Müstvi üzrind düzbucaqlı koordinat sistemi

kompleks ədədini seçilmiş Oxy koordinat müstəvisi üzərində absisi a, ordinat b olan

Microsoft Word Elem riy. Müh. 1 docx

Koordinat sistemi nöqtənin və ya cismin nöqtələrinin düz xətt, müstəvi və fəzadakı vəziyyətini ədədlərlə və ya simvollarla birqiymətli müəyyən etmək üsuludur. Nöqtənin (cismin) vəziyyətini birqiymətli təyin edən ədədlərə (simvollara) onun koordinatları deyilir. Məktəb riyaziyyatında müstəvi üzərində nöqtənin vəziyyətini birqiymətli təyin etmək üçün ən çox istifadə edilən koordinat sistemi düzbucaqlı Dekart koordinat sistemidir.

Müstəvidə nöqtənin vəziyyətini birqiymətli təyin edən koordinatlarını müəyyən etmək üçün düzbucaqlı Dekart koordinat sistemi əsasən aşağıdakı qayda ilə seçilir.

Hesablama başlanğıcı adlanan nöqtədə kəsişən, qarşılıqlı perpendikulyar iki ədəd oxuna (koordinat düz xətlərinə) müstəvi üzərində düzbucaqlı Dekart koordinat sistemi deyilir (şəkil 2).

Şəkil 2. Şəkil 3.

Üzərində koordinat sistemi seçilən müstəvi koordinat müstəvisi adlanır. Adətən koordinat sisteminin oxlarından birini üfiqi, digərini şaquli istiqamətdə yönəldirlər və hər iki ox eyni miqyaslı olurlar. O – kəsişmə nöqtəsinə koordinat (hesablama) başlanğıcı, üfiqi Ox oxuna absis, şaquli Oy oxuna ordinat oxu deyirlər.

Koordinat müstəvisində hər bir nöqtəyə iki ədəd uyğun tutulur. Tutaq ki, M müstəvinin hər hansı nöqtəsidir.

M nöqtəsindən Ox və Oy oxlarını uyğun olaraq M _x və M _y

nöqtələrində kəsən perpendikulyarlar çəkirik (şəkil 2).

Ox oxu üzərində

M _x nöqtəsinin koordinatını x ilə, Oy oxu üzərində

M _y nöqtəsinin koordinatını y ilə işarə

edirik. Bu qayda ilə təyin edilən ( x ; y ) nizamlı ədədlər cütü seçilmiş Oxy koordinat sisteminə nəzərən M nöqtəsinin koordinatları adlanır. x ədədinə nöqtənin absisi, y ədədinə ordinatı deyilir və M ( x ; y ) kimi yazılır.

Polyar koordinat sistemi.

Müstəvi üzərində nöqtənin vəziyyətini birqiymətli təyin etmək üçün düzbucaqlı Dekart koordinat sistemi ilə yanaşı, polyar koordinat sistemindən də istifadə edilir. Polyar koordinat sistemi aşağıdakı kimi daxil edilir.

Müstəvi üzərində 1) qütb nöqtəsi adlanan hər hansı nöqtə (O nöqtəsi) qeyd edilir; 2) bu nöqtədən polyar ox

adlanan hər hansı ox (Ox yarımdüz xətti) keçirilir; 3) müstəvi üzərində parçaların uzunluğunu təyin etmək üçün miqyas

seçilir; 4) qütb nöqtəsi ətrafında dönmənin müsbət istiqaməti müəyyən edilir (müsbət istiqamət əsasən saat əqrəbi hərəkətinin əks istiqaməti qəbul edilir) (şəkil 3).

Şəkil 4. Şəkil 5.

Polyar koordinat sistemi seçilmiş müstəvi üzərində istənilən A nöqtəsinin vəziyyəti iki r və ədədləri ilə təyin

r = polyar radius adlanır və qütb nöqtəsindən A nğqtəsinə qədər olan məsafədir; isə polyar bucaq

adlanır və Ox polyar oxu ilə

r = OA

vektoru arasındakı bucaqdır (şəkil 4). r və ədədlərinə nöqtənin polyar

koordinatları deyilir və

A(r; ) kimi işarə edilir.

Müstəvi üzərində seçilmiş polyar koordinat sisteminə nəzərən hər bir nöqtəyə yeganə

ədədi uyğun gəlir.

