Müstəvi üzərində düzbucaqlı koordinat sistemi

Düzbucaqlı və ya ortoqonal koordinat sistemi, qarşılıqlı dik koordinat oxlarının çoxluğudur. İki ölçülü – düz – boşluqda belə iki ox, üç ölçülü – üç ölçülü – üç var. Nəzəri olaraq istənilən ölçüdə təsəvvür edə bilərsiniz. Baltaların özlərinə əlavə olaraq sistemin vacib bir elementi hər birinin vahid seqmentidir – fəzadakı istənilən nöqtənin koordinatlarının ölçülən vahidlərinin miqyasını təyin edir. Nöqtələrin düzbucaqlı koordinatları necə təyin olunur

Nöqtələrin Düzbucaqlı Koordinatları Necə Təyin Olunur

Video: Nöqtələrin Düzbucaqlı Koordinatları Necə Təyin Olunur

Video: Xəritə üzərində düzbucaqlı koordinatların təyini 2023, Mart

Düzbucaqlı və ya ortoqonal koordinat sistemi, qarşılıqlı dik koordinat oxlarının çoxluğudur. İki ölçülü – düz – boşluqda belə iki ox, üç ölçülü – üç ölçülü – üç var. Nəzəri olaraq istənilən ölçüdə təsəvvür edə bilərsiniz. Baltaların özlərinə əlavə olaraq sistemin vacib bir elementi hər birinin vahid seqmentidir – fəzadakı istənilən nöqtənin koordinatlarının ölçülən vahidlərinin miqyasını təyin edir. Nöqtələrin düzbucaqlı koordinatları necə təyin olunur

Zəruri

Rəsm, qələm, hökmdar

Təlimat

Addım 1

Bir koordinat şəbəkəsinə və ya heç olmasa üzərində vahid seqmentləri olan koordinat oxlarına malik bir rəsm üzərində bir nöqtə qoyulursa, koordinatlarını təyin etmək üçün bir neçə köməkçi seqment çəkin. Bunlardan biri absis oxuna paralel olmalı, koordinatları təyin olunan nöqtədən başlamalı və ordinat oxunda bitməlidir. Absis oxu ümumiyyətlə soldan sağa artan dəyərlərlə üfüqi yerləşən ox adlanır – X hərfi ilə işarə edilir. Ordinat oxu ona dik və təbəqənin alt kənarından yuxarıya doğru yönəldilmişdir – bu Y hərfi ilə qeyd olunur.

Addım 2

Çəkilən üfüqi tikinti xəttinin uzunluğunu ölçün. Koordinat sisteminin bölmələri həmişə uzunluqları ilə santimetrlə üst-üstə düşmür, buna görə uzunluqlar koordinat oxlarında vahid seqmentləri tərəfindən təyin olunan vahidlərdə ölçülməlidir. Nöqtə şaquli oxun solundadırsa, ölçülmüş dəyər mənfi hesab edilməlidir. Bu hissənin X oxuna paralel olaraq uzunluğu, işarəsini nəzərə alaraq nöqtənin ilk koordinatını – absissiyanı təyin edir.

Addım 3

İkinci bir tikinti xətti çəkin. Ordinataya paralel olmalı, ölçülən nöqtədən başlayıb abstsissada bitməlidir. Əvvəlki addımdakı kimi qaydaları istifadə edərək uzunluğunu təyin edin. Nəticədə dəyər nöqtənin ikinci koordinatını – ordinatı verəcəkdir. Nöqtə üfüqi oxun altındadırsa, bu dəyərin qarşısında bir mənfi qoyulmalıdır. Bir neçə dəyərlə nöqtənin düzbucaqlı koordinatlarını 2D Kartezyanda təyin edirsiniz. Məsələn, bəzi A nöqtəsi üçün X və Y oxları boyunca ölçülən dəyərlər müvafiq olaraq 5, 7 və 8, 1-dirsə, onun düzbucaqlı koordinatları aşağıdakı kimi yazıla bilər: A (5, 7; 8, 1).

Addım 4

Üç ölçülü düzbucaqlı koordinat sistemində, abscissas və ordinatlara üçüncü ox tətbiq olunan ox əlavə edilir. Ümumiyyətlə Z hərfi ilə işarə edilir və bir nöqtənin fəzadakı yerini göstərən rəqəmlər dəstində üçüncü vəziyyətdədir – məsələn A (5, 7; 8, 1; 1, 1).

