Diferensial tənlikləri necə həll etmək olar
lduğunu nəzərə alıb, onu (2.6)
tənliyində yerinə yazaq. Onda
Moderne Lehre für die Fakultät Elektrotechnik der Aztu-baku Europäische Kommission für Bildung und Kultur
1. Adi differensial tənlik. Axtarılan funksiya (məchul) bir
dəyişəndən (burada t) asılıdır. Xətti halda:
.
y(t) – axtarılan funksiya (məchul), yəni həll; u(t) – məlum funksiya.
Abstrakt riyaziyatta adətən arqument kimi x qəbul edirlər.Onda
törəmə: dy/ dx.
2. Xüsusi törəməli differensial tənlik. Axtarılan funksiya iki və
daha çox dəyişəndən x, t,…, asılıdır:
.
y(x,t) – axtarılan funksiyadır (məchul), yəni həll.
3. Xətti differensial tənlik. Funksiya və onun törəmələrinə
nəzərən xətti olan tənlik. Məsələn,
.
4. Qeyri xətti differensial tənlik. Funksiya və onun törəmələrinə
nəzərən qeyri xətti olan tənlik:
.
0
(t)
(t)y
(t)y
y
2
.
3. Rəqqasın böyük meyillərdə sərbəst hərəkətinin tənliyi
y
1
u
a
y
.
5. Silindrik çəndən mayenin sərbəst axması
6. Dartqı qüvvəsi altında vertikal start götürən raketin tənliyi
m
c
mg
)
h
k(
h
m
2
,
u
m
.
Burada və sonra u-idarə siqnalı olub, obyektin girişidir.
5. Qeyri stasionar xətti differensial tənlik. Bir və ya bir neçə
parametri zamandan asılı olan tənlik:
,
Məsələn,
.
6.Qeyri xətti və qeyri stasionar differensial tənlik:
,
Məsələn,
, y(0)=y
0
.
8. Qeyri bircins differensial tənldik. Sağ tərəfi sıfra bərabər
olmayan tənlik. Obyektin məcburi hərəkətini xarakterizə edir:
)
(
0
2
1
2
2
0
t
x
b
y
a
dt
dy
a
dt
y
d
a
.
9. Vəziyyət dəyişənlərində yazılmış tənlik. Normal Koşi
forması. Bir tərtibli differensial tənliklərdən ibarət olan tənliklər
sistemidir. Xətti halda:
,
10.Vektor şəklində yazılış forması:
.
Burada
T
n
x
x
x
x
)
.
,
(
2
1
n-ölçülü vəziyyət vektoru,
T
m
u
u
u
u
)
.
,
(
2
1
m-ölçülü udarə vektoru,
T
l
y
y
y
y
)
.
,
(
2
1
l-ölçülü müşahidə olunan cıxış vektorudur.
n,m,l –qiymətlərinə əsasən matrislərin ölçüsünu aşağıdakı sxem
üzrə təyin etmək olar.
0
)
t
(
y
a
dt
)
t
(
dy
a
1
0
1
1
x
dt
dx
u
b
x
a
x
a
dt
dx
0
2
2
1
1
2
Du
Cx
y
Bu
Ax
dt
dx
,
2.3
. Diferensial tənliklərin tərtib olunmasına
aid misallar
1. Əgər isti cisim tez, soyuq cisim isə gec soyuyursa, onda
soyuma sürəti, yəni temperaturun zamana görə dəyişməsi cismin
baxılan anda
temperaturundan asılı olacaqdır. Onda soyuma
tənliyi:
(2.1)
burada
mütənasiblik əmsalıdır. Mənfi işarəsi temperaturun
azalmasını göstərir. Bu halda tənliyin həllindən tapılacaq məchul
-dir.
2. Fərz edək ki, nohurdakı balıqların artım sürəti onların ümumi
sayı x ilə düz mütənasibdir. Onda artım tənliyi:
. (2.2)
Əgər artım sürəti fərdlərin ümumi sayına yox, cütlərin (dişi-
erkək) sayına mütənasibdirsə, bu daha təsirli faktor olduğundan
artım sürətinin
kəmiyyətindən asılılığını daha adekvat (uyğun)
hesab etmək olar:
. (2.3)
Bu tənlik həm də ona görə daha adekvatdır ki,
-in böyük
qiymətlərində artım daha sürətlə (partlayış), kiçik qiymətlərində isə
olduqca yavaş gedir.
3. Nyutonun birinci qanununa (ətalət qanunu) əsasən kənar
qüvvələrin təsirinə məruz qalmayan maddi nöqtənin təcili sıfıra
bərabərdir:
. (2.4)
Bu halda
məsafəni xarakterizə edir.
4. Nyutonun ikinci qanununa əsasən hərəkət tənliyini aşağıdakı
)
t
(
x
,
)
t
(
kx
dt
)
t
(
dx
0
k
)
t
(
x
kx
dt
dx
2
х
2
kx
dt
dx
х
0
dt
x
d
2
2
)
t
(
x
şəkildə yazmaq olar:
.
(2.5)
4.1. Əgər cismin cazibə qüvvəsi altında sərbəst düşməsinə
baxılırsa, onda Qalileyə görə qüvvə
olduğundan hərəkət
tənliyi
. Bu tənliyi inteqrallasaq, sürətin dəyişməsini
, bir dəfə də inteqrallasaq hündürlüyün dəyişmə
tənliyini alarıq:
.
Burada
və
inteqrallama sabitləri olub ilkin
anında
cismin vəziyyətindən, yəni hündürlüyün
və sürətin
başlanğıc qiymətlərindən asılıdır. Fərz edək ki, başlanğıc
sürət
. Bu qiymətləri yuxarıdakı ifadədə yerinə yazıb alınmış
tənliklər sistemini həll etsək, taparıq:
,
. Bu halda
hündürlüyün dəyişmə qanunu
,
.
