Matris və determinant

Example: For a matrix A = \(\left[\begin1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end\right]\),

Determinant of Matrix

The determinant of a matrix is a function that maps every square matrix to a unique number (real number or complex number). If A is the set of all square matrices (of all orders) and B is the set of all numbers (both real and complex) then the determinant function f is f : A → B and is defined as f(x) = y, where ‘y’ is the determinant of matrix ‘x’.

Let us learn the process of finding determinant of the matrix for matrices of orders 1×1, 2×2, 3×3, etc along with a few examples. Also, let us focus on the properties of determinants.

1.	What is Determinant of Matrix?
2.	Determinant of 3×3 Matrix
3.	Determinants of Matrix Formulas
4.	Properties of Determinant of Matrix
5.	FAQs on Determinant of Matrix

What is Determinant of Matrix?

The determinant of matrix is the sum of products of the elements of any row or column and their corresponding co-factors. The determinant of matrix is defined only for square matrices. For any square matrix A, the determinant of A is denoted by det A (or) |A|. It is sometimes denoted by the symbol Δ. The process of calculating the determinants of 1×1 matrices and 2×2 matrices is pretty simple whereas the process becomes more complex as the order of the matrix increases. The process of finding the determinant of matrix involves minors and co-factors. Let us first recall how to find the minors and co-factors of the elements of a matrix.

Determinant of a 2×2 Matrix

The determinant of a 2×2 matrix A = \(\left[\begina & b \\ \\ c & d\end\right]\) is |A| = ad – bc. It is simply obtained by cross multiplying the elements starting from top left and then subtracting the products.

Minor of Element of a Matrix

The minor of an element \((a_)\) of a square matrix of any order is the determinant of the matrix that is obtained by removing the row (i th row) and the column (j th column) containing the element. We can understand this by an example.

Example: For a matrix A = \(\left[\begin1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end\right]\),

• The minor of 6 is,
  \(\left|\begin1 & 2 & ̶3̶ \\ ̶4̶ & ̶5̶ & < ̶6̶>\\ 7 & 8 & ̶9̶\end\right|\) = \(\left|\begin1 & 2 \\ \\ 7 & 8\end\right|\)
  = 1(8) – 2(7) = 8 – 14 = -6.
• The minor of 9 is,
  \(\left|\begin1 & 2 & ̶3̶ \\ 4 & 5 & ̶6̶ \\ ̶7̶ & ̶8̶ & ̶9̶\end\right|\) = \(\left|\begin1 & 2 \\ \\ 4 & 5\end\right|\)
  = 1(5) – 2(4) = 5 – 8 = -3.

Co-factor of Element of a Matrix

The cofactor of an element \(a_\) of a square matrix of any order is its minor multiplied by (-1) i + j . i.e.,

• Co-factor of an element = (-1) row number + column number (minor of the element)

We found the minors of elements 6 and 8 in the previous example. Let us calculate the cofactors of the same elements now.

Example: For the same matrix A = \(\left[\begin1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end\right]\),

• Since 6 is in the 2 nd row and 3 rd column,
  co-factor of 6 = (-1) 2 +3 (minor of 6) = (-1) 5 (-6) = 6
• Since 9 is in the 3 nd row and 3 rd column,
  co-factor of 9 = (-1) 3 +3 (minor of 9) = (-1) 6 (-3) = -3

The co-factors of elements of any matrix are nothing but the minors but multiplied by the alternative + and – signs (beginning with + sign for the first element of the first row).

Determinant of 3×3 Matrix

In the previous section, we have seen that the determinant of matrix is the sum of products of elements of any row (or any column) and their corresponding cofactors. Thus, here are the steps to find the determinant of matrix (a 3×3 matrix or any other matrix).

• Step 1: Choose any row or column. We usually choose the first row to find the determinant.
• Step 2: Find the co-factors of each of the elements of the row/column that we have chosen in Step 1.
• Step 3: Multiply the elements of the row/column from Step 1 with the corresponding co-factors obtained from Step 2
• Step 4: Add all the products from Step 3 which would give the determinant of the matrix.

Example: Use the above steps to compute the determinant of 3×3 matrix A = \(\left[\begin1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end\right]\).

Solution:

Step 1: We choose the first row with elements 1, 2, and 3.

Step 2: Let us compute the cofactors of these elements:

Co-factor of 1 = (-1) 1+1 Minor of 1 = (-1) 2 \(\left|\begin5 & 6 \\ \\ 8 & 9\end\right|\) = 5(9) – 6(8) = -3
Co-factor of 2 = (-1) 1+2 Minor of 2 = (-1) 3 \(\left|\begin4 & 6 \\ \\ 7 & 9\end\right|\) = -1 (4(9) – 6(7)) = -1(-6) = 6
Co-factor of 3 = (-1) 1+3 Minor of 1 = (-1) 4 \(\left|\begin4 & 5 \\ \\ 7 & 8\end\right|\) = 4(8) – 5(7) = -3

Step 3: Multiply the elements by their cofactors.

