Xətti cəbr və riyazi analiz

A = 2, 7, 8, 9 B = a, b, c

Xetti cebr ve riyazi analiz

(+994 12) 493 30 77

• Fəlsəfə
• Tarix
• Azərbaycan tarixi
• Sosiologiya
• Etnoqrafiya
• İqtisadiyyat
• Dövlət və hüquq
• Siyasət. Siyasi elmlər
• Elm və təhsil

• Mədəniyyət
• Kitabxana işi
• Psixologiya
• Dilçilik
• Ədəbiyyatşünaslıq
• Folklor
• Bədii ədəbiyyat
• İncəsənət
• Kütləvi informasiya vasitələri

Xətti cəbr və riyazi analiz

Abunə

Lokal şəbəkədə oxucuların istifadəsinə “Rusiya Federasiyasının Qanunvericilik Bazası” təqdim olunur.

Lokal şəbəkədə oxucuların istifadəsinə bütün elm sahələri üzrə 5 000 e-kitabdan ibarət elektron kitabxana – Elektron Kitabxana Sistemi İPR Books təqdim olunur.

Polpred.com Medianin İcmalı. Hər gün minlərlə xəbərlər, Rus dilində tam mətn, son 15 ilin informasiya agentliklərinin və işgüzar nəşrlərin ən yaxşı milyon mövzusu.

Bannerlər

Əlaqə

Ünvan: AZ1005, Azərbaycan Respublikası, Bakı şəhəri,
Nizami küçəsi 58

Tel.: (+99412) 596-26-13

İş vaxtı:
Bazar ertəsi – Cumə: 9:00-18:00
Fasilə: 13:00-14:00
İstirahət günləri: Şənbə, Bazar

Copyright © 2013 Prezident Kitabxanası. Bütün hüquqlar qorunur.
Məlumatlardan istifadə zamanı istinad vacibdir.

xətti cəbr və riyazi analiz

X ə tti c ə br v ə riyazi analiz 1. X ətti asılılığın tə rifin ə gör ə 0 3 2 1 c b a b ə rab ə rliyi 0 3 2 1 olduqda öd ə n ə rs ə onda b a , v ə c vektorları bazis ə m ə l ə g ə tirir. Veril ə nl ə ri n ə z ə r ə alsaq 0 4 0 0 2 7 3 0 3 5 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 t ə nlikl ər sistemini alarıq. Ücüncü t ə nlikd ə n 3 1 4 ə v ə zl ə m ə sini dig ə r iki t ə nlikd ə n ə z ə r ə alsaq 0 2 7 12 0 3 5 8 3 2 3 3 2 3 olar. Buradan 0 2 0 0 14 7 0 5 5 3 2 3 2 3 2 3 2 t ə r ə f-t ə r ə f ə çıxcaq 0 3 alarıq. Demə li 0 3 olduğunu digə r t ə nlikl ə rd ə n ə z ə r ə alsaq 0 3 2 1 alarıq. Dem ə li bu vektorlar bazis ə m ə l ə g ə tirir. d vektorun b a , v ə c vektorları üzrə x ətti kombinasiyasını tapmaq üçün d c b a 3 2 1 t ə nliyini h ə ll etm ə liyik. Veril ə nl ə ri n ə z ə r ə alsaq 3 4 0 12 2 7 3 4 3 5 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 alarıq. Axırıncı tənliyi olduğu kimi saxlayıb -2 – y ə vurub 1-ci t ə nlikl ə , -3- ə vurub 2-ci t ə nlikl ə toplayaq. 3 2 2 3 4 0 21 14 7 10 5 5 3 4 0 3 2 3 2 3 2 1 3 2 3 2 3 2 1 İkinci və ücüncü t ə nlikl ə ri t ə r ə f-t ə r əf cıxsaq 1 3 alarıq. Bu qiym ə ti 2-ci t ə nlikd ə n ə z ə r ə alsaq 1 2 1 2 2 olar. 1 3 olduğunu 3 4 3 1 t ə nliyind ə n ə z ə r ə alsaq 1 1 alarıq. Dem ə li yeni koordinatlar 1 ; 1 ; 1 d olar. Y ə ni c b a d x ətti kombinasiya alınar. 2. 0 0 60 60 , 5 , 3 , 2 c b ab c b a olarsa c b a d -nin uzu nluğunu tapın.

