Ali riyaziyyat kursundan mühazirlər

n-tərtibli kvadrat

R.h.məmmədov ali riyaziyyat kursu

(+994 12) 493 30 77

• Fəlsəfə
• Tarix
• Azərbaycan tarixi
• Sosiologiya
• Etnoqrafiya
• İqtisadiyyat
• Dövlət və hüquq
• Siyasət. Siyasi elmlər
• Elm və təhsil

• Mədəniyyət
• Kitabxana işi
• Psixologiya
• Dilçilik
• Ədəbiyyatşünaslıq
• Folklor
• Bədii ədəbiyyat
• İncəsənət
• Kütləvi informasiya vasitələri

Ali riyaziyyat: II hissə

Abunə

Lokal şəbəkədə oxucuların istifadəsinə “Rusiya Federasiyasının Qanunvericilik Bazası” təqdim olunur.

Lokal şəbəkədə oxucuların istifadəsinə bütün elm sahələri üzrə 5 000 e-kitabdan ibarət elektron kitabxana – Elektron Kitabxana Sistemi İPR Books təqdim olunur.

Polpred.com Medianin İcmalı. Hər gün minlərlə xəbərlər, Rus dilində tam mətn, son 15 ilin informasiya agentliklərinin və işgüzar nəşrlərin ən yaxşı milyon mövzusu.

Bannerlər

Əlaqə

Ünvan: AZ1005, Azərbaycan Respublikası, Bakı şəhəri,
Nizami küçəsi 58

Tel.: (+99412) 596-26-13

İş vaxtı:
Bazar ertəsi – Cumə: 9:00-18:00
Fasilə: 13:00-14:00
İstirahət günləri: Şənbə, Bazar

Copyright © 2013 Prezident Kitabxanası. Bütün hüquqlar qorunur.
Məlumatlardan istifadə zamanı istinad vacibdir.

Ali riyaziyyat kursundan mühazirlər

Bu mühazirələr toplusunda Əsas anlayışlar, Həqiqi ədədlər çoxluğu:əsas anlayışlar, Ədədi çoxluqların sərhədləri, Həqiqi ədədin mütləq qiyməti, Funksiya anlayışı, Funksiyanın qrafiki, Funksiyanın verilməsi üsulları, Funksiyaların ümumi xarakteristikaları: məhdudluğu, monotonluğu, tək və cütlüyü, dövriliyi, Sonsuz kiçilən və sonsuz böyüyən funksiya, Onların əsas xassələri, Funksiyanın limiti, Funksiya limitinin bəzi xassələri, Limitlər üzərində hesab əməlləri, Bərabərsizliklərdə limit əməliyyatı, Aralıq funksiyanın limiti haqqında teorem, Birinci görkəmli limit-sonsuz kiçik qövsün sinusunun qövsün uzunluğuna nisbətinin qövsün uzunluğu sıfıra yaxınlaşdıqda limiti, İkinci görkəmli limit, Funksiyanın nöqtədə kəsilməzliyi, Nöqtədə kəsilməz funksiyalar üzərində hesab əməlləri, Funksiyanın kəsilmə nöqtələrinin təsnifatı, Parçada kəsilməz funksiyalar və onların əsas xassələri, Törəmə anlayışı. Törəmənin həndəsi və fiziki mahiyyəti, Törəmənin hesablama alqoritmi, Funksiyanın diferensiallanması anlayışı, Diferensiallanma və kəsilməzlik anlayışları arasındakı əlaqə, Funksiyanın diferensialı anlayışı. Diferensialm həndəsi mahiyyəti, Diferensiallaşma ilə kəsilməzlik arasında əlaqə, Diferensiallanma qaydaları (cəmin, fərqin, hasilin və qismətin törəməsi düsturları), Tərs funksiyanın törəməsi, Əsas elementar funksiyaların törəmələri cədvəli, Mürəkkəb funksiyanın törəməsi, Mürəkkəb funksiyaların törəmələri düsturları, Loqarifmik törəmə anlayışı, Yüksək tərtibli törəmə və diferensial anlayışları, İki funksiyanın hasilinin yüksək tərtibli törəmələrinin hesablanması üçün Leybniç düsturu, Differensial hesablamanın əsas teoremləri, Qeyri-müəyyənliklərin açılması. Lopital qaydası, Teylor düsturu, Funksiyanın artma, azalma və sabitlik əlamətləri mövzularına dair mühazirə mətnləri toplanmışdır.

