerinde ve noktalardan hızlarıyla doğru orantılı uzaklıktadır. Düzlemsel harekette bulunun bir cismin iki noktasının hızlarının bu iki noktayı birleştiren doğru üzerindeki izdüşümleri (bileşenleri) eşittir. 4-10

13 KATI CİSİMLERİN MEKANİĞİ Şekil.9- Ani dönme merkezi Düzlemsel hareket, herhangi bir noktanın öteleme hareketi ile bu nokta etrafında bir dönme hareketinin toplamı sayılabilir. Böylece düzlemsel hareket, bağıl hareket kavramı kullanılarak ifade edilebilir. Bir B noktasının hızı, bir A noktasının hızı ile B noktasının A noktasına göre (A noktası sabitmiş gibi) bağıl hızı toplamına eşittir : V B = V A + V B/A, V B = w xr B/A co cismin açısal hızı, FB/A ise A dan B ye uzanan vektördür. x işareti vektörel çarpımı gösterir. Benzer şekilde B noktasının ivmesi, a noktasının ivmesi ile B noktasının A noktasına göre bağıl ivmesi toplamına eşittir : a B = a A + a B/A a B/A ivmesi, AB doğrusuna dik (a B/A X = «r B/A ve B den A ya doğru (a B/A )t= û^r^ bileşenlerine ayrılarak hesaplanabilir, a cismin açısal ivmesidir. Şimdi aynı rijid cisme göre hareket halinde ve söz konusu anda cisim üzerindeki B noktasından geçmekte olan bir P parçacığın hız ve ivmesi bulunmak istenirse v P = v A + v B/A + v P/B, a P = a A + a B/A + a P/B ‘ +V P = 2CÛX V P/B yazılabilir. Burada v P/B ve ap/b, P parçacığının cisim üzerindeki B noktasına göre hız ve ivmesi, ivme ifadesindeki son terim ise Coriolis ivmesidir. Rijid Cisimlerin Genel Hareketi Bir rijid cismin genel hareketi, bütün parçacıklarının bir referans parçacığı A ile aynı hız ve ivmeye sahip olduğu bir öteleme hareketi ile A parçacığının sabit kabul edileceği başka bir hareketin toplamına eşdeğerdir. Böylece uzayda hareket eden bir P parçacığının hareketi, hareketli bir koordinat sistemi kullanılarak ifade edilebililr. Uzayda sabit bir XYZ koordinat sistemi ile bu sisteme göre r A vektörüyle tanımlanan bir A noktasına yerleştirilmiş, doğrusal hız ve ivmesi V A, a A, açısal hızı da a> olan hareketli bir xyz koordinat sistemi olsun (Şekil. 10). P parçacığının hareketli koordinat sistemine göre konumu, hızı ve ivmesi r, v ve a olsun. Bu durumda P parçacığının hız ve ivmesi V p = V A + xr + v olur. a p = a A + ^ xr + 0) x (û)xr) + 2co x v + a dt 4-11

14 KATI CİSİMLERİN MEKANİĞİ O Şekil.10- Sabit ve hareketli koordinat sistemleri. 5. KİNETİK Kinetik, cisimlere etkiyen kuvvetlerle bu kuvvetlerin sonucunda meydana gelen hareket arasındaki ilişkiyi inceleyen bilim dalıdır. Kütlesi m olan bir cisim bileşkeleri R = F olan kuvvetlerin etkisinde olsun. Eğer bileşke kuvvet R sıfır ise, Newton’un birinci kanunu uyarınca, cisim ya hareketsiz kalır veya önceden içinde bulunduğu doğrusal harekete ivmesiz olarak devam eder. Eğer R bileşke kuvveti sıfırdan farklı ise Newton’un ikinci kanunu uyarınca, cisim bileşke kuvvet doğrultusunda ve değeri ile doğru orantılı bir ivme kazanır. İvmeli hareketin temel prensibi Newton’un ikinci kanunudur, F = ma. Buna hareket denklemi adı da verilir. Örnek olarak, doğrusal harekette bileşke kuvvet ile ivme hareket doğrultusundadır. Diğer doğrultularda ise kuvvetler dengededir ve ivme de sıfırdır. Bir cisme etkiyen kuvvetler biliniyorsa, ivmesi hareket denkleminden bulunur. Kuvvetlerin değer ve doğrultulan sabit ise bu kuvvetleri, biri beklenen hareket doğrultusunda biri de bu doğrultuya dik doğrultuda olmak üzere, iki bileşene ayırmak ve hareket denklemini bu iki doğrultuda yazmak çözümü kolaylaştırır. Hareket doğrultusuna dik doğrultuda kuvvet bileşenlerinin toplamı sıfırdır ve hareket denklemi denge denklemine dönüşür. Hareket doğrultusundaki hareket denklemi ise ivmenin bulunması için kullanılır. Hareketle ilgili diğer büyüklükler (hız, konum, vb.) kinematik ilişkilerden bulunur. Örnek 1. Şekil. 11 (a) da gösterilen 50 kg kütlesindeki cisim hareketsiz iken uygulanan 150 N değerindeki kuvvetle cisimle arasındaki sürtünme katsayısının 0.3 olduğu yatay düzlem üzerinde 3 saniyede ne kadar uzaklığa çekilebilir? I50N 4-12 (a) Şekil.ll-Örnek 1.