1(co-factor of 1) = 1 (-3) = -3
2(co-factor of 2) = 2(6) = 12
3(co-factor of 3) = 3(-3) = -9

Step 4: Add them to get the determinant.

det A = -3 + 12 – 9 = 0.

All these steps can be summarized in a single step as follows:

det A = 1(co-factor of 1) + 2(co-factor of 2) + 3(co-factor of 3)

= 1 \(\left|\begin5 & 6 \\ \\ 8 & 9\end\right|\) – 2 \(\left|\begin4 & 6 \\ \\ 7 & 9\end\right|\) + 3 \(\left|\begin4 & 5 \\ \\ 7 & 8\end\right|\)

= 1 [5(9) – 6(8)] – 2 [4(9) – 6(7)] + 3 [4(8) – 5(7)]

Note: Here we have used a negative sign with 2 in the second step because we get a minus sign while finding the co-factor of 2.

Determinants of Matrix Formulas

The process of finding the determinant of matrix that is explained in the previous section can be used to find the determinant of a matrix of any order. But there are some tricks to find the determinants of 1×1, 2×2, and 3×3 matrices. These tricks are very useful as we come across finding the determinants of matrices of these orders only most of the time while solving problems.

Determinant of 1×1 Matrix

1×1 matrix is a row with just 1 row and 1 column and hence it has only one element. The determinant of any 1×1 matrix is always equal to the element of the matrix. i.e.,

• If A = [x]_1×1, then |A| (or) det A = x

Determinant of 2×2 Matrix

As we discussed earlier, its determinant is obtained by subtracting the product of elements of the non-principal diagonal from the product of the elements of the principal diagonal. i.e.,

• If A = \(\left[\begina & b \\ \\ c & d\end\right]\) then |A| (or) det A = ad – bc

Determinant of 3×3 Matrix (Shortcut)

The shortcut to find the determinant of 3×3 matrix is, just write the matrix twice and apply the following trick. Here is the shortcut (easiest way) to find the determinant of 3×3 matrix A = \(\left[\begina & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z\end\right]\).

Properties of Determinant of Matrix

The properties of determinants are useful in finding the determinant of a matrix without actually using the process of finding it. These are helpful in evaluating the complex determinants. These include how the determinant changes with respect to elementary row operations.

Property 1

“The determinant of a matrix is equal to the determinant of its transpose.”

Example:

\(\left|\begina & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z\end\right|\) = \(\left|\begina & p & x \\ b & q & y \\ c & r & z\end\right|\)

Try verifying it.

Property 2

“If any two rows (or columns) of a determinant are interchanged, then the sign of the determinant changes.”

Example:

\(\left|\begina & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z\end\right|\) = – \(\left|\beginp & q & r \\ a & b & c \\ x & y & z\end\right|\)

Here, the first and second rows of the left side determinant are interchanged. One can easily verify this by finding both determinants.

Property 3

“If any two rows (or columns) of a determinant are identical, then the determinant is 0.”

Example:

\(\left|\begina & b & c \\ a & b & c \\ x & y & z\end\right|\) = 0

Property 4

“If all elements of a row (or column) of a matrix of a determinant are zeros, then the value of the determinant is 0.”

Example:

\(\left|\begin0 & 0 & 0 \\ p & q & r \\ x & y & z\end\right|\) = 0

Property 5

“If each element of a row (or column) of a determinant is multiplied by a scalar k, then the value of the resultant determinant is k times the value of the original determinant.”

Example:

\(\left|\beginka & kb & kc \\ p & q & r \\ x & y & z\end\right|\) = k \(\left|\begina & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z\end\right|\)

Property 6

“If each element of a row (or column) of a determinant is expressed as sum of two (or more) numbers, then the determinant can be split into the sum of two (or more) determinants.”

Example:

\(\left|\begina + k & b + l & c + m \\ p & q & r \\ x & y & z\end\right|\) = \(\left|\begina & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z\end\right|\) + \(\left|\begink & l & m \\ p & q & r \\ x & y & z\end\right|\)

Property 7

“If each element of a row (or column) is multiplied by a constant and the elements are added to the corresponding elements of another row (or column), then the determinant remains unchanged.”

Example:

\(\left|\begina & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z\end\right|\) = \(\left|\begina+kp & b+kq & c+kr \\ p & q & r \\ x & y & z\end\right|\)

Important Notes on Determinant of Matrix:

• The determinant of an identity matrix is always 1.
• The determinant of a diagonal matrix is always the product of elements of its principal diagonal.
• The determinant of an orthogonal matrix is either +1 or -1.
• The determinant of a matrix can be either positive, negative, or zero.
• The determinant of matrix is used in Cramer’s rule which is used to solve the system of equations.
• Also, it is used to find the inverse of a matrix. If the determinant of a matrix is not equal to 0, then it is an invertible matrix as we can find its inverse.
• If A is a square matrix of order 3×3, then |kA| = k 3 |A|, for any scalar k.
• A square matrix A is called singular if |A| = 0 and non-singular if |A| ≠ 0.
• The determinant is helpful in computing the eigenvalues and eigenvectors of a matrix.