Müstəvi üzərində düzbucaqlı koordinat sistemi

Düz xətt üzərində nöqtənin koordinatını vermək üçün ədəd oxundan istifadə olunur. Ədəd oxu hesablama başlanğıcı, müsbət istiqaməti və vahid parçası ilə verilir. Məsələn: aşağıda verilmiş ədəd oxu üzərində A, B, C, nöqtələrinin hər birinin öz koordinatı var: A(-4), B(1), C(5). Ədəd oxunu bəzən koordinat oxu da adlandıracağıq.

Beləliklə, nöqtənin koordinatı onun koordinat düz xətti (ədəd oxu) üzərindəki yerini göstərir.

Bəs müstəvidə nöqtənin koordinatları necə təyin edilir? Bunun üçün müstəvi üzərində perpendikulyar iki düz xətt çəkək və hər birinin üzərində bölgülər aparaq. Düz xətlərin kəsişmə nöqtəsi koordinat başlanğıcı qəbul edilir. Vahid parça hər iki düz xətt üzərində eynidir. Koordinat oxları üzərində vahid parçalar müxtəlif uzunluqda da seçilə bilər. Məsələn: Ox oxu üzərində 1 sm, Oy oxu üzərində isə 2 sm və s. Üfüqi düz xətt üzərində müsbət istiqamət soldan sağa, şaquli düz xətt üzərində isə aşağıdan yuxarı

istiqamətlənir. Bu istiqamətləri oxlarla göstərək. O nöqtəsi koordinat başlanğıcıdır. Düz xətlər koordinat oxlarıdır. Üfüqi ox “absis oxu” (Ox oxu), şaquli ox “ordinat oxu” (Oy oxu) adlanır. Belə qurulmuş sistemə düzbucaqlı koordinat sistemi deyilir. Üzərində düzbucaqlı koordinat sistemi qurulmuş müstəviyə koordinat müstəvisi deyilir. Oxlar koordinat müstəvisini 4 hissəyə bölür və onlar rüblər adlandırılır. Rüblər saat əqrəbi hərəkətinin əksi istiqamətində nömrələnir (şəkil 1).

Koordinat müstəvisində hər hansı A nöqtəsi qeyd edək (şəkil 2). Bu nöqtədən Ox oxuna perpendikulyar düz xətt çəkək. Bu düz xətt Ox oxunu koordinatı 3 olan nöqtədə kəsir, x = 3 ədədi A nöqtəsinin absisidir. Daha sonra A nöqtəsindən Oy oxuna perpendikulyar düz xətt çəkək. Bu xətt Oy oxunu koordinatı 2 olan nöqtədə kəsir. y = 2 ədədi A nöqtəsinin ordinatıdır:

Bu ədədlər A nöqtəsinin koordinat müstəvisində yerini bildirir. Onlar nöqtənin müstəvi üzərindəki koordinatları adlanır.

Düzbucaqlı koordinatlar: nümunələr və həll edilmiş tapşırıqlar

The düzbucaqlı koordinatlar və ya Kartezyen, üç ölçülü məkanda yerləşən üç Kartezyen oxu X, Y, Z üzərində ortogonal olaraq proyeksiya etməklə əldə edilənlərdir.

Kartezyen baltaları bir -birinə dik olan qarşılıqlı istiqamətləndirilmiş xətlərdir. Kartezyen koordinat sistemində, kosmosdakı hər nöqtəyə düzbucaqlı koordinatları olan üç həqiqi ədəd verilir.

Şəkil 1. P nöqtəsinin düzbucaqlı koordinatları (Öz işlənməsi)

Təyyarə üçölçülü məkanın alt məkanıdır. Müstəvidə nöqtələr nəzərə alınarsa, onda bir cüt perpendikulyar X, Y oxlarını Dekart sistemi kimi seçmək kifayətdir. Sonra təyyarənin hər nöqtəsinə düzbucaqlı koordinatları olan iki həqiqi ədəd verilir.

• 1 Düzbucaqlı koordinatların mənşəyi
• 2 Kartezyen təyyarəsi
  • 2.1 İki nöqtə arasındakı məsafə
  • 2.2 Bir xəttin analitik ifadəsi
  • 3.1 Nümunə 1
  • 3.2 Nümunə 2
  • 4.1 Məşq 1
  • 4.2 Məşq 2

  Düzbucaqlı koordinatların mənşəyi

  Düzbucaqlı koordinatlar əvvəlcə Fransız riyaziyyatçısı René Descartes (1596 və 1650) tərəfindən irəli sürüldü və buna görə də Kartezyen adlandırıldı.

