Rti ehtimal: düstur və tənliklər, xassələr, nümunələr

V fəsildə korrelyasiya və reqressiya məsələlərinə baxılmışdır. Bu fəsil üç paraqrafdaıı ibarətdir. Birinci paraqrafda kovariyasiya və oııuıı xassələri haqqında anlayış, ikinci paraqrafda korrelyasiya nəzəriyyəsinin elementləri və onun kovariyasiya ilə əlaqəsi, üçüncü paraqrafda isə korrelyasioıı asılılıq və xətti reqressiya verilmişdir.

MÃ¼ÅahidÉ nÉticÉlÉrinin riyazi araÅdÄ±rÄ±lmasÄ±

Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.

5.2.1. Düzbucaqlılar düsturu………………………………..163 5.2.2. Trapeslər düsturu……………………………………..165 5.2.3. Parabolalar üsulu (Simpson düsturu) ………………. 166 5.2.4. Çebışevin kvadratur düsturu haqqında anlayış…….170 6. ADİ DİFFERENSİAL TƏNLİKLƏRİN TƏQRİBİ HƏLLİ……………………………………………175 6.1. Koşi məsələləri……………………………………….177 6.1.1 Sıralar vasitəsilə differensial tənliklərin inteqrallanması……………………………………………….177 6.1.2. Ardıcıl yaxınlaşma üsulu…………………………….181 6.1.3. Ədədi inteqrallama üsulu…………………………….184 6.1.4. Eyler üsulu ilə birtərtibli differensial tənliklərin təqribi həlli………………………………………………….188 6.1.5. Runqe-Kuttüsulu……………………………………..191 6.1.6 Teylor düsturuna əsaslanaraq fərqlər üsulu ilə differensial tənliklərin təqribi hesablanması ………………..194 6.1.7. Miln üsulu……………………………………………201 6.1.8. Eyler üsulu ilə (qrafık üsulla) differensial tənliklərin həlli……………………………………………….207 6.2. Adi differensial tənliklər üçün sərhəd məsələləri……211 6.2.1. Sərhəd məsələsinin ümumi qoyuluşu ………………. 211 6.2.2. Xətti sərhəd məsələləri……………………………….213 6.2.3. İkitərtibli xətti differensial tənliklər üçün iki nöqtəli Koşi məsələsinə reduksiya…………………………. 214 6.2.4. Sonlu fərqlər üsulu…………………………………217 6.2.5. Kollokasiya üsulu…………………………………….223 6.2.6. Ən kiçik kvadratlar üsulu…………………………….226 6

6.2.7. Qalerkin üsulu. 228 7. EHTİMAL NƏZƏRİYYƏSİ VƏ RİYAZİ STATİSTİKA ………………………………………………..231 7.1. Ehtimal nəzəriyyəsi…………………………………..231 7.1.1. Təsadüfi hadisələr……………………………………231 7.1.2. Ehtimalın klassik tərifi……………………………….233 7.1.3. Ehtimalların toplanması teoremi……………………..235 7.1.4. Ehtimalların vurulması teoremi……………………. 237 7.1.5. Tam ehtimal və Bayes düsturları. 238 7.1.6. Sınaqların təkrar olunması. 239 7.1.7 Bernulli düsturu ………………………………………..240 7.1.8. Laplasın lokal teoremi………………………………..241 7.1.9. Laplasın inteqral teoremi…………………………….243 7.2. Diskret və kəsilməz təsadüfi kəmiyyətlər……………245 7.2.1. Diskret və kəsilməz kəmiyyətlər…………………….245 7.2.2. Binomial payianma…………………………………..247 7.2.3 Puasson paylanması………………………………….249 7.2.4 Diskret təsadüfi kəmiyyətlərin riyazi gözləməsi…….251 7.2.5. Riyazi gözləmənin ehtimal mənası……………………252 7.2.6 Riyazi gözləmənin xassələri………………………….253 7.2.7. Diskret təsadüfi kəmiyyətlərin dispersiyası………….254 7.2.8. Təsadüfi kəmiyyətin onun riyazi gözləməsindən meyli………………………………….255 7.2.9. Diskret təsadüfi kəmiyyətlərin dispersiyası və onun hesablama düsturu…………………………….……256 7.2.10. Dispersiyanın xassələri………………………………259 7.2.1 l.Orta kvadratik meyl………………………………….261 7

