Dü xətlər

olan Q müstəvisi verilmişdir. L – düz xəttinin

Müstəvidə nöqtə və düz xəttin qarşılıqlı vəziyyəti

Həndəsənin müstəvi fiqurlarını öyrənən bölməsinə planimetriya deyilir. Planimetriyanın ən sadə elementləri olan nöqtə və düz xəttin müstəvi üzərində qarşılıqlı vəziyyətinə baxaq. $A$ nöqtəsi $c$ düz xətti üzərində olarsa, deyirlər ki, $c$ xətti $A$ nöqtəsindən keçir. Bunu $A \in c$ kimi işarə edirlər. Əgər $B$ nöqtəsi $c$ düz xətti üzərində deyilsə deyirlər ki, $c$ düz xətti $B$ nöqtəsindən keçmir və $B \not\in c$ kimi işarə edilir.

Planimetriyanın bir sıra aksiomları var.

Aksiom 1: Hər bir düz xətt üzərində ən azı iki nöqtə var. Ona görə düz xətti onun üzərində olan iki nöqtə ilə də işarə edirlər. Məsələn, $AB$ düz xətti kimi.

Aksiom 2: Müstəvinin istənilən iki nöqtəsindən düz xətt çəkmək olar və bu düz xətt yeganədir.

Aksiom 3: Bir düz xətt üzərində olmayan azı 3 nöqtə mövcuddur.

Aksiom 4: Bir düz xətt üzərində olan 3 nöqtədən yalnız biri o biri 2 nöqtə arasındadır. $l$ xətti üzərində olan $A$, $B$ və $C$ nöqtələrindən $B$ nöqtəsi $A$ və $C$ nöqtələri arasında yerləşir. Başqa sözlə $B$ nöqtəsinə nəzərən $A$ və $C$ nöqtələri müxtəlif tərəflərdə yerləşir. $A$ və $B$ nöqtələri $C$ nöqtəsinə nəzərən eyni tərəfdə, eyni yarım düz xətt üzərindədir.

Aksiom 5: Hər bir parça sıfırdan böyük uzunluğa malikdir. Parçanı istənilən nöqtə ilə bölsək, onun uzunluğu alınan hissələrin uzunluqları cəminə bərabərdir. Yəni $AC$ parçasında istənilən $B$ nöqtəsi götürüb bu nöqtə ilə onu bölsək $AC=AB+BC$.

Əgər iki düz xəttin ümumi nöqtəsi varsa bu düz xətlər kəsişir. Əgər $a$ və $b$ düz xətləri $O$ nöqtəsində kəsişirsə, bu $O=a \cap b$ kimi işarə edirlər.

Teorem: Əgər iki düz xətt müstəvidə kəsişirsə, bu kəsişmə nöqtəsi yeganədir.

İsbatı: Tutaq ki, $a$ və $b$ düz xətləri $O$ nöqtəsində kəsişir. İsbat edək ki, bu düz xətlərin başqa bir ortaq nöqtəsi ola bilməz. Tutaq ki, onlar hər hansı $O_1$ nöqtəsində də kəsişir. Lakin Aksiom 2-yə görə müstəvinin istənilən iki nöqtəsindən yalnız bir düz xətt keçə bilər. Xətlərimiz isə şərtə görə ikidir. Deməli fərziyyə səhvdir və bu xətlər yalnız bir nöqtədə, $O$ nöqtəsində kəsişir.

Əgər iki düz xətt müstəvi üzərində yerləşib kəsişmirsə bu düz xətlərə paralel düz xətlər deyilir. $a$ və $b$ düz xətləri paraleldirsə bu $a || b$ kimi işarə edilir. Paralelliyin başqa bir tərifi də belədir. Bir müstəvi üzərində olub sonsuzluqda kəsişməyən düz xətlərə paralel düz xətlər deyilir. Düz xətlərin paralellik əlamətlərini burada oxuya bilərsiniz.

Digər məqalələr

Nöqtə, düz xətt və müstəvi

Həndəsənin əsas fiqurları nöqtə, düz xətt və müstəvidir. Nöqtə heç bir hissəsi olmayan şeydir. Xətt – eni olmayan uzunluqdur. Müstəvi – yalnız eni və uzunluğu olan fiqurdur.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.

