Differensiallanan funksiyalar üçün orta qiymət

ekanligi kelib chiqadi, shu ma’noda

Funksiyalarning muhim sinflari Dars rejasi 1 Monoton funksiyalar

11. Funktsiyani ta’riflang. 2. Funktsiya qachon berilgan deb aytiladi? 3. Funktsiyaning berilish usullarini ayting. 4. Erkli, erksiz o’zgaruvchilarni ayting 5. o’zgaruvchining asli, aksini ayting 6. Funksiy grafigi nimadan iborat?

Sonli ketma-ketlik Yaqinlashuvc hi ketmaketliklar Monoton ketmaketliklar Chegaralang an yaqinlashuvc hi ketmaketlik Cheksiz kichik miqdor Cheksiz katta miqdor Monoton ketmaketlik limiti Qissmiy ketmaketliklar Fundamen tal ketmaketliklar Ketmaketlikning quyi hamda yuqori limiti

Tusuhca To’plam Ketma ketlik funksiya chegaralangan + + + monoton тартиб + + davriy + limit Лимит нукта + + Eng katta. eng kichik qiymati + + + grafigi + + Aniqlanish sohasi + + yaqinlashish + Juft toqligi Симметрик топлам Cheksiz kichik, katta miqdor Qism tushunchasi + + + +

Monoton funksiyalar • Aytaylik, у=f(x) funksiya X to‘plamda berilgan bo‘lsin. • Ta’rif. Agar X to‘plamdan olingan ixtiyoriy x 1 va x 2 lar uchun (yoki x kamayuvchi) 1 f(x 2)) tengsizlik kelib chiqsa, u holda funksiya X to‘plamda o‘suvchi (yoki kamayuvchi) deb ataladi.

Chiziqli funksiya monotonmi? y Y=2 x+3 Y=3 Y = -2 x + 1 x

0 Friday, September 3, 2021 12

chegaralanganmi ? Y 4 х -2 0 2 y=4 – x 2

n n Chegaralanganmi? Y = 2 sinх|cosх | = агар бўлса , sin 2 x бўлса , – sin 2 x Y 1 0 -1 x

Juft va toq funksiyalar

Juft va toq funksiyalar ustida mulohazalar

Y Y=|log 2| = tg |x| x|| Y Y 1 0 X -1 0 1 2 X

26 Friday, September 3, 2021

Friday, September 3, 2021 27

0 Friday, September 3, 2021 28

Friday, September 3, 2021 29

n Y = 2 sinх|cosх | = agar аgar bo’lsa , sin 2 x bo’lsa – sin 2 x Y 1 0 -1 x

davriy Juft toq To’plam chegaral angan element aksi Qonun qoida Funksiya asli moslik grafik jadval Aniq soha monoton

SAVOL VA TOPSHIRIQLAR n n Qanday funksiya monoton funksiya deyiladi? Qanday funksiyalar juft funksiya deyiladi? Chegaralangan funksiyaga misollar keltiring. Murakkab funksiyaga ta`rif bering.

D(y)(-∞; ∞) Davriy E(y): [-1; 1] juft E(y): [1; 1] Y=CO SX SX Y=SINX toq TRIGONOMET RIK RIK FUNKSIYALAR R R Toq Davriy D(y) x≠∏∕ 2+∏n toq Y=tgx Y=ctgx x x E(y)(-∞; ∞) Davriy D(y) x≠∏n

Klasterlar Grafigi Kordinata boshiga nisbatan simetrik Funksiya davriy funksiya Funksiya toq Unga teskari funsiya Y=arcctg x Qiymatla r sohasi R ga teng Y=ctgx Aniqlanis h sohasi (-∞; + ∞)πk Funksiya ga teskari funksiya mavjud