☛ Related Topics:

• Determinant of Matrix Calculator
• Matrix Calculator
• Matrix Multiplication Calculator
• Types of Matrices

Examples on Determinant of Matrix

Example 1: If the determinant of matrix \(\left[\begin2x & 9 \\ \\ 2 & x\end\right]\) is 0, then find the possible value(s) of x. Solution: We have to find the determinant of given 2×2 matrix and set it equal to 0 to solve for x. \(\left|\begin2x & 9 \\ \\ 2 & x\end\right|\) = 0 2x(x) – 9(2) = 0 2x 2 – 18 = 0 2x 2 = 18 x 2 = 9 x = ±3 Answer: x = 3 or x = -3.

Example 2: Find the value of the determinant of 4×4 matrix \(\left[\begin
1 & 0 & 4 & -6 \\
2 & 5 & 0 & 3 \\
2 & 0 & 8 & -12 \\
2 & 1 & -2 & 3
\end\right]\) by using the properties of determinants. Solution: 2 is a common factor of all the elements of third row. By property 5 of determinant of matrix, \(\left|\begin
1 & 0 & 4 & -6 \\
2 & 5 & 0 & 3 \\
2 & 0 & 8 & -12 \\
2 & 1 & -2 & 3
\end\right|\) = 2 \(\left|\begin
1 & 0 & 4 & -6 \\
2 & 5 & 0 & 3 \\
1 & 0 & 4 & -6 \\
2 & 1 & -2 & 3
\end\right|\) Again, by property 3 of determinant of matrix, = 2 (0) (as the first and third rows are identical) = 0 Answer: \(\left|\begin
1 & 0 & 4 & -6 \\
2 & 5 & 0 & 3 \\
2 & 0 & 8 & -12 \\
2 & 1 & -2 & 3
\end\right|\) = 0

Example 3: If A = \(\left[\begin
1 & 1 & -1 \\
1 & 2 & 2 \\
0 & 3 & 4
\end\right]\), then prove that |4A| = 4 3 |A|. Solution: Evaluating LHS: |4A| = \(\left|\begin
4 & 4 & -4 \\
4 & 8 & 8 \\
0 & 12 & 16
\end\right|\) By the process of finding the determinant of 3×3 matrix, |4A| = 4 (128 – 96) – 4 (64 – 0) – 4 (48 – 0) = 4(32) – 4(64) – 4(48) = -320 Evaluating RHS: 4 3 |A| = 64 \(\left|\begin
1 & 1 & -1 \\
1 & 2 & 2 \\
0 & 3 & 4
\end\right|\) = 64 [ 1(8 – 6) – 1 (4 – 0) – 1 (3 – 0) ] = 64 (2 – 4 – 3) = 64 (-5) = -320 Hence LHS = RHS. Answer: We have proved that |4A| = 4 3 |A|.

View Answer >
Have questions on basic mathematical concepts?

Become a problem-solving champ using logic, not rules. Learn the why behind math with our certified experts

Matris

Matris və ya Matriks — Xətti cəbr anlayışı olub, m sayda sıra və n sayda sütundan ibarət olan rəqəmlər cədvəlidir. Matrisi Sıra Vektorları və Sütun Vektorları yaradır. Matris cədvəlinin hər bir elementinə Matris Komponenti deyilir.

1. Riyaziyyatda və hesablamalarda: əlaqəli vahidlərin təşkili məqsədilə ədədlərin, nöqtələrin, elektron cədvəlin xanalarının və s. elementlərin sətirlər və sütunlar boyu yerləşdirilməsi. Matrislər riyaziyyatda “düzbucaqlı” ədədlər yığınının təsviri və emalı üçün istifadə olunur. Hesablamalarda və tətbiqi proqramlarda matrislərdən verilənlər yığınının cədvəl şəklində, məsələn, axtarış cədvəllərində və elektron cədvəllərdə yerləşdirilməsi üçün istifadə edilir. Sin: TWO-DIMENSIONAL ARRAY; Tut: ARRAY;

2. Aparat vasitələrində: ekranda, eləcə də çapda (məsələn, matrisli printerlərdə çap zamanı) simvolların yaradılması üçün nöqtələrdən ibarət matrislərdən istifadə olunur. Elektronikada informasiyanın kodlaşdırılması, dekodlaşdırılması və ya çevrilməsi üçün məntiqi sxemlər şəbəkələrinin yaradılmasında diodlar və ya tranzistorlardan ibarət matrislərdən istifadə olunur.

