Üçbucaqlar

Üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi 180°-yə bərabərdir. Üçbucağın xarici bucağı onunla qonşu olmayan iki daxili bucağın cəminə bərabərdir.

Üçbucaq

Üç təpəsi və üç tərəfi olan qapalı həndəsi fiqura üçbucaq deyilir.

Təpələri $A$, $B$ və $C$ olan üçbucağı $\triangle ABC$ ilə işarə edirlər. Həmçinin $\triangle BCA$, $\triangle CAB$, $\triangle CBA$, və s. kimi işarələmələr də doğrudur. Şəkildəki üçbucağın tərəfləri $AB$, $AC$ və $BC$-dir. Bu üçbucağın təpə bucaqlarını $\angle A$, $\angle B$ və $\angle C$ ilə işarə edirlər.

$AB$ tərəfinin uzunluğunu $|AB|$ kimi işarə edirlər. Söhbət uzunluqdan getdiyi məlum olduğu halda sadəcə olaraq $AB$ kimi işarələmə də mümkündür. Üçbucağın bütün tərəflərinin uzunluqları cəminə onun perimetri deyilir və $P_$ kimi işarə edilir.
$$P_ = |AB|+|AC|+|BC|$$
Bütün tərəfləri və bucaqları uyğun olaraq bir-birinə bərabər olan üçbucaqlar bərabər üçbucaqlar adlanır. Yəni bu üçbucaqları sürüşdürüb üst-üstə salsaq, biri o biri üçbucağı tamamilə örtəcək.

Median. Üçbucağın təpəsini qarşı tərəfin ortası ilə birləşdirən düz xətt parçasına median deyilir.

Hündürlük. Üçbucağın təpəsindən qarşı tərəfin yerləşdiyi xəttə çəkilən perpendikulyara onun hündürlüyü deyilir.

Tənbölən. Üçbucağın təpə bucağını yarı bölüb, bu təpəni qarşı tərəf üzərindəki nöqtə ilə birləşdirən parçaya hündürlük deyilir.

İstənilən üçbucağın üç təpə və üç tərəfi olduğu üçün üç medianı, üç tənböləni və üç hündürlüyü vardır.

Bərabəryanlı üçbucaq

İki tərəfi bərabər olan üçbucağa bərabəryanlı üçbucaq deyilir. Bu bərabər tərəflərə bərabəryanlı üçbucağın yan tərəfləri, üçüncü tərəfə isə oturacağı deyilir.

Bütün tərəfləri bərabər olan üçbucağa bərabərtərəfli üçbucaq deyilir. Bərabərtərəfli üçbucağa düzgün üçbucaq da deyirlər. İstənilən bərabərtərəfli üçbucaq həm də bərabəryanlıdır.

Teorem: Bərabəryanlı üçbucağın oturacaqdakı bucaqları bərabərdir.

İsbatı: Tutaq ki, $\triangle ABC$-də $AB=AC$. İsbat edək ki, $\angle B=\angle C$. $A$ təpəsindən $AF$ tənböləni çəksək üçbucaqların bərabərliyinin birinci əlamətinə görə $\triangle ABF =\triangle ACF$. Çünki $AB=AC$, $AF$ tərəfi ortaqdır, $\angle BAF=\angle CAF$. Bu bərabərlikdən alınır ki, $\angle B=\angle C$.

Teorem: Bərabəryanlı üçbucağın oturacağına çəkilmiş tənbölən həm median, həm də hündürlükdür.

İsbatı: Yuxarıdakı üçbucağa baxaq. İsbat etməliyik ki, $AF$ tənböləni həm median, həm də hündürlükdür. Əvvəlki teoremdə deyildiyi kimi $\triangle ABF = \triangle ACF$ (I əlamətə görə). Buradan $BF=FC$ alınır. Yəni $F$ nöqtəsi $BC$ tərəfini yarı bölür və $AF$ mediandır. Həmçinin üçbucaqların bərabərliyindən $\angle AFB= \angle AFC$ alınır. Bu bucaqlar isə qonşu bucaqlar olduğundan onların cəmi $180°$-yə bərabərdir. Deməli onların hər biri $90°$-dir. Bu da $AF$ parçasının $A$ təpəsindən $BC$ tərəfinə çəkilmiş hündürlük olması deməkdir.

