Tənliklər sistemi: həll üsulları, nümunələr, çalışmalar

u(x,y) = x 3 + 3x 2 y 2 + y 4

RİYAZİYYAT – Tələbə Qəbulu Üzrə Dövlət Komissiyası

Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.

Qəbul proqramı Qəbul proqramı respublikanın ümumtəhsil məktəblərinin V-XI siniflərində hazırda istifadədə olan “Riyaziyyat” proqramı əsasında tərtib edilmişdir. Ümidvarıq ki, verilən mövzuların mənimsənilməsi abituriyentlərdə məntiqi düşünmə qabiliyyətinin artmasına və həmin mövzulara aid çalışmaları rasional üsullarla həll etmək bacarığının formalaşmasına kömək edəcək. Qəbul proqramının sonunda test tapşırıqlarının yerinə yetirilməsində abituriyentlərə kömək məqsədilə əsas teorem və düsturlar verilib. HƏQİQİ ƏDƏDLƏR Natural ədədlər və onların onluq say sistemində yazılışı. Tam və qalıqlı bölmə. Bölünən və bölən. Ədədlərin bölünmə əlamətləri. Sadə və mürəkkəb ədədlər. Natural ədədlərin sadə vuruqlara ayrılması. Ən böyük ortaq bölən (ƏBOB), ən kiçik ortaq bölünən (ƏKOB). Natural ədədlər üzərində əməllər. Adi kəsr. Kəsrin əsas xassəsi. Kəsrlərin ixtisarı. Kəsrlərin müqayisəsi. Adi kəsrlər üzərində əməllər. Ədədin hissəsinin və hissəsinə görə ədədin tapılması. Onluq kəsr. Onluq kəsrlər üzərində əməllər. Ədədin tam və kəsr hissəsi. Adi kəsrin onluq kəsrə və onluq kəsrin adi kəsrə çevrilməsi. Adi, onluq və dövri kəsrlər üzərində birgə əməllər. Tam ədədlər. Rasional ədədlər. Rasional ədədlərin koordinat düz xətti üzərində təsviri. Ədədin modulu. Rasional ədədlərin müqayisəsi. Rasional ədədlər üzərində əməllər. İrrasional ədədlər. Həqiqi ədədlər və onların onluq kəsr şəklində yazılışı. Həqiqi ədədlər üzərində əməllər. KOMPLEKS ƏDƏDLƏR Kompleks ədədin tərifi. Qoşma kompleks ədədlər. Kompleks ədədlər üzərində cəbri əməllər. Kompleks ədədin həndəsi təsviri. Kompleks ədədin modulu və arqumenti. Kompleks ədədin triqonometrik şəkli. Muavr düsturu. Triqonometrik şəkildə verilmiş kompleks ədədlər üzərində əməllər. NİSBƏT. TƏNASÜB. FAİZ Nisbət. Tənasüb və onun əsas xassəsi. Düz və tərs mütənasib kəmiyyətlər. Ədədin verilmiş ədədlərlə mütənasib hissələrə bölünməsi. Faiz. Ədədin faizinin tapılması. Faizinə görə ədədin tapılması. İki ədədin faiz nisbəti. Kəmiyyətlərin faizlə dəyişməsi. TAM CƏBRİ İFAD ƏLƏR. RASİONAL KƏSRLƏR Ədədi ifadələr. Dəyişəni olan ifadələr. Tam cəbri ifadələr və onlar üzərində