Aşağıdakı düyməyə vuraraq resursu yükləyə bilərsiniz.

Mühazirəçi : R. F. D. dosent Orucova Rəna Üzeyir qızı Ədəbiyyat

1. Məmmədov R.H. Ali riyaziyyat kursu. Bakı, Maarif, 3 hissə 1978.

2. Ə.B.Əliyev, A.Hüseynov. Riyaziyyat, Bakı 2005

3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. Москва, Наука, 1971.

4. Кудрявцев В.А. ; Демидович Б.П. Краткий курсвысшей математики, Москва, Наука, 1989.

5. Ə.A.Vəliyev və başqaları. Ali riyaziyyatdan məsələ və misal həllinə rəhbərlik. I və II hissə Bakı,2001.

6. Alməmmədov M.S. və başqaları. İqtisadçılar üçün ali riyaziyyat kursuna aid məslə və misallar. Bakı,2009.

7. Шипачев В.С. Высшая математика, Москва, Высшая школа 1990.

8. Маркович Э.С. Курс высшей математики. Москва, Высшая школа, 1972.

9. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. Учебник. М;2010.

10. Тихомиров В.М. Дифференциальное исчисление (теория и приложения), М;2002.

11. Слободская В.А. Краткий курс высшей математики, Москва, Высшая школа, 1969.

12. Abdullayev F.S. Adi diferensial tənliklər.Kompleks dəyişənli funksiyalar. Bakı, Kür, 2002.

13. Orucova R.Ü. Qeyri-müəyyən inteqral. Müəyyən inteqral. Çoxqat və əyrixətli inteqrallar. Dərs vəsaiti. Gəncə, 2016.

14. Hüseynov O.M. Adi differensial tənliklərdən məsələ və misallar. AKTA, Gəncə 2003.

15. Məsimova S.N. Ali riyaziyyatın əsasları, Bakı, Yeni Nəsil, 2009

16.Piskunov N.S. Diferensial və inteqral hesabı. Bakı, Maarif, 1986.

17. Qmurman V.Y. Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika məsələlərinin həllinə dair rəhbərlik. Bakı, Maarif, 1980.

18. 1. Əkbərov M. Ali cəbr, Bakı, Maarif, 1976.

19. Nağıyev Ə. Ədədi sistemlər, Bakı, Maarif, 1976.

20. İbrahimov İ.İ. Ədədlər nəzəriyyəsinin əsasları, Bakı, 1955.

21. Sultanov R.M. Xətti cəbrin əsasları, Bakı, 1960.

Matris anlayışı. Determinantlar və onların xassələri.

1. Matris anlayışı, onların üzərində əməllər.

2. Determinantın tərifi və əsas xassələri.

3. Tərs matris anlayışı.

4. Matrisin ranqı.

1. Matris anlayışı, onların üzərində əməllər.

►Tutaq ki, m və n natural ədədlərdir. mn sayda ədəddən düzbucaqlı şəklində düzəldirmiş , m sayda sətri və n sayda sütunu olan cədvələ (m · n) – ölçülü matris deilir. Matrisi

a₁₁ a₁₂ . a_1n

a₂₁ a₂₂ . a_2n

. . . . .

a₁₁ a₁₂ . a_1n

a₂₁ a₂₂ . a_2n

a_m1 a_m2 ..a_mn
şəklində yazırlar. Bəzən qısa olmaq üçün matrisi böyük hərflə (A, B, C, X, Y, . ), və ya ║a_{i j}║ (i=1,2, . n) şəklində işarə edirlər.

