О том, как правильно понимать определитель матрицы

matrisin elementləri (ünsürləri) adlanır.i-sətrin,j-isə sütunun nömrəsini göstərir.cədvəlinə m x n ölçülü matris deyilir.m n olduqda cədvəli düzbucaqlı,m = n olduqda isə kvadrat matris adlanır.Matrisi latın əlifbasının böyük hərfləri ilə işarə edilir.A,B,C,….və.s

Matris və determinant. Determinantın xassələri. Tərs matris Matrislər.Əsas anlayışlar

Müəyyən qayda ilə ədədlərdən düzəldilmiş düzbucaqlı şəklində olan cədvələ matris deyilir.m sayda sətri və n sayda sütunu olan matris aşağıdakı kimi yazılır.

matrisin elementləri (ünsürləri) adlanır.i-sətrin,j-isə sütunun nömrəsini göstərir.cədvəlinə m x n ölçülü matris deyilir.m n olduqda cədvəli düzbucaqlı,m = n olduqda isə kvadrat matris adlanır.Matrisi latın əlifbasının böyük hərfləri ilə işarə edilir.A,B,C,….və.s

Əgər m=n olarsa,verilən matrisə n tərtibli kvadrat matris deyilir və A_n kimi işarə edilir.

Bu matrisi sol yuxarı künc elementi a₁₁ və sağ aşağı künc elementi olan a_nn elementlərini düz xətlə birləşdirən düz xətt boyunca düzülmüş a₁₁,a₂₂,…,a_nn elementlərinə baş diaqonal elementləri deyilir.Eyni qayda ilə sağ yuxarı künc elementi a_1n ilə sol aşağı künc a_n1 elementini birləşdirən düz xətt boyunca düzülmüş a_1n,a_2(n-1),…,a_n1 elementlərinə köməkçi diaqonal elementləri deyilir.

Əgər matrisin baş diaqonaldan başqa yerdə qalan elementləri sıfra bərabərdirsə,onda belə matrisə diaqonal matris deyilir və belə yazılır.

Əgər diaqonal matrisdə baş diqonal elementlərinin hamısı vahidlərdən ibarət olarsa,onda ona vahid matris deyilir və belə yazılır.

Bütün ünsürləri sıfıra bərabər olan matrisə sifir matris deyilir,O_n ilə işarə olunur və belə yazılır.

1.Toplama (çıxma) əməli

Yalnız ölçüləri bərabər olan matrisləri toplamaq (çıxmaq) olar.

Matrisləri toplamaq (çıxmaq) üçün onların uyğun elementlərini toplamaq (çıxmaq) lazımdır.

О том, как правильно понимать определитель матрицы

Помните байку про интеграл, который пригодился в жизни? Так вот, у определителя тоже есть замечательное применение – пугать детей формулой Лейбница. А давайте даже перепишем ее куда-нибудь в середину, чтобы всем было хорошо видно.

Расшифровывается это дело следующим образом: если у нас есть матрица

над некоторым полем , то определителем этой матрицы называют сумму всевозможных произведений, состоящих из элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца, причем каждое произведение входит в эту сумму с тем знаком, который имеет соответствующая перестановка индексов этих элементов в этом произведении.

Возникает естественный вопрос: зачем нужна такая навороченная конструкция. Можно конечно сказать, что смысл проявится позже, пока просто запомните и не задавайте лишние вопросы и т.д., но если быть откровенным, то стоит признать – такое определение определителя не мотивировано ничем. А между прочим именно оно является самым общеизвестным.

Другой способ введения определителя связан с его характеристическим свойством. Напомним, полилинейной формой называется функция , определенная на декартовом произведении некоторых векторных пространств (заданных над одним и тем же полем ), принимающая значения в поле и линейная по каждому аргументу: . Форма называется кососимметрической, если при инверсии любых двух (не обязательно соседних) аргументов она меняет знак.