“Matris” bir riyazi anlayış kimi ilk dəfə 1850-ci ildə Ceyms Cosef Silvester tərəfindən formalaşdırılmışdır. Matrislərin quruluşu onları xətti bərabərliklər kimi ifadə etməyə kömək edir.Matris anlayışı cədvəl mənasında hələ b. e. ə. III əsrlə b. e..-nın III əsri arasında naməlun Çin riyaziyyatçısı tərəfindən daxil olunmuşdur. Lakin onun geniş tətbiqləri və əhəmiyyəti məhz xətti fəza və xətti inikaslarla sıx əlaqəsi ilə müəyyən olunur.

və ya [ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 ] a_&a_&a_\\a_&a_&a_\end>>

Mündəricat

• 1 Matrislərin xassələri və onlar üzərində riyazi əməllər
  • 1.1 Kvadrat Matris
  • 1.2 Matrisin ədədə hasili
  • 1.3 Matrislərin toplanılması
  • 1.4 Matrislərin çıxılması
  • 1.5 Matrislərin vurulması

  Matrislərin xassələri və onlar üzərində riyazi əməllər

  m × n ölçülü A matrisi ( a_i,j, bütün 1 ≤ i ≤ m və 1 ≤ j ≤ n) adətən A[i,j] kimi qeyd olunur ki, bu da öz növbəsində A := ( a i , j ) m × n )_>

  4×3 ölçülü matrisdir. A[2,3]/(a_2,3)elementi 7-yə bərabərdir.

  1×9 ölçülü matris və ya 9 elementli sıra vektorudur.

  Kvadrat Matris

  Sətrlərinin sayı sütünlarının sayına bərabər olan matrisə kvadrat matris deyilir.

  Nümunə: Əgər m = 3 olarsa, onda

  Matrisin ədədə hasili

  Matrisi ədədə vurmaq bu matrisin bütün elementlərini həmin ədədə vurmaq deməkdir. Yəni, A matrisini hər hansı bir c ədədinə vurmaq A matrisininin bütün elementlərini c ədədə vurmaq deməkdir.

  2 [ 1 8 − 3 4 − 2 5 ] = [ 2 × 1 2 × 8 2 × − 3 2 × 4 2 × − 2 2 × 5 ] = [ 2 16 − 6 8 − 4 10 ] 1&8&-3\\4&-2&5\end>=<\begin2\times 1&2\times 8&2\times -3\\2\times 4&2\times -2&2\times 5\end>=<\begin2&16&-6\\8&-4&10\end>>

  Matrislərin toplanılması

  Eyni ölçülü iki matrisin uyğun elementlərinin cəmindən düzəldilmiş matrisə matrislərin toplanması deyilir. Yəni, m × n ölçülü A və B matrisləri verilmişdir, onların cəmi olan A + B matrisinin hər bir uyğun elementi, A matrisinin uyğun elementi ilə B matrisin uyğun elementininin cəminə bərabərdir:

  (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] )

  [ 1 3 2 1 0 0 1 2 2 ] + [ 0 0 5 7 5 0 2 1 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 + 1 2 + 1 ] = [ 1 3 7 8 5 0 3 3 3 ] 1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end>+<\begin0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end>=<\begin1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end>=<\begin1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end>>

  Matrislərin çıxılması

  Eyni ölçülü iki matrisin uyğun elementlərinin fərqindən düzəldilmiş matrisə matrislərin çıxılması deyilir. Yəni, m × n ölçülü A və B matrisləri verilmişdir, onların fərqi olan A – B matrisinin hər bir uyğun elementi, A matrisinin uyğun elementi ilə B matrisin uyğun elementininin fərqinə bərabərdir:

  (A – B)[i, j] = A[i, j] – B[i, j] )

  [ 1 3 2 1 0 0 1 2 2 ] − [ 0 0 5 7 5 0 2 1 1 ] = [ 1 − 0 3 − 0 2 − 5 1 − 7 0 − 5 0 − 0 1 − 2 2 − 1 2 − 1 ] = [ 1 3 − 3 − 6 − 5 0 − 1 1 1 ] 1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end>-<\begin0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end>=<\begin1-0&3-0&2-5\\1-7&0-5&0-0\\1-2&2-1&2-1\end>=<\begin1&3&-3\\-6&-5&0\\-1&1&1\end>>

  Matrislərin vurulması

  ( A B ) [ i , j ] = A [ i , 1 ] B [ 1 , j ] + A [ i , 2 ] B [ 2 , j ] + . . . + A [ i , n ] B [ n , j ]

  Matrislərin hasili bu cür xassələrə malikdir:

  Qeyd:Matrislər üçün kommutativlik xassəsi yaramır,AB ≠ BA.