© Copyright Jsoft

Dü xətlər

Düz xətt üzərində nöqtənin koordinatını vermək üçün ədəd oxundan istifadə olunur. Ədəd oxu hesablama başlanğıcı, müsbət istiqaməti və vahid parçası ilə verilir. Məsələn: aşağıda verilmiş ədəd oxu üzərində A, B, C, nöqtələrinin hər birinin öz koordinatı var: A(-4), B(1), C(5). Ədəd oxunu bəzən koordinat oxu da adlandıracağıq.

Beləliklə, nöqtənin koordinatı onun koordinat düz xətti (ədəd oxu) üzərindəki yerini göstərir.

Bəs müstəvidə nöqtənin koordinatları necə təyin edilir? Bunun üçün müstəvi üzərində perpendikulyar iki düz xətt çəkək və hər birinin üzərində bölgülər aparaq. Düz xətlərin kəsişmə nöqtəsi koordinat başlanğıcı qəbul edilir. Vahid parça hər iki düz xətt üzərində eynidir. Koordinat oxları üzərində vahid parçalar müxtəlif uzunluqda da seçilə bilər. Məsələn: Ox oxu üzərində 1 sm, Oy oxu üzərində isə 2 sm və s. Üfüqi düz xətt üzərində müsbət istiqamət soldan sağa, şaquli düz xətt üzərində isə aşağıdan yuxarı istiqamətlənir. Bu istiqamətləri oxlarla göstərək. O nöqtəsi koordinat başlanğıcıdır. Düz xətlər koordinat oxlarıdır. Üfüqi ox “absis oxu” (Ox oxu), şaquli ox “ordinat oxu” (Oy oxu) adlanır. Belə qurulmuş sistemə düzbucaqlı koordinat sistemi deyilir. Üzərində düzbucaqlı koordinat sistemi qurulmuş müstəviyə koordinat müstəvisi deyilir. Oxlar koordinat müstəvisini 4 hissəyə bölür və onlar rüblər adlandırılır. Rüblər saat əqrəbi hərəkətinin əksi istiqamətində nömrələnir (şəkil 1).

Koordinat müstəvisində hər hansı A nöqtəsi qeyd edək. Bu nöqtədən Ox oxuna perpendikulyar düz xətt çəkək. Bu düz xətt Ox oxunu koordinatı 3 olan nöqtədə kəsir. x = 3

ədədi A nöqtəsinin absisidir. Daha sonra A nöqtəsindən Oy oxuna perpendikulyar düz xətt çəkək. Bu xətt Oy oxunu koordinatı 2 olan nöqtədə kəsir. y = 2 ədədi A nöqtəsinin ordinantıdır: Beləliklə, x = 3, y = 2. Bu ədədlər A nöqtəsinin koordinat müstəvisində yerini bildirir. Onlar nöqtənin müstəvi üzərindəki koordinatları adlanır.

Fəzada düz xətt və müstəvilər

bərabərlikləri alınır. Buna L düz xəttinin kanonik tənliyi deyilir. Verilmiş M_o və M₁ nöqtələrindən kecən düz xəttin tənliyi.

Fəzada iki düzxətt arasındakı bucaq .
Tutaq ki, tənlikləri uyğun olaraq

olan iki L₁ və L₂ düz xətti verilmişdir. α

Bu düz xəttlər arasındakı φ bucağı onların L₁

istiqamətləndirir və vektorları

arasındakı , bucağa bərabərdir. Həmin bucağı isə

düsturu ilə tapmaq olar. (1) və (2) düz xəttinin perpendikulyar olması şərti

Həmin düz xəttlərin paralel olması ücün onların istiqamətləndirici və vektorları kollinear olmalıdır;

_{Müstəvinin normal tənliyi.}

Ax+By+Cz+D=0 (1)
şəklindədir. (1) şəklində olan hər bir xətti tənlik fəzada bir müstəvini təyin edir. Bu isə müstəvinin ümumi tənliyi deyilir. (1) tənliyinə ekvivalent olan

normal tənlik şəklinə gətirmək ücün onun hər iki tərəfini

(2)
ədədinə vurmaq lazımdır. (2) kəmiyyətinə müstəvi tənliyinin normallaşdırıcı vuruğu deyilir.