С кососимметричностью есть одна небольшая проблема. Возьмем для определенности обычное поле действительных чисел и рассмотрим какую-нибудь -местную кососимметрическую форму над ним. Посмотрим, чему может быть равно , т.е. чему может равняться эта форма на наборе векторов, содержащем 2 равных вектора. При инверсии этих двух векторов форма с одной стороны не меняется, а с другой стороны, меняет знак. Единственное действительное число, не меняющееся при изменении знака – это ноль. Зададимся теперь вопросом, а будет ли справедливым это свойство (равенство формы нулю на наборе, содержащем пару равных векторов) в случае произвольного поля. Если , то , следовательно . Т.к. в полях нету делителей нуля, то в случае поля характеристики 2 получаем, что . Но что будет в случае, если характеристика равна 2? А будет то, что из равенства не следует, что . В самом деле, возьмем поле вычетов по модулю 2 (2 простое число, так что это действительно поле, а не просто кольцо). В этом поле единица обратна сама себе (т.к. ), т.е. . Вместе с этим единица, очевидно, не равна нулю (это свойство выполняется в любом поле наряду с тем фактом, что в любом же поле всегда существуют ноль и единица; требование нетривиальности кольца входит в определение поля). Предыдущие рассуждения показывают, что из “наивной” кососимметричности (определение которой написано выше) в случае поля характеристики 2 еще не вытекает равенство нулю соответствующей формы на наборе, содержащем равные вектора.

Можно конечно всюду далее рассматривать исключительно поля характеристики 2 и пользоваться “слабым” определением кососимметричности, а можно поступить умнее и немного усилить определение кососимметричности специально для полей характеристики 2 так, чтобы обычная кососимметричность следовала из “сильной”. Для этого достаточно потребовать 2 вещи: во-первых, форма должна быть полилинейна, а во-вторых она должна принимать значение ноль всегда, когда среди ее аргументов есть равные. Свойство, которое вытекало из “наивной” кососимметричности для полей характеристики 2 само теперь является составной частью определения кососимметричности (правда только для полей характеристики 2).

Из полилинейности и равенства формы нулю на строках с равными аргументами следует, что если к одному вектору прибавить другой, умноженный на число, то значение формы не изменится. При умножении какого-либо вектора на число 0 сама форма умножается на это число (в частности, если обратить знак какого-либо вектора из набора, то знак самой формы тоже поменяется.

Произвести инверсию векторов в наборе аргументов можно с помощью преобразований этих двух типов. И если внимательно проследить цепочку преобразований, то в конце концов окажется, что форма поменяла знак.

Далее под кососимметричностью будем понимать кососимметричность в “сильном” смысле.

Определение

Определитель матриц – это единственная кососимметрическая полилинейная форма строк матрицы, нормированная единицей на единичном наборе векторов.

Надо сказать, это не самое плохое определение. Но и оно не лишено недостатков. Основные вопросы здесь возникают по поводу кососимметричности. В первую очередь непонятно, почему это свойство вообще важно. Ну меняет функция знак при перестановке двух аргументов и пусть меняет, почему мы так стремимся исследовать именно это свойство, а не какое-нибудь другое. Но здесь все еще хуже. Мы хотим, чтобы форма еще и принимала нулевое значение на наборе, содержащем равные вектора. И в некотором смысле для нас это даже важнее самой кососимметричности, раз мы стали подгонять определение последней под выполнение этого свойства. Все эти экзерсизы с характеристиками выглядят довольно искусственно.

Критикуешь – предлагай

В действительности есть очень простой и естественный пусть построения определителя, при котором все эти вопросы отпадают сами собой. И я постараюсь по возможности максимально последовательно описать этот способ.

Начнем с некоторых предварительных замечаний. Основным объектом изучения линейной алгебры являются конечномерные векторные пространства. Неформально говоря, на любое – мерное векторное пространство над полем можно смотреть как на “координатное” пространство , состоящее из упорядоченных наборов длины элементов поля . Более строго, пусть у нас есть – мерное векторное пространство над полем . Выбор (упорядоченного) базиса этого пространства индуцирует изоморфизм , ставящий в соответствие каждому вектору набор его координат в базисе . Таким образом, во всех дальнейших построениях речь пойдет по большей части про вектора координатного пространства.

Очевидно, некоторый набор векторов пространства является линейно (не)зависимым, тогда и только тогда, когда соответствующий ему набор векторов пространства будет линейно (не)зависимым.