4.2. Havanın müqavimətini nəzərə alıb, fərz edək ki, müqavimət
qüvvəsi cismin düşmə sürətinə mütənasibidir:
,
Və ya
,
,
(2.6)
Şəkil _2.2.’> Şəkil 2.2-də 4.1 və 4.2 halları üçün cismin
düşmə diaqramları göstərilmişdir. Cazibə
qüvvəsinin təsiri altında sürətartdıqca havanın
da müqaviməti artaraq cismi tormozlamağa
başlayacaq. Yəni
olacaqdır.
Qərarlaşma sürətini tapmaq üçün burejimdə
lduğunu nəzərə alıb, onu (2.6)
tənliyində yerinə yazaq. Onda
.
Buradan
. Bu ifadə
sürətinin dəyişməsindən
asılı olmayıb sabitdir.Fərz edək ki,
,
və məlum
olduğu kimi, sərbəstdüşmə təcili
. Onda qərarlaşma
sürəti
. Cisim müəyyən vaxtdan sonra sabit
sürəti ilə düşməyə başlayacaqdır. Əlbəttə, əgər cisim bu vaxta qədər
yerin səthinə çatmazsa. Göstərilən xüsusiyyət paraşutçuya və cismin
mayedə batmasına da aiddir (Stoks qanunu).
Şəkil 2.3-də (2.6) diferensial tənliyinin müxtəlif başlanğıc
şərtlərində
həllər ailəsi göstərilmişdir. Şəkil 2.4-də
Simulinkdə həll sxemi göstərilmişdir.
Şəkil
2.3.
(2.6) tənliyinin həllər ailəsi
Şəkil
2.4.
(2.6) tənliyinin
Simulinkdə həll sxemi
Şəkil
2.2. Cismin
sərbəst (a) və havanın
müqa
vi
məti nəzərə
alınmaqla (b) düşməsi
4.3. Riyazi rəqqas. Uzanmayan cəkisiz mildən asılmış nöqtəvi
yükə baxaq. Rəqqasın vertikal xətdən meyl bucağını
ilə işarə edək.
Mexanikanın qanununa əsasən rəqqasın bucaq təcili
çəki
qüvvəsinin momentinə mütənasibdir (şəkil 2.5):
.
Burada
ətalət momentidir. Mənfi
işarəsi momentin meyletməni azaltmağa çalışması
ilə izah olunur. Beləliklə, rəqqasın hərəkət tənliyi:
,
. (2.7)
Kiçk meyletmələrdə, yəni bucağı kiçik olduqda
əvəzləməsiedib bu tənliyi xəttiləşdirmək olar:
. (2.8)
Tənlikdən göründüyü kimi, Nyutonun ikinci qanunundan irəli
gələn tənliklərdən fərqli olaraq bu sistemə kənar qüvvə təsir etmir.
Bəs rəqqas hansı qüvvənin təsiri altında hərəkət edir?
Bu tip hərəkət sərbəst hərəkət adlanır və sıfra bərabər olmayan
başlanğıc şərtlərin təsiri altında baş verir. Yəni sistem başlanğıc
anında artıq həyəcanlanmış vəziyyətdə olur. Məsələn, (2.8)
tənliyi üçün iki başlanğıc şərti verilməlidir:
,
.
Bunlardan hər hansı biri sıfır ola bilər. Lakin hər ikisi sıfır olarsa, bu
hal tarazlıq vəziyyətinə (sükunət) uyğun olduğundan hərəkət baş
verməyəcəkdir.
Əgər başlanğıc həyəcanlanma yoxdursa (sıfırdırsa), onda sistemi
hərəkətə gətirən kənar qüvvə olmalıdır. İfadə (2.5) və (2.6)-da bu
qüvvə xarici F qüvvəsidir.
Deməli, sistemin hərəkəti iki təşkiledicidən ibarətdir: a) sıfra
bərabər olmayan başlanğıc şərtlərin təsiri altında yaranan sərbəst
hərəkət y
s
(t); b) xarici qüvvənin təsirindən yaranan məcburi hərəkət
y
m
(t). Xətti sistemlərdə, yəni xətti diferensial tənliklə yazılan
sistemlərdə, yekun hərəkət göstərilən hərəkətlərin cəmindən ibarət
olur:
).
(
)
(
)
(
t
y
t
y
t
y
m
s
Şəkil
2.5. Riyazi
rəqqasın sxemi
2.4
. Dinamika tənliyi
Klassik idarəetmə nəzəriyyəsində diferensial tənlik (obyektin
riyazi modeli) obyektin
)
t
(
u
,
)
t
(
f
girişləri ilə
)
t
(
y
çıxışı arasında
qurulur (şəkil 2.6). Belə tənlik giriş-çıxış formada yazılmış tənlik
adlanır. Qeyri-aşkar şəkildə bu tənlik aşağıdakı şəkildə verilir:
obyektin idarə və həyəcan
girişləri olub xarici təsirlər;
)
(
F
obyektin
çıxış
dəyişəni; n
diferensial
tənliyin tərtibidir.
Məsələn,
0
f
5
.
0
u
u
4
)
t
(
y
)
t
(
y
t
2
)
t
(
y
)
t
(
y
2
.
Fərz olunur ki, baxılan obyekt birölçülüdür. Yəni bir idarə, bir
həyəcan girişlərinə və bir çıxışa malikdir.
Diferensial tənlik çıxışın yüksək tərtibli törəməsinə nəzərən
yazılarsa (əgər bu mümkündürsə), belə konstruksiya aşkar şəkildə
yazılış forması adlanır:
f
f
5
.
1
u
2
)
t
(
y
4
)
t
(
y
)
t
(
y
3
.
Keçid prosesi
)
t
(
y
-ni qurmaq üçün (2.10) tənliyini
u
və
f
-in
məlum ifadələrində (sabit və ya zaman funksiyası ola bilər) analitik
və ya ədədi üsulların köməyi ilə həll etmək lazımdır.