Post on 08-Feb-2017

Documents

• Xtti cbr v riyazi analiz 1. Xtti aslln trifin gr 0321 cba brabrliyi 0321 olduqda dnrs onda ba , v c vektorlar bazis ml gtirir. Verilnlri nzr alsaq 040 0273 0352 321 321 321 tnliklr sistemini alarq. cnc tnlikdn 31 4 vzlmsini digr iki tnlikd nzr alsaq 02712 0358 323 323 olar. Buradan 02 0 0147 055 32 32 32 32 trf-trf xcaq 03 alarq. Demli 03 olduunu digr tnliklrd nzr alsaq 0321 alarq. Demli bu vektorlar bazis ml gtirir. d vektorun ba , v c vektorlar zr xtti kombinasiyasn tapmaq n dcba 321 tnliyini hll etmliyik. Verilnlri nzr alsaq 340 12273 4352 321 321 321 alarq. Axrnc tnliyi olduu kimi saxlayb -2 y vurub 1-ci tnlikl, -3- vurub 2-ci tnlikl toplayaq. 32 2 340 21147 1055 340 32 32 321 32 32 321 kinci v cnc tnliklri trf-trf cxsaq 13 alarq. Bu qiymti 2-ci tnlikd nzr alsaq 121 22 olar. 13 olduunu 34 31 tnliyind nzr alsaq 11 alarq. Demli yeni koordinatlar 1;1;1 d olar. Yni cbad xtti kombinasiya alnar. 2. 00 6060,5,3,2 cbabcba olarsa cbad -nin uzunluunu tapn.
• Bilirik ki, ddd , brabrliyi dorudur. Burdan cccbbbaaa ;,;,; 22 alna bilr. 222;2;2;2 ;;2;2;;2; ; ccbCoscbcaCoscabbaCosbaa cccbcabbbaaa cbacbad 19251510964252 1532 2 15229 2 13224 Demli, 19d olar. 3. ? ba Bilirik, ki aaa ; brabrliyi dorudur. Hminin, 30;2; 22 bbaabababa 250;2 900;2650 30529;22 ba ba ba 125; ba alarq. Onda 5291252121;2 ; 22bbaa bababa 20400250650 alarq. 20 ba 4. a v b vektorlarnn bazis ml gtirdiyini yoxlamaq n 021 ba brabrliyindn 02 022 21 21 sistemini alarq. Trf-trf toplasaq 01 alarq. Yerin yazsaq 01 olar. Demli, trif gr a v b vektorlar bazis ml gtirir. P vektorunun koordinatlarn tapaq. 1;44;21;24;44;21;22;22 P Xtti ayrl n pba 21 rti dnmlidir.
• 12 422 21 21 sistemind tnliklri trf-trf toplasaq 51 alarq. Digr tnlikd yerin yazsaq 3624522 111 alarq. Demli, bap 53 alnar. 5. nR – d xtti asl olan vektorlar haqqnda teorem v isbat. Teorem 1. . 21 vektorlarnn xtti asl olmas n zruri v kafi rt bu vektorlardan he olmazsa birinin yerd qalanlarnn xtti kombinasiyas kimi gstrilmsidir. Zrurilik. Frz edk ki, . 21 vektorlar xtti asldr. Yni, (2) brabrliyi . 21 ddlrinin biri (msln, m) sfrdan frqli olduqda dorudur. Onda (2) brabrliyinin hr trfini m blsk vektorunu digrlri il aadak kimi ifad ed bilrik: 1 1 2 2 1 1 . . (4) Burada, 1,1 kimi iar etsk, onda (4) brabrliyini 112211. mm (5) klind yaza bilrik. Bu is o demkdir ki, vektoru 121 . vektorlarnn xtti kombinasiyas kimi gstril bilir. Kafilik. Frz edk ki, . 21 vektorlarndan biri (msln, ) yerd qalanlarnn xtti kombinasiyasdr. Yni, (5) brabrliyi dorudur. Onda (5) brabrliyini 01)(. 1m1m2211 (6) kimi yazsaq, 01 olduundan trif sasn . 21 vektorlarnn xtti asl olduunu alrq. Qeyd edk ki, gr . 21 vektorlarnn he olmazsa biri sfr vektordursa, onda bu vektorlar xtti asldr. Dorudan da frz etsk ki, 0 . Onda ,1 ,0. 132 gtrsk, (2) brabrliyi dnir. Yoxlamaq olar ki, . 21 vektorlarnn bir nesi xtti asldrsa, onda bu vektorlarn hams xtti asldr. 6. 132 531 412 A, 211 232 143 B, 112 211 324 Cmatrislri zrind qrupladrma qanununun ))()(( BCACAB doruuunu yoxlayn. 101811 3814 818 211 232 143 132 531 412 AB
