Xətti proqramlaşdırma

К останкам Тунгусского метеорита �� Красноярский край

Xətti proqramlaşdırma problemləri probleminin qoyuluşu: həll üsulları və formalaşması

Çox vaxt iqtisadçılara istehsal funksiyasını optimallaşdırmaq, mənfəət, zərər və ya xətti məhdudiyyətə məruz qalan digər məlumatlar kimi onu maksimuma çatdırmaq və ya minimuma endirmək lazımdır. Xətti proqramlaşdırma problemlərini və problemin ifadəsini başa düşmək – bu, riyaziyyat və statistikanın əsaslarını bilmək tələb edir. Xətti proqramlaşdırmanın (LP) vəzifəsi optimal verilənləri əldə etmək üçün funksiyanı müəyyən etməkdir. Bu, ən mühüm biznes əməliyyatları tədqiqat alətlərindən biridir. O, həmçinin bir çox sənaye sahələrində qərar qəbul etmə vasitəsi kimi geniş istifadə olunur: iqtisadiyyat, informatika, riyaziyyat və digər müasir praktiki tədqiqatlar.

Xətti proqramlaşdırma məsələlərinin xarakteristikası

Aşağıdakı LP xüsusiyyətləri fərqləndirilir:

Optimallaşdırma. Xətti proqramlaşdırma məsələlərinin və optimallaşdırma məsələlərinin tərtibinin əsasını tədqiqat predmeti olan müəyyən verilənlər bazasının maksimallaşdırılması və ya minimumlaşdırılması təşkil edir. Bu, iqtisadiyyatda, biznesdə, reklamda və resurslara qənaət etmək üçün səmərəlilik tələb edən bir çox başqa sahələrdə geniş yayılmışdır. Buraya mənfəət əldə etmək, resurs əldə etmək, istehsal vaxtı və digər mühüm iqtisadi göstəricilər daxildir.
Xəttilik. Adından da göründüyü kimi, bütün LP problemləri xəttidir. Bununla belə, bəzən yanlışdır, çünki xəttilik güc funksiyaları, kvadrat köklər və digər qeyri-xətti əlaqələr istisna olmaqla, yalnız 1-ci dərəcəli dəyişənlərə aiddir. Üstəlik, bu, LP probleminin funksiyalarının yalnız bir dəyişənə malik olması demək deyil. O, dəyişənlərə hər hansı əyrilik istisna olmaqla, düz xətt üzərindəki nöqtələrin koordinatları kimi baxır.
Obyektiv funksiya. Xətti proqramlaşdırma məsələlərinin və obyektivlik məsələlərinin tərtibinin əsasını istəyə görə dəyişdirilə bilən dəyişənlər, məsələn, işə sərf olunan vaxt, istehsal olunan məhsul vahidləri təşkil edir. Məqsəd funksiyası böyük “Z” hərfi ilə yazılır.
Məhdudiyyətlər. Bütün LP-lər funksiya daxilində dəyişənlərlə məhdudlaşır. Bu məhdudiyyətlər bərabərsizliklər formasını alır, məsələn, “b3” kimi, burada b müəllifin ayda yazdığı kitabların vahidlərini təmsil edə bilər. Bu bərabərsizliklər məqsəd funksiyasının necə maksimuma / minimuma endirilə biləcəyini müəyyənləşdirir, çünki birlikdə qərar sahələrini müəyyənləşdirirlər.

Tapşırıqların müəyyənləşdirilməsi şərtləri

Şirkətlər öz fəaliyyətlərində ən yüksək gəlir əldə etməyə çalışırlar, buna görə də öz resurslarından maksimum istifadə etməlidirlər: insan, material, avadanlıq, vəsait və s. LP şirkətdə ən yaxşı həlli müəyyən etməyə kömək edən faydalı alət kimi təqdim olunur.