İki müstəvi arasındakı bucaq.
Tənlikləri uyğun olaraq

olan Q₁ və Q₂ müstəviləri arasındakı bucaq

Həmin müstəvilərin paralellik şərtləri

Fəzada düz xəttlə müstəvinin qarışılıqlı vəziyyəti..
Tutaq ki, fəzada tənliyi

olan L-düz xətti və tənliyi

olan Q müstəvisi verilmişdir. L – düz xəttinin

istiqamətləndirici vektoru ilə (2) müstəvisinin

normalı arasındakı bucaq olarsa , onda həmin düz xəttlə müstəvi arasındakı φ bucağını münasibətindən tapmaq olar.

Verilmiş L –düz xəttinin Q müstəvisinə ┴ olması onun istiqamət-

ləndirici vektorunun vektoru ilə kollinear olması deməkdir;

. Buradan verilmiş L –düz xəttinin (2) müstəvisinə ┴ olma- QQQQQ

sı şərti alınır;

L- düz xəttinin (2) müstəvisinə paralel olması şərti və ya (3) düsturuna görə

Nöqtədən müstəviyə qədər olan məsafə.

Müstəvinin tənliyi ümumi şəkildə verildikdə, onu normallaşdırıcı vuruğuna vuraraq , əvvəlcə normal tənlik şəklinə gətirmək , sonra da düsturunu tətbiq etmək lazımdır. Bu halda

İkitərtibli əyrilər.

_{1. Ellips. Tərif. Müstəvi üzərində fokus adlanan verilmlş iki və nöqtəsindən məsafələrinin cəmi sabit ədəd olan nöqtələrin həndəsi yerinə ellips deyilir.}

Ellipsin tənliyini çıxarmaq üçün müstəvi üzərində düzbucaqlı koordinat sistemi götürək və ellepsin fokuslarının absis oxu üzərində koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrik yerləşdiyini fərz edək.

_{Onda ellips üzərində yerləşən nöqtəsi y}

_{Burada 2a ilə tərifdə göstərilən sabit ədəd işarə}

_{olunmuşdur. qəbul etsək , onda A2}

_{və olar. Bu halda iki A2}

_{nöqtə arasındakı məsafə düsturuna görə}

_{(1) bərabərliyinə əsasən ; B2}

_{Bu ellipsin axtarılan tənliyidir. Ellipsin (2) tənliyini sadə şəklə gətirmək üçün onu radikallardan qurtardıqdan sonra}

_{olduğundan qəbul etmək olar. Onda (3) tənliyi}

_{şəklində yazılar. (4) tənliyinə ellipsin kanonik tənliyi y}

<sub>deyilir.
2. Hiperbola. Tərif. Fokus adlanan verilmiş</sub>

_{iki F1 və F2 nöqtəsindən məsafələrinin fərqi mütləq}

_{qiymətcə sabit kəmiyyət olan nöqtələrin həndəsi M}

_{yerinə hiperbola deyilir.}

_{Hiperbolanın tənliyini çıxarmaq üçün yenədə F2 o F1 x}

_{tərifdə göstərilən müsbət sabiti 2a , fokuslar}

_{arasındakı məsafəni 2c və fokusların}

_{absis oxu üzərində koordinat başlanğıcına nəzər-}

_{ən simmetrik yerləşdiyini qəbul edək. Onda tərifə}

_{görə F1( c; o), F2( -c; o) və M( x,y)}

_{tənliyi hiperbolanın axtarılan tənliyidir. Bu tənliyi ellipsin tənliyi kimi sadələşdirsək, yenə də}

_{münasibətini alarıq. Bu halda olduğundan qəbul edərək (2) tən-liyini}

_{(3)
şəklində yazmaq olar. (3) tənliyinə hiperbolanın kanonik tənliyi deyilir.}
3.Parabola . Tərif. Fokus adlanan verilmiş F nöqtəsindən və direktris adlanan verilmiş d düz xəttindən eyni uzaqlıqda olan nöqtələrin həndəsi yerinə parabola deyilir.

Parabolanın tənliyini çıxarmaq üçün F fokusunun absis oxu üzərində yerləşdiyini və d direktrisinin həmin oxa olduğunu qəbul edək. Fokusla direktris arasındakı məsafə olsun . Fərz edək ki, koordinat başlanğıcı FD parçasının orta nöq-təsində yerləşir. Onda

_{və parabolanın ∀ M (x,y) nöqtəsi üçün ;}

_{N M(x,y)}
Buradan D 0 F x

_{(1) d}
(1) tənliyinə parabolanın kanonik tənliyi deyilir.