Page 1 and 2: T.Q.MƏLİKOV MÜŞAHİDƏ NƏTİC
Page 3 and 4: MÜNDƏRİCAT MÜƏLLİFDƏN.
Page 5: 3.3. Funksiyanın nöqtəvi kvadrat
Page 9 and 10: seçilmiş tənliyinin parametrlər
Page 11 and 12: Geofizika və Mühəndis Geoloqiyas
Page 13 and 14: üçün gərəkli və xeyrli olacaq
Page 15: Elə buna görə də həm ölkəmiz
Page 32 and 33: 1.2. Ölçmə xətalarının növl
Page 34 and 35: orqanlarının vəziyyəti ölçmə
Page 100 and 101: 100
Page 102 and 103: 102
Page 104 and 105: 104
Page 106 and 107: 106
Page 108 and 109: 108
Page 110 and 111: 110
Page 112 and 113: 112
Page 114 and 115: 114
Page 116 and 117: 116
Page 118 and 119: 118
Page 120 and 121: 120
Page 122 and 123: 122
Page 124 and 125: 124
Page 126 and 127: 126
Page 128 and 129: 128
Page 130 and 131: 130
Page 132 and 133: 132
Page 134 and 135: 134
Page 136 and 137: 136
Page 138 and 139: 138
Page 140 and 141: 140
Page 142 and 143: 142
Page 144 and 145: 144
Page 146 and 147: 146
Page 148 and 149: 148
Page 150 and 151: 150
Page 152 and 153: 152
Page 154 and 155: 154
Page 156 and 157: 156
Page 158 and 159: 158
Page 160 and 161: 160
Page 162 and 163: 162
Page 164 and 165: 164
Page 166 and 167: 166
Page 168 and 169: 168
Page 170 and 171: 170
Page 172 and 173: 172
Page 174 and 175: 174
Page 176 and 177: 176
Page 178 and 179: 178
Page 180 and 181: 180
Page 182 and 183: 182
Page 184 and 185: 184
Page 186 and 187: 186
Page 188 and 189: 188
Page 190 and 191: 190
Page 192 and 193: 192
Page 194 and 195: 194
Page 196 and 197: 196
Page 198 and 199: 198
Page 200 and 201: 200
Page 202 and 203: 202
Page 204 and 205: 204
Page 206 and 207: 206
Page 208 and 209: 208
Page 210 and 211: 210
Page 212 and 213: 212
Page 214 and 215: 214
Page 216 and 217: 216
Page 218 and 219: 218
Page 220 and 221: 220
Page 222 and 223: 222
Page 224 and 225: 224
Page 226 and 227: 226
Page 228 and 229: 228
Page 230 and 231: 230
Page 232 and 233: 232
Page 234 and 235: 234
Page 236 and 237: 236
Page 238 and 239: 238
Page 240 and 241: 240
Page 242 and 243: 242
Page 244 and 245: 244
Page 246 and 247: 246
Page 248 and 249: 248
Page 250 and 251: 250
Page 252 and 253: 252
Page 254 and 255: 254
Page 256 and 257: 256
Page 258 and 259: 258
Page 260 and 261: 260
Page 262 and 263: 262
Page 264 and 265: 264
Page 266 and 267: 266
Page 268 and 269: 268
Page 270 and 271: 270
Page 272 and 273: 272
Page 274 and 275: 274
Page 276 and 277: 276
Page 278 and 279: 278
Page 280 and 281: 280
Page 282 and 283: 282
Page 284 and 285: 284
Page 286 and 287: 286
Page 288 and 289: 288
Page 290 and 291: 290
Page 292 and 293: 292
Page 294 and 295: 294
Page 296 and 297: 296
Page 298 and 299: 298
Page 300 and 301: 300
Page 302 and 303: 302
Page 304 and 305: 304
Page 306 and 307: разностных схем. М.:
Page 308 and 309: 41. Хованский А.Н. Пр
Page 310 and 311: 310

Şərti ehtimal: düstur və tənliklər, xassələr, nümunələr

The şərti ehtimal Müəyyən bir hadisənin baş vermə ehtimalı, çünki başqa bir şərt şərt olaraq meydana gəlir. Bu əlavə məlumat, bir şeyin baş verəcəyi algısını dəyişdirə bilər (dəyişdirə də bilməz).

Məsələn, özümüzə sual verə bilərik: “İki gündür yağış yağmadığını nəzərə alsaq, bu gün yağış yağma ehtimalı nə qədərdir?” Ehtimalını bilmək istədiyimiz hadisə bu gün yağış yağmasıdır və cavabı şərtləndirəcək əlavə məlumat “iki gündür yağış yağmır”.