Matrisi təşkil edən a_{i j} ədədlərinə onun elementləri deyilir. Elementin aşaqısında yazılan iki (ij) indeksin birincisi (i) onun yerləşdiyi sətrin nömrəsini, ikincisi (j) isə yerləşdiyi sütunun nömrəsini göstərir.

(m · n) ölçülü (1) matrisinin sətir və sütunlarının sayı bərabər (m=n) olduqda, ona kvadrat matris deilir. Bu halda n ədədinə kvadrat matrisin tərtibi deyilir. Məsələn

A = 3 5 B = 2 4 7

matrislərinin birincisi iki, ikincisi isə üçtərtiblidir. Bir elementdən ibarət olan matrisə birtərtibli matris deyilir. Birtərtibli matrisi onu təşkil edən yeganə ədədlə eyniləşdirirlər: ║a₁₁║= a₁₁.

Ancaq bir sətri olan matrisə sətir-matris, ancaq bir sütunu olan matrisə sütun-matris deyilir. Məsələn,

A = 2, 7, 8, 9 B = a, b, c

C = 2 , D = b₁

4 d₁
matrisləri isə sütun-matrislərdir.

n-tərtibli kvadrat

A = a₂₁ a₂₂ . a_2n

matrisinin sol yuxarı küncündə olan a₁₁ elementi ilə sağ aşağı küncündə olan a_mn elementini birləşdirən düz xətt parçası üzərində yerləşən a₁₁, a₂₂, a₃₃, . a_nm elementləri çoxluğu həmin matrisin baş diaqonalı adlanır. Ancaq baş diaqonalının elementləri sıfırdan fərgli olan kvadrat matrisə diaqonal matris deilir. Bütün elementləri vahidə bərabər olan diaqonal matris vahid matris adlanır və I_n ilə işarə olunur. Birtərtibli vahid matris

ikitərtibli vahid matris

Üçtərtibli vahid matris və s.olar.

Bütün elementləri sıfra bərabər olan kvadrat matrisə sıfır matris deyilir və O ilə işarə olunur. Məsələn,

matrisləri uyğun olaraq ikitərtibli və üçtərtibli sıfır matrislərdir.

Verilmiş A matrisinin bütün sətir və sütunlarının yerinin dəyişilməsinə (nömrəsini saxlamaqla) həmin matrisin çevrilməsi (transponirə edilməsi) deyilir və A⃰ ilə işarə olunur. Məsələn,

1 2 0 ⃰ = 2 4 0 2 ⃰ = 0 5

3 4 7 0 7 , 5 -7 2 -7 ,

Aydındır ki, (A*)* = A olar. A = A* olduqda A matrisinə simmetrik matris deyilir. (2) matrisinin simmetrik olması şərtini a_{i j} = a_{i j} ( i, j = 1, 2, . n ) kimi yazmaq olar.

a_{i j =} – a_{i j} olduqda A matrisinə çəpsimmetrik matris deyilir.

Bütün elementləri həqiqi ədədlər olan matrisə həqiqi, heç olmasa bir elementi kompleks ədəd olan matrisə isə kompleks matris deyilir. Biz burada həqiqi matrislərə baxırıq.

Eyni ölçülü və bütün uyğun elementləri bərabər olan matrislərə bərabər matrislər deyilir.

►Matrislərin cəmindən (fərgindən), ədədə və başqa matrisə hasillərindən danışmaq olar.

