Tam diferensiallı tənliklər. Yüksək tərtibli diferensial

Cauchy teoremi, diferensial hesablamada müəyyən bir həllin varlığını və bənzərsizliyini vurğulayan bir teoremdir.

Diferensial tənliklər (mühazirələr)

Bu mühazirələr toplusunda Törəməyə nəzərən həll оlunmuş birtərtibli adi difеnrеnsial tənliklər, Əsas anlayışlar və təriflər, Difеrеnsial tənlik anlayışının həndəsi izahı, Kvadratura ilə həll оlunan difеrеnsial tənliklər, Birtərtibli хətti difеrеnsial tənliklər, Tam difеrеnsialli tənliklər, İntеqrallayiъi vuruğun varlığı, Törəməyə nəzərən həll оlunmamış birtərtibli difеrеnsial tənliklər, Natamam difеrеnsial tənliklər, Klеrо tənliyi, Trayеktоriya haqqinda məsələ, Difеrеnsial tənliklər sistеmi, Yüksək tərtibli difеrеnsial tənliklər, Yüksək tərtibli natamam tənliklər və tərtibi azaldıla bilən tənliklər, Хətti bircins sistеmlər, Sabit əmsallı bircins sistеmin ümumi həllinin qurulması, Yüksək tərtibli хətti tənliklər, Хətti bircins оlmayan tənlik, Sabitlərin variasiyasi üsulu, Yüksək tərtibli sabit əmsalli хətti tənliklər, Həllin пaramеtrlərə nəzərən kəsilməzliyi, Həllin başlanğıc qiymətlərindən asılılığı ümumi intеqralin varlığı mövzularına dair mühazirə mətnləri toplanmışdır.

Aşağıdakı düyməyə vuraraq resursu yükləyə bilərsiniz.

Tam diferensiallı tənliklər. Yüksək tərtibli diferensial

diferensial tənliyin sol tərəfi hər hansı u(x,y) funksiyasının tam diferensialıdır. Onda bu diferensial tənlik tam diferensiallı adlanır.

Tam diferensiallıq. Tərifə əsasən

p(x,y)dx + Q(x,y)dy = du(x,y) = dx + dy (2)

p(x,y) = , Q(x,y)=

Birinci bərabərlikdən y-ə, ikincidən x-ə nəzərən xüsusi törəmə alaq.

Şvars teoreminə görə

bərabərliyi (1) tənliyinin tam diferensiallıq şərti adlanır. Bu bərabərlik ödənildikdə axtarılan u(x) funksiyasını tapmaq olur. Onda (1) diferensial tənliyi du(x,y) = 0, bunun həlli isə u(x,y) = c olar.

(3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 0

p = 3x 2 + 6xy 2 , Q = 6x 2 y + 4y 3

= 12xy , = 12xy

Tam diferensiallıq şərti ödəndi. Odur ki,

= 3x 2 + 6xy 2 , hər tərəfi dx vurub inteqrallayaq:

u(x,y) = x 3 + 3x 2 y 2 + φ(y)

(φ(y) hələlik məlum olmayan funksiyadır).

Hər tərəfdən y-ə nəzərən törəmə alaq.

= 6x 2 y + φꞌ(y), = Q olduğundan

6x 2 y + 4y 3 = 6x 2 y + φꞌ(y)

φꞌ(y) = 4y 3 , φ(y) = y 4

u(x,y) = x 3 + 3x 2 y 2 + y 4

alınır və verilmiı tənliyin ümumi inteqralı.

x 3 + 3x 2 y 2 + y 4 = c

►Tutaq ki, (1) tənliyi tam diferensiallı deyil. Yəni 93) şərti ödənilmir. Bəzi hallarda elə μ(x,y) funksiyası tapmaq olur ki, (1) tənliyinə vurmaqla tənlik tam diferensiallı olur. Yəni

Göründüyü kimi xüsusi törəməli diferensial tənlik alındı. Odur ki, xüsusi hallarda baxaq, hansı ki, inteqrallayıcı vuruğu nisbətən asan tapmaq olur

1) μ = μ(x) onda = 0 və (4) tənliyi

şəklinə düşür. Inteqrallayıb, nəticədə

ln μ(x) = , μ(x)= (6)

(2x 2 y + 2y + 5)dx + (2x 3 + 2x)dx

(5) düsturunu tədbiq edək.

= · (2x 2 + 2 – 6x 2 – 2) = h(x)

h(x) = – = , demək

ln μ(x) = = = = -1

tənliyi μ(x)-ə vuraq

dy = 2xdy , u(x,y) =

Buradan, = 2y + = – 2y =

Beləliklə, u(x,y) = 2xy + 5arctgx alınır.

Tənliyin ümumi inteqralı 2xy + 5arctgx = c ; x=0

Birinci dərəcəli diferensial tənliklər – həllin spesifik xüsusiyyətləri və nümunələr

İnteqrasiya və diferensial hesablama universitet riyaziyyatının ən çətin və anlaşılmaz mövzularından birinə çevrilir. Bu anlayışları bilməli və anlamalı, eyni zamanda tətbiq edə bilməlisən. Bir çox universitet texniki fənləri diferensiallara və ayrılmazlara bağlıdır.