Digər məqalələr

Kosinuslar teoremi

Üçbucağın istənilən tərəfinin kvadratı, qalan iki tərəfin kvadratları cəmi ilə onların hasilinin iki mislinin aralarındakı bucağın kosinusuna hasilinin fərqinə bərabərdir.

Üçbucaq bərabərsizliyi

Üçbucağın istənilən tərəfi digər iki tərəfin cəmindən kiçikdir. Üçbucağın böyük tərəfi qarşısında böyük bucağı durur. Üçbucağın böyük bucağı qarşısında böyük tərəfi durur.

Median, tənbölən, hündürlük

Üçbucağın medianları bir nöqtədə kəsişib bu kəsişmə nöqtəsində təpədən 2:1 nisbətində bölünür. Üçbucağın tənbölənləri bir nöqtədə kəsişib qarşı tərəfi bitişik tərəflərlə mütənasib hissələrə bölür. Üçbucağın hündürlükləri bir nöqtədə kəsişir.

Pifaqor teoremi

Düzbucaqlı üçbucağın katetlərinin kvadratları cəmi hipotenuzun kvadratına bərabərdir. Bu teoremin 370 müxtəlif isbatı mövcuddur. Burada onlardan 5-i verilib.

Üçbucaqların bərabərlik əlamətləri

İki tərəf və arasındakı buçağı bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir. Bir tərəf və ona söykənən bucaqları bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir.

Oxşar üçbucaqlar

Əgər bir üçbucağın iki bucağı o biri üçbucağın iki bucağına bərabərdirsə bu üçbucaqlar oxşardır. Əgər bir üçbucağın iki tərəfi uyğun olaraq o biri üçbucağın iki tərəfi ilə mütənasib olub, bu tərəflərin əmələ gətirdiyi bucaqlar bərabərdirsə, bu üçbucaqlar oxşardır. Üç tərəfi mütənasib olan üçbucaqlar oxşardir.

Sinuslar teoremi

Üçbucağın tərəfləri qarşı bucaqların sinusları ilə mütənasibdir. Bunu isbat etmək üçün isbat etməliyik ki, üçbucağın sahəsi onun ixtiyarı iki tərəfinin uzunluqları hasilinin yarısı ilə bu tərəflər arasında qalan bucağın sinusu hasilinə bərabərdir.

Üçbucağın bucaqlarının cəmi

Üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi 180°-yə bərabərdir. Üçbucağın xarici bucağı onunla qonşu olmayan iki daxili bucağın cəminə bərabərdir.

Üçbucaqların həlli

Üçbucağın həlli dedikdə verilmiş 3 element vasitəsilə onun bütün tərəflərinin və bucaqlarının tapılması nəzərdə tutulur. Bu məsələni üç halda araşdıracağıq.

Bərabərtərəfli üçbucaq

Bütün tərəfləri bərabər olan üçbucağa bərabərtərəfli üçbucaq deyilir. Bərabərtərəfli üçbucaqda bütün bucaqlar 60°-dir. Belə üçbucaqlarda median, hündürlüyk və tənbölənlər üst-üstə düşür.

Heron düsturu

Bizim Eranın I əsrində yaşamış İskəndəriyyəli Heron həndəsə, mexanika, hidrostatika və optika ilə məşğul olurdu. Onun verdiyi Heron düsturunun köməyi ilə sahəni üç tərəf vasitəsilə tapmaq mümkündür.

Fales teoremi

Əgər bucağın tərəflərini kəsən xətlər onun bir tərəfində bərabər parçalar ayırırsa, o biri tərəfində də bərabər parçalar ayırır. Bucağın tərəflərini kəsən paralel xətlər onları mütənasib hissələrə bölür.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.

© Copyright Jsoft

Üçbucaqlar

Üçbucaqlar

Müstəvi üzərində bir düz xətt üzərində olmayan üç A, B və C nöqtələrini qeyd edib, onları düz xətt parçaları ilə birləşdirək.