Eyni (m · n) – ölçülü A =║a_{i j}║ və B = ║b_{i j}║ (i=1, 2, . m; j=1, 2, . n) matrislərinin cəmi həmin ölçülü və hədləri

c_{i j} = a_{i j} + b_{i j} (i=1, 2, . m; j=1, 2, . n) (1)

kimi təyin olunan C = ║c_{i j}║ (i=1, 2, . m; j=1, 2, . n) matrisinə deyilir və C = A+B ilə işarə olunur. Xüsusi halda,

a₁₁ a₁₂ a₁₃ + b₁₁ b₁₂ b₁₃ = a₁₁ + b₁₁ a₁₂ + b₁₂ a₁₃ + b₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃ b₂₁ b₂₂ b₂₃ a₂₁ + b₂₁ a₂₂ + b₂₂ a₂₃ + b₂₃

Tərifdən aydındır ki, matrislərin toplanması yerdəyişmə və qruplaşdırma xassələrinə malikdir, yəni eyniölçülü A, B və C matrisləri üçün

A + ( B + C ) + (A + B ) + C

Eyniölçülü A matrisi və O (sıfır) matrisi üçün həmişə

Eyniölçülü A və B matrislərinin fərgi həmin ölçülü elə C matrisinə deyilir ki, onu B ilə topladıqda A-ya bərabər olsun: A = C + B. A və B matrislərinin fərgini

ilə işsarə edirlər. Aydındır ki, həmişə:

Verilmiş A =║a_{i j}║ (i=1, 2, . m; j=1, 2, . n) matrisinin həqiqi λ ədədinə hasili, hədləri

b_{i j} = λ a_{i j} (i=1, 2, . m; j=1, 2, . n)
kimi təyin olunan B = ║b_{i j}║ (i=1, 2, . m; j=1, 2, . n) matrisinə deyilir və B = λA( və ya B = Aλ ) ilə işarə olunur. Aydındır ki, ixtiyarı A, B matrisləri və həqiqi λ, μ ədədləri üçün

( λμ ) A = λ ( μA ), λ ( A + B ) = λA + λB,

( λ + μ )A = λA + μA

Qeyd edək ki, A və B matrislərinin fərgini

A + B = A + (-1 ) · B

kimi də yazmaq olar. Bundan başqa

( A + B )* = A* + B * və (λA )* = λA* (2)

sadə xassələri də doğrudur.

Indi iki matrisin hasilinin təyin edək. (m · n) – ölçülü A =║a_{i j}║ (i=1, 2, . m; j=1, 2, . n) matrisinin (n · p) – ölçülü B = ║b_{i j}║ matrisinə hasili hədləri c_{i j}

_{i k} b_{k j} (i=1, 2, . m; j=1, 2, . p) (3)
kimi təyin olunan ( m · p) ölçülü C = ║c_{i j}║ (i=1, 2, . m; j=1, 2, . p) matrisinə deyilir və C=AB ilə işarə olunur.

Tərifdən aydındır ki, istənilən ölçülü iki matrisi vurmaq olmaz. A matrisini o zaman B matrisinə vurmaq olar ki; A-nın sütunlarının sayı B-nın sətirlərinin sayına bərabər olsun. Xüsusi halda,

a₁₁ a₁₂ · b₁₁ b₁₂ = ( a₁₁ b₁₂ + a₁₂b₂₁ ) ( a₁₁b₁₂ + a₁₂b₂₂ )

a₂₁ a₂₂ b₂₁ b₂₂ ( a₂₁b₁₁ + a₂₂b₂₁ ) ( a₂₁b₁₂ + a₂₂b₂₂ )
Deməli, AB və BA hasillərinin ikisinin də eyni zamanda təyin olunması üçün A-nın sütunlarının sayı B-nın sətirlərinin sayına və A-nın sətirlərinin sayı B-nın sütunlarının sayına bərabər olmalıdır. A və B matrisləri eynitərtibli kvadrat matrislər olduqda AB və BA hasilləri də eynitərtibli kvadrat matrislər olar.