əməllər. Natural üstlü qüvvət və onun xassələri. Birhədlilər və çoxhədlilər, onların standart şəkli. Birhədlilər və çoxhədlilər üzərində əməllər. Eyniliklər və eynilik çevrilmələri. Müxtəsər vurma R İYAZİYYAT (I və II ixtisas qrupları üçün) TƏLƏBƏ QƏBULU – 2010 düsturları. Müxtəlif üsullarla çoxhədlinin vuruqlara ayrılması. Cəbri kəsr. Cəbri kəsrin əsas xassəsi. Cəbri kəsrin ixtisarı. Cəbri kəsrlər üzərində əməllər. Rasional ifadələrin eynilik çevrilmələri. İRRASİONAL İFADƏLƏR HƏQİQİ ÜSTLÜ QÜVVƏT Kvadrat kök. Hesabi kvadrat kök. Hesabi kvadrat 2 kökün xassələri. x = | x | eyniliyi. Vuruğun kök işarəsi altından çıxarılması. Vuruğun kök işarəsi altına salınması. Kvadrat köklər daxil olan ifadələrin çevrilməsi. Tam üstlü qüvvət və onun xassələri. Ədədin standart şəkli. Həqiqi üstlü qüvvət və onun xassələri. Qüvvətlərin müqayisəsi. Həqiqi ədədlərin n-ci dərəcədən kökü və onun xassələri. Kəsrin məxrəcinin irrasionallıqdan azad edilməsi. İrrasional ifadələrin eynilik çevrilmələri. ÇOXLUQLAR. BİRLƏŞMƏLƏR NƏZƏRİYYƏSİNİN VƏ EHTİMAL NƏZƏRİYYƏSİNİN ELEMENTLƏRİ Çoxluqlar və onlar üzərində əməllər. İki sonlu çoxluğun birləşməsinin elementlərinin sayı. Hesabi çoxluq. Çoxluqlarda cəm qaydası. Permutasiyalar. Aranjemanlar. Kombinezonlar. Nyuton binomu. Binomial əmsalların xassələri. Tusi – Paskal üçbucağı. Hadisə anlayışı. Elementar hadisələr. Ehtimalın klassik tərifi. Birləşmələr nəzəriyyəsinin düsturlarının tətbiqi ilə sadə məsələlərin həlli. BİRDƏYİŞƏNLİ TƏNLİKLƏR VƏ TƏNLİK QURMAQLA MƏSƏLƏ HƏLLİ Tənlik və onun kökləri. Eynigüclü tənliklər. Xətti tənlik, ona gətirilən birməchullu tənliklər və məsələlər. Tənliklərin qrafik üsulla həlli. Kvadrat tənliklər. Kvadrat tənliyin kökləri düsturu. Viyet teoremi və onun tərsi olan teorem. Kvadrat üçhədlinin vuruqlara ayrılması. Kvadrat tənliyə gətirilən tənliklər və məsələlər. Rasional və irrasional tənliklər. Modul işarəsi daxilində məchulu olan tənliklər. TƏNLİKLƏR SİSTEMİ İkidəyişənli xətti tənlik. İkidəyişənli xətti tənliklər sistemi. İkidəyişənli xətti tənliklər sisteminin həllinin araşdırılması. Eynigüclü tənliklər sistemi. İkidəyişənli xətti tənliklər sisteminin həlli üsulları. Biri birdərəcəli, digəri ikidərəcəli olan tənliklər sistemi. Hər iki tənliyi ikidərəcəli və daha yüksək dərəcəli olan tənliklər sistemi. Tənliklər sistemi qurmaqla məsələ həlli. 31