Şəkil
2.6.
Birölçülü
obyektin sxemi
OBYEKTİN
MODELİ
Ümumi
həll. n sayda
i
C inteqrallama sabitlərindən asılı
olan həll ümumi həll adlanır:
)
C
,
,
C
,
С
,
t
(
y
)
t
(
y
n
2
1
. (2.11)
Bu ifadə inteqral əyriləri ailəsinin tənliyidir.
i
C -lərin qiymətlər
çoxluğu sonsuz olduğundan belə əyrilərin sayı da sonsuzdur.
İnteqrallama sabitlərini təyin etmək üçün n
sayda əlavə şərtlər
verilməlidir. Koşi məsələsində bu şərtlərin hamısı zamanın başlanğıc
0
t
t
(bir çox hallarda
0
t
0
) anında verilir və başlanğıc şərtlər
adlanır:
0
0
y
)
t
(
y
,
1
0
0
y
)
t
(
y
,
2
0
0
y
)
t
(
y
,
,
1
n
0
0
)
1
n
(
y
)
t
(
y
.
Əgər (2.11) ümumi həlli məlumdursa, Koşi məsələsində
i
C
inteqrallama sabitlərini aşağıdakı cəbri tənliklər sisteminin həllindən
tapırlar:
.
y
)
C
,
,
C
,
С
,
t
(
y
dt
d
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(2.20)
İndi (2.11) ümumi həllini aşağıdakı konkret şəkildə yazmaq olar:
)
y
,
,
y
,
y
,
t
(
y
)
t
(
y
1
n
0
1
0
0
0
.
(2.21)
Xüsusi
həll. Konkret başlanğıc şərtlərdən asılı olan həll
xüsusi həll adlanır. Bu həll inteqral əyriləri ailəsindən yalnız
başlanğıc şərtləri ödəyən birinin tənliyidir.
Çoxnöqtəli sərhəd məsələsində n sayda sətirlər zamanın
>
t
,
,
t
,
t
<
t
m
2
1
anlarında verilir. Maraqlı cəhət odur ki, Koşi
məsələsindən fərqli olaraq, n sətrin hamısı eyni tərtib
)
t
(
y
)
k
n
(
törəməyə aid ola bilər,
n
,
,
1
k
. Bu halda
n
m
olmalıdır.
Məsələn, ikitərtibli tənlik üçün (
2
n
) iki sayda sətri
0
y
)
0
(
y
,
1
y
)
1
(
y
(
2
k
) şəklində vermək mümkündür.
Aşağıda bir tərtibli Tdy/dt+y=k tənliyin ümumi və xüsusi
həllinin Matlab proqramı göstərilmişdir.
Obyektin dinamik hərəkətini ifadə edən (2.9) və ya (2.10) tənliyi
Diferensial tənlikləri necə həll etmək olar
Diferensial tənlik bir funksiyanın bir və ya daha çox törəməsi ilə əlaqəsini təsvir edən bir tənlikdir. Əksər tətbiqetmələrdə bu funksiyalar fiziki kəmiyyətləri, törəmələri dəyişmə sürətini, diferensial tənliklər aralarındakı əlaqəni təyin etmək üçün istifadə olunur.
Bu yazıda, həlləri bir neçə ilə ifadə edilə bilən müəyyən diferensial tənliklərin həllində istifadə olunan bəzi metodlara nəzər salacağıq. elementar funksiyalar – polinom, eksponent, loqaritmik və trigonometrik funksiyalar və bunların tərsi. Bu tənliklərdən bəzilərinə real dünyada rast gəlmək mümkündür, lakin əksəriyyəti bu metodlardan istifadə etməklə həll edilə bilməz. Belə tənliklərin həlləri xüsusi funksiyalarda, güc seriyalarında yazılmalı və ya ədədi metodlarla hesablanmalıdır.
Bu məqalədə həm diferensial, həm də inteqral hesablamaları yaxşı bildiyiniz, həmçinin qismən törəmələr haqqında bir məlumatınız olduğu düşünülür. Diferensial tənliklər nəzəriyyəsi üçün, xüsusən də xətti tənliklərin ikinci dərəcəli hissəsi üçün əsas kimi xətti cəbr haqqında bir məlumatınız olsa da daha yaxşıdır, baxmayaraq ki həll etmək üçün yalnız hesablama məlumatı lazımdır.
ilkin
- Diferensial tənliklər geniş kateqoriyalara malikdir. Bu yazıda biz ələ keçirəcəyik adi diferensial tənliklər – bir dəyişənin və onun törəmələrinin funksiyalarının tənlikləri. Adi diferensial tənlikləri anlamaq və həll etmək daha asandır qismən diferensial tənliklər, yəni birdən çox dəyişən ilə funksiya münasibətinin tənliyi. Bu yazıda qismən diferensial tənlikləri həll etməyəcəyik, çünki bu tənliklərin həlli metodları çox vaxt yalnız müəyyən tənliklərə tətbiq olunur.
- Aşağıda adi diferensial tənliklərin bəzi nümunələri verilmişdir.
- Aşağıda qismən diferensial tənliklərin bəzi nümunələri verilmişdir.
- Məsələn, aşağıdakı tənlik üçüncü dərəcəli, ikinci dərəcəli tənlikdir.
- Aşağıda xətti diferensial tənliklərin bəzi nümunələri verilmişdir.
- Aşağıda qeyri-xətti diferensial tənliklərin bəzi nümunələri verilmişdir. Sinus funksiyası ehtiva etdiyi üçün ilk tənliyə qeyri-xətti deyilir.
