Törəmə nədir
SAVOL VA TOPSHIRIQLAR n n Qanday funksiya monoton funksiya deyiladi? Qanday funksiyalar juft funksiya deyiladi? Chegaralangan funksiyaga misollar keltiring. Murakkab funksiyaga ta`rif bering.
Funksiyalarning muhim sinflari Dars rejasi 1 Monoton funksiyalar
11. Funktsiyani ta’riflang. 2. Funktsiya qachon berilgan deb aytiladi? 3. Funktsiyaning berilish usullarini ayting. 4. Erkli, erksiz o’zgaruvchilarni ayting 5. o’zgaruvchining asli, aksini ayting 6. Funksiy grafigi nimadan iborat?
Sonli ketma-ketlik Yaqinlashuvc hi ketmaketliklar Monoton ketmaketliklar Chegaralang an yaqinlashuvc hi ketmaketlik Cheksiz kichik miqdor Cheksiz katta miqdor Monoton ketmaketlik limiti Qissmiy ketmaketliklar Fundamen tal ketmaketliklar Ketmaketlikning quyi hamda yuqori limiti
Tusuhca To’plam Ketma ketlik funksiya chegaralangan + + + monoton тартиб + + davriy + limit Лимит нукта + + Eng katta. eng kichik qiymati + + + grafigi + + Aniqlanish sohasi + + yaqinlashish + Juft toqligi Симметрик топлам Cheksiz kichik, katta miqdor Qism tushunchasi + + + +
Monoton funksiyalar • Aytaylik, у=f(x) funksiya X to‘plamda berilgan bo‘lsin. • Ta’rif. Agar X to‘plamdan olingan ixtiyoriy x 1 va x 2 lar uchun (yoki x kamayuvchi) 1 f(x 2)) tengsizlik kelib chiqsa, u holda funksiya X to‘plamda o‘suvchi (yoki kamayuvchi) deb ataladi.
Chiziqli funksiya monotonmi? y Y=2 x+3 Y=3 Y = -2 x + 1 x
0 Friday, September 3, 2021 12
chegaralanganmi ? Y 4 х -2 0 2 y=4 – x 2
n n Chegaralanganmi? Y = 2 sinх|cosх | = агар бўлса , sin 2 x бўлса , – sin 2 x Y 1 0 -1 x
Juft va toq funksiyalar
Juft va toq funksiyalar ustida mulohazalar
Y Y=|log 2| = tg |x| x|| Y Y 1 0 X -1 0 1 2 X
26 Friday, September 3, 2021
Friday, September 3, 2021 27
0 Friday, September 3, 2021 28
Friday, September 3, 2021 29
n Y = 2 sinх|cosх | = agar аgar bo’lsa , sin 2 x bo’lsa – sin 2 x Y 1 0 -1 x
davriy Juft toq To’plam chegaral angan element aksi Qonun qoida Funksiya asli moslik grafik jadval Aniq soha monoton
SAVOL VA TOPSHIRIQLAR n n Qanday funksiya monoton funksiya deyiladi? Qanday funksiyalar juft funksiya deyiladi? Chegaralangan funksiyaga misollar keltiring. Murakkab funksiyaga ta`rif bering.
D(y)(-∞; ∞) Davriy E(y): [-1; 1] juft E(y): [1; 1] Y=CO SX SX Y=SINX toq TRIGONOMET RIK RIK FUNKSIYALAR R R Toq Davriy D(y) x≠∏∕ 2+∏n toq Y=tgx Y=ctgx x x E(y)(-∞; ∞) Davriy D(y) x≠∏n
Klasterlar Grafigi Kordinata boshiga nisbatan simetrik Funksiya davriy funksiya Funksiya toq Unga teskari funsiya Y=arcctg x Qiymatla r sohasi R ga teng Y=ctgx Aniqlanis h sohasi (-∞; + ∞)πk Funksiya ga teskari funksiya mavjud
УЙГА ВАЗИФА n n n n n Саволларга жавоб ёзиш 1. Qanday to‘plam simmetrik to‘plam deyiladi? Misollar keltiring. 2. Qanday funksiya juft, qanday funksiya toq deyiladi? 3. Juft funksiyaning grafigi qanday xossaga ega? 4. Toq funksiyaning grafigi qanday xossaga ega? 5. Davriy to‘plam qanday ta’riflanadi? 6. Qanday funksiyaga davriy funksiya deyiladi? 7. Davriy funksiya faqat bitta nuqtada aniqlanmagan bo‘lishi mumkinmi? Javobingizni asoslang. 8. Funksiyaning asosiy davri deb nimaga aytiladi? 9. Asosiy davri mavjud bo‘lmagan funksiya mavjudmi? Mavjud bo‘lsa, misol keltiring. 10. Teskari funksiya qanday ta’riflanadi? 11. Berilgan funksiyaning teskari funksiyasi mavjudligini qanday aniqlaysiz? 12. Qanday funksiyaga chegaralangan deyiladi? Misollar keltiring. 13. Chegaralanmagan funksiya qanday ta’riflanadi? 14. Qanday funksiya o‘suvchi (kamaymaydigan) funksiya deyiladi? 15. Qanday funksiya kamayuvchi (o‘smaydigan) funksiya deyiladi?