15 KATI CİSİMLERİN MEKANİĞİ Önce cisme etki eden tüm kuvvetler bir serbest cisim diyagramı çizilerek gösterilmelidir (Şekil.1 lb). Cisme düşey doğrultuda etkiyen ağırlık (SO.g) ve yatayla 20 lik açı yapan çekme kuvveti dışında cismin üzerinde bulunduğu düzlemin cisme uyguladığı kuvvet vardır. Cismin ağırlığı eğik çekme kuvvetinin düşey bileşeninden büyük olduğu zaman cisim ancak yatay düzlem üzerinde hareket edebilir. Bu durumda, yatay düzlemin cisme uyguladığı kuvveti, hareket doğrultusuna dik bir N kuvveti ile harekete engel olmaya çalışan, hareket doğrultusuna ters bir F sürtünme kuvveti bileşenlerine ayırmak yerinde olur. F kuvveti, yüzeye dik N kuvveti ile sürtünme katsayısının çarpımına eşittir. Hareket doğrultusuna dik doğrultudaki denge denklemi: Hareket doğrultusundaki hareket denklemi: Cismin sabit ivme ile 3s içinde alacağı yol: ZF y = 0 : N-50.g+150sin20 = 0 : N = 439,2 N IF X = ma : 150cos 20 = 0,3 x 439,2 = 50.a : a = m/s 2 olur. 2 ar=j-(o.184)(3)2 = Örnek 2. Şekil.12(a) da gösterilen 50kg kütlesindeki cisim, kütlelerinin ve her türlü sürtünmenin ihmal edilebileceği makara sistemi kallanılarak uygulanan 250 N luk kuvvetle yukaıı çekilmeğe çalışılmaktadır. Hareketsiz konumdan başlayarak, cisim 4 saniyede ne kadar yükselir? Makara sisteminde kütleler ve her türlü sürtünme ihmal edilebildiğine göre halatın tüm bölümlerindeki kuvvetin değeri aynıdır. Bu durumda, Şekil. 12(b) de görüldüğü gibi cisim ile bağlanmış olduğu makara için serbest cisim diyagramı çizilip, düşey doğrultuda hareket denklemi yazılırsa, bulunuur. Cismin 4 saniyede çıkacağı yükseklik de EF = ma : g. = 50. a : a = 0.19 m/s 2 s=l 2 = l(0.19)(4) 2 = 1.52m 2 olarak bulunur. 250 N 250 N 250 N Şckil.l2-Örnck

16 KATI CİSİMLERİN MEKANİĞİ Eğrisel harekette, cisim bir eğri yörünge üzerinde hareket eder ve bileşke kuvvetin hareket doğrultusu dışındaki doğrultularda da sıfırdan farklı bileşenleri olabilir. Bu nedenle, cismin hareket doğrultusu dışındaki doğrultularda da ivmesi olabilir. Eğrisel harekette, yörüngeye uygun koordinat sistemi seçerek, hareket denklemlerini koordinat doğrultularında yazmak uygun olur. Örnek olarak bir düzlemde sabit bir nokta etrafında sabit bir co açısal hızıyla dönen m kütlesinde bir cisim düşünülürse (Şekil. 13) bu cismin hızı v=aır. teğetsel ivmesi a t =0, dik ivmesi a n = oa dir. Bu cismi sabit yarıçaph dairesel yörünge üzerinde tutabilmek için sürekli olarak merkeze doğru bir F n =ma n =mco 2 r merkezcil kuvveti uygulamak gerekir. Böyle bir kuvvet olmadığı takdirde cisim yörüngeden çıkıp merkezden uzaklaşmağa (kaçmağa) çalışır. Buna neden olan kuvvete merkezkaç kuvvet F m adı verilir. Bu kuvvetin değeri merkezcil kuvvetle aynı, doğrultusu ise terstir. \ F l m F n = ma n Şekil.13- Merkezsel hareket. Aynı cismin, hareket ettiği düzlemden yukarıda sabit bir noktaya bir iple bağlanmış olduğu düşünülürse (konik sarkaç), ipteki kuvvetin düşey bileşeni cismin ağırlığına eşit olup cisme etkiyen düşey kuvvetlerin toplamı sıfır olur. Yatay bileşeni ise cisme gerekli merkezcil ivmeyi verecek merkezcil kuvvettir. Bir başka örnek olarak eğik atış problemi düşünülürse (Şekil. 14), cismin hareketinin yatay doğrultuda sabit hızlı bir doğrusal hareket ile düşey doğrultuda yer çekimi ivmesi etkisinde bir doğrusal hareketten oluştuğu görülür. Cismin yatay doğrultudaki hızı V x = V o cos8 sabittir. Düşey doğrultudaki hızı ise yer çekimi nedeniyle değişmektedir : V y = V x sinö – gt. Yörüngenin tepesinde V y = 0 olur, cismin en yüksek noktaya varması için gerekli zaman t = V o sin6 /g dir. Böylece, cismin varabileceği en yüksek nokta y = V o sinö – gt 2 / 2 formülünden y = V 2 0 siırfl / 2g olarak bulunur. Yörünge simetrik olduğu için cismin harekete başladığı noktayla aynı yükseklikte varabileceği yatay uzaklık da x = (V o cosft) (2V 0 sinö / g) = 2V 2 O cosö sin8 / g olarak bulunur. V o sin0 Şekil. 14- Eğik atış Boyutlarının önemli olmadığı cisim (nokta, parçacık) kinetiğinden boyutlarının önemli olduğu rijid cisim kinetiğine geçerken rijid cismin, çok sayıda parçacıktan oluştuğu gerçeği önemli kolaylık sağlar. Çünkü tek bir parçacığın hareketi ile ilgili olarak geliştirilen kurallar, çok sayıda parçacıktan oluşan bir topluluk için kolayca 4-14