- Məsələn, bu yazıda aşağıdakı tənliyin necə həll ediləcəyinə baxacağıq. Bu tənlik ikinci dərəcəli xətti diferensial tənlikdir. Ümumi həll iki qeyri-müəyyən sabitdir. Bu iki sabitin dəyərini tapmaq üçün başlanğıc şərti lazımdır və ümumiyyətlə istifadə olunan ilkin şərt at dəyəridir, lakin bunun üçün heç bir tələb yoxdur. Bu yazıda digər ilkin şərtlərə necə xüsusi həll yolları tapacağımızı da müzakirə edəcəyik.
Addım
2-nin 1-ci hissəsi: Birinci Sifarişli Tənliklər
- Birinci dərəcəli xətti tənliklər. Bu hissədə həm ümumi, həm də bəzi terminlərin sıfır olması lazım olan xüsusi hallarda birinci dərəcəli diferensial tənliklərin həlli yollarını müzakirə edəcəyik. Fərz edək ki və
Dava Hesablamanın əsas teoremi ilə bir funksiyanın törəməsinin ayrılmaz hissəsi özüdür. Cavab almaq üçün dərhal birləşdirə bilərik. Unutmayın ki, müddətsiz bir inteqralın hesablanmasında müəyyən olmayan bir sabit əmələ gəlir.
- Əvvəlcə tənliyin əks tərəfində fərqli olan hər dəyişəni əldə edin.
- Hər iki tərəfi də birləşdirin. Bütöv proses hər iki tərəfdə də müəyyən olmayan bir sabit əmələ gətirəcək, ancaq ikisini də sağ tərəfdə birləşdirə bilərik.
- Nümunə 1.1. Son mərhələdə, üsyan qanununu alırıq və əvəz edirik, çünki bu müddət qeyri-müəyyən bir sabitdir.
Davalar Ümumi işi həll etmək üçün a əlavə edirik ayrılmaz amil eyni türevi sola əlavə edərək tənliyi həll etməyi asanlaşdıran bir funksiya.
- Hər iki tərəfi də vurun
- Sol tərəfin eyni uşağa sahib olması üçün aşağıdakı addımları atmalıyıq.
- Bu tənlikdən bir həll yolu tapmaq olar. Bu müddət bütün birinci cərgə xətti tənliklərini həll edə bilən ayrılmaz amildir. İndi bu tənliyi həll etmək üçün bir düstur çıxara bilərik, amma daha yaxşı öyrənmək üçün hesablamaya aşağıdakı kimi davam edirik.
- Nümunə 1.2. Bu nümunə ayrıca verilmiş başlanğıc şərtlərdən diferensial tənliklərin xüsusi həll yollarının tapılmasını da təqdim edir.
- Nümunə 1.3.
Məsələ: və -nin funksiyaları kimi, sonra a homojen diferensial tənliklər olduğu və olduğu bir tənlikdir homojen funksiya eyni dərəcədə. Başqa sözlə, bu funksiya homojenlik dərəcəsi olduğu meyarı təmin edir. Hər bir homojen diferensial tənlik vasitəsilə iki ayrı tənliyə çevrilə bilər dəyişən dəyişənlər yaxşı və ya
- Nümunə 1.4. Yuxarıdakı homojenliklə bağlı müzakirə bir az çətin ola bilər. Yalnız bir nümunədə tətbiq edək.
- Əvvəlcə bunun qeyri-xətti bir tənlik olduğunu görə bilərik. Bu tənliyin ayrılmayacağını da görə bilərik. Bununla birlikdə, bu tənlik homojen bir diferensial tənlikdir, çünki həm sayının, həm də məxrəcinin dərəcələri 3-dür. Buna görə dəyişəni dəyişə bilərik
- Bu tənlik indi içində ayrıla bilər
Bu tənlik üçün vəziyyət deyilir Bernoulli diferensial tənliyi, elementar funksiyalar baxımından yazıla bilən həllər ilə birinci dərəcəli qeyri-xətti tənliklərin tipik bir nümunəsidir.
- İlə vurun
- Solda zəncir qayda istifadə edərək tənliyi daxili bir xətti tənliyə çevirin, sonra aşağıdakı üsulla həll oluna bilər.
Dava Burada, müzakirə edirik dəqiq diferensial tənliklər. Adlı bir funksiya tapmaq istəyirik potensial funksiya, belə ki
- Bu şərti yerinə yetirmək üçün istifadə edirik ümumi törəmə. Törəmə toplamlar asılı dəyişənin əlavə olunmasına imkan verir. Cəminin bizə qarşı törəməsini hesablamaq üçün dəyərin təyin olunma ehtimalı açılır
- Müqayisə edərək, bu çox dəyişkən hesablamadan standart cavab əldə edirik və bu hamar əyri funksiyanın qarışıq törəməsinin bərabər olduğunu göstərir. Bu teorem ümumiyyətlə adla bilinir Clairaut Teoremi. Beləliklə, bu diferensial tənlik dəqiqdir ki, aşağıdakı şərtlər yerinə yetirilsin.
- Dəqiq tənliklərin həlli metodu qısaca nəzərdən keçirəcəyimiz çox dəyişkən hesablamada potensial funksiyanı tapmaq metodu ilə eynidir. Əvvəla, Çünki inteqrasiya etmək bir funksiyadır və inteqrasiya yalnız dəyişənin bir hissəsini qaldırır ki, oxucuya xatırlatmaq üçün bir simvol istifadə edilsin. Funksiyası olan ayrılmaz bir sabit görünür
- Bu cavabın qismən törəməsinə baxın və nəticələri əldə etmək üçün inteqral ilə müqayisə edin, əvvəlcə inteqrasiya edə bilərik, sonra təyin olunmamış funksiyalar üçün nəticənin qismən törəməsini götürək.
- Nümunə 1.5. Qismən törəmələri yerinə yetirərək aşağıdakı tənliyin dəqiq olduğunu yoxlaya bilərik.
