Mühazirə mətinləri. Matrislər və onlar üzərində əməllər

bu yuqori darajadagi differentsiallarni aniqlash uchun allaqachon qabul qilingan yondashuv (va deyarli Koshi tomonidan belgilanadigan ta’rif). Agar t vaqtni va ifodalaydi x holati, keyin h siljish o’rniga tezlikni anglatadi, chunki biz uni ilgari ko’rib chiqdik. Bu differentsial tushunchaning yana bir aniqlanishini keltirib chiqaradi: bu kinematik tezlikning chiziqli funktsiyasi bo’lishi kerak. Fazoning ma’lum bir nuqtasi orqali barcha tezliklarning to’plami teginsli bo’shliq, va hokazo df teginish fazosida chiziqli funktsiya beradi: a differentsial shakl. Ushbu talqin bilan, ning differentsiali f nomi bilan tanilgan tashqi hosila, va keng dasturga ega differentsial geometriya chunki tezlik va tangens fazosi tushunchasi har qanday odam uchun mantiqiy farqlanadigan manifold. Agar qo’shimcha ravishda, ning chiqish qiymati f shuningdek, pozitsiyani ifodalaydi (Evklid fazosida), keyin o’lchovli tahlil, ning chiqish qiymati ekanligini tasdiqlaydi df tezlik bo’lishi kerak. Agar biror kishi differentsialga shu tarzda munosabatda bo’lsa, demak u oldinga chunki u tezlikni manba fazosidan maqsad fazosidagi tezliklarga “itaradi”.

Funktsiyaning differentsiali – Differential of a function

O’zgaruvchilarning aniq ma’nosi dy va dx dastur kontekstiga va kerakli matematik qat’iylikka bog’liq. Ushbu o’zgaruvchilar doirasi, agar differentsial alohida deb hisoblansa, ma’lum bir geometrik ahamiyatga ega bo’lishi mumkin differentsial shakl yoki analitik ahamiyatga ega, agar differentsial a deb qaralsa chiziqli yaqinlashish funktsiya o’sishiga. An’anaviy ravishda o’zgaruvchilar dx va dy juda kichik deb hisoblanadi (cheksiz ) va ushbu talqin qat’iyan qilingan nostandart tahlil.

Mundarija

• 1 Tarix va foydalanish
• 2 Ta’rif
• 3 Bir nechta o’zgaruvchidagi differentsiallar
  • 3.1 Xatolarni baholash uchun umumiy differentsialni qo’llash

  Tarix va foydalanish

  Differentsial birinchi marta intuitiv yoki evristik ta’rif orqali kiritildi Gotfrid Vilgelm Leybnits, differentsialni kim o’ylagandy cheksiz kichik (yoki) sifatida cheksiz ) qiymatning o’zgarishiy funktsiyasi, cheksiz kichik o’zgarishga mos keladidx funktsiya argumentidax. Shu sababli, bir zumda o’zgarish tezligi y munosabat bilan x, bu qiymati lotin funktsiyasi, kasr bilan belgilanadi

  deb nomlangan narsada Leybnits yozuvlari hosilalari uchun. Miqdor dy/dx cheksiz kichik emas; aksincha bu haqiqiy raqam.

  Ushbu shaklda cheksiz narsalardan foydalanish keng tanqid qilindi, masalan, mashhur risola Tahlilchi Bishop Berkeley tomonidan. Avgustin-Lui Koshi (1823 ) Leybnits cheksiz kichiklarining atomizmiga murojaat qilmasdan differentsialni aniqladi. [1] [2] Buning o’rniga, Koshi, ta’qib qilmoqda d’Alembert, Leybnits va uning vorislarining mantiqiy tartibini teskari yo’naltirdi: lotin o’zi a sifatida belgilangan asosiy ob’ektga aylandi chegara farq kvotentlari, keyin esa differentsiallar unga qarab aniqlandi. Ya’ni, biri erkin edi aniqlang differentsial dy ifoda bilan

  d y = f ′ ( x ) d x

  unda dy va dx cheklangan haqiqiy qiymatlarni oladigan shunchaki yangi o’zgaruvchilar, [3] Leybnitsda bo’lgani kabi cheksiz kichiklarni aniqlamadilar. [4]

  Ga binoan Boyer (1959), p. 12), Koshining yondashuvi Leybnitsning cheksiz kichik yondashuviga nisbatan sezilarli mantiqiy takomillashtirish edi, chunki cheksiz kichiklar metafizik tushunchasini chaqirish o’rniga, miqdorlar dy va dx endi boshqa har qanday haqiqiy miqdorlar kabi mazmunli tarzda manipulyatsiya qilinishi mumkin. Koshining differentsiallarga umumiy kontseptual yondashuvi zamonaviy analitik muolajalarda standart bo’lib qolmoqda, [5] qat’iylik to’g’risidagi so’nggi so’z, chegara haqida to’liq zamonaviy tushuncha, oxir-oqibat bog’liq edi Karl Vaystrass. [6]

  Nazariyasiga tatbiq qilingan kabi jismoniy davolashda termodinamika, cheksiz ko’rinish hali ham ustunlik qilmoqda. Courant & John (1999 y.), p. 184) cheksiz kichik differentsiallarning jismoniy ishlatilishini ularning matematik imkonsizligi bilan quyidagicha muvofiqlashtirish. Diferensiallar nolga teng bo’lmagan cheklangan qiymatlarni ifodalaydi, ular aniq maqsad uchun zarur bo’lgan aniqlik darajasidan kichikdir. Shunday qilib, “jismoniy cheksiz kichiklar” aniq ma’noga ega bo’lish uchun tegishli matematik cheksizga murojaat qilishlari shart emas.

  Yigirmanchi asr voqealaridan so’ng matematik tahlil va differentsial geometriya, funktsiya differentsiali tushunchasini turli yo’llar bilan kengaytirish mumkinligi aniq bo’ldi. Yilda haqiqiy tahlil, funktsiya o’sishining asosiy qismi sifatida to’g’ridan-to’g’ri differentsial bilan shug’ullanish maqsadga muvofiqdir. Bu to’g’ridan-to’g’ri funktsiyani nuqtada differentsialligi a degan tushunchaga olib keladi chiziqli funktsional o’sish Δx. Ushbu yondashuv turli xil murakkab joylar uchun differentsialni (chiziqli xarita sifatida) ishlab chiqishga imkon beradi va natijada bunday tushunchalarni keltirib chiqaradi Frechet yoki Gateaux lotin. Xuddi shunday, ichida differentsial geometriya, funksiyaning differentsiali a ning chiziqli funktsiyasi teginuvchi vektor (“cheksiz kichik siljish”), uni o’ziga xos bir shakl sifatida namoyish etadi: tashqi hosila funktsiyasi. Yilda nostandart hisoblash, differentsiallar cheksiz kichiklar deb qaraladi, ular o’zlarini qat’iy poydevorga qo’yishlari mumkin (qarang differentsial (cheksiz) ).

  Ta’rif

  Funktsiyaning differentsiali ƒ(x) bir nuqtadax₀.