Tənliklər haqqında qısa məlumat

Bu tənliklər təhsil sistemindəki ən vacib riyazi anlayışlardan biridir. Diferensial tənlik, müstəqil dəyişənləri, tapılacaq funksiyanı və bu funksiyanın törəmələrini müstəqil hesab olunan dəyişənlərə bağlayan bir tənlikdir. Bir dəyişənin funksiyasını tapmaq üçün diferensial hesablama adi adlanır. Tələb olunan funksiya bir neçə dəyişkəndən asılıdırsa, biri qismən diferensial tənlikdən danışır.

Əslində bir tənliyə müəyyən bir cavab tapmaq inteqrasiyaya endirilir və həll metodu tənlik şəklində təyin olunur.

1-ci dərəcəli tənliklər

Birinci dərəcəli diferensial tənlik, dəyişəni, istədiyi funksiyanı və onun törəməsini təsvir edə bilən bir tənlikdir. Bu cür tənliklər üç formada göstərilə bilər: açıq, gizli, diferensial.

Həll üçün lazım olan anlayışlar

İlkin şərt istənilən funksiyanın dəyərini müstəqil bir dəyişənin müəyyən bir dəyərində təyin etməkdir.

Diferensial tənliyin həlli, orijinal tənliyə tam olaraq qoyulmuş, eyni bərabərliyə çevirən hər hansı bir fərqləndirilə bilən funksiyadır. Əldə olunan, açıq olmayan həll tənliyin ayrılmaz hissəsidir.

Diferensial tənliklərin ümumi həlli aşağıdakı ifadələri təmin edə bilən y = y (x; C) funksiyadır:

1. Funksiya yalnız bir ixtiyari C sabit ola bilər.
2. Nəticədə funksiya, ixtiyari bir sabitin istənilən ixtiyari dəyərləri üçün tənlik üçün bir həll olmalıdır.
3. Müəyyən bir başlanğıc şərt üçün, ixtiyari bir sabit bir şəkildə bənzərsiz şəkildə təyin edilə bilər ki, alınan xüsusi həll verilmiş ilkin şərtlə razılaşsın.

Praktikada Cauchy problemi tez-tez istifadə olunur – özəl və əvvəlində göstərilən şərtlə müqayisə edilə bilən belə bir həll tapmaq.

Cauchy teoremi, diferensial hesablamada müəyyən bir həllin varlığını və bənzərsizliyini vurğulayan bir teoremdir.

• Tənlikin ümumi həlli y = y (x; C) bütöv əyrilərin ümumi sayıdır.
• Diferensial hesablama, XOY müstəvisində bir nöqtənin koordinatlarını və inteqral əyriyə çəkilən toxunuşu birləşdirməyə imkan verir.
• İlkin vəziyyəti təyin etmək müstəviyə bir nöqtə qoymaq deməkdir.
• Koşi probleminin həlli, eyni həllini təmsil edən bütün inteqral əyrilər toplusundan tənliyə mümkün olan yeganə nöqtədən keçən həmin bənzərsizi seçmək lazım olduğu deməkdir.
• Cauchy teoreminin şərtlərinin bir nöqtədə yerinə yetirilməsi, müstəvidəki seçilmiş nöqtə vasitəsilə (üstəlik yalnız bir) bütöv döngənin olması deməkdir.

Ayrılan tənlik

Tərifə görə, diferensial tənlik, sağ tərəfinin özünü təsvir etdiyi və ya biri yalnız “x”, digəri yalnız “y” -dən asılı olan iki funksiyanın məhsulu (bəzən nisbət) kimi əks olunduğu bir tənlikdir. Bu növ üçün açıq bir nümunə: y ’= f1 (x) * f2 (y).

Xüsusi bir formanın tənliklərini həll etmək üçün əvvəlcə y ‘= dy / dx törəməsini çevirmək lazımdır. Sonra tənliyi iki hissəsini birləşdirə bildiyiniz zaman belə bir forma gətirmək üçün tənliyi manipulyasiya etməlisiniz. Lazımi çevrilmələrdən sonra hər iki hissəni birləşdiririk və əldə edilən nəticəni sadələşdiririk.

Homojen tənliklər

Tərifə görə, diferensial tənliyi aşağıdakı formaya malik olduqda homogen adlandırmaq olar: y ‘= g (y / x).

Bu vəziyyətdə y / x = t (x) əvəzetməsi ən çox istifadə olunur.

Bu cür tənlikləri həll etmək üçün homojen tənliyi ayrılan dəyişənlərlə forma endirmək lazımdır. Bunu etmək üçün aşağıdakı əməliyyatları yerinə yetirməlisiniz.