- Diferensial tənlik dəqiq deyilsə, bəzən onu dəqiqləşdirən ayrılmaz amil axtara bilərik. Ancaq bu tənliyin elmdə tətbiqi tapmaq daha çətindir. Bu arada ayrılmaz faktor olsa da əlbəttə Xeyr, bu dəyərin verəcəyi heç bir zəmanət yoxdur asan axtarır. Buna görə də çox uzağa getməyəcəyik.
2-nin 2-ci hissəsi: İkinci Səviyyəli Tənliklər
- Sabit əmsalları olan bircins xətti diferensial tənlik. Buna bənzər bəzi tənliklər bir çox tətbiqi səbəbindən həll tapmaq üçün çox vacibdir. Bu tənlikdə homojen termini homojen bir funksiyaya istinad etmir, lakin bu tənlik 0-a bərabər olduğu üçün növbəti hissədə başqa bir diferensial tənliyi həll edəcəyik. bircins deyil. Aşağıdakı tənlikdə və sabitlərdir.
- Daha sonra təyin edilməsi lazım olan bir sabit olduğu eksponent funksiyanı təxmin edə bilərik. Onu tənliyə qoyaraq aşağıdakı tənliyi əldə edəcəyik.
- Bu tənlikdən bilirik ki, bir çox polinuma vurulan eksponent funksiyası həmişə 0-a bərabər olacaqdır. Üstəlik funksiyanın hər bir qiymətdə 0 olmayacağını da bilirik. 0 edə bilən polinomlara xarakterik tənlik deyilir. Beləliklə, diferensial tənlik məsələsini cəbri tənlik məsələsinə çevirdik – həlli çox asan olan bir problem.
- Bundan iki kök alırıq. Bu diferensial tənlik xətti bir tənlik olduğundan, həllər ümumiyyətlə hər həllin xətti birləşmələrindən ibarətdir. Bu ikinci dərəcəli bir tənlik olduğundan, bunun ümumi bir həll olduğunu bilirik yeganə. Bunun xaricində başqa bir həll yolu yoxdur. Ədəbiyyatda axtarıla bilən varlıq və bənzərsizlik teoremlərindən daha sərt bir əsas götürülür.
- Bu iki həllin xətti olaraq müstəqil olub olmadığını yoxlamağın bir yolu metoddan istifadə etməkdir Wronskian. Wronski parametri, sütunları funksiyası olan və törəmələri nizamlı enən bir matrisin determinantıdır. Xətti cəbr teoremi, W parametri olmadıqda Wronskian matris funksiyasının xətti asılı olduğunu deyir. Bu hissədə, Wronski parametrini təsdiqləyərək iki həllin xətti olaraq müstəqil olub olmadığını yoxlaya bilərik. Bu parametr, parametr dəyişkənliklərindən istifadə edərək sabit əmsalları olan bircinssiz xətti tənliklərin həllində vacibdir.
- Xətti cəbrdə bu diferensial tənliyin həll dəsti, diferensial tənliyin qaydası ilə eyni ölçüdə bir müstəvi vektor təşkil edir. Bu həllər bunun üçün bir zəmin yaradır və buna görə də buna əsaslanır xətti müstəqil bir-birimizi. Bu mümkündür, çünki funksiya a ilə icra olunur xətti operator. Törəmələri edir xətti bir operator, çünki miras qala bilən funksional sahəni bütün digər funksional boşluqlarla əlaqələndirir. Bu tənliyin xətti olmasının səbəbi hər bir xətti operator üçün tənliyin həllini tapmağımızdır
İndi üç hadisədən ikisini təsvir etməyə davam edəcəyik. Təkrarlanan köklər sifariş azaltma hissəsindən sonra təsvir ediləcəkdir.
İki həqiqi və fərqli kök. Əgər onlar həqiqi və fərqlidirlərsə, tənliyin həlli aşağıdakı kimidir.
İki kompleks kök. Cəbr əsas teoreminin nəticəsi olaraq, həqiqi əmsalları olan polinom tənliklərinin həlləri həqiqi köklər və ya qoşma cütlərdir.Buna görə də, kompleks bir rəqəmdirsə və xarakterik tənliyin köküdürsə, kök də belədir. Həlli yaza bilərik, lakin kompleks ədədlərdə həll real ədədlərdə diferensial tənliklərə cavab olaraq daha az arzuolunandır.
- İstifadə edə bilərik Eulerin düsturu onları trigonometrik funksiyalardakı həllərə çevirmək.
- Artıq sabitləri ilə əvəz edib əvəz edə bilərik
- Bu həlli amplitüd və faz baxımından yazmağın başqa üsulları da var, bunlar ümumiyyətlə fizika tətbiqetmələrində daha faydalıdır.
- Nümunə 2.1. Aşağıdakı diferensial tənliyin həllini verilən ilkin şərtlərlə tapın. Bu problemi həll etmək üçün bir həll yolu istifadə etməliyik onun törəmələri ilə birlikdə və müəyyən olmayan sabitləri tapmaq üçün ilkin şərtləri hər ikisinə əvəz etmək.
- Tutaq ki, xarakterik tənliyin təkrarlanan kökü kimi. İkinci həll olduğunu fərz edin və onu diferensial tənliyə qoyun. İkinci türev şərtləri xaricində şərtlərin çoxunun bir-birini ləğv edəcəyini görə bilərik.
- Nümunə 2.2. Tutaq ki, aşağıda kökləri təkrarlanan tənliklə işləyirik. Əvəzetmə ilə şərtlərin çoxunu buraxacağıq.
- Sabit əmsalı olan diferensial tənlikdəki təxminimizə bənzər şəkildə, yalnız ikinci törəmə burada 0 ola bilər. İki dəfə inteqrasiya edərək istənilən formanı əldə edirik.
- Xarakterik tənliyin təkrarlanan köklərini verən sabit əmsalı olan diferensial tənliyin ümumi həlli belə yazıla bilər. Onu asanlıqla xatırlamaq üçün, xətti müstəqillik əldə etmək üçün ikinci dövrü çoxaltmalıyıq. Bu dəst xətti olaraq müstəqil olduğundan, tənliyin bütün həll yollarını tapdıq və beləliklə problemi həll etdik.