  Differentsial hisoblashning zamonaviy muolajalarida quyidagicha ta’riflanadi. [7] Funktsiyaning differentsiali f(x) bitta haqiqiy o’zgaruvchining x funktsiya df ikkita mustaqil haqiqiy o’zgaruvchining x va Δx tomonidan berilgan

  d f ( x , Δ x ) = d e f f ′ ( x ) Δ x . < displaystyle df (x, Delta x) < stackrel < mathrm > > f ‘(x) , Delta x.>

  Bittasi yoki ikkalasi ham bostirilishi mumkin, ya’ni biri ko’rishi mumkin df(x) yoki oddiygina df. Agar y = f(x), differentsial sifatida ham yozilishi mumkin dy. Beri dx(x, Δx) = Δx yozish odatiy holdir dx = Δx, shuning uchun quyidagi tenglik bo’ladi:

  d f ( x ) = f ′ ( x ) d x

  Ushbu differentsial tushunchasi, agar a chiziqli yaqinlashish funktsiyaga is o’sishining qiymati sought qidiriladix etarlicha kichik. Aniqrog’i, agar f a farqlanadigan funktsiya da x, keyin farq y-qiymatlar

  Δ y = d e f f ( x + Δ x ) − f ( x ) < displaystyle Delta y < stackrel < rm > > f (x + Delta x) -f (x)>

  Δ y = f ′ ( x ) Δ x + ε = d f ( x ) + ε

  bu erda taxminan xato error / Δ ni qondiradix → 0 Δ sifatidax → 0. Boshqacha qilib aytganda, kishi taxminiy shaxsga ega

  unda xatoni Δ ga nisbatan istalgancha kichik qilish mumkinx cheklash bilan Δx etarlicha kichkina bo’lmoq; Demak,

  Δ sifatidax → 0. Shu sababli funksiyaning differentsiali asosiy (chiziqli) qism funktsiya o’sishida: differentsial a chiziqli funktsiya Δ o’sishiningx, va ε xatosi chiziqli bo’lishi mumkin bo’lsa ham, u tezda nolga tenglashadix nolga intiladi.

  Bir nechta o’zgaruvchidagi differentsiallar

  Operator Funktsiya	f ( x )	f ( x , y , siz ( x , y ) , v ( x , y ) )
  Differentsial	1: d f = d e f f x ′ d x < displaystyle operator nomi ! f , < overset < underset < mathrm > <>> > , f ‘_ operator nomi ! x>	2: d x f = d e f f x ′ d x < displaystyle operator nomi _ ! f , < overset < underset < mathrm > <>> > , f ‘_ operator nomi ! x>

  Keyingi Gursat (1904), I, §15), bir nechta mustaqil o’zgaruvchining funktsiyalari uchun,

  y = f ( x 1 , … , x n ) , < displaystyle y = f (x_ , nuqtalar, x_ ), ,>

  The qisman differentsial ning y har qanday o’zgaruvchiga nisbatanx₁ o’zgarishning asosiy qismidir y o’zgarish natijasida kelib chiqadidx₁ bitta o’zgaruvchida. Shuning uchun qisman differentsial

  bilan bog’liq qisman lotin ning y munosabat bilanx₁. Barcha mustaqil o’zgaruvchilarga nisbatan qisman differentsiallarning yig’indisi umumiy differentsial

  bu o’zgarishning asosiy qismi bo’lgan y mustaqil o’zgaruvchilarning o’zgarishi natijasidax_men.

  Aniqrog’i, ko’p o’zgaruvchan hisob-kitoblar kontekstida quyidagilar Courant (1937b), agar f farqlanadigan funktsiya, keyin differentsiallikning ta’rifi, o’sish

  Δ y = d e f f ( x 1 + Δ x 1 , … , x n + Δ x n ) − f ( x 1 , … , x n ) = ∂ y ∂ x 1 Δ x 1 + ⋯ + ∂ y ∂ x n Δ x n + ε 1 Δ x 1 + ⋯ + ε n Δ x n < displaystyle < begin Delta y & <> < stackrel < mathrm > > f (x_ + Delta x_ , dots, x_ + Delta x_ ) – f (x_ , nuqta, x_ ) & <> = < frac < kısmi y>< qisman x_ >> Delta x_ < 1>+ cdots + < frac < qismli y>< qismli x_ >> Delta x_ + varepsilon _ Delta x_ + cdots + varepsilon _ < n>Delta x_ end >>

  bu erda xato shartlari ε _men Δ o’sishida nolga moyilx_men birgalikda nolga moyil. Keyinchalik umumiy differentsial qat’iy ravishda aniqlanadi

  Ushbu ta’rif bilan,

  d x men ( Δ x 1 , … , Δ x n ) = Δ x men , < displaystyle dx_ ( Delta x_ , dots, Delta x_ ) = Delta x_ ,>

  Bitta o’zgaruvchida bo’lgani kabi, taxminiy identifikatsiya ham mavjud

  unda umumiy xatoni nisbatan kerakli darajada kichikroq qilish mumkin Δ x 1 2 + ⋯ + Δ x n 2 < displaystyle < sqrt < Delta x_ ^ + cdots + Delta x_ ^ >>> e’tiborni etarlicha kichik o’sishlarga cheklash orqali.

  Xatolarni baholash uchun umumiy differentsialni qo’llash

  O’lchashda umumiy differentsial ishlatiladi xatoni taxmin qilish Δf funktsiya f errors xatolar asosidax, Δy, . parametrlaridan x, y, . . O’zgarish taxminan chiziqli bo’lishi uchun interval etarli darajada qisqa bo’lsa:

  Δf(x) = f ‘(x) × Δx

  va barcha o’zgaruvchilar mustaqil, keyin barcha o’zgaruvchilar uchun,

  Δ f = f x Δ x + f y Δ y + ⋯ < displaystyle Delta f = f_ Delta x + f_ Delta y + cdots>

  Buning sababi lotin f_x ma’lum bir parametrga nisbatan x funktsiyaning sezgirligini beradi f o’zgarishga x, xususan Δ xatosix. Ular mustaqil deb taxmin qilinganligi sababli, tahlil eng yomon stsenariyni tavsiflaydi. Komponent xatolarining mutlaq qiymatlaridan foydalaniladi, chunki oddiy hisoblashdan so’ng hosila manfiy belgiga ega bo’lishi mumkin. Ushbu printsipdan yig’ish, ko’paytirish va hokazolarning xato qoidalari kelib chiqadi, masalan:

  F (ruxsat beringa, b) = a × b; Δf = f_aΔa + f_bΔb; hosilalarni baholash Δf = bΔa + aΔb; tomonidan bo’lish f, bu a × b Δf/f = Δa/a + Δb/b

  Ya’ni ko’paytishda jami nisbiy xato parametrlarning nisbiy xatolarining yig’indisi.

  Buning ko’rib chiqilgan funktsiyaga qanday bog’liqligini ko’rsatish uchun funktsiya bo’lgan holatni ko’rib chiqing f(a, b) = a ln b o’rniga. Keyinchalik, xatolarni taxmin qilish mumkin deb hisoblash mumkin

  Δf/f = Δa/a + Δb/(b ln b)

  qo’shimcha bilan ‘ ln b ‘oddiy mahsulot misolida topilmaydigan omil. Ushbu qo’shimcha omil xatoni kichikroq qilishga intiladi ln b yalang’och kabi katta emasb.