  Diaqonal anlayışı və vahid matris

  Matris diaqonalı, matrisin birinci sağ(sol) sətr və sütun elementi ilə sonuncu sol(sağ) sətr və sütün elementini birləşdirən(uyğun olaraq sağ və sol diaqonal) ədədlər sırasına deyilir.

  sağ(baş) diaqonal elementləri 1,0,7 və sol diaqonal elementləri 3,0,5 dir.

  Vahid matris o matrisə deyilir ki, sağ(baş)diaqonalı elementləri 1, digər elemetlər 0 olsun. Kvadrat matris prinsipi zəruridir.

  Determinant

  İkili kvadrat matrisin determinantı aşağıda göstərildiyi kimi ifadə olunur.

  Bu ifadəyə iki tərtibli determinant deyilir. Uyğun olaraq üç tərtibli matrisin determinantı aşağıdakı kimi yazılır.

  det | a b c d e f g h i | = a e i + b f g + c d h − c e g − b d i − a f h . a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end>=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.>

  Determinantı sıfra bərabər olan matrisə çırlaşmış (və ya məxsusi) matris, determinantı sıfırdan fərqli olan matrisə isə çırlaşmamış (və ya qeyri-məxsusi) matris deyilir.

  Determinantların hesablanmasının başqa bir qaydası Sarrius qaydası adlanır. Bu qaydaya görə determinanta dördüncü beşinci sütun (sətr) olaraq birinci və ikinci sütunu (sətri) əlavə edərək alınan üç sol diaqonal elementlərinin hasilini müsbət işarə ilə alınan üç sağ diaqonal elementlərinin hasilini isə mənfi işarə ilə götürməklə determinantın qiymətini hesablamaq olar. [1]

  Tərs matris

  Fərz edək ki, A hər hansı tərtibli matris, Ag isə həmin tərtibdən olan vahid matrisdir. Əgər A ilə eyni tərtibdən olan elə B matrisi varsa ki,

  bərabərliyi ödənilərsə, onda B matrisinə A-nın tərsi deyilir və B = A −1 kimi yazılır. Teoremə görə hər hansı A matrisinin tərsi varsa, o yeganədir. A matrisinin tərs matrisinin olması üçün zəruri və kafi şərt onun determinantının sıfırdan fərqli olmasıdır.

  • İsmayıl Calallı (Sadıqov), “İnformatika terminlərinin izahlı lüğəti”, 2017, “Bakı” nəşriyyatı, 996 s.

  Həmçinin bax

  İstinadlar

  1. ↑ Namazov, Q (2012). Ali riyaziyyat dərs vəsaiti. Bakı: Bakı Biznes Universiteti. səh. 16. (#accessdate_missing_url)

  Avqust 11, 2021
  Ən son məqalələr

  Bostanabad şəhristanı

  Bostanqum

  Bostanzadə Mehmed Əfəndi

  Bostançı

  Bostançı (Xaçmaz)

  Bostançı (İstanbul metropoliteni)