Свойство линейной зависимости/независимости действительно очень важно. Дело в том, что система из векторов пространства будет линейно зависимой тогда и только тогда, когда найдется вектор в этой системе, который можно линейно выразить через остальные.

Довольно естественным выглядит желание иметь некоторую функцию – индикатор линейной зависимости векторов. Учитывая, что любое векторное пространство “оцифровывается” своим координатным пространством, достаточно иметь такую функцию, определенную на декартовом произведении копий пространства и принимающую значения в поле . Таким образом, мы предъявляем к функции всего лишь 2 очень естественных требования:

1. Полилинейность.
2. Она должна принимать нулевое значение на любой линейно зависимой системе векторов.

На аргументы этой функции удобно смотреть как на строки матрицы

Заметим, на данном этапе мы еще даже не знаем, существует ли такая функция или нет. Но мы можем в предположении ее существования посмотреть на ее поведение.

1. . Действительно, строка аргументов, содержащая пару равных значений, очевидно, линейно зависима, а значит функция будет принимать на ней нулевое значение.
2. кососимметрична (в любом смысле, учитывая полилинейность + п.1). Доказательство абсолютно аналогично тому, которое находится выше под спойлером.
3. Рассмотрим, чему равна на некотором наборе строк :

Здесь мы просто выразили векторы через единичные, затем по полилинейности получили сумму по всем упорядоченным наборам соответствующих произведений, выкинули из них те, которые содержат повторяющиеся аргументы (тем самым получив сумму по всем перестановкам), а затем применили обратные перестановки к единичным векторам.

Смотрим на последнюю строчку в получившейся формуле и видим множитель . Чтобы упростить формулу и не таскать лишний множитель, добавим к тем 2 требованиям к функции третье требование: .

Таким образом, если интересующая нас функция существует, то она имеет вид:

Нарисовалась знакомая нам формула Лейбница. Самое замечательное то, что в ней нет свободных переменных, а это значит, что мы бесплатно получили единственность интересующей нас функции.

Осталось лишь доказать существование. Капитан намекает, что для этого достаточно взять ту функцию, которая у нас получилась.

А дальше дело техники. Проверяем, что получили мы действительно, что хотели и даже больше. Полученную функцию называем определителем и спокойно приступаем к доказательству основных его свойств.

• линейная алгебра
• определитель

Determinantlarının hesablanmasını asanlaşdıran bir sıra xassələr vardır. Istənilən tərtibli determinantlara aid olan bu xassələri biz ancaq üçtərtibli determinantlar üçün burada söyləməklə kifayətləni

Determinantlarının hesablanmasını asanlaşdıran bir sıra xassələr vardır. Istənilən tərtibli determinantlara aid olan bu xassələri biz ancaq üçtərtibli determinantlar üçün burada söyləməklə kifayətlənirik.

X a s s ə 1. Determinantın bütün sətirləri ilə sütunlarının uyğun olaraq yerini dəyişdikdə onun qiyməti dəyişməz:

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₁ a₁₂ a₁₃

∆ = a₂₁ a₂₂ a₂₃ = a₂₁ a₂₂ a_{23 (3)}

a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

Bu bərabərliyin doğruluğunu isbat etmək üçün sol tərəfdəki determinantı ∆ ilə, sağ tərəfdəki determinantı isə ∆* ilə işarə edək. ∆ determinantının birinci sətir elementləri üzrə ayrılışını və ∆* determinantının birinci sütun elementləri üzrə ayrışını yazaq:

∆ = a₁₁A₁₁ + a₁₂A₁₂ + a₁₃A₁₃ ,

∆*= a₁₁A₁₁* + a₁₂A₁₂* + a₁₃A₁₃*.

A₁₁ = A₁₁*, A₁₂ = A₁₂* və A₁₃ = A₁₃* olduqda ∆ = ∆* .

Determinantın bütün sətirləri ilə sütunlarının uyğun olaraq yerini dəyişməsinə onun çevrilməsi və ya transponirə edilməsi deyilir. Isbat etdiyimiz xassə göstərir ki, determinantın çevrilməsi zamanı onun qiyməti dəyişmir, yəni A matrisi ilə onun A* çevrilməsinin determinantları həmişə bərabərdir:

N ə t i c ə. Hər bir determinantın sətirləri ilə sütunları eyni hüquqludur. Buna görə də determinantın bundan sonraki xassələrini ancaq sətirləri və ya ancaq sütunları üçün söyləmək kifayətdir.