Xətti proqramlaşdırma tapşırıqlarının yerinə yetirilməsi və tapşırıqların qoyulması üçün şərtlər xalis mənfəəti maksimuma çatdırmaq üçün lazımdır. LP problemini həll etmək üçün o olmalıdır:

Məhdudiyyətlər və ya məhdud resurslar, məsələn, məhdud sayda işçilər, maksimum müştərilər və ya istehsal itkilərinin məhdudlaşdırılması.
Məqsəd: gəliri artırmaq və ya xərcləri minimuma endirmək.
Proporsional xəttilik. Həlledici dəyişənləri yaradan tənliklər xətti olmalıdır.
Vahidlik: Qərar qəbul edən dəyişənlərin və resursların xüsusiyyətləri eynidir. Məsələn, bir insanın iş saatları eyni dərəcədə məhsuldardır və ya maşında hazırlanmış məhsullar eynidir.
Bölünmə qabiliyyəti: məhsullar və resurslar kəsr kimi göstərilə bilər.
Mənfilik yoxdur: Həlllər müsbət və ya sıfır olmalıdır.

Xətti proqramlaşdırmanın əsas məsələsinin tərtibində funksiyanın obyektivliyi məsələnin həllində əldə edilməli olan məqsədi riyazi olaraq ifadə edir. Məsələn, şirkətin mənfəətini artırmaq və ya istehsal xərclərini minimuma endirmək.

Bu, dəyişən həlli olan tənliklə təmsil olunur, burada: X 1, X 2, X 3, . X n – həll dəyişənləri; C 1, C 2, C 3, . C n sabitlərdir.

Hər bir məhdudiyyət bu atributlardan hər hansı biri ilə riyazi olaraq ifadə edilir:

(≤) -dən kiçik və ya bərabərdir. Üst limit olduqda, məsələn, əlavə iş gündə 2 saatdan çox ola bilməz.
Bərabər (=). Məcburi əlaqəni göstərir, məsələn, bitən səhm başlanğıc səhminə üstəgəl istehsal minus satışa bərabərdir.
(≥) -dən böyük və ya ona bərabərdir. Məsələn, mərtəbə olduqda, müəyyən bir məhsulun istehsalı proqnoz tələbindən yüksək olmalıdır.
Xətti proqramlaşdırma məsələsinin ümumi tərtibi məhdudiyyətlərin qoyulması ilə başlayır.
İstənilən LP tapşırığında bir və ya daha çox məhdudiyyət olmalıdır.
Məhdudiyyətlər daxilində qərar dəyişənlərinin pozitivliyi nəzərə alınmalıdır.

Tapşırıqların qoyulması mərhələləri

Xətti proqramlaşdırma məsələsinin ümumi formalaşdırılması və onun tərtibi real məsələnin həll oluna bilən riyazi tənliklər formasına çevrilməsinə aiddir.

Tam ədədli xətti proqramlaşdırma probleminin qurulması üçün addımlar:

Optimallaşdırma üçün məqsəd funksiyasının davranışını göstərən ədədi təyin edin.
Məhdudiyyətlər toplusunu tapın və onları xətti tənliklər və ya bərabərsizliklər kimi ifadə edin. Bu optimallaşdırılmış funksiyaların n ölçülü məkanında sahəni təyin edəcək.
Problem dəyişənlərinə mənfi olmayan şərt qoymaq lazımdır, yəni onların hamısı müsbət olmalıdır.
Funksiyanı xətti tənlik şəklində ifadə edin.
Xətti proqramlaşdırma məsələsinin riyazi ifadəsi yerinə yetirildikdə funksiya qrafik və ya riyazi olaraq optimallaşdırılır.

Qrafik üsul

Qrafik metod iki dəyişəndə LP tapşırıqlarını yerinə yetirmək üçün istifadə olunur. Bu üsul üç və ya daha çox həll dəyişəni olan məsələlərə şamil edilmir.

Formanın məhdudiyyətlərinə uyğun olaraq funksiyanın artırıldığı naməlum LP problemlərini maksimuma çatdırmaq üçün standart problem:

x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 və əlavə məhdudiyyətləri formalaşdırır:

Axe + By + C z +. , ≤ N,

burada A, B, C və N mənfi olmayan ədədlərdir.

Bərabərsizlik “=” və ya “≥” deyil, “≤” olmalıdır.

İki naməlum olan qrafik LP metodu aşağıdakı kimidir:

Diaqramın mümkün sahələrini təyin edin.
Nöqtələrin bucaq koordinatları hesablanır.
Optimal dəyəri görmək üçün onları əvəz edin. Bu an LP probleminin həllini verir.
Funksiya minimuma endirilib və onun əmsalları mənfi deyilsə, həll yolu mövcuddur.

