Çoxluqlar nzriyysi

Məsələn: 7 və 8 arasında yerləşən natural ədədlər çoxluğu boş çoxluğudur (yəni 7 və 8) arasında natural ədəd yoxdur.

Çoxluqlar nzriyysi

Çoxluq riyaziyyatın ilk riyazi anlayışlarindan biridir. O müxtəlif obyektlərin (kitabların, dəftərlərin, qoyunların, atların, uiduzların, ədədlərin, fiqurların və s) toplusudur.

Çoxluğu əmələ gətirən obyekt onun elementi adlanır.

Məsələn: həndəsi fiqurlardan ibarət çoxluğu həndəsi fiqurlar çoxluğu adlandirsaq onun elementləri çevrə, dairə, üçbucaq, dördbucaq, prizma, piramida və sairə olar.

Çoxluqlar böyük mötərizələrin köməyi ilə yazılır, latın əlifbasının böyük hərfləri A,B,C,……. Z ilə işarə olunur.

Məsələn:A=

a-nın A çoxluğunun elementi olması €-daxildir işarəsinin köməyi ilə a€ A kimi, p-nin A çoxluğunun elementi olmaması daxil deyil işarəsi ilə p€A kimi işarə yazılır. Çoxluqlar elementlərinini sayına görə sonlu və sonsuz olur.

Sonlu sayda elementi olan çoxluğa sonlu çoxluq deyilir.
Əlifbamızdakı hərflər və yasəslər çoxluqları sonlu çoxluqlardır.
Elementlərinin sayı sonsuz olan çoxluğa sonsuz çoxluq deyilir.
Ulduzların, ədədlərin (natural ədədlərin) əmələ gətirdiyi çoxluqlar sonsuz çoxluqlardır.
Natural ədədlərdən ibarət olan çoxluğa natural ədədlər çoxluğu deyilir.

Natural ədədlər çoxluğu N= şəklində yazılır. 1 ən kiçik natural ədəddir, ən böyük ədəd yoxdur. Natural ədədlər çoxluğu sonsuz çoxluqdur.

Heç bir elementi olmayan çoxluq boş çoxluq adlanır və ᴓ işarəsi ilə yazılırş

Məsələn: 7 və 8 arasında yerləşən natural ədədlər çoxluğu boş çoxluğudur (yəni 7 və 8) arasında natural ədəd yoxdur.

Çoxluqların birləşməsi

İki çoxluqdan heç olmasa birinə (və yahər ikisinə) daxil olan elementlərdən təşkil olunmuş çoxluğa bu çoxluqların birləşməsi deyilir.

A= və B= çoxluqların birləşməsi A U B= çoxluğudur(U- birləşmə işarəsidir.)
Çoxluqların birləşməsini Venn diaqramı vasitəsi ilə əyani şəklində təsvir etmək olar.
İstənilən çoxluğun boş çoxluqla birləşməsi özünə bərabərdir.(A U /O=A)
A U A =A
Çoxluqların kəsişməsi
İki çoxluğun ortaq elementlərindən yaranan çoxluğa bu çoxluqların kəsişməsi deyilir.

Qutuda müxtəlif rəngdə kürələr vardı Vasif qutudan ağ, sarı, mavi rəngli, Elçin mavi, yaşıl, bənönşəyi rəngli kürələr götütdü. Hansı rəngdə kürə uşaqların hər ikisində var? -Mavi, rəngdə uaşqların zövqü eynidir, maraqları kəsişir.

A=-qalın saitlər və B= -dodaqlanan saitlər şoxluqlarının ortaq elemetlərindən təşkil olunmuş
C=çoxluğuna A və B çoxluqlarının kəsişməsi deyilir, C= A Ƞ B kimi yazılır.A Ƞ B=
Çoxluqların kəsişməsini Venn diaqramının köməyi ilə daha aydın şəkildə təsvir etmək olar.
Ortaq elementi olmayan çoxluqların kəsişməsi boş çoxluqdur.
C= D= olduqda C Ƞ D =/O

İstənilən çoxluğun boş çoxluqla kəsişməsi boş çoxluqdur. Özü ilə kəsişməsi özünə bərabərdir. C Ƞ C= C
Bərabər çoxluqlar. Alt çoxluq

Bir – birindən yalnız elementlərinin düzülüşünə ilə fərqlənən çoxluqlar bərabər çoxluqlardır. Məsələn, C= çoxluğu D= çoxluğuna bərabərdir. (C=D)

Əgər iki çoxluqdan birinin bütün elementleri o biri çoxluğa daxildirsə, onda birinci çoxluğa ikinci çoxluğun alt çoxluğu deyilir.