Xüsusi halda, hər bir kvadrat A matrisini özü-özünə vurmaq olar. Bu halda həmin matrisin kvadratı, kubu və s. alınır:

A·A=A 2 , A·A·A=A·A 2 =A 3 , .

a₁ a₁x₁ a₂x₂ … a₁x_n

a₂ a₂x₁ a₂x₂ … a₂x_n

… · x₁, x₂, . x_n = . . . . . .

a_n a_nx₁ a_nx₂ … a_nx_n ,

a₁₁ a₁₂ . a_1n x₁ a₁₁x₁ = a₁₂x₂ + . + a_1nx_n

AX = a₂₁ a₂₂ . a_2n · x₂ = a₂₁x₁ = a₂₂x₂ + . + a_2nx_n

. . . . . . . … . . . . . . . . . . . . . .

a_n1 a_n2 . a_nn x_n a_n1x₁ = a_n2x₂ + . + a_nnx_n .

Qeyd edək ki, eynitərtibli iki A və B kvadrat matrislərinin hasili üçün yerdəyişmə xassəsi doğru olmaya da bilər. Doğrudan da,

A = 0 1 və B = 0 1

matrisləri üçün
AB = 1 0 və BA = 0 0

yəni AB = BA. Buradan aydın ki, matrisləri vurarkən onların yerini dayişmək olmaz.

Lakin istənilən kvadrat A matrisi ilə eynitərtibli olan I vahid və O sıfır matrislərinin hasili üçün həmişə yerdəyişmə xassəsi doğrudur:

IA = AI = A (4)

OA = AO = O (5)

(4) bərabərliyi göstərir ki, vahid I matrisinin həqiqi vahid ədədinin uyğun xassəsinə vardır. Məsəslən, ixtiyari A, B, C matrisləri ( lazım olan ölçülü ) və həqiqi λ ədədi üçün

(λA)B = A(λB) = λ(AB),

(A+B)C = AC + BC

C(A+B) = CA + CB

A(BC) = (AB) · C

bərabərlikləri doğrudur. Eyni zamanda,

(AB)* = B* · A* (6)

2. Determinantın tərifi və əsas xassələri.

matrisinə baxaq. Bu matrisin elementlərindən düzəldilməş.

a₁₁ a₂₂ – a₁₂ a₂₁ = (2)

kimi işarə olunur. (1) matrisinin (2) determinantını ∆(A₂) və ya det A₂ ilə işarə edirlər.

A₃ = a₂₁ a₂₂ a₂₃ (3) a₃₁ a₃₂ a₃₃

matrisinin elementlərindən düzəldilmiş.

a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₂₁ a₂₃ a₃₁ +a₂₁ a₃₂ a₁₃ – a₁₃ a₂₂ a₃₁ – a₁₂ a₂₁ a₃₃ – a₁₁ a₂₃ a₃₂ (4)

ifadəsinə həmin matrisin determinantı (və ya üçtərtibli determinant) deyilir və

ilə işarə olunur. Beləliklə,

Bu bərabərliyin sağ tərəfindəki (4) ifadəsinə (5) determinantını açılışı (və ya qiyməti) deyilir. Verilmiş determinantın qiymətini tapmaq üçün onun bərabər olduqu (4) ifadəsini hesablamaq lazımdır.

Matrislər kimi determinantlar da sətir və sütunlardan ibarətdir. Ikitərtibli determinantın iki sətri və iki sütunu, üçtərtibli determinantın isə üç sətri və üç sütunu vardır. Determinantı təşkil edən a_{i j} ədədləri onun elementləri adlanır.

Determinantın hər hansı elementinin olduğu sətir və sütun üzərindən düz xətlər çəkdikdə yerdə qalan elementlər ( nisbi vəziyyətlərini dəişmədən) bir determinant (tərtibi verilmiş determinantın tərtibindən bir vahid az olan) əmələ gətir. Bu determinanta həmin elementin minoru deyilir. a_{i j} elementinin minorunu M_{i j} ilə işarə edirlər. M_{i j} ilə işarə minorunun (-1) i+j vuruğu ilə hasilinə a_{i j} elementinin cəbri tamamlayıcısı deyilir və

A_{i j} = (-1) i+j M_{i j}

ilə işarə olunur.