  Yuqori darajadagi differentsiallar

  Funktsiyaning yuqori darajadagi differentsiallari y = f(x) bitta o’zgaruvchining x quyidagicha aniqlanishi mumkin: [8]

  d 2 y = d ( d y ) = d ( f ′ ( x ) d x ) = ( d f ′ ( x ) ) d x = f ″ ( x ) ( d x ) 2 , < displaystyle d ^ y = d (dy) = d (f '(x) dx) = (df' (x)) dx = f '' (x) , (dx) ^ , >

  d n y = f ( n ) ( x ) ( d x ) n . < displaystyle d ^ y = f ^ (x) , (dx) ^ .>

  Norasmiy ravishda, bu Leybnitsning yuqori darajadagi derivativlar uchun yozuvlarini rag’batlantiradi

  Qachon mustaqil o’zgaruvchi x o’zi boshqa o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lishi uchun ruxsat beriladi, keyin ifoda yanada murakkablashadi, chunki u yuqori darajadagi differentsiallarni ham o’z ichiga olishi kerak x o’zi. Masalan, masalan,

  d 2 y = f ″ ( x ) ( d x ) 2 + f ′ ( x ) d 2 x d 3 y = f ‴ ( x ) ( d x ) 3 + 3 f ″ ( x ) d x d 2 x + f ′ ( x ) d 3 x < displaystyle < begin d ^ y & = f '' (x) , (dx) ^ + f '(x) d ^ x d ^ y & = f '' '(x) , (dx) ^ + 3f' '(x) dx , d ^ x + f' (x) d ^ x end >>

  Shunga o’xshash mulohazalar bir nechta o’zgaruvchan funktsiyalarning yuqori darajali differentsiallarini aniqlashda qo’llaniladi. Masalan, agar f ikkita o’zgaruvchidan iborat funktsiya x va y, keyin

  d n f = ∑ k = 0 n ( n k ) ∂ n f ∂ x k ∂ y n − k ( d x ) k ( d y ) n − k , < displaystyle d ^ f = sum _ ^ < binom > < frac < qismli ^ f> < qisman x ^ < k>qisman y ^ >> (dx) ^ (dy) ^ ,>

  qayerda ( n k ) < displaystyle scriptstyle < binom >> a binomial koeffitsient. Ko’proq o’zgaruvchilarda o’xshash ibora mavjud, ammo tegishli multinomial binomial kengayishdan ko’ra kengayish. [9]

  Mustaqil o’zgaruvchilar o’zlarining boshqa o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lishiga yo’l qo’yilsa, bir nechta o’zgaruvchilardagi yuqori darajali differentsiallar ham murakkablashadi. Masalan, funktsiya uchun f ning x va y yordamchi o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lishi mumkin bo’lgan narsalarga ega

  d 2 f = ( ∂ 2 f ∂ x 2 ( d x ) 2 + 2 ∂ 2 f ∂ x ∂ y d x d y + ∂ 2 f ∂ y 2 ( d y ) 2 ) + ∂ f ∂ x d 2 x + ∂ f ∂ y d 2 y . < displaystyle d ^ f = chap ( < frac < qismli ^ f> < qismli x ^ >> (dx) ^ +2 < frac < qismli ^ f> < qisman x qismli y>> dx , dy + < frac < qismli ^ f> < qismli y ^ >> (dy) ^ o’ng ) + < frac < qismli f>< qisman x>> d ^ x + < frac < qismli f>< qismli y>> d ^ y.>

  Ushbu notatsionallik tufayli yuqori darajadagi differentsiallardan foydalanish atroflicha tanqid qilindi Hadamard 1935 yil, kim xulosa qildi:

  Enfin, que signifie ou que représente l’égalité d 2 z = r d x 2 + 2 s d x d y + t d y 2 ? < displaystyle d ^ z = r , dx ^ + 2s , dx , dy + t , dy ^ ,?> A mon avis, rien du tout.

  Anavi: Va nihoyat, [. ] tengligi nimani anglatadi yoki ifodalanadi? Menimcha, umuman hech narsa yo’q. Ushbu shubhaga qaramay, yuqori darajadagi farqlar tahlilning muhim vositasi sifatida paydo bo’ldi. [10]

  Ushbu kontekstda nfunktsiya differentsiali f Δ o’sishiga qo’llaniladix bilan belgilanadi

  d n f ( x , Δ x ) = d n d t n f ( x + t Δ x ) | t = 0 < displaystyle d ^ f (x, Delta x) = chap. < frac

  > f (x + t Delta x) right | _ >

  yoki shunga o’xshash ekvivalent, masalan

  qayerda Δ t Δ x n f < displaystyle Delta _ ^ f> bu nth oldinga farq o’sish bilan tΔx.

  Ushbu ta’rif, shuningdek, mantiqan to’g’ri keladi f bir nechta o’zgaruvchilarning funktsiyasidir (soddaligi uchun bu erda vektor argumenti sifatida olingan). Keyin nshu tarzda aniqlangan th diferensial a bir hil funktsiya daraja n vektor o’sishida Δx. Bundan tashqari, Teylor seriyasi ning f nuqtada x tomonidan berilgan

  f ( x + Δ x ) ∼ f ( x ) + d f ( x , Δ x ) + 1 2 d 2 f ( x , Δ x ) + ⋯ + 1 n ! d n f ( x , Δ x ) + ⋯ < displaystyle f (x + Delta x) sim f (x) + df (x, Delta x) + < frac > d ^ f (x, Delta x) + cdots + < frac > d ^ f (x, Delta x) + cdots>

  Yuqori tartib Gateaux lotin bu mulohazalarni cheksiz o’lchovli bo’shliqlarga umumlashtiradi.

  Xususiyatlari

  Diferensialning bir qator xususiyatlari lotin, qisman lotin va umumiy hosilaning tegishli xususiyatlaridan to’g’ridan-to’g’ri amal qiladi. Bunga quyidagilar kiradi: [11]

  • Lineerlik: Doimiy uchun a va b va farqlanadigan funktsiyalar f va g,

  • Mahsulot qoidasi: Ikki farqlanadigan funktsiya uchun f va g,

  Amaliyot d bu ikki xususiyat bilan ma’lum mavhum algebra kabi hosil qilish. Ular Quvvat qoidasini nazarda tutadi

  d ( f n ) = n f n − 1 d f < displaystyle d (f ^ ) = nf ^ df>

  Bundan tashqari, zanjir qoidasi ushlab turing, umumiylik darajasi oshib bormoqda: [12]

  • Agar y = f(siz) o’zgaruvchining farqlanadigan funktsiyasi siz va siz = g(x) ning farqlanadigan funktsiyasi x, keyin

  • Agar y = f(x₁, . x_n) va barcha o’zgaruvchilarx₁, . x_n boshqa o’zgaruvchiga bog’liqt, keyin qisman hosilalari uchun zanjir qoidasi, bitta bor

  • O’rtacha o’zgaruvchilar mavjud bo’lgan umumiy o’xshash iboralar mavjud x_men bir nechta o’zgaruvchiga bog’liq.

  Umumiy shakllantirish

  Shuningdek qarang: Fréchet lotin va Gateaux lotin

  Funktsiya uchun differentsialning izchil tushunchasi ishlab chiqilishi mumkin f : R n → R m ikkitasi o’rtasida Evklid bo’shliqlari. Ruxsat bering x, Δx ∈ R n bir juft bo’lishi Evklid vektorlari. Funktsiyaning o’sishi f bu

  Δ f = f ( x + Δ x ) − f ( x ) . < displaystyle Delta f = f ( mathbf + Delta mathbf ) -f ( mathbf ).>

  Agar mavjud bo’lsa m × n matritsa A shu kabi

  unda vektor ε → 0 Δ sifatidax → 0, keyin f ta’rifi bo’yicha nuqtada farqlanadi x. Matritsa A ba’zan sifatida tanilgan Yakobian matritsasi, va chiziqli transformatsiya Δ o’sishiga bog’laydiganx ∈ R n vektor AΔx ∈ R m bu umumiy sharoitda, differentsial deb nomlanadi df(x) ning f nuqtada x. Bu aniq Fréchet lotin va har qanday funktsiyani bajarish uchun bir xil qurilish amalga oshirilishi mumkin Banach bo’shliqlari.