17 KATI CİSİMLERİN MEKANİĞİ genelleştirilebilir. Örneğin, bir parçacık topluluğuna etkiyen dış kuvvetlerin bileşkesi, topluluğun toplam kütlesi ile kütle merkezinin ivmesinin çarpımına eşit değerde ve bu ivmenin doğrultusundadır. Rijid Bir Cismin Sabit Eksen Etrafında Dönmesi Dış kuvvetlerin bu eksen etrafında meydana getirdikleri bileşke moment, cismin eksen etrafındaki eylemsizlik momenti ile açısal ivmesi çarpınıma eşittir : ZM = la Ağırlık Merkezinden Geçen Eksen : Cisme uygulanan dış yüklerin bileşkesi bir kuvvet çilli (moment) dir. Bu momentin M değeri sabit ise açısal ivme M = I G a dan bulunur. Açısal hız Cû = û) 0 + at formülünden, dönme açısı da 6 = Cû o t + at 2 2 bulunur. Ağırlık Merkezinden Geçmeyen Eksen : Bu durumda dış kuvvetlerin bileşkesi, cismin kütlesi ile ağırlık merkezinin ivmesi çarpımına eşit değerde ve bu ivme doğrultusundadır. Ağırlık merkezinin ivmesi dönme eksenine doğru a n =orr ve üzerinde hareket ettiği dairesel yörüngeye teğet a,=ar bileşenlerine ayrılabilir (Şekil.15). Şekil.15- Sabit eksen etrafında dönme Dış kuvvetlerin etkilerinin 0 noktasından geçen sabit dönme ekseni etrafında meydana getirdikleri toplam moment XM 0 = IQÜ + rma t = (IG +mr 2 ) a + Ioa dir. Açıkça gözlenebileceği gibi dış kuvvetlerin bileşkesi genel olarak ne 0, ne de G noktasından geçmeyip, cismin titreşim merkezi ya da çarpma merkezi adı verilen noktasından geçer. Bu merkezin sabit dönme ekseninden uzaklığı Ic/mr dir. Örneğin bir ucundan asılı L boyunda ince bir çubuğun çarpma merkezi asılı olduğu uçtan 2L/3 kadar uzaklıktadır. Rijid Cisimlerin Düzlemsel Hareketi Daha önce de sözü edildiği gibi, düzlemsel hareket cismin herhangi bir noktasının öteleme hareketi ile bu nokta etrafında bir dönme hareketinin toplamıdır. Öteleme hareketi için Newton’un ikinci kanunu geçerlidir : Dış kuvvetlerin bileşkesi, cismin kütlesi ile ağırlık merkezinin ivmesi çarpımı değerinde ve bu ivmenin doğrultusundadır. Cismin dönmesi ise genel olarak sabit bir eksen etrafında değildir. Bu bakımdan uygun herhangi bir eksen referans seçilebilir. Dış kuvvetlerin bu eksen etrafında meydana getirecekleri toplam moment, ağırlık merkezine göre alınan eylemsizlik momenti ile cismin açısal ivmesi çarpımı ve cismin ağırlık merkezine yerleştirilen bileşke dış kuvvetin aynı referans ekseni etrafında meydana getireceği momentin toplamına eşittir. Örknek 3. Şekil. 16 da gösterilen 10 kg kütlesinde ve 5 cm yarıçapındaki silindir serbest bırakıldıktan 2 saniye sonra yuvarlanarak ne kadar uzaklığa ulaşır? Silindir ile eğik düzlem arasındaki sürtünme katsayısı kaymayı önleyecek kadar büyüktür. 4-15

18 II I KATI CİSİMLERİN MEKANİĞİ Şekil. 16- Örnek 3. Silindir kaymadan yuvarlandığı için C noktasında hız sıfırdır ve bu nokta ani dönme merkezidir. Yani şekilde gösterilen anda silindir C noktası etrafında dönmektedir. Bu durumda ag = ra olur. C noktası etrafında dış kuvvetlerin meydana getirdiği toplam moment yazılırsa r.psin 30 = IG(X + mr 2 a dan 10 x 9.81 (sin30 c ) x 0.05 =i-x 10 x (0.05) 2 a + 10 x (0.05) 2 a 2 a = 65.4 rad/s 2 bulunur. Buradan da = 0.05 x 65.4 = 3.27 m/s 2 ve = 1 ao s t2 = i x 3.27 x 2 2 = 6.54 m bulunur. 2 2 Ornek.4- Şekil. 17 (a) da gösterilen kütlesi 15 kg ve uzunluğu 2m olan çubuğun uçlanyla dokunduğu yüzeyler arasındaki sürtünme katsayısı 0.1 dir. Çubuk serbest bırakıldığı andaki açısal ivmesi nedir? 4-16