Sifarişin azaldılması vəziyyəti, bu tənliyin ya tək tapılmış, ya da sıfırdan verilmiş bir həllini bilsək edilə bilər.
- Forma baxımından həll yolları axtarırıq və onları tənliyə qoyaraq davam edirik.
- Diferensial tənliyin həlli olduğu üçün tərkib şərtləri itir. Yalnız tənliklər qalır birinci dərəcəli xətti. Bunu daha aydın görmək üçün dəyişənlərə dəyişikliklər edin
- İnteqrallar işlənə bilərsə, elementar funksiyalar baxımından ümumi həllər əldə edə bilərik. Əks təqdirdə, həll ayrılmaz bir formada qalır.
- Bu o deməkdir ki, hələ bilinmədiyi yerdə, məsələn sabit əmsalı olan xətti diferensial tənlikləri həll edərkən eksponent funksiyanı təxmin etdiyimiz zaman təxmin edə bilərik. Törəməni hesabladıqdan və onu əvəzlədikdən sonra aşağıda bir şey əldə edəcəyik.
- Burada xarakterik tənlikdən istifadə etmək üçün qəbul etməliyik. Nöqtə deyilir müntəzəm tək nöqtə diferensial tənliklərin, güc seriyasından istifadə edərək diferensial tənliklərin həlli zamanı vacib olan nöqtə. Bu tənliyin həqiqi və fərqli, iterativ və ya mürəkkəb konjugatlar ola bilən iki kökü var.
İki həqiqi və fərqli kök. Əgər onlar həqiqi və fərqlidirlərsə, tənliyin həlli aşağıdakı kimidir.
İki kompleks kök. Xarakterik tənliyin kökləri varsa, həll olaraq kompleks bir funksiya əldə edirik.
- Bunu həqiqi bir funksiyaya çevirmək üçün dəyişəni Eyler düsturundan istifadə edərək istifadə edirik. Sonra qeyri-müəyyən sabitlər axtararkən eyni prosesi edirik.
- Ümumi həll yolu aşağıdakı kimi yazıla bilər.
Təkrarlanan köklər. İkinci xətti müstəqil bir həll əldə etmək üçün sifarişin azalmasını yenidən istifadə etməliyik.
- Burada bir çox cəbr pillələri var, lakin konsepsiya eyni qalır: ilk həll olduğu tənliyi əvəz edirik. Şərtlər aşağıdakı tənliyi qoyaraq bir-birlərini ləğv edəcəklər.
- Bu, həll qaydasındakı birinci dərəcəli tənlikdir Cavab budur ki, onu belə yaza bilərik. Bu həlli xatırlamağın asan bir yolu, ikinci xətti müstəqil həll şərtləri əlavə etməkdir.
- Çarpan sabitinə baxmadan daxili termini daxili terminlə müqayisə edin. Baxa biləcəyimiz üç hal var.
- Heç bir qəbilə eyni deyil. Xüsusi bir həll daxili terminlərin və onların xətti müstəqil törəmələrinin xətti birləşməsindən ibarət olacaqdır.
- bir müddət ehtiva ediryənidaxili müddətHarada0 və ya müsbət bir ədədə bərabərdir, lakin bu şərtlər xarakterik tənlikdə fərqli bir kökündən gəlir. Bu vəziyyətdə, xətti müstəqil türevlərinin, eyni zamanda bir neçə digər terminin və onların xətti müstəqil türevlərinin xətti birləşməsindən ibarət olacaqdır.
- bir müddət ehtiva edirşəklində olandaxili müddətHarada0 və ya müsbət bir ədədə bərabərdir, lakin bu müddət radikaldan gəlir dəfələrlə xarakterik tənlikdə. Bu vəziyyətdə, xətti bir birləşmədən (kökün təkrarı olduğu yerdə) və onun xətti olaraq müstəqil türevindən, bəzi digər terminlərdən və onların xətti müstəqil türevlərindən ibarət olacaqdır.
Parametrlərin dəyişməsi. Parametr dəyişməsi, qeyri-adi bir diferensial tənliklərin həlli üçün daha ümumi bir üsuldur, xüsusən də orijinal termində sonlu xətti müstəqil törəmələr olmadıqda. Orijinal termin müəyyən bir həlli tapmaqda müxtəlif parametrlərə bənzəyir və istifadə edə bilər. Parametrlərin dəyişməsi Eyler-Koşi tənliyi xaricində dəyişən əmsallarla diferensial tənlikləri həll etmək üçün də istifadə edilə bilər, baxmayaraq ki bu tamamlayıcı həllər ümumiyyətlə elementar funksiyalar şəklində ifadə olunmadığı üçün bir qədər qeyri-adi haldır.
- Tutaq ki, aşağıdakı formada bir həll var. Törəmə ikinci sətirdə yazılmışdır.
- Çünki ehtiva edilən həll ehtiva edir iki dəyişən, ancaq bir tənlik var, bir şərt istifadə etməliyik əlavə. Aşağıdakı əlavə şərtlər arasından seçim edə bilərik.
- İndi ikinci tənliyi əldə etməyə davam edirik. Mövcud şərtləri əvəz etdikdən və düzəlddikdən sonra və. Bu şərtlər bir-birini ləğv edir, çünki müvafiq homojen tənliklərin həlli olur. Beləliklə bizə yalnız bu tənliklər sistemi qalır.
- Bu sistem matris tənliyində həllin olduğu formada düzəldilə bilər.Matrisanın tərsini determinanta böldükdən, diaqonal elementin mövqeyini dəyişdikdən və digər diaqonalları -1-ə vurandan sonra əldə etmək olar. Bu matrisin determinantı Wronski parametridir.