• 101811 3814 818 ))(( CAB 73046 233942 142515 112 211 324 331 259 2910 112 211 324 211 232 143 BC 73046 233942 142515 331 259 2910 132 531 412 ))(( BCA ))()(( BCACAB -nun doruluunu yoxladq 7. Determinant anlay. Minor v cbri tamamlayc. Determinantn sas xasslri. n trtibli Anxn kvadrat matrisinin aij elementinin yerldiyi i-ci stri v j-ci stunu rti olaraq sildikdn sonra qalan elementlrin ml gtirdiyi n 1 trtibli kvadrat matrisin determinantn Mij il iar edk. Mij y aij elementinin minoru deyilir. Bu halda 1 11 1 1212111111 11. 1 (7) cmin n trtibli Anxn kvadrat matrisinin determinant deyilir. Xass 1. Determinantn btn stirlrinin onun uyun nmrli stunlar il yerini dyidikd determinantn qiymti dyimz. Yni, 21 22212 12111 21 22221 11211 . . . . . . . . . (1) sonrak xasslrini ancaq stirlri v ya ancaq stunlar n sylmk kifaytdir. Xass 2. Hr hans determinantn ixtiyari iki strinin (stununun) yerini dyisk, onda determinantn yalnz iarsi dyir. Yni, msln . . . . . . . . 21 11211 22221 21 22221 11211 . (2) Xass 3. ki stri v ya iki stunu eyni olan determinant sfra brabrdir. Xass 4. Determinantn hr hans bir stir (stun) elementlrinin ortaq vuru olarsa, hmin vuru determinantn iarsi xaricin xarmaq olar. Yni 21 22221 11211 21 22221 11211 . . . . . . . . . (4) Xass 4 onu gstrir ki, hasilini tapmaq n detAnxn nin hr hans bir stirinin (stununun) elementlrini hmin k ddin vurmaq lazmdr. Xass 5. Determinantn iki strinin (stunun) elementlri mtnasibdirlrs, hmin determinant sfra brabrdir.
• Xass 6. Determinantn hr hans strinin (stunun) btn elementlri sfrdrsa, onda determinant sfra brabrdir. Xass 7. Determinantn hr hans bir strinin (stununun) btn elementlri iki toplanann cmi klinddirs, hmin determinant iki determinantn cmin brabrdir: 1-ci determinantda hmin stir (stun) elementi olaraq 1-ci toplanan, 2-ci determinantda is hmin stir (stun) elementlri olaraq 2-ci toplanan gtrlr. Yni, msln 1-ci stir elementlri n 21 21 22221 11211 21 22221 11211 21 22221 1112121111 . . . a a . . . . . . . . . b (5) olur. Xass 8. Determinantn hr hans strinin (stununun) btn elementlrini bir dd vurub digr bir strinin (stununun) uyun elementlrinin zrin lav etsk determinantn qiymti dyimz. Yni,msln, 21 22221 2122122111 21 22221 11211 . . . . . . . . . (6) Xass 9. Determinantn hr hans stir (stun) elementlrinin, digr stirin (stunun) uyun elementlrinin cbri tamamlayclarna hasillrinin cmi sfra brabrdir. Yni, msln 0. 2122122111 . (7) 8. 233 120 031 A olarsa, 232 xxxf oxhdlisin uyun ?Af 3120 133 300 200 020 002 699 360 093 1219 413 391 200 020 002 699 360 093 430669603 220340300 030063001 100 010 001 2 233 120 031 3 233 120 031 233 120 031 232 EAAAf 9. 01 32A olarsa, 2324 23 xxxxf oxhdlisin uyun EAAAAf 2324 23 kild yaza bilrik.
• 3235 105102 20 02 03 96 64 1214 2428 8480 20 02 03 96 64 1214 0634 0216144 20 02 03 96 32 672 01 32 32 6344 10 012 01 323 01 32 01 322 01 32 01 32 01 324Af 10. gr determinantn hr hans stunu iki toplanann cmi klinddirs onu iki determinantn cmi kimi yaza bilrik. 11 11 11 21 21 21 12 12 12 121 121 121 12 12 12 11 11 11 2 2 2 2 2 2 22 22 22 2 2 2 22 22 22 22 22 22 c b a ccc bbb aaa ccc bbb aaa ccc bbb aaa ccc bbb aaa cccc bbbb aaaa ccc bbb aaa gr determinantn iki stunu eyni v ya mtnasibdirs, o determinant sfra brabrdir. Onda I toplanan v axrnc toplanan sfra brabr olar. Digr determinantlar da ayrsaq alarq. Buradan caacbcbcabab baaccbcabcab 2 2 222222 alarq. 1 1 1 20 1 1 1 1 1 1 0 21 21 21 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cc bb aa cc bb aa cc bb aa cc bb aa cc bb aa cc bb aa ccc bbb aaa