• Page 2 and 3: TƏLƏBƏ QƏBULU – 2010 Riyaziyyat
• Page 4 and 5: TƏLƏBƏ QƏBULU – 2010 Riyaziyyat

Share

Share from cover
Share from page:

Inappropriate

Flag as Inappropriate Cancel

Inappropriate

You have already flagged this document.
Thank you, for helping us keep this platform clean.
The editors will have a look at it as soon as possible.

Tənliklər sistemi: həll üsulları, nümunələr, çalışmalar

The ekuasiya sistemləri Bunlar ümumi bir həll tapması lazım olan bir neçə dəyişənə malik iki və ya daha çox tənlikdən ibarətdir. Bunlar tez-tez olur, çünki praktikada müxtəlif yollarla əlaqəli bir çox amillərdən asılı olan çox sayda vəziyyət var.

Ümumiyyətlə, hər bir funksiyanın həllinin təmin etməli olduğu şərtlərdən birini təmsil etdiyi bir tənlik sistemi aşağıdakı formaya malikdir:

Bir misala baxaq: sahəsi 180 sm olan düzbucaqlı kağız vərəqlər düzəltməyiniz lazım olduğunu düşünək 2 və 54 sm ətrafı var. Vərəqin ölçüləri nə olmalıdır?

Suala cavab vermək üçün düzbucaqlı bir təbəqənin ölçülərinin iki olduğunu nəzərə alırıq: eni və hündürlüyü. Bu o deməkdir ki, adi adları verəcəyimiz 2 dəyişən var x və Y.

Və bu dəyişənlər eyni zamanda qoyulmuş iki şərti təmin etməlidir:

-İlk şərt: təbəqənin sahəsi 180 sm-dir 2 . Bu ilk funksiya olacaq: F₁.

-İkinci vəziyyət: təbəqənin ətrafı və ya konturu 54 sm olmalıdır. Bu ikinci funksiyadır F₂.

Hər bir şərt üçün cəbri dil istifadə edərək bir tənlik qurulur. Düzbucaqlı bir təbəqənin A sahəsi, hündürlüyün dəfələrlə vurulması ilə əldə edilir:

A = x.y = 180 sm 2

Perimetri P tərəfləri əlavə etməklə nəticələnir. Perimetri tərəflərin cəmi olduğundan:

P = 2x + 2y = 54 sm

Nəticədə iki tənlik və iki bilinməyən sistemdir:

Məhsulu 180, cəminin ikiqat məhsulu 54 olan və ya eyni olan iki ədədə ehtiyacımız var: birlikdə əlavə olunanda 27 verməli. Bu ədədlər 12 və 15-dir.

Həll olunmuş tapşırıqlar hissəsində bu dəyərləri tapmaq üçün ətraflı metod təqdim edəcəyik, bu arada oxucu hər iki tənliyi səmərəli şəkildə yerinə yetirdiyini əvəz edərək asanlıqla təsdiq edə bilər.

Tənliklər sistemlərinin tətbiqinə nümunələr

Yuxarıda təklif olunan vəziyyət 2 dəyişəndən ibarətdir və onları tapmaq üçün ən azı 2 tənlik tələb olunur. Daha çox dəyişənə sahib sistemlər var, amma hər halda sistem varsa n bunlardan ən azı tələb olunur n Əgər varsa, həllini tapmaq üçün bir-birindən asılı olmayan tənliklər (biri digərlərinin xətti birləşməsi ola bilməz).

Müraciətlərə gəldikdə, onlar çoxdur. Tənliklər sistemlərinin faydalı olduqlarını sübut edən bəzi məlumatlar:

-Kirchoff qanunlarından istifadə edərək bir dövrədə gəzən cərəyanları tapın.

-Quru və hava nəqliyyatında gediş və gəliş vaxtlarını təyin etmək.

-Çoxlu qarşılıqlı təsirə məruz qalan dinamik və ya statik sistemlərdə qüvvələrin böyüklüyünü tapın.

-Müəyyən bir müddətdə və ya fabriklərdə satılan əşyaların miqdarını bilmək, səth və ya həcm baxımından müəyyən şərtləri təmin etmək üçün obyektlərin ölçülərini təyin etmək.

-Müxtəlif sərmayələrdə kapitalın necə paylanacağını təyin edərkən.

-Müxtəlif xidmətlər üçün tarifləri təyin edin, məsələn telekommunikasiya və ya şoular və toplanan pulun miqdarını bilmək (həll olunmuş nümunə 2-yə baxın).

Tənliklər sistemini həll etmə üsulları

Metodyerdəyişmə

-Tənlik seçilir və dəyişənlərdən biri silinir.

-O zaman silinən dəyişəni başqa bir tənlikdə əvəz etməlisən. Sonra bu dəyişən oradan yox olur və sistemin iki tənliyi və iki bilinməzliyi varsa, onsuz da həll edilə bilən dəyişən ilə bir tənlik qalır.

-Sistemdə ikidən çox dəyişən varsa, başqa bir tənlikdən üçüncü bilinməyən bir problemi həll etməli və onu da dəyişdirməlisiniz.

Bu metodun tətbiqinə misal həll olunmuş 1-ci məşğələdə verilmişdir.