19 KATI CİSİMLERİN MEKANİĞİ (a) 0.1 N A m (deh 0.1 N B m (a G )y\ Şekil.17- Örnek 4. Şekil.17(b) do görülebileceği gibi ani dönme merkezi C noktasındadır. Bu anda a,, = orr=o, a!=ar=a.l=a dır. Böylece (ac) x =0.866a, (ag) y =0.5a olur. Şekil. 17(c) kullanılarak hareket denklemleri yazılıp EFx – m (ac)x : N A N B = ma = a = m(ag)y:p-0.1 N A -N B = 0.5 ma = 7.5 a bu denklemler birlikte çözülürse a=2.38rad/s 2 bulunur. x0.1 N A -(2 cos 30) x İŞ VE ENERJİ (2) 2 a+ 1.5a İş : Bir cismin yer değiştirmesi sırasında yapılan iş yer değiştirme ile cisme etkiyen kuvvetin yer değiştirme yönündeki bileşeninin çarpımına eşittir. Bir F kuvveti etkisinde cismin bu kuvvetle a açısı yapan bir doğrultuda ds kadar yer değiştirmesi sonucu yapılan iş du = F cosa. ds kadardır. Bir M momenti etkisinde bir de kadar dönme sırasında da dû=md8 kadar iş yapılmış olur. Sİ birim sisteminde iş için İN luk bir kuvvetin aym doğrultuda İm yer değiştirmesi sonucunda yapılan işe eşit olan joule (J) kullanılır. Enerji: Basit bir deyimle, bir cismin iş yapabilme kabiliyetidir. Enerji için de iş birimleri kullanılır. İş ve Enerji Kanunu : Bir cismin 1 konumundan 2 konumuna gelirken üzerinde etkiyen tüm kuvvetlerin yaptığı 4-17

20 KATI CİSİMLERİN MEKANİĞİ iş cismin ikinci konumdaki kinetik enerjisi ile birinci konumundaki kinetik enerjisi farkına eşittir : Hareket etmekte olan bir cismin kinetik enerjisi U,. 2 =T r T, T= l m V 2 +J- I G co 2 dir. 2 2 Burada v G ağırlık merkezinin hızı, co ise cismin açısal hızıdır. Birinci terim öteleme, ikinci terim ise dönme hareketinden kaynaklanmaktadır. Enerji Sakinimi Kanunu : Bir kuvvet etkidiği cismin hızına veya ivmesine bağlı olmayıp, yaptığı iş de cismin bir konumdan diğerine hangi yoldan geldiğine bağlı değilse bu kuvvet konservatiftir denir. Bir cisme konservatif bir kuvvet etkiyorsa, bu kuvvetin iş yapabilme kapasitesi vardır. Bu kapasite, Ep, cismin potansiyel enerjisidir ve yalnızca cismin bulunduğu konuma bağlıdır. Cismin toplam mekanik enerjisi kinetik enerjisi ile potansiyel enerjisinin toplamıdır. Örnek olaıak, bir cismin yerçekimi kuvveti etkisindeki potansiyel enerjisi, ağırlık merkezi belirli bir referanstan h kadar yükseklikte iken Ep=Ph dir. Cismin bağlanmış olduğu k yay sabitli bir elastik yayda kadar uzama veya kısalma varsa, cismin yaydaki kuvvetten dolayı potansiyel enerjisi de Ep = ks 2 dir. 2 Konservatif kuvvetlerin etkisindeki bir cismin toplam mekanik enerjisi sabittir : T ı + E P ı = T 2 +E p2 Örnek.5- Şekil.18(a) da gösterilen lın boyunda. 5kg kütlesinde çubuğun uçları 8kg lık A ve lokg lık B bloklarıyla birlikte sürtünmesiz yataklarda serbestçe kayabilmcktedir. 6 = 60 iken serbest bırakılan çubuğun 6 = 45 iken açısal hızı nedir? (b) Çubuğun alt ucu referans alındığında Şukil.lS-ÖnıckS. E P1 = 5 x i sin 60 x x 1 x sin 60 = J 2 Şekil. 18(b) den görüleceği üzere ani dönme merkezi C noktasındadır. Bu durumda 4-18 V G = 0.5 w v A = 0.707Ü) v B = 0.707m, T _J_ mv2 +i,j h-2-nuvi 1 +l mb v B 2 = lx5x(o.5co) 2 +J-xf-J-x5xl 2 )cû 2 + l x 8 x (0.707 (a) 2 +J- x 10 x (0.707) Vl2 /o 1