Hər bir nöqtənin polyar bucağı isə 2n ( n  Z ) dəqiqliyi ilə tətin edilir. Yəni

və (r; + 2n) polyar

koordinatları eyni nöqtəyə uyğundur. Polyar bucağın da birqiymətli olması üçün onun aralığındakı qiymətləri ilə kifayətlənirlər.

Qeyd. Polyar koordinat sistemində qütb nöqtəsinin polyar radiusu r=0, polyar bucağı isə təyin

edilməmişdir.

Başlanğıcı O qütb nöqtəsində olan Oxy düzbucaqlı Dekart koordinat sistemini seçək (şəkil 5). A nöqtəsinin (a;b) düzbucaqlı koordinatlarının (r; ) polyar koordinatları ilə ifadəsi şəkil 5-dən aşağıdakı kimi alınır:


 a = r c o s  ,

_b = r sin .

Polyar koordinatların düzbucaqlı koordinatlarla ifadəsi isə aşağıdakı kimidir:

r = r (a;b) =

, tg = b ,

a , sin  = b .

Qeyd. (a;b) nöqtəsi düzbucaqlı koordinat sisteminin hansı rübbünə düşürsə, polyar bucağının qiyməti də həmin rübbə uyğun hesablanır.

Nümunə. 1. A (2

nöqtəsinin polyar koordinatlarını tapaq.

Həlli. Verilən nöqtə 2-ci rübdə yerləşir:

r =

=
5  
= 4 , tg =

Deməli, verilən nöqtənin polyar koordinatları




2. A  2 ;   

nöqtəsinin düzbucaqlı koordinatlarını tapaq.

Həlli. Verilən nöqtə 4-cü rübdə yerləşir:

Deməli, verilən nöqtənin düzbucaqlı koordinatları

1. A.İ.Həsənov – Riyaziyyat, I hissə, Bakı, 2006.
2. A.İ.Həsənov – Riyaziyyat, II hissə, Naxçıvan, 2008.
3. A.İ.Həsənov – Riyaziyyat, III hissə, Naxçıvan, 2015.
4. Ə.M.Məmmədov, R.Y. Şükürov, Elementar riyaziyyat, Bakı, 2010.
5. R.İ. Muradov, Məktəb riyaziyyat kursunun elmi əsasları, Bakı, 2007.
6. А.Г. Мордкович- Алгебра и начала математического анализа, 10-11 классы, Москва, 2009.
7. В.А. Битнер, Краткий курс школьной математики, Санкт-Петербург,2007.
8. Е.В. Хорошилова, Элементарная математика, часть 1, 2., Mocква, 2010 .
9. M.C. Mərdanov və başqaları, Cəbr və analizin başlanğıcı, 10-cu sinif, Bakı, 2003.
10. M.C. Mərdanov və başqaları, Cəbr və analizin başlanğıcı, 11-ci sinif, Bakı, 2007.
11. R.H. Məmmədov və başqaları Riyaziyyat, I, II hissə. Bakı, 1976.
12. А.Г. Цыпкин  Справочник по математике. М., Наука, 1984.

1. Kompleks ədədlərin həndəsi təsviri
2. Kompleks ədədin triqonometrik şəkli
3. Triqonometrik şəkildə verilən kompleks ədədlərin üzərində vurma və bölmə əməli
4. Muavr düsturu
5. Kompleks ədədin üstlü şəkli
6. Kompleks ədədin n -ci dərəcədən kökü

Kompleks ədədlərin həndəsi təsviri.

Oxy koordinat sistemini seçək. İstənilən

z = a + bi kompleks ədədinə koordinat müstəvisinin A(a; b)

tərsinə, hər bir

A(a; b) nöqtəsinə bir

z = a + bi

kompleks ədədini uyğun qoymaq olar (şəkil 4). Bu isə o deməkdir ki, C

kompleks ədədlər çoxluğu və müstəvinin nöqtələri arasında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq var.

z = a + bi

kompleks ədədini seçilmiş Oxy koordinat müstəvisi üzərində absisi a, ordinat b olan

nöqtə ilə təsvir etmək olar. Kompleks ədədin həqiqi hissəsi Ox oxu üzərində təsvir etdiyindən həqiqi ox, xəyali hissəsi isə Oy oxu üzərində təsvir etdiyindən xəyali ox adlanır.

Nümunələr. 1. 5  8i

kompleks ədədi müstəvi üzərində

(5;8) nöqtəsi ilə; 0 + 7i kompleks ədədi (0;7)

– 2 + 0  i kompleks ədədi isə (2;0) nöqtəsi ilə təsvir edilir.