Azaldılması və ya aradan qaldırılması üsulu

Bu metod bir və ya daha çox dəyişəni aradan qaldırmaq və yalnız birini tərk etmək üçün tənliklər əlavə etmək və ya çıxmaqdan ibarətdir. Bunun üçün tənlikləri başqa bir tənliklə əlavə edərkən bilinməyən itəcək bir əmsal ilə vurmaq rahatdır. Bir misala baxaq:

İlk tənliyi 4-ə vururuq:

12x 2 – 4y 2 = 44

Onları əlavə edərkən bilinməyən yox olur Y, qalan:

Buna görə x₁ = 2 və x₂ = -2. Bu dəyərlərlə oxucu bunu və₁ = 1 və y₂ = -1

Bərabərləşdirmə metodu

Sistem iki bilinməyən iki tənlik olduqda:

-Bir naməlum seçilir və hər iki tənlikdən silinir.

-Nəticələr bərabərləşdirilir, bu da bilinməyən tək bir tənlik əldə etməyə imkan verir.

-Bu tənlik həll olunur və nəticəsi əvvəlki boşluqlardan birində əvəzlənərək digərinin dəyəri məlum deyil.

Bu metod növbəti hissənin həll edilmiş 2-ci tətbiqində tətbiq ediləcəkdir.

Qrafik metod

Bu metod hər bir tənliyin təmsil etdiyi əyrilərin qrafikindən ibarətdir. Kəsişmə nöqtəsi sistemin həllidir. Aşağıdakı nümunə sistemin qrafik həllini göstərir:

Tənliklərdən birincisi mənşəyi mərkəzləşdirilmiş radius 1 dairəsidir, ikincisi isə sətirdir.

Hər ikisinin kəsişməsi mavi rəngdə göstərilən iki nöqtədir. Oxucu yuxarıdakı tənliklərdəki nöqtələrin koordinatlarını əvəz etməklə bir bərabərliyin əldə edildiyini görə bilər.

Məşqlər

– İdman 1 həll edildi

180 sm sahəsi olan düzbucaqlı vərəqlər düzəltmək lazımdır 2 və 54 sm perimetri ilə. Vərəqin ölçüləri nə olmalıdır?

Həll

İkinci tənlik x + y = 27-ə qədər sadələşdirilə bilər, buna görə də:

İkinci tənliyin bilinməyənlərindən biri həll olunur:

Birincisi rəsmiləşdirmə ilə əvəzlənir:

Paylayıcı əmlakın tətbiqi:

Tənlikin hər iki tərəfində (-1) ilə vuraraq 180-i sol tərəfə göndərin:

x 2 – 27x +180 = 0

İkinci dərəcəli bir tənlik x ilə nəticələnir ki, bu düsturla həll olunur:

A = 1 ilə, b = -27 və c = 180

– Məşq həll edildi 2

Bir əyləncə parkında aşağıdakı giriş haqqı var: uşaqlar 1,5 dollar, böyüklər 4 dollar. Bir gündə 5050 dollar toplayaraq 2200 ziyarətçi gəldi. O gün parka gələn uşaq və böyüklərin sayını tapın.

Həll

Ol x uşaq sayı və Y yetkinlərin sayı. Hər ikisinin cəminin 2200 olması lazım olduğunu bildiyimizdən tənliklərdən birincisini qura bilərik:

İndi yığılan pulla gedirik. Uşaq biletinin qiyməti hər uşaq üçün 1,5 dollardır, bu dəyəri x sayına, uşaq sayına vuranda uşaq bileti üçün məbləğə sahibik:

1.5x = uşaq biletləri üçün toplanan pul

Yetkin başına $ 4-u böyük qonaqların sayına və sayına vursaq, bütün yetkinlər üçün ümumi pul qazanırıq:

4y = yetkin biletlərin topladığı pul

5050 dollar əldə etmək üçün bunu bir yerə əlavə edirik:

Bizim tənliklər sistemimiz:

Bərabərləşdirmə yolu ilə həll edəcəyik. Y dəyişənini birinci və ikinci tənlikdən ayırırıq:

y = (5050 – 1,5 x) / 4

Hər iki ifadəyə uyğun gəlirik:

2200 – x = (5050 – 1.5x) / 4

Fraksiyanı aradan qaldırmaq üçün hər şeyi 4-ə vururuq:

8800 – 4x = 5050 – 1.5x

Şərtləri solda x, sağdakı təmiz rəqəmlərlə qruplaşdırırıq:

-4x + 1.5x = 5050 – 8800

Yetkinlərin sayını tapmaq üçün bu dəyəri y = 2200 – x ilə əvəz edirik:

y = 2200 – 1500 = 700 yetkin.