Mövcud həllərin tərifi:

Ən sağ künc nöqtəsinin sağına şaquli xətt və ən yüksək künc nöqtəsindən yuxarı üfüqi xətt əlavə edərək ərazini məhdudlaşdırın.
Yeni künc nöqtələrinin koordinatları hesablanır.
Optimal dəyəri olan künc nöqtəsini tapın.
Əgər sərhədsiz domenin başlanğıc nöqtəsində baş verirsə, LP probleminin bu nöqtədə həlli var. Əgər belə deyilsə, onda onun optimal həlli yoxdur.

Həlllər toplusunun eskizinin çəkilməsi

İstinad nöqtəsini seçin və bloklanacaq ərazini qeyd edin.

Xətti proqramlaşdırma məsələsini təyin edərkən iki dəyişənin bərabərsizliyi ilə təmsil olunan sahəni çəkin. Bir nümunə üçün qısaca:

Bərabərsizliyi bərabərliklə əvəz etməklə alınan düz xətti çəkin.
Bir kəsmə nöqtəsi seçin, (0,0). Xətt əvvəldən keçərsə yaxşı seçimdir.
Əgər nəzarət nöqtəsi bərabərsizliyi ödəyirsə, onda həll dəsti nəzarət nöqtəsi ilə xəttin eyni tərəfindəki bütün sahədir. Əks təqdirdə, xəttin digər tərəfindədir.
Mümkün bölgə xətti bərabərsizliklər toplusu ilə müəyyən edilir və bütün bərabərsizlikləri təmin edən nöqtələr toplusudur.
İki dəyişənli xətti bərabərsizliklər toplusu ilə müəyyən edilmiş onu çəkmək üçün hər bir bərabərsizliklə təmsil olunan sahələri bir qrafikdə yerinə yetirin, təyyarənin lazım olmayan hissələrinə kölgə salmağı unutmayın.

Maksimallaşdırma üçün Simpleks metodu

Maksimallaşdırma üçün riyazi model ilə xətti proqramlaşdırma məsələsinin ifadəsi simpleks metodundan istifadə etməklə həyata keçirilə bilər:

Məhdudiyyətləri tənliyə çevirmək üçün zəif dəyişənləri təqdim etməklə məlumatları tənliklər sisteminə çevirin və funksiyanı standart formaya yenidən yazın.
Orijinal cədvəl yazılır.
Yayılan sütunu, ən sağdakı giriş istisna olmaqla, aşağı cərgədə ən böyük dəyəri olan mənfi ədədi seçin. Onun sütunu əsasdır. İki namizəd varsa, birini seçin. Ən sağdakı giriş istisna olmaqla, aşağı cərgədəki bütün nömrələr sıfır və ya müsbətdirsə, onda hər şey hazırdır və əsas həll məqsəd funksiyasını maksimuma çatdıracaqdır.
Sütundakı çubuğu seçin. Ox həmişə müsbət ədəd olmalıdır. Xülasə sütununda hər bir müsbət “b” girişi üçün “a / b” nisbəti hesablanır, burada “a” həmin sətirdə cavabdır. Minimum test əmsallarından seçilir, sonra müvafiq sayı “b” ox olacaq.
Sütunu adi şəkildə təmizləmək üçün çubuqdan istifadə edin, Gauss-Jordan metodu təlimatında təsvir olunduğu kimi simli manipulyasiya üçün təlimatlara əməl etməyə diqqət yetirin və sonra sütunu etiketlə dəyişdirin.
İlkin olaraq xülasə sətirini bildirən dəyişən gedən, sütunu bildirən dəyişən isə daxil olandır.

Simpleks metodunda istənilən cədvələ uyğun olan əsas həlli əldə etmək üçün sıra etiketləri kimi göstərilməyən bütün dəyişənlər sıfıra təyin edilir. Göstərilən sətir etiketinin (aktiv dəyişən) dəyəri eyni dəyişən ilə işarələnmiş sütundakı həmin sətirdəki nömrəyə bölünən cərgənin ən sağ sütununda olan ədəddir.