- Və üçün düsturlar aşağıdakı kimidir. Sifarişin azaldılması kimi, burada da inteqral tamamlayıcı həlləri diferensial tənliklərin ümumi həllinə daxil edən təyin olunmayan bir sabit əmələ gətirir.
Müzakirə
Diferensial tənlik bir funksiyanın bir və ya daha çox törəmə ilə əlaqəsini bildirir. Bu kimi münasibətlər çox yayılmış olduğundan, diferensial tənliklərin real dünyada bir çox tətbiqi var və dörd ölçüdə yaşadığımız üçün bunlar tez-tez diferensial tənliklərdə görünür. Qismən. Bu hissədə bəzi vacib tənliklərdən bəhs edəcəyik.
- Eksponent artım və çürümə. Radioaktiv çürümə. Mürəkkəb maraq. Kimyəvi reaksiyalar üçün nisbət qanunları. Dərmanın qan dövranındakı konsentrasiyası. Limitsiz əhali artımı. Newton soyutma qanunu. Həqiqi dünyada bir anlıq böyümə və ya çürümə sürətinin istənilən vaxtdakı miqdarla mütənasib olduğu və ya bu tip bir modelə yaxınlaşdığı bir çox nümunə var. Buna görə eksponent funksiya, diferensial tənliklərin həlli kimi, riyaziyyat və elmdəki ən vacib funksiyalardan biridir. Ümumiyyətlə, nəzarət olunan əhali artımı kimi bir sistem böyüməni məhdudlaşdıran əlavə amillər də daxil ola bilər. Aşağıdakı tənlikdə sabit bir müsbət və ya mənfi ola bilər.
- Harmonik hərəkət. Həm klassik, həm də kvant mexanikasında harmonik rəqslər, sadə sarkaçlar kimi digər, daha mürəkkəb sistemlərin modelləşdirilməsi üçün sadəliyi və geniş tətbiqi səbəbindən ən vacib fiziki sistemlərdir. Klassik mexanikada harmonik hərəkət, bir obyektin mövqeyini Hooke qanunu vasitəsi ilə onun sürətlənməsi ilə əlaqələndirən bir tənlik kimi yazılır. Analiz söndürmə qüvvəsini və ya itələyici qüvvəni də əhatə edə bilər. Aşağıdakı tənlikdə, zaman türevinin söndürmə gücünü təsvir edən bir parametrdir, sistemin açısal tezliyi və zamana qarşı qüvvənin bir funksiyasıdır. Harmonik rəqslər RLC dövrəsi kimi sistemlərdə də mövcuddur və təcrübələrdə mexaniki sistemlərdən daha dəqiq müşahidə edilə bilər.
- Bessel tənliyi. Besselin diferensial tənliyi bir çox fizika tətbiqetmələrində, o cümlədən dalğa tənliyinin həlli, Laplas tənliyi, Şrödinger tənliyi, xüsusən də silindrik və ya sferik simmetriya problemləri. Bu tənlik dəyişkən əmsalları olan ikinci dərəcəli diferensial tənlik olduğundan və Eyler-Koşi tənliyinə aid olmadığı üçün heç bir həll elementar funksiya kimi yazıla bilməz. Bessel tənliyinin həlli Bessel funksiyasıdır və geniş tətbiq olunduğu üçün geniş öyrənilmişdir. Aşağıdakı tənlikdə olan bir sabitdir sifariş Bessel funksiyasının.
- Maksvell tənliyi. Maxwell tənlikləri Lorentz qüvvələri ilə birlikdə bütün klassik elektrodinamikanı təşkil edir. Bu tənlik, elektrik və maqnit sahələrindəki dörd qismən diferensial tənlikdən ibarətdir, aşağıdakı tənlikdə elektrik yükünün sıxlığı, elektrik cərəyanının sıxlığı və elektrik və maqnit sabitidir.
- Şrödinger tənliyi. Kvant mexanikasında Şrödinger tənliyi dalğa funksiyaları ilə təmsil olunan hissəciklərin zamanla necə dəyişdiyini təsvir edən əsas hərəkət tənliyidir. Bu hərəkət tənliyi təsvir edilmişdir Hamiltonian bu bir operator sistemin enerjisini təsvir edən. Fiziki sistemlərin təsvirində Şrödinger tənliyinin məşhur nümunələrindən biri olan potensialın təsiri altında nisbi olmayan bir hissəcikin Schrödinger tənliyini də yaza bilərik. Bir çox sistem, zamandan asılı olmayan Schrödinger tənliyindən istifadə edərək sol hissəni hissəcik enerjisi ilə əvəz edir. Aşağıdakı tənlikdə azalmış Planck sabitidir.
- Dalğa tənliyi. Dalğalar fizika və mühəndislikdə hər yerdə yayılmışdır və bir çox sistemdə mövcuddur. Ümumiyyətlə, dalğa tənliyi aşağıdakı tənliklə ifadə olunur, burada axtarılan funksiya və təcrübədən alınan sabitdir. D’Alembert əvvəlcə bir ölçülü müstəvidə dalğa tənliyinin təsadüfi bir funksiya olduğunu kəşf etdi hər hansı arqumenti kimi bir terminə sahib olan, sağa irəliləyən təsadüfi dalğa şəklini göstərən. Bir ölçüdə ümumi həll, bu funksiyanın sola doğru hərəkət edən dalğanı təmsil edən dördüncü mübahisə müddəti olan başqa bir funksiya ilə xətti birləşməsini təsvir edir. Çözümü ikinci sətirdə yazırıq.