21 KATI CİSİMLERİN MEKANİĞİ = 5.33cn*. Ep 2 = 0.5 x(sin45)x5 x x (sin45) 8 x9.81 = J olur. Ti + Kpı = T 2 + Bp 2 : = 5.33or den Û)= 1.75 rad/s bulunur. 7. İMPULS VE HAREKET MİKTARI Bir F bileşke kuvvet etkisinde hareket etmekte olan bir parçacık için hareket denklemi ti zamanından ti zamanına kadar integre edilirse f’ 2 11 F dt = in V2 – in vı denklemi elde edilir. Bu denklem doğrusal impuls ve hareket miktarı kanununun ifadesidir. Sol taraftaki integral doğrusal impulstur. Bu bir vektörel büyüklüktür, doğrultusu kuvvetle aynıdır, değeri için Sİ birim sisteminde N.s kullanılır. Sağ taraftaki terimlerin her biri de doğrusal hareket miktarıdır. Bunlar da vektörel büyüklüklerdir; doğrultulan hızla aynıdır, değerleri için de Sİ birim sisteminde kg.m/s kullanılır. Yukarıdaki kanun çok sayıda parçacık ve rijid cisimler için de genelleştirilebilir. Rijid bir cisim için doğrusal hareket miktarı, tüm parçacıklarının hareket miktarları toplamı olan çişimin kütlesi ile ağırlık merkezi hızının çarpımı, yani II,ı = m V(; dir. Doğrusal hareket miktarının sabit bir eksen etrafındaki momenti açısal hareket miktarını verir. Açısal hareket miktarı H n = I ûi biçiminde ifade edilebilir. Burada I, açısal hareket miktarı hangi eksen etrafında hesaplanıyorsa, o eksene göre eylemsizlik momentidir. Örneğin, H a G = IG oı. Açısal hareket miktarı da vektörel bir büyüklüktür; düzlemsel harekette hareket düzlemine diktir, değeri için Sİ birim sisteminde kg.m 2 /s kullanılır. Doğrusal impuls ve hareket miktarı kanunnuna benzer biçimde açısal impuls ve hareket miktarı kanunu aşağıda verildiği gibi ifade edilebilir: M dt = Iü>; Icoı lıı Böylece, bir rijid cisim için impuls ve hareket miktarı kanunu topluca m v ı l F d t = m MG dt = I G m»2 denklemleriyle ifade edilebilir. Bir cisme etkiyen dış kuvvetlerin bileşkesi ya da doğrusal impuls sıfır ise doğrusal hareket miktarı sabittir. Dış kuvvetlerin bir eksen etrafındaki momenti veya açısal impuls sıfır ise aynı eksene göre açısal hareket miktarı sabitti». Bu kanunlar çok sayıda cisimden meydana gelen sistemler için genelleştirilebilir. Çarpışma İki cismin çarpışması çok kısa sürdüğünde oldukça büyük kuvvetler doğabilir. Düzgün doğrusal hareket yapan mı ve 1TI2 kütlelerinde iki cisim vı ve v 2 hızlarıyla birbirine yaklaşıp çarpışsın ve V ve V 2 hızıyla birbirinden ayrılsın. Cisimler düzgün doğrusal hareket yaptıkları için dış kuvvetlerin etkisinde değillerdir. Bu durumda iki cisimden oluşan sistemin doğrusal hareket miktarı sabittir : mı vı v : = mı Vı V

22 um Bu denklem ayrılma hızlarnın bulunmasına yetmez. KATI CİSİMLERİN MEKANİĞİ Çarpışma sırasında cisimlerin değme noktalarına teğet olan düzleme dik eksen çarpışma eksenidir. Cisimlerin kütle merkezleri çarpışma ekseni üzerinde ise çarpışmaya merkezsel, aksi halde eksantrik denir. Cisimlerin hızları çarpışma ekseni doğrultusunda ise çarpışmaya dik, aksi halde eğik denir. Çarpışma sırasında cisimler impulsif kuvvetlerin etkisinde şekil değiştirirler. Birbirine değdikleri andan itibaren şekil değiştirme başlar ve maksimum şekil değiştirme anına kadar artar (sıkışma). Bu andan sonra cisimler birbirini iter (geri dönme ) ve sonunda genellikle birbirinden ayrılır. Çarpışma sırasında kinetik enerji şekil değiştirme enerjisine çevrilir. Eğer bu enerji tamamen geri kinetik enerjiye dönüşürse çarpışmaya elastik, aksi halde elastoplastik adı verilir. Dik çarpışmada ayrılma hızının yaklaşma hızına oranına sıçrama katsayısı adı verilir. e = VuYı V2- V Elastik çarpışmada e=l değerini alır. çoğunlukla çarpışan cisimlerin şekil ve malzemelerine bağlı olarak 0 ile 1 arasında değişir. e=0 ise çarpışma plastiktir ve cisimler çarpışmadan sonra ayrılmazlar. Eğik çarpışmada sıçrama katsayısı hızların yalnızca çarpışma ekseni doğrultusundaki bileşenlerine uygulanır; değme düzlemi doğrultusunda cisimlerin doğrusal hareket miktarları ayn ayrı korunur. Ornek.6- Şekil. 19(a) da gösterilen 1 kg kütlesindeki top sürtünmesiz yatay bir düzlem üzerinde durmakta olan 5 kg kütlesindeki takoz üzerine 2.5 m yükseklikten düşürülmektedir. Sıçrama katsayısı 0.5 ise takozun çarpmadan sonraki hızı nedir? (a) (b) ŞeklM9-Ornek.6 Topun serbest bırakıldığı anla takoza ulaştığı an arasında enerjisi sabittir: Ti + E k, = T; + Ek2 0+1 x 9.81 x 2.5 =i-xl x V\ + 0 : V T = 7 m/s 2 Yatay doğrultuda sistemin doğrusal hareket miktarı sabittir : 0 = 5v -1. v x sin v y cos 30 0 = 5v v x v y x ekseni çarpışma eksenidir; sıçrama katsayısı: pv =0.5v-v x -7 cos 30-0