  Bosvelliya

  Bosye

  Ba

  Bat

  Ən çox oxunan

  Hərgəlan

  Həriri evi

  Hərrac

  Hərsin

  Hərsin şəhristanı

  matris, matriks, xətti, cəbr, anlayışı, olub, sayda, sıra, sayda, sütundan, ibarət, olan, rəqəmlər, cədvəlidir, sıra, vektorları, sütun, vektorları, yaradır, cədvəlinin, hər, elementinə, komponenti, deyilir, riyaziyyatda, hesablamalarda, əlaqəli, vahidlərin, t. Matris ve ya Matriks Xetti cebr anlayisi olub m sayda sira ve n sayda sutundan ibaret olan reqemler cedvelidir Matrisi Sira Vektorlari ve Sutun Vektorlari yaradir Matris cedvelinin her bir elementine Matris Komponenti deyilir 1 Riyaziyyatda ve hesablamalarda elaqeli vahidlerin teskili meqsedile ededlerin noqtelerin elektron cedvelin xanalarinin ve s elementlerin setirler ve sutunlar boyu yerlesdirilmesi Matrisler riyaziyyatda duzbucaqli ededler yigininin tesviri ve emali ucun istifade olunur Hesablamalarda ve tetbiqi proqramlarda matrislerden verilenler yigininin cedvel seklinde meselen axtaris cedvellerinde ve elektron cedvellerde yerlesdirilmesi ucun istifade edilir Sin TWO DIMENSIONAL ARRAY Tut ARRAY 2 Aparat vasitelerinde ekranda elece de capda meselen matrisli printerlerde cap zamani simvollarin yaradilmasi ucun noqtelerden ibaret matrislerden istifade olunur Elektronikada informasiyanin kodlasdirilmasi dekodlasdirilmasi ve ya cevrilmesi ucun mentiqi sxemler sebekelerinin yaradilmasinda diodlar ve ya tranzistorlardan ibaret matrislerden istifade olunur Matris bir riyazi anlayis kimi ilk defe 1850 ci ilde Ceyms Cosef Silvester terefinden formalasdirilmisdir Matrislerin qurulusu onlari xetti beraberlikler kimi ifade etmeye komek edir Matris anlayisi cedvel menasinda hele b e e III esrle b e nin III esri arasinda namelun Cin riyaziyyatcisi terefinden daxil olunmusdur Lakin onun genis tetbiqleri ve ehemiyyeti mehz xetti feza ve xetti inikaslarla six elaqesi ile mueyyen olunur a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 displaystyle begin pmatrix a 11 amp a 12 amp a 13 a 21 amp a 22 amp a 23 end pmatrix ve ya a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 displaystyle begin bmatrix a 11 amp a 12 amp a 13 a 21 amp a 22 amp a 23 end bmatrix Mundericat 1 Matrislerin xasseleri ve onlar uzerinde riyazi emeller 1 1 Kvadrat Matris 1 2 Matrisin edede hasili 1 3 Matrislerin toplanilmasi 1 4 Matrislerin cixilmasi 1 5 Matrislerin vurulmasi 2 Diaqonal anlayisi ve vahid matris 3 Determinant 4 Ters matris 5 Edebiyyat 6 Hemcinin bax 7 IstinadlarMatrislerin xasseleri ve onlar uzerinde riyazi emeller Redaktem n olculu A matrisi ai j butun 1 i m ve 1 j n adeten A i j kimi qeyd olunur ki bu da oz novbesinde A a i j m n displaystyle A a i j m times n demekdir Numune A matrisi A 1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 0 5 displaystyle A begin bmatrix 1 amp 2 amp 3 1 amp 2 amp 7 4 amp 9 amp 2 6 amp 0 amp 5 end bmatrix 4 3 olculu matrisdir A 2 3 a2 3 elementi 7 ye beraberdir R matrisi R 1 2 3 4 5 6 7 8 9 displaystyle R begin bmatrix 1 amp 2 amp 3 amp 4 amp 5 amp 6 amp 7 amp 8 amp 9 end bmatrix 1 9 olculu matris ve ya 9 elementli sira vektorudur Kvadrat Matris Redakte Setrlerinin sayi sutunlarinin sayina beraber olan matrise kvadrat matris deyilir Numune Eger m 3 olarsa onda A 3 1 3 5 0 9 6 5 0 1 displaystyle A 3 begin bmatrix 1 amp 3 amp 5 0 amp 9 amp 6 5 amp 0 amp 1 end bmatrix Matrisin edede hasili Redakte Matrisi edede vurmaq bu matrisin butun elementlerini hemin edede vurmaq demekdir Yeni A matrisini her hansi bir c ededine vurmaq A matrisininin butun elementlerini c edede vurmaq demekdir Numune 2 1 8 3 4 2 5 2 1 2 8 2 3 2 4 2 2 2 5 2 16 6 8 4 10 displaystyle 2 begin bmatrix 1 amp 8 amp 3 4 amp 2 amp 5 end bmatrix begin bmatrix 2 times 1 amp 2 times 8 amp 2 times 3 2 times 4 amp 2 times 2 amp 2 times 5 end bmatrix begin bmatrix 2 amp 16 amp 6 8 amp 4 amp 10 end bmatrix Matrislerin toplanilmasi Redakte Eyni olculu iki matrisin uygun elementlerinin ceminden duzeldilmis matrise matrislerin toplanmasi deyilir Yeni m n olculu A ve B matrisleri verilmisdir onlarin cemi olan A B matrisinin her bir uygun elementi A matrisinin uygun elementi