Задачи и упражнения на готовых чертежах Таблица 7.5 Признаки равнества треугольника Найти пары равных треугольников и доказать их равенство. ПОМОГИтЕ пожалуйста побыстрей нужно решить все 12

Вершина B совпадает с вершиной B₁.

Признаки равенства треугольников

Чего только не приходится делать на уроках геометрии! Но нет ничего приятнее, чем сесть и доказать равенство треугольников, используя три признака равенства.

17 декабря 2020

· Обновлено 2 марта 2023

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

При наложении △A₁B₁C₁ на △ABC вершина A₁ совмещается с вершиной A, и сторона A₁B₁ накладывается на сторону AB, AC — на сторону A₁C₁.

Сторона A₁B₁ совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B₁, сторона A₁С₁ совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C₁.

Значит, происходит совмещение вершин В и В₁, С и С₁.

Первый признак используют при доказательстве второго и третьего признаков равенства треугольников.

Познавайте математику вместе с нашими лучшими преподавателями на курсах по математике для учеников с 1 до 11 класса!

Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почту

Реши домашку по математике на 5.
Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Путем наложения △ABC на △A₁B₁C₁, совмещаем вершину А с вершиной A₁, вершины В и В₁ лежат по одну сторону от А₁С₁.

Тогда АС совмещается с A₁C₁, вершина C совпадает с C₁, поскольку мы знаем, что АС = A₁C₁.

AB накладывается на A₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A₁.

CB накладывается на C₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C₁.

Вершина B совпадает с вершиной B₁.

Пройдите тест и узнайте, какие темы отделяют от пятёрки по математике

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Приложим △ABC к △A₁B₁C₁ таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A₁, вершина B — с вершиной B₁, вершина C и вершина C₁ лежат по разные стороны от прямой А₁В₁.

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника — такие треугольники равны.
Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника — такие треугольники равны.
Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника — такие треугольники тоже равны.
Если две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника — вы уже догадались сами: эти ребята равны.
Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

Задачи и упражнения на готовых чертежах Таблица 7.5 Признаки равнества треугольника
Найти пары равных треугольников и доказать их равенство. ПОМОГИтЕ пожалуйста побыстрей нужно решить все 12.

1. АО = ОС, ВО = OD по условию,
∠АОВ = ∠COD как вертикальные, ⇒
ΔАОВ = ΔCOD по двум сторонам и углу между ними.

2. NK = KP, ∠MNK = ∠EPK по условию,
∠MKN = ∠EKP как вертикальные, ⇒
ΔMKN = ΔEKP по стороне и двум прилежащим к ней углам.

3. АВ = AD, ∠BAC = ∠DAC по условию,
АС – общая сторона для треугольников ABC и ADC, ⇒
ΔABC = ΔADC по двум сторонам и углу между ними.

4. AD = CB, ∠ADB = ∠CBD по условию,
BD – общая сторона для треугольников ADB и CBD, ⇒
ΔADB = ΔCBD по двум сторонам и углу между ними.

5. ∠MDF = ∠EDF, ∠MFD = ∠EFD по условию,
DF – общая сторона для треугольников MDF и EDF, ⇒
ΔMDF = ΔEDF по стороне и двум прилежащим к ней углам.

6. ∠MAP = ∠NPA, ∠NAP = ∠MPA по условию,
АР – общая сторона для треугольников MAP и NPA, ⇒
ΔMAP = ΔNPA по стороне и двум прилежащим к ней углам.

MA = NP из равенства треугольников MAP и NPA,
∠НАР = ∠НРА ⇒ ΔНАР равнобедренный и НА = НР,
∠МАН = ∠МАР – ∠НАР
∠NPH = ∠NAP – ∠HAP, ⇒ ∠МАН = ∠NPH, ⇒
ΔМАН = ΔNPH по двум сторонам и углу между ними.

7. МК = PN, MN = PK по условию,
NK – общая сторона для треугольников MKN и PNK, ⇒
ΔMKN = ΔPNK по трем сторонам.

8. ∠ADB = ∠CBD, ∠ABD = ∠CDB по условию,
BD – общая торона для треугольников ABD и CDB, ⇒
ΔABD = ΔCDB по стороне и двум прилежащим к ней углам.

9. ∠CAB = ∠EFD, ∠СВА = ∠EDF по условию,
АВ = AD + DB
DF = ВF + DB, т.к. AD = BF, то и АВ = DF, ⇒
ΔCAB = ΔEFD по стороне и двум прилежащим к ней углам.

10. АС = ВС, ∠CAD = ∠CBE по условию,
∠АСВ общий для треугольников CAD и CBE, ⇒
ΔCAD = ΔCBE по стороне и двум прилежащим к ней углам.

11. FK = PE, KH = EH по условию,
∠FKH = ∠PEH как углы, смежные с равными углами, ⇒
ΔFKH = ΔPEH по двум сторонам и углу между ними.

12. DE = CE по условию,
∠AED = ∠BEC как вертикальные
∠ADE = ∠BCE как углы, смежные с равными углами, ⇒
ΔADE = ΔBCE по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Автор: garyward687
Оценить ответ: 0

Мастера меча онлайн 1 сезон

Оригинальное название: Sword Art Online
Год выхода: 2012
Страна: Япония
Жанр: Приключения, фэнтези, романтика
Продолжительность: ~ 25 минут серия
Озвучивание: Amazing Dubbing
Режиссер: Ито Томохико
Автор оригинала: Кавахара Рэки

Представление о видеоиграх в корне изменилось с введением технологии полного погружения, повышающей уровень восприятия происходящего в игре до максимального и полностью перекрывающей связь с реальным миром. Данная технология применяется для создания революционной игре в жанре MMORPG под названием «Мастера Меча Онлайн», которая соответствует всем стандартам многопользовательских ролевых игр с одной лишь разницей в том, что игрок ощущает себя своим персонажем. Ажиотаж вокруг игры растёт столь стремительно, что на старте к серверу подключается десять тысяч человек. Но тут и открывается страшная тайна, скрывавшаяся за многообещающим проектом: выйти из игры невозможно, а при попытке избавиться от шлема виртуальной реальности игрок умрёт. Единственным способом спастись создатель игры, придумавший столь хитроумную ловушку, называет полное прохождение игры. В числе оказавшихся в западне виртуального пространства оказываются Кирито и Асуна, которым предстоит покорить цифровой мир и пройти испытание чувствами.