Bir olun ehtimal boşluğu Ω (nümunə sahəsi), ℬ (təsadüfi hadisələr) və P (hər hadisənin ehtimalı) və ℬ-yə aid olan A və B hadisələrindən ibarətdir.

P (A│B) kimi göstərilən B-nin baş verdiyini nəzərə alaraq A-nın baş vermə şərti ehtimalı aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A və B) / P (B)

Burada: P (A) A-nın meydana gəlmə ehtimalı, P (B) B hadisəsinin ehtimalı və 0-dan fərqli, P (A∩B) isə A ilə B arasındakı kəsişmənin ehtimalı, yəni , hər iki hadisənin baş vermə ehtimalı (birgə ehtimal).

Bu, 1763-cü ildə İngilis ilahiyyatçı və riyaziyyatçı Thomas Bayes tərəfindən irəli sürülən iki hadisəyə tətbiq olunan Bayes teoreminin ifadəsidir.

Xüsusiyyətlər

-Bütün şərti ehtimal 0 ilə 1 arasındadır:

-Bu hadisənin baş verdiyini nəzərə alaraq A hadisəsinin baş vermə ehtimalı açıq şəkildə 1-dir:

P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1

-İki hadisə müstəsna, yəni eyni vaxtda baş verə bilməyəcək hadisələrdirsə, kəsişmənin sıfır olduğu üçün onlardan birinin baş vermə şərti ehtimalı 0 olur:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0

-B, A-nın alt hissəsidirsə, şərti ehtimal da 1-dir:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1

Vacibdir

P (A│B) ümumiyyətlə P (B│A) -yə bərabər deyil, bu səbəbdən şərti ehtimal taparkən hadisələri dəyişdirməməyə diqqət yetirməliyik.

Çarpmanın ümumi qaydası

Şərti ehtimaldan çox, ortaq ehtimal P (A∩B) tapmaq istəyirsən. Sonra aşağıdakı teorem vasitəsilə əldə etdik:

P (A∩B) = P (A və B) = P (A│B). P (B)

Teorem üç hadisə A, B və C üçün genişləndirilə bilər:

P (A∩B∩C) = P (A və B və C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)

Həm də A kimi müxtəlif tədbirlər üçün₁, TO₂, TO₃ və daha çoxunu belə ifadə etmək olar:

Ardıcıllıqla və müxtəlif mərhələlərdən keçən hadisələr olduqda, məlumatları bir diaqramda və ya bir cədvəldə təşkil etmək rahatdır. Bu, tələb olunan ehtimala çatma variantlarını əyani şəkildə göstərməyi asanlaşdırır.

Buna nümunələr ağac diaqramı və fövqəladə vəziyyət cədvəli. Onlardan birindən birini qura bilərsiniz.

Şərti ehtimal nümunələri

Bir hadisənin başqasının baş verməsi ilə ehtimallarının dəyişdirildiyi bəzi vəziyyətlərə baxaq:

– Nümunə 1

Şirin bir dükanda iki növ tort satılır: çiyələk və şokolad. Hər iki cinsdən olan 50 müştərinin üstünlüklərini qeyd etməklə aşağıdakı dəyərlər müəyyən edildi:

-27 qadın, onlardan 11-i çiyələk tortu və 16 şokoladı üstün tutur.

-23 kişi: 15 nəfər şokolad və 8 çiyələk seçir.

Bir müştərinin şokolad tortu seçmə ehtimalı, hər hansı bir hadisənin baş vermə ehtimalı olan Laplasın qaydasını tətbiq etməklə müəyyən edilə bilər.

P = əlverişli hadisələrin sayı / tədbirlərin ümumi sayı

Bu vəziyyətdə, 50 müştəridən, ümumilikdə 31 nəfər şokolada üstünlük verir, buna görə ehtimal P = 31/50 = 0.62 olacaqdır. Yəni müştərilərin% 62-si şokoladlı torta üstünlük verir.

Ancaq müştəri qadındırsa, fərqli olarmı? Bu şərti bir ehtimal halındadır.

Fövqəladə vəziyyət cədvəli

Bunun kimi bir cədvəldən istifadə edərək cəmi asanlıqla göstərilir:

Sonra əlverişli hallar müşahidə olunur və Laplasın qaydası tətbiq olunur, amma əvvəlcə hadisələri müəyyənləşdiririk:

-B “qadın müştəri” hadisəsidir.

-Bir qadın olmaq üçün “şokoladlı torta üstünlük vermək” hadisəsidir.

“Qadınlar” etiketli sütuna gedirik və orada cəmi 27 olduğunu görürük.