• 11. Determinantn uyun xasssini yazn v hmin xassdn istifad edrk mpk fed cba x mpkxpxk fedxexd cbaxbxa21 Determinantn hr hans stir v stunu iki toplanann cmi klinddirs, onda determinant el iki determinantn cmin brabrdir ki, birinci determinantda birinci toplanan, ikinci determinantda is ikinci toplanan olmaqla qalan elementlri is verilmi determinantda olduu kimi saxlanlr. Iki stri v ya stunu eyni olan determinant . brabrdir. Determinantn hr hans bir strinin v ya stununun btn elementlrinin ortaq vuruunu determinant iarsi xaricin xarmaq olar. Hr hans determinantn iki strinin yerini dyisk, onda determinant yalnz iarsini dyir. Determinantn mtnasib olan stirlri v ya stunlar varsa, bu determinant sfra brabrdir. Yuxarda qeyd etdiyimiz xasslr sasn verilmi determinant hesablayaq. mpk fed cba x mkp fde cab x mpk fed cba mppx feex cbbx mkxpx fdxex caxbx mpk fed cba mkxk fdxd caxa mpkxpx fedxex cbaxbx mpkxk fedxd cbaxa mpkxpxk fedxexd cbaxbxa 22 1 12 . 1123 2112 1121 A Bilirik ki, matrisin sfrdan frqli n yksk minorunun trtibin ranq deyilir. Ranq tapmaq n haiylyn minorlar sulundan istifad edk. 054112 212 M 08423641 123 112 121 3 M olduuna gr bu matrisin ranq 3Ar olar. Onda
• 0 123 112 121 3 M olduundan hm d bazis minoru olacaqdr. 13. Matrisin ranq v onun hesablanmas mxn ll Amxn dzbucaql matrisind , rtini dyn ixtiyari k sayda stir v k sayda stunlarn ksimsind duran elementlrdn dzldilmi k trtibli Akxk kvadrat matrisin determinantna k trtibli minor deyilir v Mk il iar olunur. 21 22221 11211 . . . . kimidir. Matrislrin ranq n aadak mnasibtlrin doruluunu yoxlamaq olar. 1) ; 2) ; 3) , ; 4) ; 5) gr 0 olarsa; 6) , burada n, A matrisinin stunlarnn sayn v ya B matrisinin stirlri sayn gstrir. ranqn taplmas sullar haiylyn minorlar v elementar evirmlr suludur. 1) Haiylyn minorlar sulu. Amxn matrisinin ranqn tapmaq n hesablaman, onun aa trtibli minorlarndan balayb yuxar trtibli minorlara kemk v bu prosesd sfrdan frqli r trtibli Mr minoruna rast gldikdn sonra, Mr minorunu haiylyn (z daxilind saxlayan) (r+1) trtibli minorlar hesablamaq lazmdr. gr Mr i 0 haiylyn (r+1) trtibli minorlarn hams sfrdrsa, onda Amxn matrisinin ranq r -dir. Yni, . gr (r+1) trtibli haiylyn minorlardan biri, msln, 1 sfrdan frqli olarsa, onda Amxn matrisinin ranq r-dn byk olmaldr. Bu prosesi 1 -i haiylyn (r+2) trtibli minorlar hesablamaqla davam etdirsk v 1 -i 01 haiylyn btn (r+2) trtibli minorlar sfra brabrdirs onda Amxn matrisinin ranq r+1- brabrdir v s. 2) Elementar evirmlr sulu. sbatsz olaraq aadak teoremi qeyd edk. Teorem. Matrisin zrind aparlan elementar evirmlr onun ranqn dyimir. Qeyd edk ki, ranqlar brabr olan matrislr ekvivalent matrislr deyilir v ~ kimi iar olunur. Demli, elementar evirmlrdn sonra alnan matris, verilmi matris brabr deyildir. Teorem (bazis minorlar haqqnda teorem). Matrisin bazis stirlri (bazis stunlar) xtti asl deyildir. Matrisin ixtiyari stri (ixtiyari stunu) onun bazis stirlrinin (bazis stunlarnn) xtti kombinasiyas klind gstril bilr. 14. 211 121 111 A matrisinin trsini elementar evirmlrl tapaq. Bilirik ki, EAQ / kimi bir qoma matrisi dzldilir. Onu elementar evirmlrl AE / klin gtirilir.
• 100 010 001 211 121 111 / EA ~ 111100 011010 001111 ~ ~ 111100 011010 002101 ~ 111 111 113 100 010 001 Qeyd edk ki, birinci stri ikinci il toplayb ikinci stunda yazdq, birinci il nc stri toplayb nc stird yazdq. Daha sonra birinci stirl ikinci stri toplayb birinci stird yazdq. Sonra birinci stirl nc stri toplayb birinci stird yazdq. Nticd A matrisinin trsini elementar evirmlr yoli il tapm olduq. 15. 023 310 121 A matris n 1A -i tapaq. Bilirik ki, A matrisinin trsi 332313 322212 312111 1 det 1 AAA AAA AAA AA dsturu il hesablanr. Verilmi A matrisinin trs matrisini tapaq. 6230102 311 11 11 A , 99003 301 21 12 A 3132023 101 31 13 A , 2210202 121 12 21 A 3310103 111 22 22 A , 46223 211 32 23 A 716113231 121 13 31 A , 110 211 33 33 A Demli 143 339 726 15 11A 16 . 412 131 210 Aolduqda 2A -ni tapaq.