İkitərtibli (2) determinantının a₁₁ elementinin minoru M₁₁ = a₂₂ cəbri tamamlayıcısı isə A₁₁ (-1) 1+1 M₁₁ = a₂₂; üçtərtibli (5) determinantının a₁₃ və a₂₃ elementlərinin minoru uyğun olaraq

M_{13 =} və M_{23 =}

cəbri tamamlayıcıları isə

A₁₃ = (-1) 1+3 və A₂₃ = (-1) 2+3
T e o r e m 1 . Hər bir hər hansı bir sətir və ya sütun elementlərinin öz cəbri tamamlayıcıları ilə hasillərinin cəminə bərabərdir.

Teorem üçtərtibli determinantı ikitərtibli determinantlar vasitəsilə, ikitərtibli determinantı isə birtərtibli determinantlar vasitəsilə təyin etməyə imkan verir. Bu qayda ilə dörd, beş və s. tərtibli determinantları da ardıcıl olaraq təyin etmək olar.

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄

A₄ = a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄

a₄₁ a₄₂ a₄₃ a₄₄
matrisinin ∆(A₄) determinantını (dördtərtibli determinantı)

∆(A₄) = a₁₁ A₁₁ + a₁₂ A₁₂ + a₁₃ A₁₃ + a₁₄ A₁₄ (6)

kimi təyin etmək olar. Burada A₁₁, A₁₂, A₁₃ və A₁₄ kəmiyyətləri dördtərtibli

determinantının 1-ci sətir elementlərinin üçtərtibli determinantlar vasitəsilə ifadə olunan uyğun cəbri tamamlayıcılarıdır. (7) determinantını başqa sətir və ya sütun elementləri üzrə ayrılışlar vasitəsilə də təyin etmək mümkündür.

Bu mülahizələr əsasən n-tərtibli determinanta aşağıdaki kimi tərif vermək olar.

T ə r i f. (˃1) – tərtibli

a₁₁ a₁₂ . a_1n

a_n1 a_n2 . a_nn

a₁₁ a₁₂ . a_1n

determinantı (n-tərtibli determinant)

k+1 a _1k M _1k

ədədinə deyilir. Burada M_1k ilə A_n matrisinin 1-ci sətrini və k – nömrəli sütunu pozmaqla alınan (1-n) – tərtibli matrisin determinantı işarə olunmuşdur.

Yuxarıda isbat olunan teorem göstərir ki, iki və üçtərtibli determinantlara əvvəlcə verdiyimiz təriflər bu təriflə n=2 və n=3 olduqda ekvivalentdir. Həmin teorem n-tərtibli determinantlar üçün də doğrudur:

T e o r e m 2. n-tərtibli ∆(A _n) determinantı və istənilən i (1 ≤ i ≤ n) və j (1 ≤ j ≤ n) üçün
(8)

və
k+j a _{k j} M _{k j} (9)

bərabərlikləri deyilir.

(8) bərabərliyinə ∆(A_n) determinantının i – nömrəli sətir elementləri üzrə ayrılışı, (9) bərabərliyinə isə onun j – nömrəli sütun elementləri üzrə ayrılışı deyilir.

Misal 1. Vahid matrisin determinantə vahidə bərabərdir.

İ₂ = olduqda ∆(İ₂) = = 1,
İ₃ = olduqda ∆(İ₃) = = 1,

İ_n= 0 1 . 0

0 0 . 1
olduqda ∆(İ_n) = ∆(İ_n-1) = ∆(İ_n-2) = . = ∆(İ₂) = 1.
►Determinantın tərtibi artdıqca onun elementlərinin və hədlərinin sayı artır.