Cüt ədədlər çoxluğu natural ədədlər çoxluğunun alt çoxluğur. Cüt ədədlər çoxluğunu A= natural ədədlər çoxluğunu N=

Bərabər çoxluqlardan biri digərininalt çoxluğudur.
MÖVZU: Venn diaqramının tətbiqi ilə məsələ həlli
Standartlar: 1.1.4.İki sonlu çoxluğun birləşməsini və kəsişməsini tapır.
Dərsin tipi: İnduktiv.
İş formaları: Fərdi,cütlərlə.
İş üsulları: Müzakirə, beyin həmləsi.
İteqrasiya: Həyat bilgisi, Azərbaycan dili, Çoxluqlara aid mövzular.
Resurslar: Dərslik, iş vərəqləri, kompyuter, proyektor.
Şagird bacarıqları:
1.Müəyyən qanunauyğunluqlara əsasən verilmiş çoxluqları yazır.
2.Çoxluqların kəsişməsini və birləsməsini tapır.
3.İki çoxlugun kəsişməsini və birləşməsini Eyler- Venn diaqramları ilə təqdim edir.

Sinifə daxil olub salamlaşıram və əhvallarını soruşuram. Sinif numayəndəsinin sinif davamiyyəti haqqindakı məlumatı dinləyirəm. Ev tapşirıqlarına nəzarət edib başa düsmədikləri başa salıram.Keşmiş dərsə aid sual-cavab edirəm.

Sonra onlara “HƏYAT” adlı hekayə oxuyuram

Tanrı yaratdığı varlıqları müxtəlif çoxluqlarda yerləşdirərək həyat kürəsini nizamladı. Zamanla çoxluqlar birləşərək böyümək, kəsişərək ortaq gəlib zamana hakim olmaq istədilər. Lakin nə qədər genişlənsələr də dairəvi məkanin elementi olaraq təkrarlanan zamandan asılı oldular. Birləşdikdə fərqli elementlərdən, kəsişdikdə yalnız ortaq elementlərdən ibarət olduqlarrından həyatın, günəşin, torpağın, havanın, suyun bir hissəsi oldular.

Sonra sinifə aşağıdakı suallarla müraciət edirəm;

Hekayədən çoxluqların kəsişməsi və birləşməsi haqqında hansı nəticə çıxartdınız? Fikirlər müxtəlif olur, hər fikirə hörmətlə yanaşıb və fikirləri ilə bölüşürəm.

Davamı olaraq heyvanlar, quşlar, rəqəmlər, həriflər olan çoxluqlar şəkillərini təqdim edirəm.tapşırıqlar verirəm.

1. Rəqəmlərdən və ya həriflərdən ibarət çoxluqların birləşməsini və kəsişməsini yazırlar .

2. İnternetdən və kitablardan öyrəndikləri məlumatlara əsasən heyvanları müəyyən qanunauyğunluqlara görə (məsələn, ət yeyən və ot yeyən) çoxluqlara ayırırlar.

Onlarında birləşməsini və kəsişməsini tapırlar.

Tədqiqat sualı: Çoxluqlara aid məsələləri Eyler- Venn diaqramında təsvir etməklə həll etmək olarmı?
Tədqiqatın aparılması:Azəri cizgi filimləri nümayiş etdirirəm.

1.Tülkü həccə gedir.
2.Tık-tık xanim

Cizgi filimlərindən 1-ci və 2-ci filimlərdəki hansı personajlar iştirak etdiyini sorusuram. Onlar cizgi filimlərə A və B çoxluqları kimi baxıb yazırlar. Sonra tülkünün hiyləgərliyini əks etdirən hər iki cizgi filimdə birlikdə neçə personal olduğunu soruşuram. Bu işi çoxluqların birləşməsini Eyler-Venn diaqramında təsvir etməklə yerini yetirmələrini tapşırıram. Şagirdlər verilənləri Venn diaqramında təsvir etməklə cizgi filmindəki personajları müəyyənləşdirirlər.