• Bilirik ki, 2A -ni tapmaq n -i 112 AAA hesablamaq lazmdr. 1A -matrisin trsini tapmaq n 332313 322212 312111 1 1 AAA AAA AAA AA dsturundan istifad etmk lazmdr.Bu dsturu verilmi misalla ttbiq edk. 81204220 412 131 210 A , 1111241 131 11 11 A 62442 111 21 12 A , 761 12 311 31 13 A 2)24(41 211 12 21 A , 44042 201 22 22 A 2)20(12 101 32 23 A , 561 13 211 13 31 A 22011 201 23 32 A , 110 31 101 33 33 A Demli 127 246 5211 8 11A olur. 112 AAA olduundan 419 307 7318 8 1 32872 24056 5624144 64 1 1435 2830 5455 2814 41612 10822 71277 142466 3512121 64 1 127 246 5211 127 246 5211 8 12 2A EAA 22 olduunu gstrk 2197 591 953 412 131 210 412 131 2102A
• E AA 100 010 001 800 080 008 8 1 842749 20277 361521 21021 503 909 18963126 456318 813554 8 1 419 307 7318 2197 591 953 8 122 17. 543 1132 132 523 321 321 321 321 xxx xxx xxx xxx Bilirik ki, sas matris dyinlrin msallarndan dzldilir. 143 312 132 123 A genilndirilmi matris is 5143 11312 1132 5123 A olar. Kroneker Kapelli teoremin gr sistemin hllinin varl n ArAr olmaldr. vvlc Ar -n tapaq. 04932 232 M ; 0412364227 212 132 123 3 M olduundan 3Ar olur. ndi is A -un ranqn tapaq. Bunun n
• 0482819224196028486244490 076 487 411 0176 4387 4111 0100 5143 11312 1132 5123 A olduuna gr 4Ar olar. Demli 43 ArAr olduundan sistem uyuan deyil. 18. . n mchullu m xtti tnlik sistemi. – n mchullu m xtti tnlik sistemin baxaq: . . . . 2211 22222121 11212111 (1) (1) xtti tnliklr sistemini hll etmzdn qabaq onun hllinin olub-olmadn myyn etmk lazm glir. Qeyd edk ki, . . . . 21 22221 11211 (2) veriln sistemin sas matrisi, 21 222221 111211 *1x . . . . (3) veriln sistemin genilnmi matrisi adlanr. (1) sisteminin birg (uyuan) olub-olmamasn my-ynldirmk n aadak teorem mhm rol oynayr. Teorem (KronekerKapelli). Verilmi (1) xtti tnliklr sisteminin birg (uyuan) olmas n zruri v kafi rt sistemin sas matrisinin ranqnn onun genilnmi matrisinin ranqna brabr olmasdr, yni, * olmasdr. 19. 192765 11543 12 13432 4321 321 431 4321 xxxx xxx xxx xxxx
• Birinci tnliyi aparc tnlik kimi qbul edk. Digr dyinlri toplama sulu il yox edk. 8422224 5012142 14622 13432 432 432 432 4321 xxx xxx xxx xxxx Indi is ikinci tnliyi aparc tnlik kimi qbul edk v toplama sulu il digr dyinlri ardcl yox edk. 3561018 536610 14622 13432 43 43 432 4321 xx xx xxx xxxx 16818030305450 4433 xxxx 3 124 3 3 x x 33 x qiymtini 36610 43 xx tnliyind yerin yazsaq 1 66 36630 4 4 4 x x x 1 22 14662 2 2 2 x x x 2 13492 1 1 x x Demli, tnliyin mumi v xsusi hllri eynidir. 1;3;1;2 olur. 20. Bilirik ki, bircins xtti tnliklr sisteminin sfrdan frqli hllinin varl n sas matrisin determinant sfra brabr olmaldr. 10220814371240 21 714 312 aaaa a olarsa, sistemin sonsuz sayda hlli var. 02 074 032 321 321 321 xxx xxx xxx nc tnliyi aparc tnlik kimi saxlayaq.
• 03 03 02 32 32 321 xx xx xxx 23 3xx alarq. RCx 2 qbul etsk~ Cx 33 v Cx CCx 5 06 1 1 alarq. Onda sistemin mumi hlli CCC 3;;5 olar. 21. 312321 ;2;8( xxxxxxAx ) Bu evirmnin matrisi msalardan dzldilir. 101 020 811 Ax Mxsusi ddi tapmaq n 0 EA tnliyini hll etmk lazmdr. 0 101 020 811 0002800121 08112 ,21 3 3 9 081 3 2 2 2 Onlarn cmi 2)3(2321 olar 22. Veriln evirmlrin msallarndan A v B matrislrini dzldk 011 102 110 101 120 031 BA 121 204 216 011 102 110 101 120 031 AB