  Yana bir samarali nuqtai nazar – bu differentsialni to’g’ridan-to’g’ri bir turi sifatida belgilash yo’naltirilgan lotin:

  d f ( x , h ) = lim t → 0 f ( x + t h ) − f ( x ) t = d d t f ( x + t h ) | t = 0 , < displaystyle df ( mathbf , mathbf ) = lim _ < frac > = chap. < frac > f ( mathbf + t mathbf ) o’ng | _ ,>

  bu yuqori darajadagi differentsiallarni aniqlash uchun allaqachon qabul qilingan yondashuv (va deyarli Koshi tomonidan belgilanadigan ta’rif). Agar t vaqtni va ifodalaydi x holati, keyin h siljish o’rniga tezlikni anglatadi, chunki biz uni ilgari ko’rib chiqdik. Bu differentsial tushunchaning yana bir aniqlanishini keltirib chiqaradi: bu kinematik tezlikning chiziqli funktsiyasi bo’lishi kerak. Fazoning ma’lum bir nuqtasi orqali barcha tezliklarning to’plami teginsli bo’shliq, va hokazo df teginish fazosida chiziqli funktsiya beradi: a differentsial shakl. Ushbu talqin bilan, ning differentsiali f nomi bilan tanilgan tashqi hosila, va keng dasturga ega differentsial geometriya chunki tezlik va tangens fazosi tushunchasi har qanday odam uchun mantiqiy farqlanadigan manifold. Agar qo’shimcha ravishda, ning chiqish qiymati f shuningdek, pozitsiyani ifodalaydi (Evklid fazosida), keyin o’lchovli tahlil, ning chiqish qiymati ekanligini tasdiqlaydi df tezlik bo’lishi kerak. Agar biror kishi differentsialga shu tarzda munosabatda bo’lsa, demak u oldinga chunki u tezlikni manba fazosidan maqsad fazosidagi tezliklarga “itaradi”.

  Boshqa yondashuvlar

  Asosiy maqola: Differentsial (cheksiz)

  Cheksiz o’sishga ega bo’lish tushunchasi bo’lsa ham dx zamonaviy tilda yaxshi aniqlanmagan matematik tahlil, aniqlash uchun turli xil texnikalar mavjud cheksiz kichik differentsial shuning uchun funktsiya differentsiali bilan to’qnashmaydigan tarzda ishlov berilishi mumkin Leybnits yozuvlari. Bunga quyidagilar kiradi:

  • Diferensialni bir turi sifatida aniqlash differentsial shakl, xususan tashqi hosila funktsiya. So’ngra cheksiz kichik o’sishlarni vektorlar bilan aniqlanadi teginsli bo’shliq bir nuqtada. Ushbu yondashuv mashhur differentsial geometriya va tegishli maydonlar, chunki u xaritalarni osonlikcha umumlashtiradi farqlanadigan manifoldlar.
  • Sifatida farq qiladi nolpotent elementlari komutativ halqalar. Ushbu yondashuv mashhur algebraik geometriya. [13]
  • To’plamlar nazariyasining silliq modellaridagi differentsiallar. Ushbu yondashuv sifatida tanilgan sintetik differentsial geometriya yoki silliq cheksiz kichik tahlil va algebraik geometrik yondashuv bilan chambarchas bog’liq, faqat bu fikrlar bundan mustasno topos nazariyasi odatlangan yashirish nilpotent cheksiz kichiklarni kiritish mexanizmlari. [14]
  • Diferentsiallar cheksiz kichik sifatida giperreal raqam cheksiz kichik va cheksiz katta sonlarni o’z ichiga olgan haqiqiy sonlarning kengaytmalari bo’lgan tizimlar. Bu yondashuv nostandart tahlil kashshof Ibrohim Robinson. [15]

  Misollar va ilovalar

  Differentsiallardan samarali foydalanish mumkin raqamli tahlil hisoblashda eksperimental xatolarning tarqalishini o’rganish va shu bilan umumiy raqamli barqarorlik muammoning (Courant 1937a ). Aytaylik, o’zgaruvchi x eksperiment natijasini ifodalaydi va y qo’llaniladigan raqamli hisoblash natijasidir x. Savol o’lchovdagi xatolar qay darajada x hisoblash natijalariga ta’sir qiladi y. Agar x within ichida ma’lumx uning haqiqiy qiymati, keyin Teylor teoremasi error xatosi bo’yicha quyidagi taxminni beradiy hisoblashda y:

  Diferensial ko’pincha a-ni qayta yozish uchun foydalidir differentsial tenglama

  Izohlar

  1. ^ Diferensial haqida batafsil tarixiy ma’lumot uchun qarang Boyer 1959 yil, ayniqsa, Koshining bu boradagi hissasi uchun 275-bet. Qisqartirilgan hisob qaydnomasi paydo bo’ladi Kline 1972 yil, 40-bob.
  2. ^ Koshi haqiqiy cheksiz va cheksiz miqdorlarning mavjudligini aniq rad etdi (Boyer 1959 yil, 273-275-betlar) va “o’zgaruvchan miqdor nolga yaqinlashadigan tarzda cheksiz kamayganda o’zgaruvchan miqdor cheksiz kichik bo’ladi” degan tubdan farqli nuqtai nazarni oldi.Koshi 1823, p. 12; dan tarjima Boyer 1959 yil, p. 273).
  3. ^Boyer 1959 yil, p. 275
  4. ^Boyer 1959 yil, p. 12: “Belgilangan farqlar faqat yangi o’zgaruvchilarva sobit bo’lmagan cheksiz . “
  5. ^Courant 1937a, II, §9: “Bu erda biz shunchaki incre o’sishining taxminiy ko’rinishini ishlatish mumkinligini ta’kidlaymiz.y chiziqli ifoda bo’yicha hf(xKoshi tomonidan amalga oshirilganidek, “differentsial” ning mantiqan qoniqarli ta’rifini yaratish. “
  6. ^Boyer 1959 yil, p. 284
  7. ^ Masalan, ta’sirli risolalariga qarang Courant 1937a, Kline 1977 yil, Goursat 1904 yil va Hardy 1905 yil harvnb xatosi: maqsad yo’q: CITEREFHardy1905 (Yordam bering) . Ushbu ta’rif uchun uchinchi darajali manbalar ham o’z ichiga oladi Tolstov 2001 yil harvnb xatosi: maqsad yo’q: CITEREFTolstov2001 (Yordam bering) va Itô 1993 yil, §106.
  8. ^Koshi 1823. Masalan, qarang Goursat 1904 yil, I, §14.
  9. ^Goursat 1904 yil, I, §14
  10. ^ Xususan cheksiz o’lchovli holomorfiya (Hille & Phillips 1974 yil ) va raqamli tahlil ning hisob-kitobi orqali cheklangan farqlar.
  11. ^Goursat 1904 yil, I, §17
  12. ^Goursat 1904 yil, I, §§ 14,16
  13. ^Eyzenbud va Xarris 1998 yil.
  14. ^ Qarang Kock 2006 yil va Moerdijk va Reyes 1991 yil.
  15. ^ Qarang Robinson 1996 yil va Keisler 1986 yil.