Diqqəti məsələ həllinə yönəltmək üçün şagirdlərə fərdi yanaşır və onlara iki variantda hazırladığım iş vərəqlərini paylayıram. Onlarda tapşırıqları işləyərk həm çoxluqların birləşməsini və kəsişməsini tapır,həm də müxtəlif şəkillərə uyğun məsələləri Venn diaqramın köməyi ilə həll edirlər.

İş vərəqləri paylayıram:
1. Çoxluqların birləşməsini yazın və Eyler- Venn diaqramında təsvir edin.
A=(heyvanlar) B=(quşlar)

2. Azərbaycanın işğal olunmuş rayonların adlarından ibarət iki sonlu çoxluq yazıb, çoxluğun kəsişməsini tapın və Eyler-Veen diaqramında təsvir edin.

3. Rəqəmlədən və həriflərdən ibarət iki və daha çox sonlu çoxluq yazın və kəsişməsini tapın və Eyler-Venn diaqramında təsvir edin.

4. Azərbaycanın işğal olunmuş rayonlarının adlarından ibarət iki sonlu çoxluq yazıb,çoxluğun birləşməsini tapın və Eyler-Veen diaqramında təsvir edin.

Tapşırıqların yerinə yetirilməsinə ayrılan vaxt bitdikdən sonra hər qrupdan bir şagird işləri təqdim edir. Müzakirə aparırıq, səhv və düzgün cavablar müəyyənləşdiririk.

Eyler-Veen diaqramında məsələlərin həlli üçün aşağıdakı nəticəyə gəlirik.

1)Əvvəlcə hər iki şoxluğa aid olan elementləri diaqramların kəsişdikləri hissədə yerləşdirməliyik. Elementləri diaqramda nöqtələrlə, işarələrlə, rəqəmlərlə və s.göstərmək olar.

2) Fərqli elementləri diaqramların kəsişmədikləri hissələrdə qeyd edirik. Bu zaman diaqramın bütün hissələrindəki elementlərinin sayına bərabər olur.

Yaradıcı tətbiqetmə:
Müzakirələrdən sonra ümumi sinifə hazirladığım iş vərəqlərini paylayıram.
İş vərəqi:

Sinifdəki 28 şagirddən hər biri ya Səməd Vurğunun,ya da Bəxtiyar Vahabzadənin heç olmasa bir şerini əzbər bilir. Yalnız Səməd Vurğunun şerini bilənlər 20 nəfər, Bəxtiyar Vahabzadənin şerini bilənlər isə 16 nəfərdir. Şagirdlərdən neçəsi həm Səməd Vurğunun, Bəxtiyar Vahabzadənin şerlərini əzbər bilirlər.

Vaxt tamam olduqdan sonra şagirdlər öz işlərini təqdim edir. Müzakirələr yekunlaşır.

Evə tapşıriq verirəm ,əlavə olaraq şagirdlərə evdə xoşladıqları meyvə və tərəvəzlər haqqında internetdən məlumat toplamağı, yoldaşı ilə ortaq zövqləri(1 nəfərlə) müəyyənləşdirməyi tapşırıram.

Qiymətləndirmə:

Qruplarin fəaliyyətini qiymətləndirmək üçün həm mövzu ilə bağlı, həm də meyarlar əks olunmuş qiymətləndirmə cədvəlindən istifadə edirəm.