X a s s ə 2. Determinantın iki sətrinin (və ya sütununun) bir-biri ilə yerini dəyişdikdə determinantın ancaq işsarəsi dəyişər:

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃ = – a₂₁ a₂₂ a₂₃

a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃ .

Doğrudan da, sol tərəfdəki determinantın birinci sətir elementləri üzrə ayrılışını:

∆= a₁₁A₁₁ + a₁₂A₁₂ + a₁₃A₁₃
və sağ tərəfdəki determinantın ikinci sətir elementləri üzrə ayrılışını:
∆ꞌ= a₁₁A₁₁ꞌ + a₁₂A₁₂ꞌ + a₁₃A₁₃ꞌ
yazıb, A₁₁ = – A₁₁ꞌ, A₁₂ = – A₁₂ꞌ, A₁₃ = – A₁₃ꞌ olduğunu nəzərə alsaq, onda (3) bərabərliyinin doğruluğu aydın olar.

X a s s ə 3. Iki sətri eyni olan determinant sıfra bərabərdir:
a₁₁ a₁₂ a₁₃

∆= a₂₁ a₂₂ a₂₃ = 0.

Doğrudan da, ∆ determinantında birinci və ikinci sətirlərin bir-biri ilə yerini dəyişsək, onda ∆=-∆. Buradan 2∆=0, ∆=0

X a s s ə 4. Determinantın hər hansı bir sətir elementlərinin ortaq vuruğu olarsa, onda həmin vuruğu determinantın xaricinə çıxarmaq olar.

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₁ a₁₂ a₁₃

λ a₂₁ a₂₂ a₂₃ = λ a₂₁ a₂₂ a₂₃ (4)

a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

Bu bərabərliyinin sol tərəfindəki determinantı ∆₁=λa₂₁A₂₁+λa₂₂A₂₂+λa₂₃A₂₃=λ(a₂₁A₂₁+a₂₂A₂₂+a₂₃A₂₃) = λ∆.

N ə t i c ə 1. Determinantın hər hansı bir sətrinin bütün elementləri sıfır olduqda determinant sıfra bərabər olar.

Nəticənin doğruluğuna inanmaq üçün (4) bərabərliyində λ=0 götürmək kifayətdir.

N ə t i c ə 2. Determinantı bir ədədə vurmaq üçün determinantın hər hasnı bir sətrini həmin ədədə vurmaq kifayətdir.

Bu nəticənin doğruluğuna inanmaq üçün (4) bərabərliyini sağdan sola oxumaq kifayətdir.

X a s s ə 5. Determinantın hər hansı bir sətrinin bütün elementləri iki ədədin cəmi kimi verildikdə, həmin determinant iki determinantın cəminə bərabər olar, bu determinantların birində həmin sətir elementləri olaraq birinci toplananlar, o birində isə həmin sətir elementləri olaraq ikinci toplananlar götürülür.

a₁₁+aꞌ₁₁ a₁₂+aꞌ₁₂ a₁₃+aꞌ₁₃ a₁₁ a₁₂ a₁₃ aꞌ₁₁ aꞌ₁₂ aꞌ₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃ = a₂₁ a₂₂ a₂₃ + a₂₁ a₂₂ a₂₃ (5)

a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

Doğrudan da, bərabərliyin sol tərəfindəki determinantı ∆₁, sağ tərəfdəki determinantları isə uyğun olaraq ∆ və ∆ꞌ ilə işarə edərək, ∆₁ determinantını birinci sətir elementləri üzrə ayırsaq:

∆₁= (a₁₁+aꞌ₁₁)A₁₁+ (a₁₂+aꞌ₁₂) A₁₂+ (a₁₃+aꞌ₁₃) A₁₃=

=( a₁₁A₁₁ + a₁₂A₁₂ + a₁₃A₁₃)+(aꞌ₁₁A₁₁ + aꞌ₁₂A₁₂ + aꞌ₁₃A₁₃)=∆+∆ꞌ

və ya tələb olunan

X a s s ə 6. Determinantın hər hansı sətrinin bütün elementlərini bir ədədə vurub onun başqa bir sətrinin uyğun elementləri üzərinə əlavə etsək, determinant dəyişməz:
a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₁+λa₂₁ a₁₂+λa₂₂ a₁₃+λa₂₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ = a₂₁ a₂₂ a₂₃ (6)

a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃
Bu təklifin doğruluğu 3, 4 və 5 xassələrdən aydındır.
3. Tərs matris anlayışı.