23 KATI CİSİMLERİN MEKANİĞt y ekseni doğrultusunda topun doğrusal hareket miktarı sabittir : Bu sonuç ilk iki denklemle birlikte kullanılırsa v = m/s bulunur. 1.7sin30 = v y, v y = 3.5 m/s 8. JİROSKOPİK HAREKET VE JİROSKOP Jiroskop eksenel simetrisi olan bir cisimdir ve simetri ekseni etrafında büyük bir açısal hızla döner. Böylece simetri ekseni doğrultusunda büyük bir açısal hareket miktarı vardır. Eksenel simetrisi olan ve bu eksen üzerindeki sabit bir nokta etrafında hareket eden bir cisim olsun. Bu cismin hareketi incelenirken Euler açılan < >, 8, y nin kullanılması uygun olacaktır. Bu amaçla başlangıçta çakışan, uzayda sabit bir XYZ ve hareketli xyz koordinat sistemi düşünelim (Şekil.20a). Şekil.20- Koordinat sistemleri ve Euler açıları Euler açılara $, sabit Z ekseni; 8, x ekseni; y ise z ekseni etrafındaki dönme açıları olsun (Şekil.20b). Cismin açısal hızı (Û nın bileşenleri , 8 ve y dir. y= 0 özel durumu gözönüne alınırsa, xyz koordinat sisteminin açısal hızı 1 = $ + 8 olur. Eksenel simetrik cismin x ve y eksenlerine göre eylemsizlik momentine I, z eksenine göre ise iz adı verilirse, Euler hareket denklemleri M x = I (9 – <)>2 sin 9 cos 9) + I z 9 (4> cos 9 + y) M y = I ( <(» sin 9 +2<(>6 cos 9) – I z a sin 9 ( < >cos 9 + \\f) M 2 = I z (V + (> cos 9 – $ 9 sin 9) biçiminde yazılabilir. Burada açılar üzerindeki noktalar zamana göre alınmış birinci ve ikinci türevleri göstermektedirler. Eğer 9, $ ve \t sabit alınırsa bu denklemler : M x = -I < >2 sin 9 cos 9 + I z ty sin 9 ( <(>cos 9 + y) M y = 0 M 7 =0 4-21

24 **? KATI CİSİMLERİN MEKANİĞİ şeklini alır. Özel bir durum olarak G = 90 seçilirse CŞekil.21) denklemler daha da Nısilleşerek elde edilir. Şekil.21 e bakıldığında, cismin ağırlığı etkisiyle aşağı düşeceği sanıhıbilir. Z.y W Şekil.21-Jiroskop Ancak, I z fiy o^ terimi, P ağırlığının meydana getireceği momenti dengeleyecek şekilde seçilirse bu önlenir. Bu etki, jiroskopik etki olarak adlandırılır. Yukarıda en son elde edilen denklem : biçiminde yazılabilir. Jiroskopun açısal hareket miv’ ” T z (Dj çok büyük olduğu için belirli bir M x momentine karı bağıı rumu göstermektedir. ;ığnıltı 4-22 Şekil.22- Serbest jiroskop.#. * «

25 SÜRTÜNME Prof. Dr. Ruşen GEÇİT Birbirine değen iki yüzeyden biri ötekine göre hareket etmek istiyorsa veya hareket ediyorsa, bu harekete karşı bir direnç vardır. Bu dirence kısaca sürtünme adı verilir. Sürtünme, yüzeylerin pürüzlülüğü, aralarında bir başka madde olup olmaması, hareket olup olmaması ve yüzeyleri birbirine bastıran kuvvet gibi etkenlere bağlıdır. Sürtünme direnci, yüzeylerin birbirine uyguladığı, yüzeylere teğet ve hareket yöniiniine ters sürtünme kuvveti olarak ortaya çıkar. Cisimlere uygulanan kuvvetlerin birbirine değen yüzeylere paralel bileşeni sürtünme kuvvetini aşarsa hareket başlar, aksi halde hareket olmaz. Birbirine değen yüzeyler temiz ve kuru ise harekete karşı dirence kuru sürtünme adı verilir. Yüzeyler arasında yağ veya benzeri sıvılardan bir tabaka varsa, o zaman dirence sıvı sürtünmesi adı verilir. Bu bölümde kuru sürtünme incelenecektir. 1. STATİK VE KAYMA SÜRTÜNMESİ Denge ı Hareket I (b) Şekil. 1- Sürtünme kuvveti. Şekil. 1 (a) da gösterilen yatay bir düzlem üzerindeki cismi ele alalım. Bu cisim, ağırlığı P ile yatay olarak uygulanan F kuvvetinin etkisi altındadır. Cismin ü/erinde bulunduğu yüzey de ağırlığa karşı bir N tepkisi ile F kuvvetine karşı yüzeye teğet bir F’ sürtünme kuvveti uygular. F’ kuvvetinin doğmasına neden F kuvvetidir. F yoksa F’ de yoktur. F küçükse cismi hareket ettirmeye yetmez ve cisim dengede kalır. Bu durumda F’ statik sürtünme kuvveti dir. Bu kuvvet cismin düzleme değen yüzeyine yayılı bir kuvvettir, dağılımı tüm olarak bilinmemektedir. Önemli ölçüde temastaki yüzeylerin pürüzlülüğüne bağlıdır. F kuvveti arttıkça sürtünme kuvveti de artar, değeri belirli bir F’ m değerine ulaşıncaya kadar F yi dengede tutabilir. F daha fazla artarca sürtünme kuvveti dengeyi koruyamaz ve cisim kaymaya başlar. Hareket başlayınca sürtünme kuvvetinin değeri daha küçük bir F’ k değerine düşer (Şekil.lb).. Bunun nedeni, yüzeylerdeki prüzlerin hareket halinde birbirinden biraz kurtulmuş olmasıdır. Bu durumda sürtünme kuvveti kinetik (ya da kayma) sürtünme kuvveti adını alır. Cıözlemler, F’ m değerinin N ile doğru orantılı olduğunu göstermektedir : F m =f s N; f s statik sürtünme katsayısıdır. Benzer şekilde F k =f k N yazılabilir; f k da kinetik (kayma) sürtünme katsayısıdır. Gözlemler, f k nın sabit olmayıp, yüzeylerin birbirine göre kayma hızı arttıkça, azaldığını göstermektedir. Ancak, çok düşük hızlarda sabit alınabilir. Aşağıdaki çizelgede genel amaçlar için kullanılabilecek, oldukça düzgün yüzeyler için yaklaşık değerler verilmektedir. Sürtünme katsayılarının birbirine değen cisimlerin malzemeleri dışında, yüzey pürüzlülüğü, toz. nem, sıcaklık, oksitlenme, kayma hızı, titreşim ve yüzeylerin kirliliği ile de önemli ölçüde değişebildiğim hatırda tutmak gerekir. 4-23