Çoxluqlar nzriyysi

Bərabər çoxluqlar. Alt çoxluqlar 1. Əgər B çoxluğunun hər bir elementi, həm də A çoxluğuna daxildirsə, onda B

çoxluğuna A çoxluğunun alt çoxluğu deyilir. Məsələn, B düzbucaqlılar çoxluğu A dördbucaqlılar çoxluğunun alt çoxluğudur. Bu fikir “⊂“ işarəsinin (çoxluğun çoxluğa daxil olması) köməyi ilə B ⊂ A kimi yazılır.
Hər bir çoxluq özünün alt çoxluğudur: A ⊂ A
Boş çoxluq istənilən çoxluğun alt çoxluğudur: ∅ ⊂ A
2. Əgər A çoxluğunun bütün elementləri B çoxluğuna daxildirsə və eyni zamanda B çoxluğunun bütün elementləri A çoxluğuna daxil olarsa, onda bu çoxluqlar bərabər çoxluqlar adlanır. Yəni A ⊂ B və B ⊂ A isə, onda A = B. Məsələn, A = və B = çoxluqlarının elementləri yalnız düzülüşləri ilə fərqlənir. A və B bərabər çoxluqlardır və A = B kimi yazılır.

1. Hansı çoxluq digər çoxluğun alt çoxluğudur?
   1) M – cüt ədədlər çoxluğu, L – 4-ə qalıqsız bölünən ədədlər çoxluğu.
   2) S – sinifdəki qızlar çoxluğu, R – sinifdəki şagirdlər çoxluğu.
   3) E – ev quşları çoxluğu, P – toyuqlar çoxluğu.
2. A = çoxluğu verilmişdir.
   1) A çoxluğunu necə adlandırmaq olar?
   2) A çoxluğu hansı çoxluqların alt çoxluğudur? İşarələrlə yazın:
   a) B – 11-ə bölünən ədədlər çoxluğunun
   b) C – ikirəqəmli ədədlər çoxluğunun
   c) D – tək ədədlər çoxluğunun
3. D – çoxluğu təkliklər mərtəbəsindəki vahidlərin sayı onluqlar mərtəbəsindəki vahidlərin sayından 3 vahid böyük olan ikirəqəmli ədədlər çoxluğudur. Bu çoxluğun neçə elementi var?
4. 1) 3, 4, 5, 6 rəqəmlərinin hər birindən bir dəfə istifadə etməklə yazılan dördrəqəmli ədədlər çoxluğunun neçə elementi var?
   2) A = hərflər çoxluğu ilə hansı sözləri yazmaq olar? mən, sim, sən, əsir sözlərinin hərflər çoxluğunu işarə edin və A çoxluğunun alt çoxluğu olub-olmadığını yazın.
5. Minayə xala deyir ki, onların ailəsi 1976-cı ildən başlayaraq 14 il ərzində hər il yayı Şuşada dincələrdilər. Minayə xalagilin ailəsinin Şuşada dincəldiyi illəri göstərən çoxluğu yazın. 1993-cü il bu çoxluğa aiddirmi? Aşağıda verilmiş B və C çoxluqlarından hansı bu çoxluğun alt çoxluğudur? Bu çoxluğun alt çoxluğu olan daha iki çoxluq da siz yazın.

Çoxluqların birləşməsi və birləşmənin xassələri

Çoxluq dedikdə müəyyən əşyalar toplusu başa düşülür. Çoxluğun elementləri adlanan bu ünsürlər çox vaxt müəyyən ümumi keyfiyyətlərə malik olur. Məsələn, kitabda olan vərəqlər çoxluğu, hər hansı tənliyin kökləri çoxluğu və i. a. Çoxluq o zaman verilmiş hesab olunur ki, hər hansı elementin ona daxil olub-olmadığını müəyyən etmək mümkün olsun. Əgər çoxluğu əmələ gətirən elementlər sonlu sayda olarsa, belə çoxluq sonlu, əks halda isə sonsuz çoxluq adlanır. İki çoxluq yalnız və yalnız o zaman bərabər hesab olunur ki, onlar eyni elementlərdən ibarət olsunlar. Hər hansı bir çoxluğu təşkil edən obyektlərə bu çoxluğun elementi deyilir. Çoxluqlar böyük hərflərlə, çoxluğun elementləri isə uyğun kiçik hərflərlə işarə olunur. Çoxluq nəzəriyyəsində a€A münasibəti o deməkdir ki, a A çoxluğunun elementidir.