Qeyri-standart məhdudiyyətlər

Müsbət N olan forma məhdudiyyətləri (Ax + By +., .≥ N) ilə LP məsələsini həll etmək üçün əlavə dəyişən sol tərəfdən (zəif dəyişən əlavə etmək əvəzinə) çıxarılır. Orijinal cədvələ uyğun olan əsas həll mümkün olmayacaq, çünki bəzi aktiv dəyişənlər mənfi olacaq. Buna görə də, ilkin dönüş qaydaları yuxarıda göstərilənlərdən fərqlidir.

Sonra, hədəf istisna olmaqla, əlaqəli aktiv dəyişən üçün mənfi dəyər verən bütün sətirlər qeyd olunur. İşarələnmiş xətlər varsa, I mərhələdən başlamaq lazımdır.

Mərhələ I. Birinci sətirdə ən böyük müsbət ədədi tapın. Bu sütunda xülasə tapmaq üçün əvvəlki bölmədə olduğu kimi test əmsallarından istifadə edir və sonra həmin qeydi genişləndirir. İşarələnmiş xətlər olmayana qədər təkrarlayın, sonra II mərhələyə keçin.

Mərhələ II standart maksimumlaşdırma problemi üçün simpleks metodundan istifadə edir. I mərhələdən sonra aşağı sol cərgədə mənfi dəyərlər varsa, standart maksimumlaşdırma problemləri metodundan istifadə edin.

Simpleks üsulu ilə həll edilə bilən oyun nümunəsi.

Onlayn alət PHPSimplex

İndiki vaxtda texnoloji vasitələr peşəkar həyatın bir çox fəaliyyətini asanlaşdırır və LP problemlərinin həlli üsulları da istisna deyil. Onların üstünlüyü ondan ibarətdir ki, İnternetə çıxışı olan istənilən kompüterdən optimal həlli əldə edə bilərsiniz.

PHPSimplex LP problemlərini həll etmək üçün əla onlayn vasitədir. Bu proqram dəyişənlərin və məhdudiyyətlərin sayına heç bir məhdudiyyət qoymadan problemləri həll edə bilər. İki dəyişənli problemlər üçün o, qrafik həllini nümayiş etdirir və optimal həllin hesablanması prosesini sadə və başa düşülən şəkildə təqdim edir. O, istifadəçiyə yaxın, istifadəsi asan və intuitiv, bir neçə dildə mövcud olan dostluq interfeysinə malikdir.

WanerMath: Sərhədsiz Proqramlar

Warneth xətti proqramlaşdırma məsələlərini həll etmək üçün 2 alət təqdim edir:

Xətti proqramlaşdırma cədvəli (iki dəyişən).
Simpleks metodu.

Yalnız əmsalların qoyulduğu digər alətlərdən fərqli olaraq, burada dəyişənləri olan bütün funksiyalar daxil edilir. Bu, təcrübəsiz istifadəçilər üçün böyük problem deyil, çünki profil saytında istifadə üçün təlimatlar var. Bundan əlavə, saytda avtomatik olaraq tapşırıqlar yaradan “Nümunələr” funksiyası var ki, istifadəçi öz işini qiymətləndirə bilsin, məsələn, xətti proqramlaşdırmanın daşınması məsələsini təyin edərkən.

JSimplex başqa bir onlayn vasitədir. Dəyişənlərin sayını məhdudlaşdırmadan LP problemlərini həll etməyə imkan verir. Məqsədi və dəyişənlərin sayını təyin etməyi təklif edən sadə idarəetmə interfeysinə malikdir. İstifadəçi məqsəd funksiyasının əmsallarını, məhdudiyyətləri və “həll et” üzərinə klikləri yazır. Hər bir dəyişən üçün inteqrasiya, ən yaxşı hal hesablamaları və nəticələr göstəriləcək.

Gördüyünüz kimi, bu alətlər xətti proqramlaşdırma həlli prosedurlarını asan öyrənmək üçün son dərəcə faydalıdır.