  Adabiyotlar

  • Boyer, Karl B. (1959), Hisoblash tarixi va uning kontseptual rivojlanishi, Nyu York: Dover nashrlari, JANOB0124178 .
  • Koshi, Augustin-Lui (1823), Résumé des Lechons données à l’Ecole royale polytechnique sur les applications du calcul infinitésimal, dan arxivlangan asl nusxasi 2009-05-04 da , olingan 2009-08-19
  • .
  • Kursant, Richard (1937a), Differentsial va integral hisoblash. Vol. Men, Wiley Classics kutubxonasi, Nyu-York: John Wiley & Sons (nashr etilgan 1988), ISBN978-0-471-60842-4 , JANOB1009558
  • .
  • Kursant, Richard (1937b), Differentsial va integral hisoblash. Vol. II, Wiley Classics kutubxonasi, Nyu-York: John Wiley & Sons (1988 yilda nashr etilgan), ISBN978-0-471-60840-0 , JANOB1009559
  • .
  • Kursant, Richard; Jon, Fritz (1999), Hisoblash va tahlilga kirish 1-jild, Matematika klassikalari, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, ISBN3-540-65058-X , JANOB1746554
  • Eyzenbud, Devid; Xarris, Jou (1998), Sxemalar geometriyasi, Springer-Verlag, ISBN0-387-98637-5
  • .
  • Frishet, Moris (1925), “La notion de différentielle dans l’analyse générale”, Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure, 3-seriya, 42: 293–323, ISSN0012-9593, JANOB1509268
  • .
  • Gursat, Eduard (1904), Matematik tahlil kursi: 1-jild: hosilalar va differentsiallar, aniq integrallar, ketma-ket kengayish, geometriyaga tatbiq etish, E. R. Hedrik, Nyu-York: Dover nashrlari (1959 yilda nashr etilgan), JANOB0106155
  • .
  • Xadamard, Jak (1935), “La notion de différentiel dans l’enseignement”, Matematik gazeta, XIX (236): 341–342, JSTOR3606323
  • .
  • Xardi, Godfri Xarold (1908), Sof matematika kursi, Kembrij universiteti matbuoti, ISBN978-0-521-09227-2
  • .
  • Xill, Eyinar; Fillips, Ralf S. (1974), Funktsional tahlil va yarim guruhlar, Providence, R.I .: Amerika matematik jamiyati, JANOB0423094
  • .
  • Itô, Kiyosi (1993), Matematikaning entsiklopedik lug’ati (2-nashr), MIT Press, ISBN978-0-262-59020-4
  • .
  • Klin, Morris (1977), “13-bob: Differentsial va o’rtacha qonun”, Hisoblash: intuitiv va jismoniy yondashuv, Jon Vili va o’g’illari
  • .
  • Klin, Morris (1972), Matematik fikr qadimdan zamonaviy davrgacha (3-nashr), Oksford universiteti matbuoti (1990 yilda nashr etilgan), ISBN978-0-19-506136-9
  • Keisler, H. Jerom (1986), Boshlang’ich hisoblash: cheksiz kichik yondashuv (2-nashr).
  • .
  • Kock, Anders (2006), Sintetik differentsial geometriya (PDF) (2-nashr), Kembrij universiteti matbuoti
  • .
  • Moerdijk, I.; Reys, G.E. (1991), Silliq cheksiz kichik tahlil uchun modellar, Springer-Verlag
  • .
  • Robinzon, Ibrohim (1996), Nostandart tahlil, Prinston universiteti matbuoti, ISBN978-0-691-04490-3
  • .
  • Tolstov, G.P. (2001) [1994], “Differentsial”, Matematika entsiklopediyasi, EMS Press
  • .

  Tashqi havolalar

  • Funktsiyaning differentsiali Wolfram namoyishlari loyihasida

  Mühazirə mətinləri. Matrislər və onlar üzərində əməllər

  Deməli funksiyanın parçada kəsilməzliyi anlayışı ilə parçada müntəzəm kəsilməzliyi anlayışı eynidir. Lakin bu xassə interval və yarıminterval üçün doğru deyildir.

  Məsələn; funksiyası (0,1) intervalında kəsilməyəndir, lakin həmin intervalında müntəzəm kəsilməyən deyildir.
  Limitlər haqqında əsas teoremlər.
  Teorem 1. Sonlu limitləri olan sonlu sayda funksiyalarının cəminin limiti onların limitləri cəminə bərabərdir. (1)

  Teorem 2. Sonlu limitləri olan sonlu sayda funksiyalarının hasilinin limiti onların limitləri hasilinə bərabərdir. (2)

  (1)
  (2)
  Sabit vuruğu limit işarəsi xaricinə çıxarmaq olar.

  Teorem 3.f(x) və (x) funksiyalarının sonlu limitləri varsa və olarsa, onların nisbətinin limiti limitlərinin nisbətinə bərabərdir;

  Məşhur limitlər.
  1.
  2. ədədi.
  Tərif . dəyişən kəmiyyətinin şərtində limitinə e ədədi deyilir.

  ədədi bərabərsizliyini ödəyir.

  Funksiyanın törəməsi və diferensialı .
  Tərif 1. Əgər şərtində (1) nisbətinin sonlu limiti varsa, onda həmin limitə y=f(x) funksiyasının x nöqtəsində törəməsi deyilir.

  Verilmiş x nöqtəsində törəməsi olan funksiyaya həmin nöqtədə diferensiallanan funksiya deyilir. (a, b) intervalının hər bir nöqtəsində törəməsi olan funksiya həmin intervalda diferensiallanan funksiya adlanır.

  Funksiyanın törəməsini tapmaq əməlinə həmin funksiyanın diferensiallanması deyilir.

  Misal 1. f(x) =x funksiyanın törəməsi vahidə bərabərdir.

  Bunu isbat etmək üçün arqumentin verilmiş artımına funksiyanın uyğun artımını tapaq;

  Cəmin, hasilin və nisbətin törəməsi.

  Teorem 1.Verilmiş t=x nöqtəsində diferensiallanan sonlu sayda funksiyalarının cəmidə həmin nöqtədə diferensiallanandır, və cəmin törəməsi toplananların törəmələri cəminə bərabərdir.

  Teorem 2. Verilmiş t=x nöqtəsində diferensiallanan f(t) və (t) funksiyalarının hasilidə həmin nöqtədə diferensiallanandır və hasilin törəməsi aşağıdakı qayda ilə hesablanır.

  Sabit vuruğu törəmə işarəsi xaricinə çıxarmaq olar;

  Teorem 3. Verilmiş t=x nöqtəsində diferensiallanan f(t) və (t) funksiyalarının nisbəti olduqda həmin nöqtədə diferensiallanandır, və nisbətin törəməsi aşağıdakı qayda ilə hesablanır.

  Mürəkkəb funksiyanın törəməsi
  Teorem . funksiyası t₀ nöqtəsində və funksiyası uyğun nöqtəsində diferensiallanan olduqda mürəkkəb funksiyası t₀ nöqtəsində diferensiallanandır və onun törəməsi

  düsturu ilə hesablanır.

  Parametrik şəkildə verilmiş funksiyanın törəməsi.
  Teorem 2 . Əgər və funksiyalarının törəmələri varsa və olarsa onda funksiyası diferensiallanandır və onun törəməsi

  düsturu ilə hesablanır.

  Tərs funksiyanın törəməsi .
  Teorem 3. funksiyası x=x₀ nöqtəsində diferensiallanandırsa və olarsa onda onun tərs funksiyası uyğun y₀ nöqtəsində diferensiallanandır və onun törəməsi düsturu ilə hesablanır. şəklində də yazmaq olar. Üstlü – mürəkkəb funksiyanın törəməsi

  Diferensiallanan funksiyalar üçün orta qiymət teoremlər.
  Roll teoremi. -da kəsilməyən , (a,b) intervalında diferensiallanan və həmin parçanın uc nöqtələrində bərabər qiymətləri alan funksiyası üçün həmin (a, b) intervalında yerləşən heç olmasa bir elə nöqtəsi var ki, bu nöqtədə funksiyanın törəməsi sıfıra bərabərdir. Yəni

  Laqranj teoremi. -da kəsilməyən və (a,b) intervalında diferensiallanan funksiyası üçün həmin intervalında yerləşən elə nöqtəsi var ki, bu nöqtədə

  bərabərliyi ödənilir. (1) bərabərliyinə Laqranj düsturu və ya sonlu artımlar düsturu deyilir.