• 151 161 221 101 120 031 011 102 110 AB 030 163 415 151 161 221 121 204 216 BAAB Onda AB-BA evirmsi yz zyxy zyxx 3 63 45 23. Bilirik ki, mxsusi dd 0 EA tnliyindn taplr. 0424000210 20 212 022 044821 08821 01821 0821 11 082 2 0822 2,4 32 Hr bir mxsusi dd uyun mxsusi vektorlar tapaq. 11 olduunu nzr alaq. 020 0212 0022 321 321 21 xxx xxx xx 02 022 02 32 31 21 xx xx xx 23 31 21 2 2 xx xx xx 12 Cx qbul etsk RC 10 olmaldr. Onda mxsusi vektor 111 2;;2 CCC olar. 2) 42 – uyun sistem 042 0232 022 32 321 21 xx xxx xx 32 321 21 2 0232 xx xxx xx 21 22 23 2 2 0 Cx Cx Cx alarq. Mxsusi vektor 222 ;2;2 CCC alnar. 3) 23 -y uyun mxsusi vektor.
• 022 0232 024 32 321 21 xx xxx xx 32 321 12 0232 2 xx xxx xx 33 32 31 2 2 Cx Cx Cx 333 2;2; CCC alnar. 24 Verilmi 25 43A matrisinin xtti evirmsinin mxsusi ddini v mxsusi vektorunu tapn. Hlli. 0 aaa aaa aaa nn2n1n n22221 n11211 . . . . brabrliyin sasn verilmi matrisin xarakte- ristik tnliyini 0145202325 432 EA klind yaza bilrik. Bu xarakteristik tnliyin kklri 21 v 72 olar. 21 olduqda tnliyin gr 0225 0423 025 043 21 21 21 21 xx xx xx xx 045 045 21 21 xx xx Rc cx cx 1 12 110 5 4. Demli, 21 mxsusi ddin uyun mxsusi vektoru 11 54 ccX ; klinddir. Rc 1 olduundan istniln qiymtlr vermkl veriln evirmnin mxsusi vektorlarn tapa bilrik. Eyni qayda il 72 olduqda uyun bircins tnlik 0725 0473 025 043 21 21 21 21 xx xx xx xx 055 044 21 21 xx xxRccxx xx xx 2221 21 21;0 0 0. Demli, 72 mxsusi ddin uyun mxsusi vektor 22 ccX ; kimidir.
• 25. Xtti evirmnin matrisi , mxsusi ddi v mxsusi vektoru Tutaq ki, n-ll nR xtti fzasnda n. e,ee 21 bazis vektorlar v A xtti evirmsi verilmidir. Onda bu fzadan gtrlm nRX vektorunun bazis vektorlar zr yegan qayda il nnexexexX . 2211 (1) klind ayrln yaza bilrik. A xtti evirm olduu n bu ayrl XAY brabrliyind nzr alsaq, nn2211 eAxeAxeAxXAY . (2) alarq. Digr trfdn n1ieA i ; vektorlar da nR fzasnn elementlri olduundan onlarn da ne. ee . 21 bazis vektorlar zr ayrln yazmaq olar. nnnnnn nn nn eaeaeaeA eaeaeaeA eaeaeaeA . . . . 2211 22221122 12211111 (3) Bu ayrllar (2) mnasibtind nzr alsaq, nnnnnn nn nn xaxaxay xaxaxay xaxaxay . . . . 2211 22221212 12121111 (4) alarq. (4) brabrliyinin msallarndan dzldilmi nn2n1n n22221 n11211 nn aaa aaa aaa A . . . . kvadrat matrisin ne. ee . 21 bazisind A xtti evirmsinin matrisi deyilir. Burada, n 2 1 1n x x x X . . -dir. Bu evirmni qsa olaraq 1nnn1n XAY kimi yazmaq olar. Tutaq ki, A operatoru nR -dn nR – tsir edn xtti evirmdir. Trif. nR -dn gtrlm sfrdan frqli hr hans X vektoru n nRXXAX 0 (5) brabrliyini dyn ddin A operatorunun mxsusi ddi, ona uyun taplan X vektoruna is mxsusi vektor deyilir. Bzn mxsusi dd vzin mxsusi qiymt d ildilir. (5) brabrliyini aq kild yazsaq 0. . 0. 0. . . . . 2211 2222121 1212111 2211 22222121 11212111 nnnnn nn nn nnnnnn nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa xxaxaxa xxaxaxa xxaxaxa (6) klind bircins xtti tnliklr sistemi alarq. Bu sistemin sfrdan frqli hllinin varl n zruri v kafi rt onun mchullarnn msallarndan dzldilmi determinantn sfra brabr olmasdr:
• 0 aaa aaa aaa nn2n1n n22221 n11211 . . . . . (7) (7) brabrliyini qsa olaraq 0 EA klind yazmaq olar. Bu brabrliyin sol trfi hm d -dan asl n-drcli oxhdlidir. Bu oxhdliy xarakteristik oxhdli deyilir. Xarakteristik oxhdlinin kklri A xtti evirmsinin mxsusi ddlridir. (7) xarakteristik tnliyini hll edrk k21 . mxsusi ddlrini taprq v bu mxsusi ddlri ayr-ayrlqda (6) bircins xtti tnliklr sistemind yerin yazaraq sfrdan frqli X hllini (vektorunu) taprq. Hmin bu X vektoru uyun mxsusi vektor olacaqdr.