1. Orijinal funksiyanın törəməsini, hər hansı bir orijinaldan yeni bir tənlik şəklində ifadə edərək göstərin.
2. Növbəti addım, yaranan funksiyanı f (x; y) = g (y / x) şəklinə çevirməkdir. Daha sadə sözlə, tənliyi düzəltmək üçün yalnız y / x nisbətini və sabitləri ehtiva edir.
3. Aşağıdakı əvəz olun: y / x = t (x); y = t (x) * x; y ’= t’ * x + t. Edilən əvəzetmə, tənlikdəki dəyişənləri bölməyə kömək edəcək və tədricən daha sadə bir forma gətirə bilər.

Xətti tənliklər

Bu cür tənliklərin tərifi belədir: doğrusal diferensial tənlik, sağ tərəfinin ilkin funksiyaya nisbətən xətti ifadə kimi ifadə olunduğu bir tənlikdir. Bu vəziyyətdə tələb olunan funksiya: y ’= a (x) * y + b (x).

Tərifi aşağıdakı kimi yenidən tərtib edək: hər hansı birinci dərəcəli tənlik, orijinal funksiya və onun törəməsi birinci dərəcəli tənliyə daxil edilərsə və bir-birinə vurulmasa, şəklində xətti olacaqdır. Xətti diferensial tənliyin “klassik forması” aşağıdakı quruluşa malikdir: y ‘+ P (x) y = Q (x).

Belə bir tənliyi həll etməzdən əvvəl onu “klassik formaya” çevirmək lazımdır. Növbəti addım həll üsulu seçmək olacaq: Bernoulli metodu və ya Lagrange metodu.

Bernulinin tətbiq etdiyi metoddan istifadə edərək tənliyin həlli, doğrusal diferensial tənliyin orijinal şəklində verilmiş U (x) və V (x) funksiyalarına nisbətən ayrı-ayrı dəyişənlərə malik iki tənliyə əvəzlənməsi və azaldılmasını nəzərdə tutur.

Lagranjın metodu orijinal tənliyə ümumi bir həll tapmaqdır.

1. Homojen tənliyə eyni həll yolu tapmaq lazımdır. Axtardıqdan sonra y = y (x, C) funksiyasına sahibik, burada C ixtiyari bir sabitdir.
2. Orijinal tənliyə eyni formada bir həll axtarırıq, ancaq C = C (x) götürürük. Y = y (x, C (x)) funksiyasını orijinal tənliyə qoyun, C (x) funksiyasını tapın və həllini ümumi orijinal tənliyə yazın.

Bernoulli tənliyi

Bernoulli tənliyi – hesablamanın sağ tərəfi f (x; y) = a (x) y + b (x) yk formasını alırsa, burada k hər hansı bir rasional ədədi dəyərdir, k = 0 və k = olduğu halları nümunə götürmür. bir.

K = 1 olarsa, hesablama ayrılan dəyişənlərlə formanı alır və k = 0 üçün tənlik xətti olaraq qalır.

Bu tip tənliyi həll etməyin ümumi halını nəzərdən keçirin. Standart Bernoulli tənliyi var. Xətti olaraq azaldılmalıdır, bunun üçün tənliyi yk ilə bölməlisiniz. Bu əməliyyatdan sonra z (x) = y1-k dəyişdirin. Bir sıra transformasiyalardan sonra tənlik xətti birinə endiriləcək, əksər hallarda z = U * V əvəzetmə metodu ilə.

Ümumi diferensial tənliklər

Tərif. P (x; y) dx + Q (x; y) dy = 0 quruluşlu bir tənlik, aşağıdakı şərt yerinə yetirildiyi təqdirdə ümumi diferensiallarda bir tənlik adlanır (bu vəziyyətdə “d” qismən diferensialdır): dP (x ; y) / dy = dQ (x; y) / dx.

Daha əvvəl nəzərdən keçirilmiş bütün birinci dərəcəli diferensial tənliklər diferensial olaraq göstərilə bilər.

Belə hesablama bir neçə yolla həll edilə bilər. Lakin, hamısı vəziyyəti yoxlamaqla başlayır. Şərt yerinə yetirilərsə, tənliyin ən sol bölgəsi hələ bilinməyən U (x; y) funksiyanın ümumi diferensialıdır. Sonra, tənliyə uyğun olaraq, dU (x; y) sıfıra bərabər olacaq və bu səbəbdən də tənliyin ümumi diferensialdakı eyni inteqrasiyası U (x; y) = C kimi göstəriləcəkdir. Buna görə tənliyin həlli U (x; y) funksiyasını tapmağa qədər azalır. ).

İnteqrasiya edən amil

Əgər tənlikdə dP (x; y) / dy = dQ (x; y) / dx şərt yerinə yetirilmirsə, bu tənlik yuxarıdakı abzasda nəzərdən keçirdiyimiz formaya malik deyil. Ancaq bəzən M (x; y) funksiyasını ala bilərsiniz, bununla vurulduqda tənlik tam “diffuz” olaraq bir tənlik formasını alır. M (x; y) funksiyasına inteqrasiya amili deyilir.

İnteqrator yalnız bir dəyişən üçün funksiyaya çevrildikdə tapıla bilər.