  Isbatı ; -da təyin olunmuş

  funksiyasına baxaq. F(x) funksiyası -da kəsilməyəndir, (a,b) intervalında diferensiallanandır və parçanın uc nöqtələrində bərabər qiymətlər alır.

  törəməsi bir nöqtələrində sıfra bərabər olar;

  Buradan (1) bərabərliyi alınır.

  Koşi teoremi.
  Teorem 1. Tutaq ki, və funksiyaları -da kəsilməyən , (a,b) intervalında diferensiallanan və həmin intervalın bütün nöqtələrində şərtini ödəyən funksiyalardır. Onda (a,b) intervalında yerləşən elə nöqtəsi var ki, bu nöqtədə

  İsbatı. Teoremin şərtindən aydındır ki, çünki əks halda , yəni olduqda Roll teoreminə görə bir nöqtəsindən olar ki, buda şərtə ziddir. Indi aşağıdakı kimi köməkçi funksiya düzəldək;

  F(x) funksiyası -da kəsilməyəndir, (a,b) intervalında diferensiallanandır və parçanın uc nöqtələrində sıfra bərabərdir;

  Onda Roll teoreminə görə onun

  törəməsi (a, b) intervalının bir nöqtəsində sıfra bərabər olar;

  Buradan (1) bərabərliyi alınır.

  şəkildə qeyri-müəyyənliyin açılışı.

  Teorem 1. ( Lopital qaydası.) Tutaq ki, və funksiyaları x=a nöqtəsinin müəyyən ətrafında (a nöqtəsini müstəsna olmaqla) təyin olunmuş , diferensiallanan,

  və ( a nöqtəsi həmin ətrafında) şərtlərini ödəyən funksiyalardır. Əgər funksiyaların törəmələri nisbətinin

  Limiti varsa, onda funksiyalarının özlərinin də nisbətinin limiti var və həmin ədədə bərabərdir;

  şəklində qeyri-müəyyənliyin açılışı.
  Teorem 2.( Lopital qaydası.) Tutaq ki, və funksiyaları x=a nöqtəsinin müəyyən ətrafında (a nöqtəsi müstəsna olmaqla) təyin olunmuş , diferensiallanan və ( a nöqtəsi həmin ətrafında) şərtlərini ödəyən funksiyalardır;

  Əgər funksiyaların törəmələri nisbətinin

  limiti varsa, onda funksiyaların özlərinin də nisbətinin limiti var və həmin ədədə bərabərdir ;

  Teylor düsturu
  Tutaq ki, (1)

  n dərəcəli çoxhədli və a hər hansı həqiqi ədəddir. P (x) çoxhədlisini həmişə x-a fərqinin qüvvətlərinə görə yazmaq olar.

  bərabərliyinə çoxhədli üçün Teylor düsturu deyilir a=0 olduqda Teylor düsturunun xüsusi halını alarıq ;

  Bu düstura çoxhədli üçün Makloren düsturu deyilir.

  Diferensialın tərifi.
  funksiyası ( a, b ) intervalında diferensiallanandır.

  Tərif . Diferensiallanan funksiyasının x nöqtəsində ki, artımının baş hissəsinə yəni -dən xətti asılı olan ifadəsinə onun x nöqtəsində diferensialı deyilir. funksiyasının x nöqtəsində diferensialı və ilə işarə olunur.

  və yaxud
  Diferensialın həndəsi mənası.
  M(x, y) nöqtəsi götürək. Bu nöqtədə funksiya qrafikinə çəkilən toxunan MT düz xətti olsun . Absis oxu üzərindəki, nöqtəsindən ordinat oxuna paralel qaldırılan düz xətt MT toxunanını M nöqtəsində kəsər. Düzbucaqlı NMQ -da

  törəmənin həndəsi mənasına görə olduğundan ; y N

  NQ kəmiyyəti, x absisi artımını aldıqda MT toxunanı ordinatı- M p

  nın aldığı artımdır. (1) bərabərliyindən funksiya diferensialının Q

  həndəsi mənası alınır.

  funksiyasının x nöqtəsində diferensialı , funksiyanın qra- φ x

  fikinə M(x,y) nöqtəsində çəkilmiş toxunanın toxunma nöqtəsinin 0 x x+∆x

  absisi artımı aldıqda ordinatının aldığı artıma bərabərdir.
  Diferensialın mexaniki mənası.
  Tutaq ki, hər hansı cisim düz xətt boyunca hərəkət edir və diferensiallanan funksiyası onun hərəkət qanunudur. Aydındır ki, cisim t anından anına qədər olan müddətdə

  qədər yol gedər. Hərəkətin t anında sürətinin olması məlumdur. Deməli əgər hərəkət edən cismin bütün zaman fasiləsində sürəti sabit olub t anındakı,

  sürətinə bərabər olsa idi, onda cisim həmin müddətdə

  qədər məsafə getmiş olardı . Bu , s(t) funksiyası diferensialının mexaniki mənasını ifadə edir.

  Diferensialların hesablanma düsturları .
  Həm törəmə alma və həmdə diferensialı tapma əməllərinə diferensiallama əməli deyilir. Tutaq ki, diferensiallanan və funksiyaları verilmişdir. Onların diferensialı

  şəklində olduğundan funksiyanın cəminin , fərqinin , hasilinin və nisbətinin diferensialını hesablamaq üçün

  Diferensiallar nima? Biz savolga javob beramiz. Funktsiyaning differentsialini qanday topish mumkin?

  Funksiyalarning hosilalari bilan bir qatorda ularning differentsiallari ham differentsial hisoblashning asosiy tushunchalaridan biri bo’lib, matematik tahlilning asosiy bo’limi hisoblanadi. Bir-biri bilan chambarchas bog’liq bo’lib, ularning ikkalasi ham bir necha asrlar davomida insonning ilmiy-texnik faoliyati jarayonida yuzaga kelgan barcha muammolarni hal qilishda faol foydalanib kelinmoqda.

  Differentsial tushunchasining paydo bo’lishi

  Diferensial hisoblashning asoschilaridan biri (Isaak Nyuton bilan birgalikda) mashhur nemis matematikasi Gotfrid Vilgelm Leybnits birinchi navbatda differentsial nima ekanligini tushuntirib berdi. Bundan oldin 17-san’at matematiklari.har qanday ma’lum funktsiyaning cheksiz kichik “bo’linmas” qismi haqida juda noaniq va noaniq g’oyani ishlatgan, juda kichik doimiy qiymatni ifodalagan, ammo nolga teng bo’lmagan, undan kamroq funktsiya qiymatlari shunchaki bo’lishi mumkin emas. Bu erdan funktsiyalar argumentlarining cheksiz kichik o’sishi va ikkinchisining hosilalari jihatidan ifoda etilgan funktsiyalarning mos keladigan o’sish tushunchasini kiritish uchun faqat bitta qadam bor edi. Va bu qadam deyarli bir vaqtning o’zida yuqorida aytib o’tilgan ikkita buyuk olim tomonidan amalga oshirildi.