E’tiborihgiz uchun rahmat
Törəmə nədir?
Çoxlarında törəmə termini darıxdırıcı və hətta dəhşət doğuran hisslərlə əlaqələnir. Amma işiniz mənim kimi predikativ analitika və ümumiyyətlə riyazı statistika ilə əlaqədardırsa gec-tez başa düşəcəksiniz ki, törəmə ilə məcburiyyət qarşısında qalıb “dostlaşmalısınız”.
Şəxsən mən institut illərində hər dəfə diferensial tənliklər kitabını açarkən özümü dərin bir mağarada havasız və rütubət şəraitində oturmuş kimi hiss edirdim. Son vaxtlara qədər yuxuda özümü Riyazi-fizika tənlikləri imtahanına hazırlaşan görəndə soyuq tər içində ayılıb Allahdan yuxumu xeyrə calamağı diləyirdim.
Lakin son vaxtlar tez-tez işimlə əlaqədar riyazı statistikanın müxtəlif paylanma funksiyaları ilə məşğul olduğumdan yenidən riyaziyyatın bu sahəsinə baş vurmalı oldum. Bir çox məsələləri diskret şəkildə həll etmək mümkün olsa da, hiss edirdim ki, əksər hallarda modeli diferensial tənliklə daha gözəl vermək olardı. Buna görə hazırki məqalədə törəmə anlayışını məktəb və institut dərsliklərində verilən şəkildə deyil, öz yanaşmam ilə izah edəcəyəm. Limitin tərifini verib onun mənasını izah etməyəcəyəm. Birbaşa diferensialı “barmaq hesabı” ilə başa salacağam.
Tutaq ki, hər hansı $y=f(x)$ funksiyası var. Bu funksiyanın iki nöqtədə, $x_1$ və $x_2$ nöqtələrində qiymətlərini uyğun olaraq $y_1 = f(x_1)$ və $y_2 = f(x_2)$ ilə işarə edək. Arqument $x_1$-dən $x_2$-yə keçərkən funksiyanın qiymətinin dəyişməsinə baxaq. Arqument $x_1-x_2$ qədər dəyişərkən funksiya $y_1-y_2 = f(x_1)-f(x_2)$ qədər dəyişəcək. Bu dəyişməni nisbət şəklində göstərmək üçün $\dfrac $ və yaxud $y_1-y_2=\Delta y$ və $x_1-x_2=\Delta x$ işarələsək $\dfrac $ yaza bilərik. Bu yazılışda $x_1x_2$ olması əhəmiyyətli deyil. Çünki məxrəcdə arqumentin qiymətinin dəyişməsi hansı istiqamətdə verilirsə, surətdə də funksiyanın qiymətinin dəyişməsi eyni istiqamətdə verilir.
Çatdıq əsas məqama. İndi təsəvvür edin ki, $x_1$ və $x_2$ nöqtələri bir-birinə mümkün qədər yaxındır, $x_1-x_2$ fərqi prosessorun qəbul edə biləcəyi $0$-dan fərqli minimal ədəddir. Bu mənfi də ola bilər. Bu fərqi şərti olaraq $x_1-x_2=\pm 0$ kimi göstərmək olar. Belə bir tərifə görə riyaziyyatçılar məni bağışlasın, amma mən həmin nisbəti törəmə adlandıracağam.
Bundan sonra $y’$ görən kimi yuxarıdakı fərqin nisbətini göz önünə gətirin. İndi bu fərqin timsalında sadə funksiyaların törəmələrini tapaq.
Sabit funksiyanın törəməsi
Bu funksiya $x$-ın istənilən qiymətində $C$-yə bərabərdir. Onda
Yəni sabit funksiyanın törəməsi sıfıra bərabərdir.
$y=x$ funksiyası
$y=x$ funksiyasının törəməsində surət və məxrəc eyni olduğundan nisbət $1$-ə bərabər olacaq.