SəRBƏst iŞ Fakültə: Maliyyə Qrup: 502 Fənn: Xətti cəbr və riyazi analiz Müəllim: Svetlana Quliyeva

şəklində yazırlar. Bəzən qısa olmaq üçün matrisi böyük hərflə (A, B, C, X, Y, . ), və ya ║a_{i j}║ (i=1,2, . n) şəklində işarə edirlər.

Matrisi təşkil edən a_{i j} ədədlərinə onun elementləri deyilir. Elementin aşaqısında yazılan iki (ij) indeksin birincisi (i) onun yerləşdiyi sətrin nömrəsini, ikincisi (j) isə yerləşdiyi sütunun nömrəsini göstərir.

A = 3 5 B = 2 4 7

matrislərinin birincisi iki, ikincisi isə üçtərtiblidir. Bir elementdən ibarət olan matrisə birtərtibli matris deyilir. Birtərtibli matrisi onu təşkil edən yeganə ədədlə eyniləşdirirlər: ║a₁₁║= a₁₁.

Ancaq bir sətri olan matrisə sətir-matris, ancaq bir sütunu olan matrisə sütun-matris deyilir. Məsələn,

A = 2, 7, 8, 9 B = a, b, c

C = 2 , D = b₁

matrisləri isə sütun-matrislərdir.

n-tərtibli kvadrat

A = a₂₁ a₂₂ . a_2n

matrisinin sol yuxarı küncündə olan a₁₁ elementi ilə sağ aşağı küncündə olan a_mn elementini birləşdirən düz xətt parçası üzərində yerləşən a₁₁, a₂₂, a₃₃, . a_nm elementləri çoxluğu həmin matrisin baş diaqonalı adlanır. Ancaq baş diaqonalının elementləri sıfırdan fərgli olan kvadrat matrisə diaqonal matris deilir. Bütün elementləri vahidə bərabər olan diaqonal matris vahid matris adlanır və I_n ilə işarə olunur. Birtərtibli vahid matris

Üçtərtibli vahid matris və s.olar.
Tutaq ki, A hər hansı tərtibli kvadrat matris və I həmin tərtibli vahid matrisidir. Bu halda

A -1 -A=AA -1 =I (1)

bərabərliyini ödəyən A -1 matrisinin A matrisinin tərsi deyilir. (1) bərabərliyi göstərir ki, A -1 matrisi A matrisinin tərsidirsə, onda A matrisi də A -1 matrisinin tərsidir:

(A -1 ) -1 =A (2)

yəni A və A -1 matrisləri qarşılıqlı tərs matrislərdir.