  Shiddat bilan rivojlanayotgan sanoat va texnika fanga qo’ygan mexanikaning dolzarb amaliy muammolarini hal qilish zarurligidan kelib chiqib, Nyuton va Leybnits funktsiyalarning o’zgarishi tezligini topishning umumiy usullarini yaratdilar (birinchi navbatda tanani ma’lum traektoriya bo’ylab harakatlanish mexanik tezligiga nisbatan), bu tushunchalarning kiritilishiga olib keldi, funktsiyaning hosilasi va differentsiali sifatida, shuningdek, teskari masalani echish algoritmini topdi, ma’lum bo’lgan (o’zgaruvchan) tezlikdan o’tgan yo’lni qanday topish mumkin edi, bu esa integral tushunchasining paydo bo’lishiga olib keldi.

  Leybnits va Nyuton asarlarida birinchi navbatda differentsiallar Δx argumentlari o’sishlariga mutanosib, Δu funktsiyalari o’sishining asosiy qismlari, ularni oxirgisi qiymatlarini hisoblashda muvaffaqiyatli qo’llanishi mumkin degan fikr paydo bo’ldi. Boshqacha qilib aytganda, ular funktsiyaning o’sishi har qanday nuqtada bo’lishi mumkinligini aniqladilar (uning ta’rifi hududida) uning hosilasi jihatidan $ du = y ‘(x) $ xx + alx $ sifatida ifodalanadi, bu erda $ a_x – $ n-x $ sifatida nolga intiladigan qoldiq atama. 0, Δx ning o’ziga qaraganda ancha tezroq.

  Matematik tahlil asoschilarining fikriga ko’ra, differentsiallar har qanday funktsiyalar o’sishining ifodasidagi aynan birinchi atamalardir. Hali ham ketma-ketlik chegarasi haqida aniq shakllangan kontseptsiyaga ega emaslar, ular intuitiv ravishda differentsialning qiymati funktsiya lotiniga Δx → 0 – Δu / Δx → y ’(x) ga intilishini angladilar.

  Nyutondan farqli o’laroq, asosan fizik bo’lgan va matematik apparatni fizik muammolarni o’rganishning yordamchi vositasi deb hisoblagan, Leybnits aynan shu vositalar to’plamiga, shu jumladan matematik kattaliklarni vizual va tushunarli belgilash tizimiga ko’proq e’tibor bergan. U dy = y ’(x) dx funktsiya, dx argument va funktsiya hosilasini ularning y’ (x) = dy / dx nisbati ko’rinishidagi differentsiallari uchun umumiy qabul qilingan yozuvlarni taklif qilgan.

  Zamonaviy ta’rif

  Zamonaviy matematika nuqtai nazaridan differentsial nima? Bu o’zgaruvchan o’sish tushunchasi bilan chambarchas bog’liq. Agar y o’zgaruvchisi avval y = y qiymatini oladigan bo’lsa₁va keyin y = y₂, keyin farq y₂ ─ y₁ y ning o’sishi deyiladi. O’sish ijobiy bo’lishi mumkin. manfiy va nolga teng. “Orttirma” so’zi Δ bilan belgilanadi, yozuv y the (“delta o’yin” ni o’qing) y qiymatining o’sishini bildiradi. shunday qilib Δu = y₂ ─ y₁.

  Agar y = f (x) o’zboshimchalik funktsiyasining Δu qiymatini Δu = A Δx + a shaklida ifodalash mumkin bo’lsa, bu erda A Δx ga bog’liq emas, ya’ni berilgan x uchun A = const va a atamasi moyil bo’ladi u Δx ning o’zidan ham tezroq, keyin Δx ga mutanosib birinchi (“asosiy”) atama y = f (x) dy yoki df (x) bilan belgilangan differentsial uchun (o’qing “de igrek”, “de eff x “). Shuning uchun differentsiallar funktsiyalar o’sishining “asosiy” komponentlari bo’lib, ular Δx ga nisbatan chiziqli.

  Mexanik talqin

  To’g’ridan-to’g’ri harakatlanuvchi moddiy nuqtaning boshlang’ich holatidan masofasi s = f (t) bo’lsin (t – bu yo’lda sarf qilingan vaqt). Δs o’sishi – bu vaqt oralig’idagi nuqta tt, va differentsial ds = f ‘(t) Δt – nuqta t’ ga etgan f ‘(t) tezlikni ushlab turganda, bir vaqtning o’zida tt o’tadigan yo’l. . Cheksiz kichik Δt uchun xayoliy yo’l ds haqiqiy Δlardan Δt ga nisbatan yuqori tartibga ega bo’lgan cheksiz minimal qiymat bilan farq qiladi. Agar t vaqtidagi tezlik nolga teng bo’lmasa, u holda ds nuqtaning kichik siljishi uchun taxminiy qiymatni beradi.

  Geometrik talqin

  L chiziq y = f (x) ning grafigi bo’lsin. U holda x x = MQ, du = QM ’(quyidagi rasmga qarang). TN chiziqli MN Δu segmentini ikki qismga bo’linadi, QN va NM ‘. Birinchisi ph bilan mutanosib va ​​QN = MQ ∙ tg (burchak QMN) = ph f ((x) ga teng, ya’ni QN – diferensial dy.

  Ikkinchi qism NM ‘Δu the dy farqini beradi, Δx → 0 bo’lganda NM’ uzunlik argument o’sishidan ham tezroq kamayadi, ya’ni u kichiklik tartibiga ko’ra Δx dan yuqori. Ko’rib chiqilayotgan holatda f ’(x) kas 0 uchun (teginish chizig’i OX ga parallel emas) QM’ va QN segmentlari ekvivalent; boshqacha aytganda, NM ‘umumiy o’sishga qaraganda tezroq kamayadi (uning kichikligi tartibi yuqori) du = QM’. Buni rasmda ko’rish mumkin (M’to M ga yaqinlashganda NM segment QM segmentning kichik foizini tashkil qiladi).

  Shunday qilib, grafik jihatdan, ixtiyoriy funktsiya differentsiali uning teginish ordinatasi o’sishiga tengdir.

  Hosil va differentsial

  Funktsiyaning o’sishi uchun ifoda birinchi davridagi A koeffitsienti uning hosilasi f ‘(x) qiymatiga teng. Shunday qilib, quyidagi munosabatlar mavjud – dy = f ‘(x) Δx, yoki df (x) = f’ (x) Δx.

  Ma’lumki, mustaqil argumentning o’sishi uning differentsial Δx = dx ga teng. Shunga ko’ra siz quyidagilarni yozishingiz mumkin: f ‘(x) dx = dy.

  Differentsiallarni topish (ba’zan shunday deyiladi, “echish”) hosilalar uchun xuddi shunday qoidalar asosida amalga oshiriladi. Ularning ro’yxati quyida keltirilgan.

  Qaysi biri universalroq: argumentning oshishi yoki uning differentsialligi

  Bu erda ba’zi tushuntirishlar kerak. $ X ‘$ argument sifatida qaralganda, differentsialning f’ (x) Δx qiymatini aks ettirish mumkin. Ammo funktsiya murakkab bo’lishi mumkin, unda x ba’zi bir t argumentining funktsiyasi bo’lishi mumkin. Keyin differentsialni f ‘(x) Δx ifodasi bilan aks ettirish, qoida tariqasida, mumkin emas; x = at + b ga chiziqli bog’liqlik hollari bundan mustasno.

  F ‘(x) dx = dy formulasiga kelsak, u holda x mustaqil argument bo’lsa (u holda dx = -x) va x ning t-ga parametrik bog’liqligi bo’lsa, u differentsialni ifodalaydi.