  Dekartın bu ideyası ilə müstəvi və fəzanın nöqtələrinə nömrələr verilir ki, həndəsi fiqurlar cəbri tənliyə bağlansın və klassik həndəsi teoremlər cəbri yolla sübut olunsun. Kartezyen koordinatları ilə analitik həndəsə doğulur.

  Kartezyen təyyarəsi

  Bir müstəvidə O nöqtəsində kəsişən iki dik xətt seçilərsə; və əlavə olaraq, hər bir xəttə ardıcıl bərabər məsafəli nöqtələr arasında istiqamət və ədədi miqyas təyin edilirsə, onda müstəvinin hər bir nöqtəsinin onların proyeksiyaları olan iki həqiqi ədədin sifarişli cütü ilə əlaqəli olduğu bir Dekart sistemi və ya müstəvi var. müvafiq olaraq X və Y oxlarında.

  A = (3, 2) nöqtələri; B = (- 2, 3); C = ( -2, -3) və D = (3, -3) Kartezyen müstəvisində aşağıda göstərildiyi kimi təmsil olunur:

  Şəkil 2. Kartezyen müstəvisindəki nöqtələr. (Öz tərtibatı)

  X və Y iki oxunun təyyarəni kvadrant adlanan dörd sektora ayırdığını unutmayın. A nöqtəsi birinci kadrda, B ikinci kvadrantda, C üçüncü kvadrantda və D nöqtəsi dördüncü kvadrantdadır.

  İki nöqtə arasındakı məsafə

  Dekart müstəvisində iki A və B nöqtəsi arasındakı məsafə onları birləşdirən seqmentin uzunluğudur. Bu məsafəni analitik olaraq aşağıdakı kimi hesablamaq olar:

  d (A, B) = √ (Bx – Ax) ^ 2 + (By – Ay) ^ 2)

  Yuxarıdakı düstur Pifaqor teoremini tətbiq etməklə əldə edilir.

  Bu düsturu Şəkil 2-də A, B nöqtələrinə tətbiq etməklə əldə edirik:

  d (A, B) = √ (-2 – 3) ^ 2 + (3 – 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)

  Yəni d (A, B) = 5.10 ədəd. Məsafənin bir hökmdarla ölçülməsinə ehtiyac olmadan alındığını, tamamilə cəbr proseduruna əməl edildiyini unutmayın.

  Bir xəttin analitik ifadəsi

  Düzbucaqlı koordinatlar nöqtə və xətt kimi fundamental həndəsi obyektlərin analitik təsvirinə imkan verir. İki nöqtə A və B tək xətti təyin edir. Xəttin yamacı B nöqtəsinin Y koordinatlarının fərqi mənfi A nöqtəsinin X koordinatlarının fərqinə B minus A bölünməsi ilə müəyyən edilir:

  yamac = (By – Ay) / (Bx – Ax)

  (AB) xəttinə aid olan (x, y) koordinatlarının hər hansı P nöqtəsi eyni mailliyə malik olmalıdır:

  yamac = (y – Ay) / (x – Balta)

  Yamacların bərabərliyi ilə əldə edilən tənlik A və B nöqtələrindən keçən xəttin analitik və ya cəbri təsviridir:

  (y – Ay) / (x – Ax) = (By – Ay) / (Bx – Ax).

  A və B üçün şəkil 2 -nin düzbucaqlı koordinatlarını götürsək:

  (y – 2) / (x – 3) = (3 – 2) / ( – 2 – 3)

  Bu vəziyyətdə, mənfi bir yamacı olan bir xəttimiz var, yəni xəttin bir nöqtəsində yerləşmək və x koordinatını bir vahid artırmaqla y koordinatı 0,2 ədəd azalır.

  Müstəvidə xəttin tənliyini yazmağın ən çox yayılmış yolu x dəyişəninin funksiyası kimi təmizlənmiş y koordinatıdır:

  Nümunələr

  Misal 1

  Analitik üsullarla C və A nöqtələri arasındakı məsafəni C = (-2, -3) və A = (3,2) nöqtələrinin düzbucaqlı koordinatları olmaqla əldə edin.