A matrisinin tərsi varsa, bu ancaq yeganə ola bilər. Doğrudan da, A matrisinin A -1 ₁ və A -1 ₂ kimi iki tərs matris olarsa, onda

A(A -1 ₁ – A -1 ₂)=I – I=0.

Bu bərabərliyin hər iki tərəfini soldan A -1 ₁ matrisinə vursaq:

A -1 ₁ A(A -1 ₁ – A -1 ₂)=I(A -1 ₁ – A -1 ₂)= A -1 ₁ – A -1 ₂=0

A -1 ₁ = A -1 ₂

A matrisinin determinantı ∆(A) olsun. ∆(I)=1 olduğundan (1) bərabərliyinə əsasən

∆(AA -1 )= ∆(A)· ∆(A -1 )=1

∆(A)· ∆(A -1 )=1, ∆(A -1 ) = (3)

münasibəti doğrudur. Buradan aydındır ki, verilmiş A matrisinin A -1 tərsi olması üçün ∆(A) 0 olmalıdır. Bu təklifin tərsi də doğrudur. Deməli, verilmiş A matrisinin tərs A -1 matrisi olması üçün onun ∆(A) determinantının sıfırdan fərgli olması zəruri və kafi şərtdir.

Determinantı sıfra bərabər, yəni ∆(A) 0 olan kvadrat A matrisinə cırlaşmış (və ya məxsusi) matris deyilir. Determinantı sıfra bərabər olmayan kvadrat A matrisinə isə cırlaşmamış (və ya qeyri-məxsusi) matris deyilir. Dediklərimizdən aydındır ki, cırlaşmamış matrisin tərsi vardır.

Verilmiş matrisin tərsini nece tapmaq olar?

Tutaq ki, ikitərtibli cırlaşmamış

matrisi verilmişdir. Bu matrisin tərsi:

A -1 ₂ = və ya A -1 ₂=

Bunun doğruluğuna inanmaq üçün A₂ A -1 ₂=I olduğunu yoxlamaq kifayətdir.

Indi üçtərtibli cırlaşmamış (∆(A₃) 0)

A₃ = a₂₁ a₂₂ a₂₃ (4)

matrisini götürək. Bu matrisin tərsi:

A -1 ₃ = (5)

Doğrudan da, burada A_{i k} ilə a_{i k} elementinin cəbri tamamlayıcısı işarə olunduğunu və determinantların xassəssini nəzərə alsaq:

A -1 ₃ A₃ =

və yaxud tələb olunan

A -1 ₃ A₃ = = I₃

Üçtərtibli (4) kvadrat matrisinin (5) tərsinin qurulma sxemi çox sadədir: (4) matrisinin a_{i k} elementi onun uyğun A_{i k} cəbri tamamlayıcısının ədədinə nisbəti ilə əvəz olunur. Alınan matrisin çevrilməsi (baş diaqonala nəzərən çevrilməsi) (5) matrisinə bərabərdir. həmin qayda ilə n-tərtibli cırlaşmayan kvadrat

a₁₁ a₁₂ . a_1n

A = a₂₁ a₂₂ . a_2n (∆A) 0)

a_n1 a_n2 . a_nn

tərs matrisini qurmaq olar.

matrisinin tərs matrisi: A -1 = .

Tutaq ki, (m · n) – ölçülü

a₁₁ a₁₂ . a_1n

A = a₂₁ a₂₂ . a_2n

a_m1 a_m2 . a_{m n}

matrisi verilmişdir. Bu matrisin ixtiyari k sayda sətrinin ixtiyari k sayda sütunu ilə kəsişdiyi elementlər k-tərtibli bir kvadrat matris təşkil edir. Bu k-tərtibli matrisin determinantına A martisinin k-tərtibli minoru deyilir. Burada k ədədi m və n ədədlərinin kiçiyindən böyük ola bilməz.

A matrisinin heç olmasa bir elementi sıfırdan, fərqlidirsə, onda onun sıfırdan fərqli minorları içərisində elə birisi vardır ki, onun tərtibi ən böyükdür. A matrisinin sıfırdan fərqli minorları tərtiblərinin ən böyüyünə həmin matrisin ranqı deyilir.

A matrisinin ranqını r(A) ilə işarə etsək, onun üçün

Aydındır ki, A matrisinin ranqı r olarsa, onda onun sıfırdan fərgli r-tərtibli minoru vardır və tərtibi r-dən böyük olan bütün minorları sıfra bərabərdir.

Dostları ilə paylaş:

Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©muhaz.org 2023
rəhbərliyinə müraciət