26 II Mi SÜRTÜNME Çizelgcl- Statik ve Kinetik Sürtünme Katsayıları Malzemeler Sert çelik-sert çelik Çelik-çelik Çelik-kurşun Alüminyum-çelik Bakır-çelik Nikel-nikel Pirinç-çelik Çinko-pik Bakır-pik Alüminyum-ulüminyum Cam-cam Cam-nikel Bakır-cam Pik-pik Meşe-meşe (paralel) Meşe-meşe (dik) Statik Kinetik Şekil.l(a) da gösterilen cisim gözönüne alındığında üç farklı durum söz konusu olabilir : 1. F kuvveti cismi haıeket ettiıecek kadar büyük değildir ve cisim dengededir. F’ henüz maksimum değerine ulaşmamıştır (PF’). Sürtünme kuvveti, kinetik sürtünme kuvvetine eşittir (F’=F’ k ). Böylece, değeri F’=l” k N kullanılarak hesaplanır. Şekil.l(a) da N tepki kuvveti ile F 1 sürtünme kuvvetinin bileşkesi R, bu bileşke ile N tepki kuvveti arasındaki açı da (j> olsun. F kuvvetinin değeri arttıkça, 6 açısı 9 S değerine ulaşana kadar hareket olmaz. 6 S ye statik sürtünme açısı adı verilir ve kuvvet üçgeninden tg^=ik = fcn = fs N N n bağlantısı kullanılarak hesaplanabilir. Haıeket başladıktan sonra sürtünme kuvvetinin değeri azalıp F’ k olur. < >açısı da azalıp < >k (kinetik sürtünme açısı) değerini alu\ Bu durumda da yine kuvvet üçgeninden yararlanarak yazılabilir. N N Örnek. 1- Şekil.2(a) da gösterilen 20 kg kütlesindeki sandık 20 eğimli düzlemde yukarıya doğru çekilecektir. Sandık ile eğik düzlem arasındaki sürtünme katsayıları i’ s =0.45, f k =0.27 olduğuna güre (a) sandığı harekete geçirecek (b) sandığın yukarı doğru hareketini sabit hızla sürdürecek F kuvvetini bulunuz. 4-24

27 SÜRTÎTNME R Şekil.2- Örnek.l Sandığın serbest cisim diyagramı Şekil.2(b) de gösterilmektedir. Denge konumunda düzleme paralel ve dik doğrultularda denge denklemleri yazılırsa N-Pcos20 + Fsinl5 = 0 Fcosl5-Psin20-F = 0 ekle edilir. Sandık hareket başlangıcında iken sürtünme kuvveti dir. Böylece elde edilen üç denklem birlikte çözülürse F = F’ s + f s N = 0.45N bulunur (a). F= N Sandık harekete başladıktan sonra eğik düzleme paralel doğrultuda denge bozulabilir. Ancak, sabit hız söz konusu olunca ivme sıfırdır ve denge denklemi bu durumda da geçerlidir. Bununla birlikte, sürtünme kuvveti şimdi F s F ^ f u N ^ ^ Î N olmuştur. Bu bağıntı ile baştaki iki dengi- denklemi birlikte çözülürse F=112.85N bulunur (b). 2. YUVARLANMA SÜRTÜNMESİ Tekerleğin icadı uygarlık tarihinin en önemli dönüm noktalarından biridir. Taşınacak yükün doğrudan doğruya kaydırılması yerine yuvarlanan tekerlekler üzerinde taşınması çok daha kolaydır. Çünkü kaymaya karşı oluşan sürtünme kuvveti, aynı yük için, yuvarlanmaya karşı oluşan dirençten çok daha fazladır. Bir yükün tekerlekler üzerinde taşınması sırasında önemli iki türlü direnç vardır: dingil sürtünmesi ve yuvarlanma direnci. Şekil.3 de bir P yükünü taşıyarak sağa doğru hareket etmekte olan bir tekerlek gösterilmektedir. 4-25

makına mühendisliği el kitabı

Historia De Las Ideas Cientificas – De Tales de Mileto a la Máquina de Dios

1,098 Pages · 2013 · 5.8 MB · 41,329 Downloads · Spanish · New!

decir. El libro es una hazaña doble: prueba que la ciencia puede ser muy seria sin perder el sentido del .

¿Para qué sirve el cerebro? Manual para principiantes

300 Pages · 2017 · 4.93 MB · 47,703 Downloads · Spanish · New!

El cerebro, su cerebro, es el que le permite ser lo que usted es. La división entre mente y cerebro .