ile B matrisin uygun elementininin cemine beraberdir A B i j A i j B i j Numune 1 3 2 1 0 0 1 2 2 0 0 5 7 5 0 2 1 1 1 0 3 0 2 5 1 7 0 5 0 0 1 2 2 1 2 1 1 3 7 8 5 0 3 3 3 displaystyle begin bmatrix 1 amp 3 amp 2 1 amp 0 amp 0 1 amp 2 amp 2 end bmatrix begin bmatrix 0 amp 0 amp 5 7 amp 5 amp 0 2 amp 1 amp 1 end bmatrix begin bmatrix 1 0 amp 3 0 amp 2 5 1 7 amp 0 5 amp 0 0 1 2 amp 2 1 amp 2 1 end bmatrix begin bmatrix 1 amp 3 amp 7 8 amp 5 amp 0 3 amp 3 amp 3 end bmatrix Matrislerin cixilmasi Redakte Eyni olculu iki matrisin uygun elementlerinin ferqinden duzeldilmis matrise matrislerin cixilmasi deyilir Yeni m n olculu A ve B matrisleri verilmisdir onlarin ferqi olan A B matrisinin her bir uygun elementi A matrisinin uygun elementi ile B matrisin uygun elementininin ferqine beraberdir A B i j A i j B i j Numune 1 3 2 1 0 0 1 2 2 0 0 5 7 5 0 2 1 1 1 0 3 0 2 5 1 7 0 5 0 0 1 2 2 1 2 1 1 3 3 6 5 0 1 1 1 displaystyle begin bmatrix 1 amp 3 amp 2 1 amp 0 amp 0 1 amp 2 amp 2 end bmatrix begin bmatrix 0 amp 0 amp 5 7 amp 5 amp 0 2 amp 1 amp 1 end bmatrix begin bmatrix 1 0 amp 3 0 amp 2 5 1 7 amp 0 5 amp 0 0 1 2 amp 2 1 amp 2 1 end bmatrix begin bmatrix 1 amp 3 amp 3 6 amp 5 amp 0 1 amp 1 amp 1 end bmatrix Matrislerin vurulmasi Redakte A B i j A i 1 B 1 j A i 2 B 2 j A i n B n j displaystyle AB i j A i 1 B 1 j A i 2 B 2 j A i n B n j Numune 5 1 4 2 displaystyle begin bmatrix 5 amp 1 4 amp 2 end bmatrix dd dd dd dd dd dd dd Matrislerin hasili bu cur xasselere malikdir AB C A BC A B C AC BC C A B CA CBQeyd Matrisler ucun kommutativlik xassesi yaramir AB BA Diaqonal anlayisi ve vahid matris RedakteMatris diaqonali matrisin birinci sag sol setr ve sutun elementi ile sonuncu sol sag setr ve sutun elementini birlesdiren uygun olaraq sag ve sol diaqonal ededler sirasina deyilir Meselen burada I 3 1 5 3 4 0 2 5 9 7 displaystyle I 3 begin bmatrix 1 amp 5 amp 3 4 amp 0 amp 2 5 amp 9 amp 7 end bmatrix sag bas diaqonal elementleri 1 0 7 ve sol diaqonal elementleri 3 0 5 dir Vahid matris o matrise deyilir ki sag bas diaqonali elementleri 1 diger elemetler 0 olsun Kvadrat matris prinsipi zeruridir I 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 displaystyle I 3 begin bmatrix 1 amp 0 amp 0 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 1 end bmatrix Determinant RedakteIkili kvadrat matrisin determinanti asagida gosterildiyi kimi ifade olunur det a b c d a d b c displaystyle det begin vmatrix a amp b c amp d end vmatrix ad bc Bu ifadeye iki tertibli determinant deyilir Uygun olaraq uc tertibli matrisin determinanti asagidaki kimi yazilir det a b c d e f g h i a e i b f g c d h c e g b d i a f h displaystyle det begin vmatrix a amp b amp c d amp e amp f g amp h amp i end vmatrix aei bfg cdh ceg bdi afh 1 Determinanti sifra beraber olan matrise cirlasmis ve ya mexsusi matris determinanti sifirdan ferqli olan matrise ise cirlasmamis ve ya qeyri mexsusi matris deyilir Determinantlarin hesablanmasinin basqa bir qaydasi Sarrius qaydasi adlanir Bu qaydaya gore determinanta dorduncu besinci sutun setr olaraq birinci ve ikinci sutunu setri elave ederek alinan uc sol diaqonal elementlerinin hasilini musbet isare ile alinan uc sag diaqonal elementlerinin hasilini ise menfi isare ile goturmekle determinantin qiymetini hesablamaq olar 1 Ters matris RedakteFerz edek ki A her hansi tertibli matris Ag ise hemin tertibden olan vahid matrisdir Eger A ile eyni tertibden olan ele B matrisi varsa ki A B B A J displaystyle AB BA J beraberliyi odenilerse onda B matrisine A nin tersi deyilir ve B A 1 kimi yazilir Teoreme gore her hansi A matrisinin tersi varsa o yeganedir A matrisinin ters matrisinin olmasi ucun zeruri ve kafi sert onun determinantinin sifirdan ferqli olmasidir Edebiyyat RedakteIsmayil Calalli Sadiqov Informatika terminlerinin izahli lugeti 2017 Baki nesriyyati 996 s Hemcinin bax RedakteMatrisin ranqiIstinadlar Redakte Namazov Q 2012 Ali riyaziyyat ders vesaiti Baki Baki Biznes Universiteti seh 16 accessdate missing url Menbe https az wikipedia org w index php title Matris amp oldid 5639247, wikipedia, oxu, kitab, kitabxana, axtar, tap, hersey,