Tutaq ki, A hər hansı tərtibli kvadrat matris və I həmin tərtibli vahid matrisidir. Bu halda

A -1 -A=AA -1 =I (1)
bərabərliyini ödəyən A -1 matrisinin A matrisinin tərsi deyilir. (1) bərabərliyi göstərir ki, A -1 matrisi A matrisinin tərsidirsə, onda A matrisi də A -1 matrisinin tərsidir:

(A -1 ) -1 =A (2)
yəni A və A -1 matrisləri qarşılıqlı tərs matrislərdir.

A matrisinin tərsi varsa, bu ancaq yeganə ola bilər. Doğrudan da, A matrisinin A -1 ₁ və A -1 ₂ kimi iki tərs matris olarsa, onda

A(A -1 ₁ – A -1 ₂)=I – I=0.
Bu bərabərliyin hər iki tərəfini soldan A -1 ₁ matrisinə vursaq:
A -1 ₁ A(A -1 ₁ – A -1 ₂)=I(A -1 ₁ – A -1 ₂)= A -1 ₁ – A -1 ₂=0

A -1 ₁ = A -1 ₂

A matrisinin determinantı ∆(A) olsun. ∆(I)=1 olduğundan (1) bərabərliyinə əsasən

∆(AA -1 )= ∆(A)· ∆(A -1 )=1

∆(A)· ∆(A -1 )=1, ∆(A -1 ) = (3)
münasibəti doğrudur. Buradan aydındır ki, verilmiş A matrisinin A -1 tərsi olması üçün ∆(A)0 olmalıdır. Bu təklifin tərsi də doğrudur. Deməli, verilmiş A matrisinin tərs A -1 matrisi olması üçün onun ∆(A) determinantının sıfırdan fərgli olması zəruri və kafi şərtdir.

Determinantı sıfra bərabər, yəni ∆(A)0 olan kvadrat A matrisinə cırlaşmış (və ya məxsusi) matris deyilir. Determinantı sıfra bərabər olmayan kvadrat A matrisinə isə cırlaşmamış (və ya qeyri-məxsusi) matris deyilir. Dediklərimizdən aydındır ki, cırlaşmamış matrisin tərsi vardır.

Verilmiş matrisin tərsini nece tapmaq olar?

Tutaq ki, ikitərtibli cırlaşmamış

matrisi verilmişdir. Bu matrisin tərsi:

A -1 ₂ = və ya A -1 ₂=

Bunun doğruluğuna inanmaq üçün A₂ A -1 ₂=I olduğunu yoxlamaq kifayətdir.

Indi üçtərtibli cırlaşmamış (∆(A₃)0)

A₃ = a₂₁ a₂₂ a₂₃ (4)

matrisini götürək. Bu matrisin tərsi:

A -1 ₃ = (5)
Doğrudan da, burada A_{i k} ilə a_{i k} elementinin cəbri tamamlayıcısı işarə olunduğunu və determinantların xassəssini nəzərə alsaq:
A -1 ₃ A₃ =

və yaxud tələb olunan

A -1 ₃ A₃ = = I₃

Üçtərtibli (4) kvadrat matrisinin (5) tərsinin qurulma sxemi çox sadədir: (4) matrisinin a_{i k} elementi onun uyğun A_{i k} cəbri tamamlayıcısının ədədinə nisbəti ilə əvəz olunur. Alınan matrisin çevrilməsi (baş diaqonala nəzərən çevrilməsi) (5) matrisinə bərabərdir. həmin qayda ilə n-tərtibli cırlaşmayan kvadrat
a₁₁ a₁₂ . a_1n

A = a₂₁ a₂₂ . a_2n (∆A)0)

a_n1 a_n2 . a_nn

tərs matrisini qurmaq olar.