Çoxluq adətən böyük latın hərfləri ilə işarə edilir: A B C və i. a. Çoxluğun elementləri isə kiçik latın hərfləri ilə ışarə olunur. Çoxluqlar öz elementləri ilə birqiymətli təyin olunur. Sonlu çoxluqlar bilavasitə elementlərin sadalanması yolu ilə verilə bilər. Bu elementlər fiqurlu mötərizə içərisində yazılır. Məsələn, >A= yazılışı üç elementdən təşkil olunmuş çoxluğu göstərir. Bəzən sonsuz çoxluqları da elementlərin bir hissəsini sadalamaqla vermək mümkün olur. Bu o zaman edilir, elementlərin düzülüş sırasına əsasən və ya digər üsulla çoxluğun bütün elementləri müəyyən oluna bilsin. Məsələn, natural ədədlər çoxluğunu > şəklində, tam ədədlər çoxluğunu isə > > şəklində göstərmək olar.

Çoxluq o zaman verilmiş hesab edilir ki, istənilən elementin bu çoxluğa daxil olub və ya olmadığını birqiymətli söyləmək mümkün olsun. Elementlərinin sayının sonlu və ya sonsuz olmasından asılı olaraq çoxluqları sonlu və ya sonsuz çoxluqlara ayırırlar. Sonlu çoxluğu işarə edərkən onun elementlərini mötərizə daxilində “” göstərirlər. Məsələn, A = . Sonsuz çoxluğu işarə edərkən onun bütün elementlərinin elə xassəsi göstərilir ki, verilmiş elementin həmin çoxluğa daxil olub-olmadığını birqiymətli söyləmək mümkün olur, yəni çoxluğun elementlərinin mühüm və ümumi xarakteristik xassələri ğöstərilir. Məsələn: A = -yəni 3-ə bölünən natural ədədlər çoxluğu. Ola bilər ki, çoxluğun heç bir elementi olmasın. Heç bir elementi olmayan çoxluq boş çoxluq adlanır

A və B çoxluqlarından heç olmasa birinə daxil olan bü­tün elementlərdən ibarət olan C çoxluğuna bu çoxluqların bir­ləşməsi de­­yi­lir və simvolik olaraq А U В kimi işarə olunur. Başqa sözlə, A və B çoxluqlarından birləşməsi nəticəsində alınan yeni C çoxluğunda hər iki çoxluğun bütünü elementləri daxildir. Çoxluqların birləşməsini rəqəmlər çoxluqları üzərində göstərək: Fərz edək ki, A çoxluğu 1,2,3,4 rəqəmlərindən ibarətdir, B çoxluğu isə 3,4,5,6 rəqəmlərindən ibarətdir. Bu iki çoxluğun birləşməsi 1,2,3,4,5,6 rəqəmindən ibarət yeni çoxluq olacaq, çünki 3 və 4 rəqəmləri A çoxluğunda da, B çoxluğunda da var və tam olaraq həm A, həmdə B çoxluğu nəticədə alınan çoxluğa daxildir. Əgər А=, B=, onda A U B = :A və B çoxluqlarından heç olmasa birinə daxil olan bü­tün elementlərdən ibarət olan C çoxluğuna bu çoxluqların bir­ləşməsi de­­yi­lir və simvolik olaraq А U В kimi işarə olunur. Başqa sözlə, A və B çoxluqlarından birləşməsi nəticəsində alınan yeni C çoxluğunda hər iki çoxluğun bütünü elementləri daxildir. Çoxluqların birləşməsini rəqəmlər çoxluqları üzərində göstərək: Fərz edək ki, A çoxluğu 1,2,3,4 rəqəmlərindən ibarətdir, B çoxluğu isə 3,4,5,6 rəqəmlərindən ibarətdir. Bu iki çoxluğun birləşməsi 1,2,3,4,5,6 rəqəmindən ibarət yeni çoxluq olacaq, çünki 3 və 4 rəqəmləri A çoxluğunda da, B çoxluğunda da var və tam olaraq həm A, həm də B çoxluğu nəticədə alınan çoxluğa daxildir. Əgər А=, B=, onda A U B =

1. Kommutativlik xassəsi:

1. Assosiativlik xassəsi: İxtiyari A, B və C çoxluqları üçün aşağıdakı bərabərlik doğrudur: (A U B) U C = A U (B U C)