Sadə LP nümunəsi

Şirkət portativ və elmi kalkulyatorlar istehsal edir. Uzunmüddətli proqnozlar 150 elmi və 100 portativ kalkulyatora gözlənilən gündəlik ehtiyacı göstərir. Gündəlik istehsal gücü gündə 250-dən çox elmi və 200 portativ kalkulyator istehsal etməyə imkan verir.

Çatdırılma müqaviləsini yerinə yetirmək üçün minimum 250 kalkulyator istehsal edilməlidir. Birinin həyata keçirilməsi – 20 rubl itkiyə səbəb olur, lakin hər bir manual kalkulyator 50 rubl mənfəət gətirir. Maksimum xalis mənfəət əldə etmək üçün hesablama aparmaq lazımdır.

Xətti proqramlaşdırma məsələlərinin qoyulması nümunəsinin icrası üçün alqoritm:

Dəyişən həllər. Kalkulyatorların optimal sayı təyin olunduğundan, onlar bu məsələdə I dəyişənləri olacaqlar: x – elmi kalkulyatorların sayı, y – daşına bilənlərin sayı.
Limitlər müəyyən edilir, çünki şirkət gündə mənfi sayda kalkulyator istehsal edə bilmədiyi üçün təbii məhdudiyyət belə olacaq: x ≥ 0, y ≥ 0.
Aşağı hədd: x ≥ 150, y ≥ 100.
Bu dəyişənlər üçün yuxarı hədd şirkət tərəfindən istehsala qoyulan məhdudiyyətlərə görə müəyyən edilir: x ≤ 250, y ≤ 200.
Minimum göndərmə sifarişinə görə “x” və “y” dəyərlərində birgə məhdudiyyət: x + y ≥ 250
Xalis mənfəət funksiyasını optimallaşdırın: P = -20x + 50y.
Məsələnin həlli: maksimumlaşdırma P = -20x + 50y, bu şərtlə ki, 150 ≤ x ≤ 250; 100 ≤ y ≤ 200; x + y ≥ 250.

İstifadə sahələri

Xətti proqramlaşdırmanın tətbiqləri arasında ən çox yayılmışları:

Satış və əməliyyatların məcmu planlaşdırılması. Məqsəd gözlənilən tələbi ödəməklə yanaşı, üç və altı ay kimi qısa müddətdə istehsal xərclərini minimuma endirməkdir.
Məhsulun planlaşdırılması: Məhsulların müxtəlif resurslar tələb etdiyini və fərqli xərclərə malik olduğunu nəzərə alaraq, onların optimal birləşməsini tapın. Nümunə olaraq, benzin, boyalar, insan pəhrizləri və heyvan yemi üçün kimyəvi elementlərin optimal qarışığını tapa bilərsiniz.
İstehsal axını: hər birinin öz xərcləri və istehsal xüsusiyyətləri olan bir neçə iş prosesindən ardıcıl keçməli olan məhsulun istehsalı üçün optimal axını müəyyənləşdirin.
Nəqliyyat xətti proqramlaşdırma məsələsinin ifadəsi, daşınma qrafiki. Metod müştərilərə xidmət göstərmək və ya müxtəlif yerlər arasında daşınacaq materialları qəbul etmək üçün müəyyən sayda nəqliyyat vasitəsi üçün çoxlu marşrutları proqramlaşdırmaq üçün istifadə olunur. Hər bir avtomobilin müxtəlif faydalı yükü və performansı ola bilər.
İnventarın idarə edilməsi: satış şəbəkəsində anbarda mövcud olacaq məhsulların optimal birləşməsinin müəyyən edilməsi.
İşçi Qüvvəsinin Proqramlaşdırılması: Mümkün olan minimum sayda işçi ilə istedada gözlənilən dəyişən tələbata cavab verən işçi qüvvəsi planı hazırlayın.
Tullantılara nəzarət: Xətti proqramlaşdırma ilə siz tullantıları minimuma endirməyi hesablaya bilərsiniz.

Bunlar xətti proqramlaşdırma üçün daha çox yayılmış istifadələrdən bəziləridir. Ümumiyyətlə, yuxarıda göstərilən şərtlərə cavab verən istənilən optimallaşdırma problemi ondan istifadə etməklə həll edilə bilər.