2. Müstəvi üzərində (3;-4) nöqtəsinə uyğun tutulur.

3  4i , (0;2) nöqtəsinə

0 + 2i , (8;0) nöqtəsinə

Müstvi üzrind düzbucaqlı koordinat sistemi

Düz xətt üzərində nöqtənin koordinatını vermək üçün ədəd oxundan istifadə olunur. Ədəd oxu hesablama başlanğıcı, müsbət istiqaməti və vahid parçası ilə verilir. Məsələn: aşağıda verilmiş ədəd oxu üzərində A, B, C, nöqtələrinin hər birinin öz koordinatı var: A(-4), B(1), C(5). Ədəd oxunu bəzən koordinat oxu da adlandıracağıq.

Beləliklə, nöqtənin koordinatı onun koordinat düz xətti (ədəd oxu) üzərindəki yerini göstərir.

Bəs müstəvidə nöqtənin koordinatları necə təyin edilir? Bunun üçün müstəvi üzərində perpendikulyar iki düz xətt çəkək və hər birinin üzərində bölgülər aparaq. Düz xətlərin kəsişmə nöqtəsi koordinat başlanğıcı qəbul edilir. Vahid parça hər iki düz xətt üzərində eynidir. Koordinat oxları üzərində vahid parçalar müxtəlif uzunluqda da seçilə bilər. Məsələn: Ox oxu üzərində 1 sm, Oy oxu üzərində isə 2 sm və s. Üfüqi düz xətt üzərində müsbət istiqamət soldan sağa, şaquli düz xətt üzərində isə aşağıdan yuxarı istiqamətlənir. Bu istiqamətləri oxlarla göstərək. O nöqtəsi koordinat başlanğıcıdır. Düz xətlər koordinat oxlarıdır. Üfüqi ox “absis oxu” (Ox oxu), şaquli ox “ordinat oxu” (Oy oxu) adlanır. Belə qurulmuş sistemə düzbucaqlı koordinat sistemi deyilir. Üzərində düzbucaqlı koordinat sistemi qurulmuş müstəviyə koordinat müstəvisi deyilir. Oxlar koordinat müstəvisini 4 hissəyə bölür və onlar rüblər adlandırılır. Rüblər saat əqrəbi hərəkətinin əksi istiqamətində nömrələnir (şəkil 1).

Koordinat müstəvisində hər hansı A nöqtəsi qeyd edək. Bu nöqtədən Ox oxuna perpendikulyar düz xətt çəkək. Bu düz xətt Ox oxunu koordinatı 3 olan nöqtədə kəsir. x = 3

ədədi A nöqtəsinin absisidir. Daha sonra A nöqtəsindən Oy oxuna perpendikulyar düz xətt çəkək. Bu xətt Oy oxunu koordinatı 2 olan nöqtədə kəsir. y = 2 ədədi A nöqtəsinin ordinantıdır: Beləliklə, x = 3, y = 2. Bu ədədlər A nöqtəsinin koordinat müstəvisində yerini bildirir. Onlar nöqtənin müstəvi üzərindəki koordinatları adlanır.

Müstəvidə dekart koordinat sistemi

Müstəvidə $O$ nöqtəsində kəsişən qarşılıqlı perpendikulyar olan iki $x$ və $y$ düz xətlərini çəkək. Bu düz xətlər koordinat oxları adlanır. Üfüqi olan $x$ oxuna absis, şaquli olan $y$ oxuna isə ordinat deyilir. $O$ nöqtəsi isə koordinat başlanğıcı adlanır. Hər iki xətt $O$ nöqtəsi ilə iki yarımoxa bölünür. $x$ oxunun $O$ nöqtəsindən sağda qalan hissəsinə və $y$ oxunun $O$ nöqtəsindən yuxarı hissəsinə müsbət yarımoxlar deyilir. Müsbət yarımoxları ayırmaq üçün xətləri ox işarəsi ilə istiqamətləndirirlər.

Bu cür çəkilmiş koordinat sistemi, onun yaradıcısı Fransız riyaziyyatçısı olan Rene Dekartın (1596-1650) şərəfinə, dekart koordinat sistemi adlanır.

Bu koordinat sistemində ixtiyari $A$ nöqtəsini 2 koordinat ilə təsvir etmək olar. Bunun üçün $A$ nöqtəsindən ordinat və absis oxlarına paralel xətlər çəkirik. Ordinat oxuna paralel çəkilən düz xəttin $x$ absis oxunu kəsdiyi $x_1$ nöqtəsinə $A$-nın absisi, absis oxuna paralel çəkilən düz xəttin $y$ ordinat oxunu kəsdiyi $y_1$ nöqtəsinə $A$-nın ordinatı deyilir. Nöqtənin koordinatları birinci absis olmaqla $A(x_1; y_1)$ kimi göstərilir.