  Bu iki nöqtə arasındakı Evklid məsafəsinin düsturu belə yazılır:

  d (A, C) = √ ((Cx – Ax) ^ 2 + (Cy – Ay) ^ 2)

  Onların müvafiq düzbucaqlı koordinatlarını əvəz edərək, əldə edirik:

  d (A, C) = √ (-2-3) ^ 2 + (-3-2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7.07

  Misal 2

  Koordinatların (-2, -3) C nöqtəsindən və (2, 0) koordinatlarının P nöqtəsindən keçən xəttin tənliyini alın.

  Əvvəlcə CP xəttinin yamacı əldə edilir:

  yamac = (0 – ( – 3)) / (2 – (-2)) = ¾

  CP xəttinə aid olan ümumi düzbucaqlı koordinatların (x, y) hər hansı bir Q nöqtəsi eyni yamacda olmalıdır:

  yamac = (y – ( – 3)) / (x – (-2)) = (y +3) / (x +2)

  Başqa sözlə, CP xəttinin tənliyi:

  CP xəttinin tənliyini yazmağın alternativ yolu y üçün həll etməkdir:

  Həll edilmiş məşqlər

  Məşq 1

  y = – (1/5) x + 13/5 xətləri ilə y = ¾ x – 3/2 xətti arasındakı kəsişmə nöqtəsinin düzbucaqlı koordinatlarını əldə edin.

  Həll yolu: Tərifə görə iki xəttin kəsişmə nöqtəsi eyni düzbucaqlı koordinatları paylaşır. Buna görə kəsişmə nöqtəsindəki y koordinatları hər iki xətt üçün eynidır:

  – (1/5) x + 13/5 = ¾ x – 3/2

  aşağıdakı ifadəyə gətirib çıxarır:

  əldə etdiyimiz kəsrlərin cəmini həll edərək:

  Y-kəsicini əldə etmək üçün hər hansı bir sətirdə alınan x dəyərini əvəz edin:

  y = ¾ 4,32 – 3/2 = 1,74

  Bu o deməkdir ki, verilmiş xətlər I = (4.32, 1.74) koordinatlarının I nöqtəsində kəsişir.

  Məşq 2

  Düzbucaqlı koordinatların (3, 4) R nöqtəsindən keçən və mərkəzi koordinatların başlanğıcında olan dairənin tənliyini alın.

  Həll yolu: R radiusu, R nöqtəsindən koordinatların O başlanğıcına qədər olan məsafədir (0, 0).

  d (R, O) = √ ((Rx – 0) ^ 2 + (Ry – 0) ^ 2) = √ ((3 – 0) ^ 2 + (4 – 0) ^ 2) = √ (3 ^ 2) + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

  Yəni, mərkəzi (0,0) olan 5 radiuslu dairədir.

  Çevrənin istənilən P (x, y) nöqtəsi mərkəzdən (0, 0) eyni məsafədə 5 olmalıdır ki, belə yazmaq olar:

  d (P, O) = √ ((x – 0) ^ 2 + (y – 0) ^ 2) = √ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

  Kvadrat kökü aradan qaldırmaq üçün bərabərliyin hər iki üzvü alınır:

  Dairənin tənliyi nədir.

  Bu nümunə, kağız, qələm və kompas istifadə etmədən ətraf kimi həndəsi cisimləri təyin etməyə imkan verən düzbucaqlı koordinat sisteminin gücünü göstərir. Tələb olunan ətraf yalnız cəbr üsulları ilə müəyyən edilmişdir.

  İstinadlar

  1. Arfken G və Weber H. (2012). Fiziklər üçün riyazi üsullar. Hərtərəfli bələdçi. 7 -ci nəşr. Akademik Mətbuat. ISBN 978-0-12-384654-9
  2. Hesablama cc. Düzbucaqlı koordinatların problemləri həll edildi. Yenidən əldə edildi: calculo.cc
  3. Weisstein, Eric W. “Kartezian Koordinatları.” MathWorld-A Wolfram Web-dən. Mathworld.wolfram.com saytından bərpa edildi
  4. vikipediya. Kartezyen koordinat sistemi. En.wikipedia.com saytından bərpa edildi

  Related posts:

  1. Azerbaycan usaq edebiyyati qara namazov
  2. Azərbaycanın dövlət və hüquq tarixi
  3. Elxan elatlı qan ləkəsi yüklə
  4. Nrgiz axundova asiya v afrikanın orta sr