Xətti proqramlaşdırma

Linear proqramlaşdırma xüsusi tapşırıqlar nəzəri və metodoloji əsaslarının öyrənilməsi həyata keçirilir riyaziyyat ən əhəmiyyətli biridir. riyaziyyat bu sahədə geniş son rol riyazi planlaşdırma və avtomatlaşdırılmış hesablama sistemlərinin istifadəsi ilə çalınır deyil müxtəlif iqtisadi və texniki sahələrdə son illərdə istifadə olunur. bu elm sahəsinin xətti optimallaşdırma modelləri öyrənilməsinə həsr. Yəni xətti proqramlaşdırma ədəd həsr. İlk dəfə bu müddət 1951-ci ildə T. Koopmans tərəfindən təklif olunub. Proqramın hər xətti Optimal plan avtomatik olaraq optimal qiymət səviyyəsi, ki, obyektiv müəyyən təxminlər ilə bağlı.

Xətti proqramlaşdırma: üsulları

bir texnikanın köməyi ilə xətti proqramlaşdırma iqtisadiyyatı ilə bağlı ekstremal problemləri kifayət qədər bir sıra həll edilə bilər. Bu halda, adətən bir dəyişən funksiyalarının bəzi ifrat dəyərlər tapmaq üçün tələb olunur. xətti proqramlaşdırma əsas ifadə kimi həlli xətti tənliklər tənliklər və bərabərsizliklər çevrildi bilər. proqramlaşdırma bu növü riyazi hazırlanması dəyişənlərin, ardıcıllığı və hesablanması və məntiqi təhlili proseduru müəyyən ilə xarakterizə olunur. Bu tətbiq edilir:

– riyazi müəyyənlik və tədqiq amillər və dəyişənlər arasında kəmiyyət məhdudiyyətləri olduqda;

– ardıcıllıqla hesablamalar vasitəsilə Değişim amillər olduqda;

– hadisələrin mahiyyəti anlayışı ilə birlikdə riyazi məntiq halda öyrənilir.

xətti proqramlaşdırma sənaye istehsalı bütün maşın, istehsal xətləri, Mexaniki avadanlığın optimal performansı hesablanması, eləcə də mövcud materialları problemlərin səmərəli istifadə qərarı verir.

kənd təsərrüfatı, bu metodu istifadə edərkən feed mövcud məbləği ilə pəhriz qidalanma minimum dəyəri müəyyən edilir. Bu nəzərə növ və müəyyən qida tərkibi edir.

tökmə sənayesi, bu texnika siz nəqliyyat problemi və qarışıqların probleminə həll tapmaq üçün imkan verir metallurgiya pulsuz hissəsidir. bu halda nəqliyyat probleminin mahiyyəti məhsullarının istehsalı ilə məşğul olan müəssisələrin müəssisələrin aparan optimal əlavə daxildir.

Xətti proqramlaşdırma: problem

xətti proqramlaşdırma üsulları ilə həll bütün iqtisadi problemlərin bir fərqləndirici xüsusiyyət müəyyən qərar variantlar, o cümlədən məhdudiyyətlər seçim edir. bu problemin həlli sayəsində bütün alternativ yaxşı həll tapa bilmir.

iqtisadiyyatda xətti proqramlaşdırma üsulları istifadə böyük bir dəyəri caiz mümkün hesab olunur variantları çox sayda optimal variant seçimdir. Bu cür problemlər onlar səmərəli istifadə dərəcəsini tapmaq üçün imkan verir, belə ki, qısa müddətdə, digər yollarla həll etmək demək olar ki, mümkün deyil məhsuldar resursları. əsas vəzifəsi istehsalçı çatdırılması zamanı istehlak mallarının dövriyyəsi azaltmaq lazımdır nəqliyyat, belə xətti proqramlaşdırma köməyi ilə icazə verilir.

Excel Linear proqramlaşdırma

Bu problemlərin həlli prosesində riyazi dildə şərait hazırlanması nəzərdə bir model yaratmaq başlayacaq. Bu addım sonra, bir qrafik metodu vasitəsilə bir həll tapa bilərsiniz. xüsusi funksiyası Excel bu “həlləri üçün axtarış var”.

Yuxarıda, xətti proqramlaşdırma aydın olduğu kimi tətbiq olduqca geniş əhatə dairəsi var.