Koordinat oxları müstəvini 4 hissəyə bölür ki, bunların hər birinə rüb deyilir. $I$, $II$, $III$ və $IV$ rüblər şəkildəki kimi saat əqrəbinin əksi istiqamətində nömrələnir. Koordinatların işarəsi də oxların istiqamətindən asılı olaraq şəkildəki kimi dəyişir. $x$ oxu üzərindəki istənilən nöqtənin ordinatı $0$-a bərabərdir ($y=0$). $y$ oxu üzərində olan nöqtələrin də absisi $0$-a bərabərdir ($x=0$).

Nöqtələr arasındakı məsafə

Tutaq ki, müstəvidə $A_1(x_1; y_1)$ və $A_2(x_2; y_2)$ nöqtələri verilib. $A_1A_2$ parçasının uzunluğunu bu nöqtələrin koordinatları vasitəsilə tapaq.

Əvvəlcə qəbul edək ki, $x_1 \ne x_2$ və $y_1 \ne y_2$. $A_1$ və $A_2$ nöqtələrindən $x$ və $y$ oxlarına paralel xətlər çəkək. Şəkildən görünür ki, $|AA_1|=|y_1-y_2|$, $|AA_2|=|x_1-x_2|$. Onda Pifaqor teoreminə görə $\triangle AA_1A_2$-nin hipotenuzu olan $A_1A_2$-nin $d$ uzunluğu belə tapılar.

Əgər $x_1=x_2$ olarsa $A_1A_2$ xətti $y$ oxuna paralel olar və onun uzunluğu alınmış düzbucaqlının tərəfinə, yəni $|y_1-y_2|$-yə bərabər olar. Eynilə $y_1=y_2$ olarsa $|A_1A_2|=|x_1-x_2|$. Əgər hər iki koordinat üst-üstə düşərsə bu məsafə $0$-a bərabər olar.

Parçanın ortasının koordinatları

Tutaq ki, $A(x_1; y_1)$ və $B(x_2;y_2)$ istənilən iki nöqtə, $C(x;y)$ isə $AB$ parçasının orta nöqtəsidir. $x$ və $y$ koordinatlarını tapaq.

Əvvəl qəbul edək ki, $AB$ düz xətti nə absis, nə də ordinat oxlarına paralel deyil. $A$, $B$ və $C$ nöqtələrindən $y$ oxuna paralel xətlər çəksək, bu xətlər $x$ oxunu hər hansı $A’(x_1;0)$, $B’(x_2;0)$ və $C’(x;0)$ nöqtələrində kəsəcək. Fales teoreminə görə $C’$ nöqtəsi $A’B’$ parçasının orta nöqtəsi olacaq.

$A’C’ = B’C’ \Rightarrow |x-x_1|=|x-x_2|$

Bu isə o deməkdir ki, $x-x_1=x-x_2$ və ya $x-x_1=-(x-x_2)$. $x_1 \ne x_2$ olduğu üçün birinci bərabərlik ola bilməz. Deməli,

$x-x_1=-(x-x_2) \Rightarrow 2x = x_1+x_2 \Rightarrow x= \dfrac$

Eynilə $y$ oxuna paralel xətt çəkməklə ordinat da tapılır.

$AB$ parçası $x$ və ya $y$ oxlarından birinə paralel olan halda $A$, $B$ və $C$ nöqtələrindən həmin oxa perpendikulyar endirməklə düzbucaqlı alırıq.

Məsələn, $AB || x$ olarsa, $C$ nöqtəsinin ordinatı $y=y_1=y_2$ olacaq. $C$ nöqtəsinin absisi isə düzbucaqlının $AB$ tərəfinin qarşı tərəfi olan $A’B’$ üzərindəki $C’$ nöqtəsinin absisi ilə eynidir. $x=\dfrac$.

Eynilə $AB||y$ olarsa $x=x_1=x_2$, $y=\dfrac$.

Digər məqalələr

Çevrənin və düz xəttin tənliyi

Əgər müstəvidə verilmiş fiqurun istənilən nöqtəsinin (x; y) koordinatları verilmiş tənliyi ödəyirsə bu tənliyə həmin fiqurun tənliyi deyilir. Düz xəttin tənliyi ax+by+c=0 kimidir.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.

© Copyright Jsoft