Once Minutos

76 Pages · 2003 · 504 KB · 84,885 Downloads · Spanish · New!
Una novela cautivadora y audaz del autor de El Alquimista, bestseller con m&aaucute;s de un mill?n .

Kung-Fu Shaolin: Los secretos del Kung-Fu para la autodefensa, la salud y la iluminacion

307 Pages · 2007 · 1.84 MB · 42,737 Downloads · Spanish · New!

estilos de kung-fu y lo acompa?±a paso a paso desde el establecimiento de los objetivos de entrenamiento .

Pre-suasión: Un método revolucionario para influir y persuadir

424 Pages · 2017 · 8.56 MB · 95,689 Downloads · Spanish · New!
eficaz de un auténtico persuasor? Con el rigor científico y la capacidad de divulgación que le .

Ingles para Dummies (ebook)

475 Pages · 2016 · 10.09 MB · 48,304 Downloads · Spanish · New!

este libro no te pasará. Tanto si tienes un interés personal en el inglés como si lo necesitas para el .

Entrenando la memoria para estudiar con éxito: Guía práctica de habilidades y recursos

106 Pages · 2015 · 43.66 MB · 90,081 Downloads · Spanish · New!

inteligentes que son esenciales tanto en la vida diaria como en el aprendizaje. Brinda al lector una serie de .

Genius Foods: Become Smarter, Happier, and More Productive While Protecting Your Brain for Life

561 Pages · 2017 · 2.62 MB · 349,021 Downloads · New!
Genius_Foods_-_Max_Lugavere.pdf Genius Foods Max Lugavere .
Load more similar PDF files

PDF Drive investigated dozens of problems and listed the biggest global issues facing the world today. Let’s Change The World Together

• Editor’s Picks
• Most Popular
• Academic & Education
• Art
• Biography
• Business & Career
• Children & Youth
• Environment
• Fiction & Literature
• Health & Fitness
• Lifestyle
• Personal Growth
• Politics & Laws
• Religion
• Science & Research
• Technology

Makine Mühendisleri Ve Öğrencilerinin Mutlaka Okuması Gereken Kitaplar

Makine mühendisliği öğrencilerinin mutlaka okuması gereken kitapları birlikte inceleyelim.

Mühendisliğin en zor bölümü olarak gösterilen ve görülen makine mühendisliğinde okul yıllarında olduğu kadar iş hayatında da profesyonel ve disiplinli olmak kolay değil. Yazımızda, okunması gereken makine mühendisliği kitapları listemizi görüntüleyebilirsiniz.

Makine Mühendisleri Ve Öğrencilerinin Okuması Gereken Kitaplar

Okunması gereken makine mühendisliği kitapları, mesleki anlamda sizlere yetkinlik kazandıracağı gibi iyi bir mühendis olma yolunda kişisel gelişiminiz içinde faydalı olacaktır. İyi bir mühendis olmak ile alakalı yapmış olduğumuz çalışmalara strucare.com adresinden ulaşabilirsiniz.

Gerek okurken gerekse çalışırken bir makine mühendisinin masasında ve kitaplığında ders kitapları kadar sektöre ışık tutacak okuma ve hikaye kitaplarının da olması gerek. Bu yazıda içlerinde okumuş olduğum ve yakın zamanda okuyacak olduğum kitaplardan bahsedeceğim.

AMAÇ (Eliyahu M. Goldratt, Jeff Cox)

Bu kitap yüzlerce üniversitede ders kitabı olarak kullanılmış bir kitap. Kitabın yazarı olan Eliyahu Goldratt ilk defa Kısıtlar Teorisinden bu kitapta bahsetmiştir. Kitapta batmakta olan bir fabrikanın üretim müdürünün hikayesi anlatılıyor.

MÜHENDİSLİK VE MİMARLIK ÖYKÜLERİ SERİSİ (Türk Mühendisler ve Mimarlar Odaları Birliği)

Akademik Odaların desteğiyle ve bilgisiyle hazırlanan serinin sadece ilk kitabını okuyabildim. Devrim Arabaları olmak üzere çeşitli projelerin ve hikayelerin yer aldığı seride sektör ve meslek hakkında çok işe yarar bilgiler mevcut.

BİR MÜHENDİSİN DÜNYASI ( James L. Adams)

Aritmetikten uzay mekiklerine, piramitlerden güneş enerjisine, çeşitli mühendislik konuları hakkında birçok ipucu veren bir kitap.

DÜNYAYI DEĞİŞTİREN MAKİNA (James W. Pomack)

Bu kitap , Japonların seri üretimden Yalın Üretim’e geçerek TPS (Toyota Production System) ile nasıl başarıyı yakaladığını anlatıyor. Sadece sektörü değil, aynı zamanda Japonların dünyanın en çok satan otomotiv devlerine nasıl kafa tuttuğunu anlatıyor.

ZAMANIN KISA TARİHİ (Stephen Hawking)

Uzay-zaman ile fiziğin ilişkilerini anlatan, ufkunuzu açacak, konuya uzak olanların dahi anlayabileceği tarzda okunması gereken bir kitap.

Okunması gereken makine mühendisliği başlıklı içeriğimiz sürekli olarak güncellenecek bir içeriktir. Mühendislerin okuması gereken kitaplar hakkında çeşitli bilgilere web sitemiz üzerinden ulaşabilirsiniz.

Yazıyı Değerlendir

[Toplam: 11 Ortalama: 5 ]