УЙГА ВАЗИФА n n n n n Саволларга жавоб ёзиш 1. Qanday to‘plam simmetrik to‘plam deyiladi? Misollar keltiring. 2. Qanday funksiya juft, qanday funksiya toq deyiladi? 3. Juft funksiyaning grafigi qanday xossaga ega? 4. Toq funksiyaning grafigi qanday xossaga ega? 5. Davriy to‘plam qanday ta’riflanadi? 6. Qanday funksiyaga davriy funksiya deyiladi? 7. Davriy funksiya faqat bitta nuqtada aniqlanmagan bo‘lishi mumkinmi? Javobingizni asoslang. 8. Funksiyaning asosiy davri deb nimaga aytiladi? 9. Asosiy davri mavjud bo‘lmagan funksiya mavjudmi? Mavjud bo‘lsa, misol keltiring. 10. Teskari funksiya qanday ta’riflanadi? 11. Berilgan funksiyaning teskari funksiyasi mavjudligini qanday aniqlaysiz? 12. Qanday funksiyaga chegaralangan deyiladi? Misollar keltiring. 13. Chegaralanmagan funksiya qanday ta’riflanadi? 14. Qanday funksiya o‘suvchi (kamaymaydigan) funksiya deyiladi? 15. Qanday funksiya kamayuvchi (o‘smaydigan) funksiya deyiladi?

E’tiborihgiz uchun rahmat

6-m’ruza. Differensiallanuvchi funksiyalar uchun asosiy teoremalar

o’qiga parallel bo’ladigan biror-bir nuqta mavjud emas.

2-teorema (Lagranj teoremasi). Agar

aniqlangan va uzluksiz bo’lib,

intervalda differensiallanuvchi bo’lsa, u holda

intervalga tegishli kamida bitta shunday nuqta topiladiki, uning uchun

munosabat o’rinli bo’ladi.

Lagranj teoremasida Roll teoremasidagidek, funksiyadan

chetki nuqtalarida teng qiymatlarga erishishi talab qilinmaydi. Bu teoremadan,

ekanligi kelib chiqadi, shu ma’noda

Lagranj teoremasi Roll teoremasining umumlashmasi hisoblanadi.

Teoremani geometrik izohlaydigan bo’lsak, uning har bir sharti o’rinli

yoyga tegishli hech bo’lmaganda

bitta (4 – rasmda ikkita

nuqta topiladiki, chiziqning shu nuqtasiga

vatarga parallel bo’ladi.

ko’rinishda ifodalash mumkin. Agar bu

almashtirish e’tiborga olinsa, Lagranj formulasi

shaklda yoziladi va unga Lagranjning chekli orttirmalar formulasi deyiladi.

3-teorema (Koshi teoremasi). Agar

kesmada uzluksiz va

hosilaga ega bo’lib

bo’lsa, u holda kamida bitta shunday

tenglik o’rinli bo’ladi.

Bu formula Koshi formulasi deyiladi.

Lagranj formulasi Koshi formulasining xususiy holi bo’lib, Koshi

bo’lsa, Lagranj formulasi hosil bo’ladi.

1-masala . 1)

kesmada Koshi teoremasi shartlari bajarilishini tekshiring va nuqtani toping.

funksiyalar uzluksiz va

chekli hosilalar mavjud.

O‘z – o‘zini tekshirish uchun savollar

1. Differensiallanuvchi funksiya uchun o‘rta qiymat haqidagi Roll teoremasini

bayon qiling va uning geometrik ma‘nosini izohlang.

2. O‘rta qiymat haqidagi Lagranj teoremasi nimani tasdiqlaydi va teoremaning

3. geometrik ma‘nosini chaqing.