  Masalan, 2 x -x ifodasi y = x uchun ifodalaydi 2 x argument bo’lganida uning differentsiali. Endi $ x = t $ qo’yamiz 2 va biz t ni argument sifatida ko’rib chiqamiz. Keyin y = x 2 = t 4 .

  Undan keyin (t + Δt) 2 = t 2 + 2tΔt + Δt 2 . Demak, Δx = 2tΔt + Δt 2 . Demak: 2xΔx = 2t 2 (2tΔt + Δt 2 ).

  Ushbu ifoda $ Delta t $ ga mutanosib emas va shuning uchun endi $ 2x times x $ differentsial emas. Uni y = x tenglamadan topish mumkin 2 = t 4 . Bu dy = 4t ga teng bo’lib chiqadi 3 Δt.

  Agar biz 2xdx ifodani olsak, u y = x differentsialni ifodalaydi 2 har qanday argument uchun t. Darhaqiqat, x = t uchun 2 biz dx = 2tΔt olamiz.

  Shunday qilib, 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt, ya’ni ikki xil o’zgaruvchiga qarab yozilgan differentsiallarning ifodalari bir-biriga to’g’ri keldi.

  O’sishlarni differentsiallar bilan almashtirish

  Agar f ‘(x) ≠ 0 bo’lsa, u holda Δu va dy teng (dx → 0 da); f ‘(x) = 0 bo’lganda (bu dy = 0 degan ma’noni anglatadi), ular teng emas.

  Masalan, y = x bo’lsa 2 , keyin du = (x + ph) 2 ─ x 2 = 2xΔx + Δx 2 va dy = 2xΔx. Agar x = 3 bo’lsa, u holda biz $ y-6 = x + -x $ ga egamiz 2 va dy = 6Δx, ular ph ga teng 2 → 0, x = 0 da Δu = Δx qiymatlari 2 va dy = 0 teng emas.

  Bu haqiqat differentsialning sodda tuzilishi bilan (ya’ni, x ga nisbatan chiziqlilik) ko’pincha taxminiy hisob-kitoblarda, kichik Δx uchun Δu ≈ dy deb taxmin qilingan holda qo’llaniladi. Funktsiyaning differentsialini topish odatda o’sishning aniq qiymatini hisoblashdan osonroqdir.

  Masalan, bizda qirrasi x = 10,00 sm bo’lgan metall kub bor, qizdirilganda qirrasi xx = 0,001 sm ga uzaytirildi, kubning V hajmi qancha oshdi? Bizda V = x mavjud 2 shuning uchun dV = 3x 2 Ph = 3-10 2 ∙ 0/01 = 3 (sm.) 3 ). DV hajmining oshishi differentsial dV ga teng, shuning uchun DV = 3 sm 3 . To’liq hisoblash $ Delta V = 10.01 $ beradi 3 ─ 10 3 = 3.003001. Ammo natijada, birinchi raqamlardan tashqari barcha raqamlar ishonchsiz; Shunday qilib, baribir, siz uni 3 sm gacha yumaloq qilishingiz kerak 3 .

  Shubhasiz, ushbu yondashuv faqatgina kiritilgan xato hajmini taxmin qilish mumkin bo’lganda foydalidir.

  Funktsiya differentsiali: misollar

  Y = x funksiyaning differentsialini topishga harakat qilaylik 3 lotin topmasdan. Keling, argumentni kattalashtiramiz va Δu ni aniqlaymiz.

  Du = (ph + x) 3 ─ x 3 = 3x 2 Δx + (3xΔx 2 + Δx 3 ).

  Bu erda A = 3x koeffitsienti 2 $ Delta x $ ga bog’liq emas, shuning uchun birinchi atama $ Delta x $ ga mutanosib, boshqa atama $ 3x times $ bo’ladi. 2 + Δx 3 ph → 0 da argument o’sishidan tezroq kamayadi. Shunday qilib 3x 2 Dx – y = x differentsial 3:

  dy = 3x 2 Ph = 3x 2 dx yoki d (x 3 ) = 3x 2 dx.

  Bundan tashqari, d (x 3 ) / dx = 3x 2 .

  Endi y = 1 / x funktsiyasini uning hosilasi bo’yicha dy ni topamiz.Keyin d (1 / x) / dx = -1 / x 2 . Shuning uchun dy = ─ Δx / x 2 .

  Asosiy algebraik funktsiyalarning differentsiallari quyida keltirilgan.

  Differentsial yaqinlashish

  Ko’pincha x (a) funktsiyasini, shuningdek uning hosilasi f ’(x) ni x = a uchun hisoblash oson, lekin x = a nuqta yaqinida buni qilish oson emas. Keyin yordam uchun taxminiy ibora keladi

  f (a + Δx) ≈ f ‘(a) Δx + f (a).

  U funktsiyani uning differentsial f ‘(a) Δx orqali Δx kichik o’sishlarida taxminiy qiymatini beradi.

  Binobarin, ushbu formulaning uzunligi ma’lum bir kesimning so’nggi nuqtasida funktsiya uchun taxminiy ifoda berilgan, bu qismning boshlang’ich nuqtasida qiymati (x = a) va bir xil boshlang’ich nuqtasida differentsial yig’indisi. Funktsiyaning qiymatini aniqlashning ushbu usulining xatosi quyidagi rasmda keltirilgan.

  Shu bilan birga, x = a + Δx uchun funktsiya qiymatining aniq ifodasi ham ma’lum, cheklangan o’sish formulasi (yoki aks holda, Lagranj formulasi) bilan berilgan

  f (a + Δx) ≈ f ’(ξ) Δx + f (a),

  bu erda x = a + point nuqta x = a dan x = a + ph gacha bo’lgan oraliqda joylashgan, ammo uning aniq pozitsiyasi noma’lum. To’liq formula taxminiy formulaning xatosini taxmin qilishga imkon beradi. Agar biz Lagranj formulasida ξ = -x / 2 ni qo’ygan bo’lsak, u aniq bo’lishni to’xtatsa-da, odatda, differentsial orqali asl iboraga qaraganda ancha yaxshi yaqinlashadi.

  Diferensial yordamida formulalarning xatosini baholash

  O’lchov vositalari printsipial jihatdan noto’g’ri va o’lchov ma’lumotlariga mos keladigan xatolarni kiritadi. Ular cheklangan mutlaq xato bilan, yoki qisqacha aytganda, cheklovchi xato bilan tavsiflanadi – bu xatodan mutlaq qiymatdan oshib ketadigan ijobiy son (yoki o’ta og’ir holatda unga teng). Cheklovchi nisbiy xatolik uni bo’linishning o’lchov qiymatining absolyut qiymati bilan taqsimoti deyiladi.

  Y funktsiyasini hisoblash uchun y = f (x) aniq formuladan foydalanilsin, lekin x qiymati o’lchov natijasidir va shuning uchun yda xatolikni keltirib chiqaradi. Keyin y funktsiyasining maksimal absolyut │‌‌Δu│ ni topish uchun formuladan foydalaning

  bu erda │Δx│ – argumentning cheklovchi xatosi. │‌‌Δu│ qiymati yaxlitlangan bo’lishi kerak, chunki o’sish hisobini differentsialning o’zi hisob-kitobi bilan almashtirish noto’g’ri.

  Related posts:

  1. 5-ci sinif azrbaycan dili ksq1
  2. Müstqillik dövrü azrbaycan dbiyyatı
  3. Azərbaycan dilinin frazeologiya lüğəti qulu məhərrəmov
  4. Dövlət büdcəsi 2015