Sonra əlverişli vəziyyət “şokolad” sırasında axtarılır. Bu hadisələrdən 16-sı var, buna görə axtarılan ehtimal birbaşadir:

P (A│B) = 16/27 = 0.5924

Qadın müştərilərin 59,24% -i şokoladlı torta üstünlük verir.

Bu dəyər, əvvəlcə verilən şərti ehtimalın tərifi ilə qarşılaşdırdığımız zaman üst-üstə düşür:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B)

Laplasın qaydasını və cədvəl dəyərlərini istifadə etdiyimizə əminik:

P (A və B), müştərinin şokolada üstünlük verməsi və qadındır. İndi dəyərlər dəyişdirilir:

P (A│B) = P (A və B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0.5924.

Və nəticənin eyni olduğu sübut edilmişdir.

– Nümunə 2

Bu nümunədə vurma qaydası tətbiq olunur. Bir mağazada üç ölçülü şalvar olduğunu düşünək: kiçik, orta və böyük.

Hər ölçüsü 8 olan və hamısı qarışıq olan cəmi 24 şalvar olan bir partiyada, ikisinin çıxarılması və ikisinin də kiçik olması ehtimalı nə olardı?

İlk cəhddə kiçik bir şalvar çıxarmaq ehtimalı 8/24 = 1/3 olduğu aydındır. İndi ikinci çıxarılma ilk hadisə ilə şərtlidir, çünki bir şalvar çıxardıqda artıq 24 yox, 23 var. Və kiçik bir şalvar çıxarılarsa, 8 deyil, 7 var.

A hadisəsi, ilk cəhddə başqa bir şalvar çəkərək bir kiçik şalvar çəkir. Və B hadisəsi ilk dəfə kiçik şalvar olanıdır. Beləliklə:

P (B) = 1/3; P (A│B) = 7/24

Nəhayət, vurma qaydasından istifadə edərək:

P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0.097

Məşq həll edildi

Ticarət hava uçuşlarında dəqiqliyi araşdırarkən aşağıdakı məlumatlar mövcuddur:

-P (B) = 0.83, təyyarənin vaxtında qalxma ehtimalıdır.

-P (A) = 0.81, vaxtında eniş ehtimalıdır.

-P (B∩A) = 0.78 uçuşun vaxtında qalxma vaxtında gəlməsi ehtimalıdır.

a) Təyyarənin vaxtında qalxdığı nəzərə alınaraq vaxtında eniş ehtimalı nə qədərdir?

b) Yuxarıda göstərilən ehtimal vaxtında enməyi bacardığınız təqdirdə buraxdığınız ehtimalla eynidirmi?

c) Və nəhayət: vaxtında çatma ehtimalı nədir yox vaxtında çıxdı?

Həll

Suala cavab vermək üçün şərti ehtimalın tərifi istifadə olunur:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A və B) / P (B) = 0.78 /0.83 = 0.9398

Həll b

Bu halda tərifdəki hadisələr dəyişdirilir:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A və B) / P (A) = 0.78 /0.81 = 0.9630

Qeyd edək ki, bu ehtimal əvvəlcədən işarə etdiyimiz kimi əvvəlkindən bir qədər fərqlidir.

Həll c

Vaxtında çıxmamaq ehtimalı 1 – P (B) = 1 – 0.83 = 0.17, buna P (B) deyəcəyik C ), çünki vaxtında havaya qalxmaq bir-birini tamamlayan hadisədir. Axtarılan şərti ehtimal:

P (A│B C ) = P (A∩B C ) / P (B C ) = P (A və B C ) / P (B C )

P (A∩B C ) = P (vaxtında eniş) – P (vaxtında eniş və vaxtında qalxmaq) = 0.81-0.78 = 0.03

Bu halda axtarılan şərti ehtimal:

P (A│B C ) = 0.03 / 0.17 = 0.1765

İstinadlar

Canavos, G. 1988. Ehtimal və Statistika: Tətbiqlər və metodlar. McGraw Hill.
Devore, J. 2012. Mühəndislik və Elm üçün ehtimal və statistika. 8-ci. Nəşr. Cengage.
Lipschutz, S. 1991. Schaum Seriyası: Ehtimal. McGraw Hill.
Obregón, I. 1989. Ehtimal nəzəriyyəsi. Redaksiya limusu.
Walpole, R. 2007. Mühəndislik və Elmlər üçün ehtimal və statistika. Pearson.
Vikipediya. Şərti ehtimal. Es.wikipedia.org saytından bərpa edildi.

Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistikanın əsasları

Təqdim olunan bu kitab, yəni «Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistikanın əsasları» kitabı beş fəsildən və 48 pa-raqrafdan ibarətdir.

Kitabın birinci fəsilində hadisələr və onların ehtimalı məsələsinə baxılmışdır. Burada bir neçə para qraf verilmişdir. Birinci paraqrafda sınaqlar və hadisələr, ikinci paraq-rafda təsadüfi hadisələrin nisbi tezliyi və ehtimal anlayışları məsələsinə baxılmışdır. Üçüncü, dördüncü və beşinci paraq-raflarda elementar hadisələr fəzası, təsadüfi hadisələr üzərində əməllər və hadisələr cəbri verilmişdir.

Kitabın altıncı, yeddinci və səkkizinci paraqrafların-da hadisələrin ehtimalı və ehtimal nəzəriyyəsinin aksiomları, ehtimalın klassik tərifi, hadisələrin ehtimalının xassələri, doqquzuncu paraqrafda birləşmələr nəzəriyyəsi, onuncu paraqrafda ehtimalın həndəsi tərifi verilərək ona aid misal, paraqraf on bir, on iki, on üçdə isə şərti ehtimal, hadisələrin hasilinin ehtimalı, asılı olmayan hadisələr, tam ehtimal və Bayes düsturları, on dördüncü, on beşinci, on altıncı paraqraflannda asılı olmayan sınaqlar, Bernulli düsturu, asılı olmayan sınaqlarda ən böyük ehtimallı ədəd və asimptotik düsturlar verilmişdir.

Kitabın II fəslində səkkiz paraqraf verilmişdir. Birinci paraqrafda təsadüfi kəmiyyətlər anlayışı və onların xassələri verilmişdir. İkinci paraqrafda təsadüfi kəmiyyətlərin paylanma funksiyası və onun xassələri,üçüncü paraqrafda diskret və kəsilməz paylanmalar, dördüncü paraqrafda çoxölçülü təsadüfi kəmiyyətlər və onların paylanma funksiyaları, beşinci, altıncı, yeddinci, səkkizinci paraqraflarda asılı və asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətlər, riyazi gözləmə və onun xassələri, dispersiya və onun xassələri, təsadüfi kəmiyyətin medianı, kvantili, modası və momenti verilmişdir.

III fəsildə böyük ədədlər qanuni verilmişdir. Bu fəsildə on dörd paraqraf var.

Birinci, ikinci, üçüncü paraqraflarda kütləvi hadisələr və böyük ədədlər qanunun mahiyyəti, Çebişev bərabərsizliyi və Çebişev teoremi, dördüncü, beşinci paraqraflarda mərkəzi limit teoremi əri və xarakteristik funksiyalar, Lindeber-Levi teoremi, paraqraf altıda təsadüfi funksiyalar, yeddidə isə, ehtimalın çoxölçülü sıxlıq funksiyası, səkkizinci paraqrafda təsadüfi funksiyanın xarakteristikasına baxılaraq, doqquzuncu paraqrafda bu funksiyanın törəməsi inteqralının xarakteristikası, onuncu paraqrafda kompleks təsadüfi kəmiyyət və funksiya anlayışı, on birinci, on ikinci, on üçüncü və on dördüncü paraqraflarıııda stasionar təsadüfi funksiyalar, artımları asılı olmayan proseslər, Markov zənciri və prosesləri haqqında əsas anlayışlar, kəsilməz parametrli Markov zəncirləri verilmişdir.

Qeyd edək ki, kitabın IV fəslində riyazi statistikanın elementləri verilmişdir, bu fəsil səkkiz paraqrafdaıı ibarətdir. Bu fəslin birinci paraqrafıııda riyazi statistikanın məsələləri, ikinci paraqrafda seçmənin ədədi xarakteristikaları, üçüncü paraqrafda seçmənin statistik paylanması, dördüncü paraqrafda oıta kəmiyyətlər, beşinci paraqrafda seçmə orta və dispersiyanın hesablanmasında hasil üsulu, altıncı paraqrafda ümumi yığım parametrlərinin qiymətləndirilməsi və qiymətlərin dəqiqliyi, etibarlılıq intervalı, yeddinci paraqrafda biııomial paylanmada nisbi tezliyə görə ehtimalın momentləri və həqiqətə ən çox oxşarlıq üsulu ilə paylanmaların parametrlərinin qiymətləndirilməsi, səkkizinci paraqrafda isə statistik hipotezləriıı yoxlanması verilmişdir.