İstinadlar

1. CK-12. Tənliklər və bərabərsizliklər sistemləri. Ck12.org saytından bərpa edildi.
2. Hoffman, J. Riyaziyyat Mövzularının Seçimi. Cild 2.
3. Jiménez, R. 2008. Cəbr. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Precalculus: Riyaziyyat üçün Riyaziyyat. 5-ci. Nəşr. Təlimdən imtina edin.
5. Zill, D. 1984. Cəbr və Trigonometriya. McGraw Hill.

Tam diferensiallı tənliklər. Yüksək tərtibli diferensial

diferensial tənliyin sol tərəfi hər hansı u(x,y) funksiyasının tam diferensialıdır. Onda bu diferensial tənlik tam diferensiallı adlanır.

Tam diferensiallıq. Tərifə əsasən

p(x,y)dx + Q(x,y)dy = du(x,y) = dx + dy (2)

p(x,y) = , Q(x,y)=

Birinci bərabərlikdən y-ə, ikincidən x-ə nəzərən xüsusi törəmə alaq.

Şvars teoreminə görə

bərabərliyi (1) tənliyinin tam diferensiallıq şərti adlanır. Bu bərabərlik ödənildikdə axtarılan u(x) funksiyasını tapmaq olur. Onda (1) diferensial tənliyi du(x,y) = 0, bunun həlli isə u(x,y) = c olar.

(3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 0

p = 3x 2 + 6xy 2 , Q = 6x 2 y + 4y 3

= 12xy , = 12xy

Tam diferensiallıq şərti ödəndi. Odur ki,

= 3x 2 + 6xy 2 , hər tərəfi dx vurub inteqrallayaq:

u(x,y) = x 3 + 3x 2 y 2 + φ(y)

(φ(y) hələlik məlum olmayan funksiyadır).

Hər tərəfdən y-ə nəzərən törəmə alaq.

= 6x 2 y + φꞌ(y), = Q olduğundan

6x 2 y + 4y 3 = 6x 2 y + φꞌ(y)

φꞌ(y) = 4y 3 , φ(y) = y 4

u(x,y) = x 3 + 3x 2 y 2 + y 4

alınır və verilmiı tənliyin ümumi inteqralı.

x 3 + 3x 2 y 2 + y 4 = c

►Tutaq ki, (1) tənliyi tam diferensiallı deyil. Yəni 93) şərti ödənilmir. Bəzi hallarda elə μ(x,y) funksiyası tapmaq olur ki, (1) tənliyinə vurmaqla tənlik tam diferensiallı olur. Yəni

Göründüyü kimi xüsusi törəməli diferensial tənlik alındı. Odur ki, xüsusi hallarda baxaq, hansı ki, inteqrallayıcı vuruğu nisbətən asan tapmaq olur

1) μ = μ(x) onda = 0 və (4) tənliyi

şəklinə düşür. Inteqrallayıb, nəticədə

ln μ(x) = , μ(x)= (6)

(2x 2 y + 2y + 5)dx + (2x 3 + 2x)dx

(5) düsturunu tədbiq edək.

= · (2x 2 + 2 – 6x 2 – 2) = h(x)

h(x) = – = , demək

ln μ(x) = = = = -1

tənliyi μ(x)-ə vuraq

dy = 2xdy , u(x,y) =

Buradan, = 2y + = – 2y =

Beləliklə, u(x,y) = 2xy + 5arctgx alınır.

Tənliyin ümumi inteqralı 2xy + 5arctgx = c ; x=0