- Navier-Stokes tənliyi. Navier-Stokes tənliyi mayenin hərəkətini təsvir edir. Mayelər demək olar ki, bütün elm və mühəndislik sahələrində meydana gəldiyindən bu tənliklər hava proqnozu, təyyarə dizaynı, okean dalğaları və bir çox digər tətbiqetmələrdə mühüm yer tutur. Navier-Stokes tənliyi qeyri-xətti qismən diferensial tənlikdir və ümumiyyətlə həll etmək çox çətindir, çünki qeyri-xətti turbulentliyə səbəb olur. Turbulentliyin yaratdığı sabit həll üçün yüksək dəqiqlikli bir şəbəkə lazımdır, buna görə də bu tənliyi ədədi şəkildə həll etmək üçün çox sayda hesablama gücü lazımdır. Praktik maye dinamikası, turbulent axını modelləşdirmək üçün vaxt ortalaması kimi texnikalara əsaslanır. Qeyri-xətti qismən diferensial tənliklərə həllərin mövcudluğu və bənzərsizliyi kimi daha fundamental sualları həll etmək çətindir, buna görə də üç ölçülü məkanda Navier-Stokes tənliyinə həll yolları tapmaq səyləri Millenium mükafatı problemləri. Aşağıda fasiləsizlik tənliyi ilə sıxılmayan maye axınının tənliyi verilmişdir.
Göstərişlər
- Bir çox diferensial tənlik yuxarıdakı metodla həll oluna bilməz, xüsusən müzakirə bölməsində təsvir olunan tənliklərdə. Bu, tənlik dəyişkən əmsalları ehtiva etdikdə və Eyler-Koşi tənliyinə aid olmadıqda və ya məsələn, tənlik qeyri-xətti olduqda baş verir. Lakin yuxarıda göstərilən metodlar elmdə tez-tez rast gəlinən bir çox vacib diferensial tənliklərin həlli üçün olduqca faydalıdır.
- İstənilən ifadədən hesablana bilən törəmələrdən fərqli olaraq bir çox inteqral elementar funksiyalarda yazıla bilməz. Buna görə inteqrasiya edilə bilməyən ifadələrdən narahat olmayın. Əmin olmaq üçün ayrılmaz cədvəli yoxlayın. Elementar funksiyalar baxımından yazıla bilməyən diferensial tənliklərin həlləri bəzən inteqrallar baxımından yazıla bilər, lakin inteqralın analitik şəkildə işlənib hazırlana biləcəyi bu vəziyyətdə vacib deyil.
Xəbərdarlıq
- İnsanlar gördükləri zaman səhv edə bilərlər görünüş diferensial tənlik və bu tənliyi həll etmək asan tapın. Məsələn, aşağıda iki birinci dərəcəli diferensial tənliklərə baxaq. İlk tənlik bu məqalədə təsvir olunan metoddan istifadə edərək asanlıqla həll edilə bilər. Zahirən sadə görünən ikinci tənlikdə dəyişiklik onu həqiqətən həll edilməsi çox çətin olan qeyri-xətti bir tənliyə çevirir.
Azərbaycan Milli Elmlər Akademiyası
– Qeyri xətti elliptik və parabolik tənliklərin sərhədin xüsusi nöqtələri ətrafında və qeyri kompakt sərhədə malik qeyri məhdud oblastlarda həllərinin özünü aparması haqda teoremlər isbat edilmişdir. Məhdud və qeyri məhdud oblastlarda çəki funksiyası Makenxoupt şərtlərini ,cırlaşan əmsallar isə müəyyən artım şərtlərini ödədikdə yüksək tərtib qeyri-xətti parabolik tənliklər üçün qoyulmuş Dirixle məsləsinin həllərinin keyfiyyət xarakteri tədqiq edilmiş və onlar üçün yeganəlik sinifləri tapılmışdır.
– müəyyən sinif elliptik və parabolik tip tənliklərin həllərinin keyfiyyət xassələri öyrənilmiş;-operator əmsallı tənliklərin və xüsusi törəməli hiperbolik tənliklərin həllərinin sanki dövri və asimptotik sanki dövri olması üçün kafi şərtlər müəyyən edilmiş;-kvazixətti hiperbolik tənliklər üçün birtərəfli məsələlərin tamam həllolunması şərtləri müəyyən olunmuş;
– yüksək tərtibli elliptik tənliklər üçün silindrik oblastlarda şüalanma prinsipləri isbat edilmiş;
– limit amplitudu prinsipinin əsaslandırılmasında rezonans effekti aşkar edilmiş, məhdud oblastlarda və qeyri-məhdud silindrik oblastlarda Sobolev tənlikləri üçün və Petrovskiyə görə korrekt tənliklər sistemi üçün Koşi məsələsi, qarışıq məsələlərin həlləri tədqiq edilmiş və zamanın böyük qiymətlərində həllərin asimptotikası öyrənilmişdir .
2-ci problem üzrə aşağıdakı əsas nəticələr əldə edilmişdir.
– Yüksək tərtib dəyişən operator əmsallı evolyusion tənliklər üçün Koşi məsələsinin və başlanğıc- sərhəd məsələsinin korrektliyi araşdırılmışdır;
– Sərhəd şərtinə qeyri məhdud operator daxil olan ikinci tərtib diferensial-operator tənlik üçün sərhəd məsələsinin həll edilə bilməsi fredholmluğu öyrənilmişdir.
3-cü problem üzrə aşağıdakı əsas nəticələr əldə edilmişdir.
– Operator əmsallı Şturm-Liuvill tənliyi və sərhəd şərtlərində spektral parametr iştirak edən qeyri məhdud operator əmsallı differensial operatorlar üçün sərhəd məsələsinin izi hesablanmışdır;
– Sərhəd şərtinə spektral parametr daxil olan ikinci tərtib diferensial-operator tənlik üçün sərhəd məsələsinin həll edilə bilməsi, fredholmluğu və spektral xassələri öyrənilmişdir.
4-cü problem üzrə aşağıdakı əsas nəticələr əldə edilmişdir.
– Asimptotik periodik başlanğıc şərtlərə malik olan Volterr zəncirləri üçün Koşi məsələsi tədqiq olunmuş və tərs spektral məsələ metodu ilə həlli edilmişdir.
Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.