Alınan həndəsi fiqur üçbucaq adlanır. A, B, C nöqtələri üçbucağın təpə nöqtələri, AB, AC, BC parçaları isə tərəfləri adlanır. Bu üçbucaq ΔABC kimi işarə olunur və “ABC üçbucağı” kimi oxunur. ∠ABC, ∠ACB, ∠BAC üçbucağın bucaqlarıdır.
Üçbucaqlar tərəflərinin uzunluğuna görə adlandırılır:

Müxtəliftərəfli üçbucaq:

Bərabəryanlı üçbucaq:

Bərabərtərəfli üçbucaq:

Üçbucaqlar həm də bucaqlarına görə adlandırılır:

Düzbucaqlı üçbucaq:

bir düz bucağı var

Korbucaqlı üçbucaq:

bir kor bucağı var

Itibucaqlı üçbucaq:

bütün bucaqları iti bucaqdır

Üçbucağın bucaqlarının cəmi 180°-dir.

1. Şəkildəki üçbucaqları bucaqlarına görə adlandırın. Bucaqların ölçüsünü əvvəlcə təxmin edin, sonra ölçün. Təxminlərinizi və ölçülərinizi müqayisə edin.

Düzbucaqlı üçbucağın tərəflərini necə tapacağınızı öyrənin? Həndəsənin əsasları

Bacaklar və hipotenuz düzbucaqlı üçbucağın tərəfləridir. Birincisi, düz bucağa bitişik olan hissələrdir və hipotenuz fiqurun ən uzun hissəsidir və 90 bucağın qarşısında yerləşir. haqqında . Pifaqor üçbucağı, tərəfləri natural ədədlərə bərabər olan birdir; bu vəziyyətdə onların uzunluqlarına “Pifaqor üçəmləri” deyilir.

Misir üçbucağı

İndiki nəslin həndəsəni indi məktəbdə öyrədildiyi formada öyrənməsi üçün bir neçə əsrdir inkişaf etmişdir. Əsas məqam Pifaqor teoremi hesab olunur. Düzbucaqlı üçbucağın tərəfləri (rəqəm bütün dünyada məlumdur) 3, 4, 5-dir.

“Pifaqor şalvarları hər istiqamətdə bərabərdir” ifadəsi ilə tanış olmayanlar azdır. Lakin əslində teorem belə oxunur: c 2 (hipotenuz kvadratı) = a 2 + b 2 (bacakların kvadratlarının cəmi).

Riyaziyyatçılar arasında tərəfləri 3, 4, 5 (sm, m və s.) Olan üçbucağa “Misir” deyilir. Maraqlısı budur ki, şəkildəki dairənin radiusu birinə bərabərdir. Bu ad, eramızdan əvvəl V əsrdə, Yunan filosoflarının Misirə səyahət etdikləri zaman meydana gəlmişdir.

Piramidaları inşa edərkən memarlar və yer ölçənlər 3: 4: 5 nisbətində istifadə etdilər. Bu cür quruluşlar mütənasib, göz oxşayan və geniş idi və nadir hallarda çökdü.

Düz bucağı qurmaq üçün inşaatçılar 12 düyün bağlanan bir ipdən istifadə etdilər. Bu vəziyyətdə düzbucaqlı üçbucaq qurma ehtimalı% 95-ə qədər artmışdır.

Formaların bərabərliyinin əlamətləri

• Düzbucaqlı üçbucaqdakı kəskin bucaq və ikinci üçbucaqdakı eyni elementlərə bərabər olan böyük bir tərəf rəqəmlərin bərabərliyinin mübahisəsiz əlamətidir. Bucaqların cəmini nəzərə alsaq, ikinci kəskin bucaqların da bərabər olduğunu sübut etmək asandır. Beləliklə, ikinci xarakteristikada üçbucaqlar eynidır.
• İki fiqur bir-birinin üstünə qoyulduqda, onları birləşdirdikdə, birbucaqlı üçbucağa çevrilmək üçün döndəririk. Mülkiyyətinə görə, tərəflər, daha doğrusu, hipotenuslar, təməlindəki bucaqlar bərabərdir, yəni bu rəqəmlərin eyni olduğunu göstərir.