İkitərtibli səthlər.
Tərif. x y, z dəyişənlərinə nəzərən ikidərəcəli tənliklə təyin olunan səthə ikitərtibli səth deyilir.

İkitərtibli səthlərin ümumi tənliyi.
(1)

Verilən düz xəttə paralel qalan və verilən L xəttini kəsən mütəhərrik düz xəttin cızdığı səthə silindirik səthə deyilir.

Elliptik silindir, tənliyi ilə həll olunmuş və doğuranları Oz oxuna paralel olan silindrə deyilir. Elliptik silindrin yönəldicisi Oxy müstəvisi üzərində yerləşən ellipsdir.

tənliklər ilə, təyin olunan və doğuranları Oz oxuna paralel olan silindrik səthlərə uyğun olaraq hiperbolik və parabolik silindr deyilir.

Elliptik, hiperbolik və parabolik silindirlərə ikitərtibli silindirlər deyilir.
İkitərtibli səthlərin aşağıdakı növləri vardır .
1. Ellipsoid, Kanonik tənliyi.

_{olan ikitərtibli səthə ellipsoid deyilir. a=b=c olduqda ellipsoid sferaya çevrilir.}

2. Biroyuqlu hiperboloid , Kanonik tənliyi

_{olan ikitərtibli səthə deyilir.}

3. İkioyuqlu hiperboloid , Kanonik tənliyi

_{olan ikitərtibli səthə deyilir.}

4. Konus, Kanonik tənliyi

_{olan ikitərtibli səthə deyilir.}

5. Elliptik paraboloid, Kanonik tənliyi

_{olan ikitərtibli səthə deyilir.}

6. Hiperbolik paraboloid, Kanonik tənliyi

olan ikitərtibli səthə deyilir.

_{Evklid fəzası.
Tərif. Tutaq ki, həqiqi xətti R fəzasının istənilən iki x və y elementinə , həmin elementlərin skalyar hasili adlanan və (x, y ) ilə işarə olunan , müəyyən bir həqiqi ədədi uyğun qoyma qanunu (skalyar hasil) verilmişdir və bu zaman aşağıdakı şərtlər (aksiomlar) ödənilir}

_{10. İstənilən və üçün ;}

_{20. İstənilən və , üçün ;}

_{30. Elə sıfır elementi var ki, istənilən üçün ;}

_{40. Istənilən elementi üşün onun əksi adlanan elə elementi var ki,}

_{50. Istənilən elementi üşün}

_{60. Istənilən elementi , və həqiqi λ μ ədədləri ücün ;}

_{70. Istənilən və həqiqi λμ ədədləri ücün ;}

_{80. İstənilən x∈R , y∈R və həqiqi λ ədədi üçün ;}

9 0 . İstənilən və üçün ;

10 0 . İstənilən , y∈R və üçün ;

_{110. İstənilən xϵR , yϵR və həqiqi λ ədədi üçün ;}

_{120. İstənilən x≠o üçün (x1,x)>o və x = o olduüda ; (x1,x)=o}

Bu halda , həqiqi xətti R fəzasına həqiqi Evklid fəzası deyilir.

Funksiya və onun verilmə üsulları.
Tərif. Dəyişmə oblastları uyğun olaraq X və Y olan iki x və y dəyişən kəmiyyətini götürək.Hər-hansı ƒ qayda və ya qanun vasitəsilə dəyişən x kəmiyyətinin X dəyişmə oblastındakı hər bir qiymətinə, dəyişən y kəmiyyətinin müəyyən bir qiymətini uyğun və ya qarşı qoymaq mümkündürsə, onda X çoxluğundan Y çoxluğuna funksiya verilmişdir deyilir və y=ƒ(x) ilə göstərilir.

x-ə sərbəst dəyişən və ya arqument, y-ə isə funksiyanın asılı dəyişəni və ya qiyməti deyilir. X çoxluğuna funksiyanın təyin oblastı, Y çoxluğuna isə onun qiymətləri çoxluğu deyilir.

1. funksiyanın təyin oblastı, yəni x arqumentinin ola bildiyi qiymətlər çoxluğu göstərilsin;
2. x-in hər bir qiymətinə y-in müəyyən bir qiymətini uyğun qoyma qanunu, yəni x və y arasındakı uyğunluq qanunu göstərilsin.