  ne axtarsan burda

  en yaxsi meqale sayti, meqaleler, kitablar, oyrenmek, wiki, bilgi, tarix, seks, porno, indir, yukle, sex, azeri sex, azeri, seks yukle, sex yukle, izle, seks izle, porno izle, mobil seks, telefon ucun, chat, azeri chat, tanisliq, tanishliq, azeri tanishliq, sayt, medeni, medeni saytlar, chatlar, mekan, tanisliq mekani, mekanlari, yüklə, pulsuz, pulsuz yüklə, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, şəkil, muisiqi, mahnı, kino, film, kitab, oyun, oyunlar.

  Matrix və Determinant arasındakı fərq

  Matrislər və Determinantlar, anlayışların böyük bir xətti tənliklər və birləşmələri qısa bir şəkildə təqdim etməsi ilə birlikdə determinantların müəyyən bir matris növü ilə əlaqəli olduğu xətti cəbrdir.

  Matrix haqqında daha çox

  Matrislər, ədədlərin satır və sütunlarda düzüldüyü düzbucaqlı ədədlərdir. Matrisdəki sütunların və satırların sayı matrisin ölçüsünü təyin edir. Ümumiyyətlə, bir matris eyni şəkildə kvadrat mötərizədə təmsil olunur və ədədlər sətirlərdə və sütunlarda hizalanır.

  3 sütunu və 3 satırı olduğu üçün A 3 × 3 matris olaraq bilinir. A_ij ilə göstərilən nömrələrə elementlər deyilir və satır nömrəsi və sütun nömrəsi ilə bənzərsiz olaraq təyin olunur. Ayrıca, matris [a_ij] _ (3 × 3) olaraq təqdim edilə bilər, lakin elementlər açıq şəkildə verilmədiyi üçün istifadəsi məhduddur. Yuxarıdakı nümunəni ümumi bir hal üçün genişləndirərək m × n ölçülü ümumi matris təyin edə bilərik;

  A -da m satır və n sütun var.

  Matrislər xüsusi xüsusiyyətlərinə görə təsnif edilir. Nümunə olaraq, bərabər sayda satır və sütuna malik olan matrisə kvadrat matris, tək sütunlu matrisə isə vektor deyilir.

  Matrislər üzərində əməliyyatlar xüsusi olaraq təyin olunur, lakin mücərrəd cəbrdə qaydalara riayət edin. Buna görə matrislər arasındakı əlavə, çıxma və vurma bir element üzərində aparılır. Matrislər üçün, əksinə olsa da, bölgü təyin edilmir.

  Matrislər ədədlər toplusunun qısa bir nümayəndəsidir və xətti tənliyi həll etmək üçün asanlıqla istifadə edilə bilər. Matrislərin xətti çevrilmələrlə əlaqədar olaraq Lineer cəbr sahəsində də geniş tətbiqi var.

  Determinant haqqında daha çox

  Determinant hər kvadrat matrislə əlaqəli unikal bir rəqəmdir və matrisdəki elementlər üçün müəyyən bir hesablama aparıldıqdan sonra əldə edilir. Praktikada, matrisdəki elementlər üçün modul işarəsi qoyularaq determinant işarələnir. Buna görə də A -nın determinantı;

  və ümumiyyətlə am × n matrisi üçün

  Determinantı əldə etmək əməliyyatı belədir;

  | A | = ∑ n _{j = 1} a _j C _ij , burada C _ij , C _ij = (-1) i+j M _ij tərəfindən verilən matrisin kofaktorudur.

  Determinant matrisin xüsusiyyətlərini təyin edən vacib bir faktordur. Müəyyən bir matris üçün determinant sıfırdırsa, matrisin tərsi yoxdur.

  Matrix və Determinant arasındakı fərq nədir?

  • Matris bir ədədlər qrupudur və determinant bu matrislə əlaqəli unikal bir ədəddir.

  • Bir determinant kvadrat matrislərdən əldə edilə bilər, əksinə deyil. Determinant onunla əlaqəli unikal bir matris verə bilməz.

  • Matrislərə və determinantlara aid cəbr oxşar və fərqli cəhətlərə malikdir. Xüsusilə vurma yerinə yetirərkən. Məsələn, matrislərin vurulması elementar şəkildə aparılmalıdır, burada determinantlar tək ədədlərdir və sadə çarpımdan sonra.

  • Determinantlar matrisin tərsini hesablamaq üçün istifadə olunur və determinant sıfır olarsa, matrisin tərsi yoxdur.

  Əlaqəli yazılar:

  Müəllif haqqında: Admin

  İnsan Resursları İnkişafı mühəndisliyindən gələn, məzmun inkişaf etdirmə və idarəetmə sahəsində 10 ildən artıq təcrübəyə malikdir.

  Şərhlər

  1. laxman deyir 30 iyul 2015, 11:33

  niyə matrisi qiymətləndirə bilmirsən?

  • Amey Mane deyir 19 Yanvar 2016, 6:23

  Sadəcə bir matrisi genişləndirmək üçün heç bir qayda və ya üsul olmadığı üçün. Yalnız kvadrat matrislərin determinantları var və buna görə də düzbucaqlı matrislər genişləndirilə bilməz.

  Related posts:

  1. Fizki tərbiyə 8 sinif pdf
  2. Azdili kitab rus bölməsi
  3. Cihаz elementlerinin hаzirlаnmа teхnologiyаsi
  4. Mişt zorakılığı haqqında qanun