Birincisi, üçbucaqların həqiqətən bərabər olduğunu sübut etmək çox asandır, əsas odur ki, iki kiçik tərəfin (yəni ayaqları) bir-birinə bərabər olmasıdır.

Üçbucaqlar II atributda eyni olacaq, mahiyyəti ayağın bərabərliyi və kəskin bucaqdır.

Düz Açılı Üçbucaq Xüsusiyyətləri

Düz açıdan endirilən hündürlük rəqəmi iki bərabər hissəyə bölür.

Düzbucaqlı üçbucağın tərəfləri və onun medianı qayda ilə tanımaq asandır: hipotenuza endirilən medianın yarısına bərabərdir. Rəqəmin sahəsi həm Heron düsturu, həm də bacakların məhsulunun yarısına bərabər olduğu ifadəsi ilə tapıla bilər.

Düzbucaqlı üçbucaqda bucaqların xüsusiyyətləri 30-dur haqqında , 45 haqqında və 60 haqqında .

• 30 açı ilə haqqında , əks ayağın ən böyük tərəfin 1/2 hissəsinə bərabər olacağını unutmamalıyıq.
• Bucaq 45-dirsə haqqında ikinci kəskin bucağın da 45 olduğu mənasını verir haqqında . Bu, üçbucağın bərabərbucaqlı olduğunu və ayaqlarının eyni olduğunu göstərir.
• 60-da bucaq mülkü haqqında üçüncü açı 30 dərəcə ölçüsünə sahib olmasıdır haqqında .

Sahə üç düsturdan birini istifadə edərək asanlıqla tanınır:

1. hündürlükdən və endiyi tərəfdən;
2. Heron düsturuna görə;
3. yanlarda və aralarındakı küncdə.

Düzbucaqlı üçbucağın tərəfləri, daha doğrusu ayaqları iki yüksəklikdə birləşir. Üçüncüsünü tapmaq üçün ortaya çıxan üçbucağı nəzərdən keçirmək və sonra Pifaqor teoremi ilə tələb olunan uzunluğu hesablamaq lazımdır. Bu düstura əlavə olaraq ikiqat sahənin nisbəti və hipotenuzun uzunluğu da mövcuddur. Tələbələr arasında ən çox yayılmış ifadə daha az hesablama aparmaq lazım olduğu üçün birincidir.

Düzbucaqlı üçbucağa tətbiq olunan teoremlər

Düzbucaqlı üçbucağın həndəsəsi aşağıdakı kimi teoremlərin istifadəsini əhatə edir:

1. Pifaqor teoremi. Onun mahiyyəti hipotenus kvadratının ayaq kvadratlarının cəminə bərabər olmasındadir. Öklid həndəsəsində bu əlaqə əsasdır. Bir üçbucaq, məsələn, SNH verilsə, düsturdan istifadə edə bilərsiniz. SN hipotenusdur və tapılmalıdır. Sonra SN 2 = NH 2 + HS 2 .
2. Kosinus teoremi. Pifaqor teoremini ümumiləşdirir: g 2 = f 2 + s 2 Aralarında -2fs * cos bucağı. Məsələn, DOB üçbucağı verilmişdir. Ayaq DB və hipotenuz DO məlumdur, OB tapmaq lazımdır. Sonra düstur bu formanı alır: OB 2 = DB 2 + DO 2 -2DB * DO * cos bucağı D. Üç nəticə var: üçbucağın açısı kəskin bucaqlı olacaq, əgər üçüncünün uzunluğunun kvadratı iki tərəfin kvadratlarının cəmindən çıxarılarsa, nəticə sıfırdan az olmalıdır. Bu ifadə sıfırdan böyükdürsə, bucaq kütdür. Bucaq sıfıra bərabər olduqda düz bir xəttdir.
3. Sinus teoremi. Tərəflərin əks künclərə olan münasibətini göstərir. Başqa sözlə, bu, tərəflərin uzunluqlarının əks açıların sinuslarına nisbətidir. Hipotenuzunun HF olduğu bir HFB üçbucağında doğru olacaq: HF / B bucağının sinəsi = FB / H bucağının sin = HB / F bucağının sin.