Bu halda alınan funksiyasına mürəkkəb funksiya və ya funksiyanın funksiyası deyilir.

Tərs funksiya
X çoxluğunda təyin olunmuş y=ƒ(x) funksiyasının qiymətlər çoxluğu Y olsun. y-in Y çoxluğundakı hər bir y_o qiymətinə x-in X çoxluğundan y_o=ƒ(x_o) (1) bərabərliyini ödəyən ancaq bir x_o qiyməti uyğun olarsa (yəni y=ƒ(x) funksiyası X çoxluğunu Y çoxluğuna qarışılıqlı birqiymətli inikas etdirirsə ) , bu uyğunluqla Y çoxluğuna təyin olunan x=φ(y) funksiyasına y=ƒ(x) funksiyasının tərs funksiyası deyilir. Aydındır ki, y=ƒ(x) funksiyasını da x=φ(y) funksiyasının tərs funksiyası hesab etmək olar. Buna görə də çox zaman

y=ƒ(x) və x=φ(y) funksiyalarına qarışılıqlı tərs funksiyalar deyilir. Tərifə əsasən

ƒ və bərabərlikləri doğrudur.
Funksiyanın limiti.
Tərif 1. X çöxluğunun a-ya yığılan istənilən nöqtələri ardıcılığına ƒ(x) funksiyasının uyğun olan qiymətləri ardıcıllığının hamısı eyni bir A ədədinə yığıldıqda , həmin A ədədinə x→a şərtində funksiyasının limiti deyilir.

Aydındır ki, a-ya yığılan heç olmazsa iki ardıcıllığına funksiyasının və uyğun qiymətləri ardıcıllıqları müxtəlif limitlərə yığılarsa, onda funksiyasının x=a nöqtəsində limiti yoxdur. Funksiyanın nöqtədə limitinin başqa tərifi də vardır.

Tərif 2. Tutaq ki, sonlu a və A ədədləri və istənilən ədədi üçün elə ədədi varki, x-in X çoxluğundan götürülmüş və (1) bərabərsizliyini ödəyən bütün qiymətlərində (2) münasibəti ödənilir.Onda A ədədinə x→a şərtində funksiyasının limiti deyilir.

Qeyid edək ki, A ədədi x→a şərtində funksiyasının limiti olduqda (2) bərabərsizliyinin x=a qiymətində ödənilib ödənilməməsinin heç bir əhəmiyyəti yoxdur. funksiyası x=a nöqtəsində təyin olunduqda isə onun həmin nöqtədə limiti xüsusi qiymətinə bərabər olada bilər, olmayada bilər.

Funksiya limitinin birinci tərifinə “ limitin ardıcıllıq dilində tərifi ” (və ya Heyns mənada tərifi) , ikinci tərifinə isə

“ limitin dilində tərifi ”(və ya Koşi mənada tərifi ) deyilir.

Nöqtədə funksiyanın kəsilməzliyi.
Tərif 1. Tutaq ki, istənilən ədədi üçün elə ədədi var ki, x-in bərabərsizliyini ödəyən bütün qiymətlərində bərabərsizliyi ödənilir. Bu halda funksiyasına x=x_o nöqtəsində kəsilməyən funksiya deyilir.

Parçada kəsilməz funksiyanın bəzi xassələri .
Xassə1. (Veyerştrasın birinci teoremi) Sonlu parçasında kəsilməyən funksiyası həmin parçada məhduddur.

Xassə 2. (Veyerştrasın ikinci teoremi) Sonlu parçasında kəsilməyən funksiyası bu parçanın heç olmasa bir α nöqtəsində özünün həmin parçadakı dəqiq aşağı sərhəddini, heç olmasa bir nöqtəsində isə dəqiq yuxarı sərhəddini alır, yəni

Xassə 3. parçasında kəsilməyən funksiyası həmin parçanın uc nöqtələrində müxtəlif işarəli qiymətlər alırsa, onda a və b nöqtələri arasında yerləşən ən azı bir C(a c b ) nöqtəsi var ki, bu nöqtədə funksiyası sıfıra çevrilir;

Xassə 4. parçasında kəsilməyən funksiyası həmin parcanın uc nöqtələrində bərabər olmayan qiymətlərini alırsa, onda həmin A və B ədədləri arasında yerləşən hər bir c ədədi üçün parçasında yerləşən ən azı bir nöqtəsi var ki, olar.