4. Lagranjning chekli orttirmalar formulasini yozing.

5. Roll teoremasi Lagranj teoremasining xususiy holi deyish mumkinmi va nima

6. Koshi formulasini yozing va xususiy hol sifatida Lagranj formulasini hosil

7. Lagranjning umumlashma chekli orttirmalar formulasini yozing va uni

8. Lagranjning chekli orttirmalar formulasi bilan solishtiring.

Mustaqil ishlash uchun misollar

1. Roll teoremasi tasdig’ini quyidagi kesmalarda berilgan funksiyalar uchun tekshirib

2. Lagranj teoremasi tasdig’ini quyidagi kesmalarda berilgan funksiyalar uchun

Freşe və Qato törəmələri arasında əlaqə

Ədədi funksiyalar üçün doğru olan orta qiymət teoremi normalı fəzalar arasında təsir edən inikaslar üçün doğru deyil. Məsələn, hər bir nöqtədə Freşe (və deməli, həm də Qato) mənada diferensiallanan
$$\bbR \ni t \mapsto (\cos t, \sin t) \in \bbR^2$$
inikası $[0, 2\pi]$ parçasının uclarında eyni qiymət alır, lakin onun törəməsi heç bir nöqtədə sıfra çevrilmir. Buna baxmayaraq, həmin teoremin bir qədər zəif forması ümumi halda inikaslar üçün də doğru olur.

Teorem. Tutaq ki, $X$, $Y$ normalı fəzalardır, $U \subset X$ açıq çoxluqdur və $F \colon U \to Y$ inikasdır. Əgər $[x, x+h] \subset U$ parçasının bütün nöqtələrində $F$ inikası Qato mənada diferensiallanırsa, onda
$$\|F(x+h) – F(x)\| \le \sup_ \|F’_w(x + \theta h)\| \|h\|.$$
İsbatı. Han–Banax teoreminə əsasən, elə $\varphi \in Y^$ tapmaq olar ki, $\|\varphi\| = 1$ və
$$\varphi(F(x+h) – F(x)) = \|F(x+h) – F(x)\|$$
olsun. Onda
$$f(t) := \varphi(F(x + th))$$
qəbul edib,
$$\frac = \varphi \left( \frac \right)$$
bərabərliyində $\Delta t \to 0$ olduqda limitə keçsək,
$$f'(t) := \varphi(F’_w(x + th) h)$$
olduğunu alarıq. Ədədi $f(t)$ funksiyası $[0,1]$ parçasının bütün nöqtələrində diferensiallandığı üçün elə $\theta \in (0,1)$ var ki,
$$f(1) – f(0) = f'(\theta).$$
Ona görə də,
\begin \|F(x+h) – F(x)\| = \\ = \varphi(F(x+h) – F(x)) = f(1) – f(0) = f'(\theta) = \varphi(F’_w(x + \theta h) h) \le \\ \le \sup_ \|F’_w(x + \theta h)\| \|h\|. \end
$\square$

Freşe və Qato törəmələri arasında əlaqə

Teorem. Əgər $F$ inikası $x_0$ nöqtəsinin müəyyən ətrafında Qato mənada diferensiallanırsa və onun $F’_w(x)$ Qato törəməsi $x_0$ nöqtəsində kəsilməzdirsə, onda $F$ inikası həmin nöqtədə Freşe mənada da diferensiallanır və $F'(x_0) = F’_w(x_0)$.
İsbatı. Qato törəməsinin kəsilməz olması şərtinə əsasən, istənilən $\varepsilon > 0$ ədədi üçün elə $\delta > 0$ tapmaq olar ki, $\|h\| < \delta$ olduqda
$$\|F’_w(x_0 + h) – F’_w(x_0)\| \le \varepsilon$$
olsun. Onda
$$u \mapsto F(u) – F’_w(x_0) u$$
inikasına zəif orta qiymət teoremini tətbiq etsək
$$\|F(x_0+h) – F(x_0) – F’_w(x_0) h \| \le \sup_ \|F’_w(x_0 + \theta h) – F’_w(x_0)\| \|h\| \le \varepsilon \|h\|$$
bərabərsizliyini alarıq. Bu isə o deməkdir ki, $F'(x_0)$ var və $F’_w(x_0)$ xətti operatoruna bərabərdir.
$\square$