Cəmin və fərqin törəməsi
İki funksiyanın cəminin (fərqinin) törəməsinə baxaq. Tutaq ki, $y=u \pm v$ funksiyası verilib. $y’=\left(u(x) \pm v(x)\right)’$ törəməsini tapaq. Bunu tapmaq üşün törəməni bildiyimiz nisbət şəklində göstərək. Cəm halının timsalında araşdırmanı davam edəcəyik.
Eyni çıxarış fərq üçün də işarə fərqi ilə doğrudur. Deməli, cəmin (fərqin) törəməsi, törəmələrin cəminə (fərqinə) bərabərdir.
Hasilin törəməsi
Sadəlik üçün $u_1=u(x_1)$, $u_2=u(x_2)$, $v_1=v(x_1)$, $v_2=v(x_2)$ işarələməsi aparsaq
Surətə $u_2v_1$ əlavə edib çıxsaq
Burada $v_1$ və $u_2$ uyğun olaraq $u(x)$ və $v(x)$ funksiyalarının $x_1$ və $x_2$ nöqtələrindəki qiymətləridir. $x_1$ və $x_2$ bir-birinə sonsuz yaxın olduğundan bunları bir $x$ ilə işarə etsək, $v_1$ əvəzinə $v(x)=v$, $u_2$ əvəzinə isə $u(x)=u$ yazmaq olar. Onda
Yəni hasilin törəməsi birinci vuruğun törəməsinin ikinci vuruğa hasili ilə ikinci vuruğun törəməsinin birinci vuruğa hasilinin cəminə bərabərdir.
Bu şərtdən istifadə edib aşağıdakı mühakiməni yürütmək olar.
Sabit funksiyanın törəməsi sıfır olduğu üçün yuxarıdakı bərabərlik belə şəklə düşəcək
$ C’u(x)+Cu’(x) = 0+ Cu’(x) = Cu’(x) \Rightarrow (Cu)’ = Cu’$
Yəni sabiti törəmədən xaricə çıxarmaq olar. Ona görə də xətti funksiyanın törəməsi sabitə bərabərdir.
Çünki $b$ sabitinin törəməsi $0$, $(kx)’=k(x)’=k$ ($x$-ın törəməsi $1$-dır). Xəttin törəməsi onun bucaq əmsalına ($k$-ya) bərabərdir.
Nisbətin törəməsi
İndi kəsr funksiyanın törəməsini tapaq.
Vurma halında olduğu kimi $u_2v_2$ əlavə edib çıxsaq
Burada yenə də $v_1-v_2= \pm 0$ və $u_1-u_2= \pm 0$ olduğunu nəzərə alsaq, bunların hər ikisini $v$ və $u$ ilə əvəz edə bilərik.
Qüvvətin törəməsi
İndi qüvvət funksiyasının törəməsinə baxaq. Əvvəl kvadratik funksiyadan başlayaq.
Yenə də $x_1-x_2=\pm 0$ olduğundan $x_1=x_2=x$ götürə bilərik. Onda
$y’ = x+x = 2x$, yəni $(x^2)’ = 2x$.
Hasilin törəməsindən bilirik ki,
$(x \cdot x^2)’=x’ \cdot x^2 + x \cdot (x^2)’ = \\[15pt] = 1\cdot x^2 + x \cdot 2x = x^2 + 2x^2 = 3x^2 \Rightarrow (x^3)’ = 3x^2$
Yoxlasanız, eynilə $(x^4)’ = 4x^3$ olduğuna əmin olacaqsınız.
İndi mənfi qüvvətin törəməsinə baxaq.
Yuxarıda aldığımız kəsr funksiyanın törəməsinə əsaslanaraq
Demli, bu halda da qüvvət vuruq kimi iştirak edib bir vahid azalır. Ümumiləşdirdikdə aşağıdakı düsturu alırıq.
Mürəkkəb funksiyanın törəməsi
$y=f(u(x))$ mürəkkəb funksiyanın ümumi yazılışıdır. Burada $u$ funksiyası $v$ funksiyasından, $v$ isə $x$ arqumentindən asılıdır.
Surət və məxrəci $v(x_1)-v(x_2)$-yə vurub bölsək
Deməli, $(u(v))’ = u’(v) \cdot v’$. Yəni $v$ funksiyasından asılı olan $u$ funksiyasının $x$ arqumentinə görə törəməsi, $u$ funksiyasının $v$ funksiyasına nəzərən törəməsinin $v$ funksiyasənən $x$ arqumentinə ənzərən törəməsi ilə hasilinə bərabərdir.
Digər məqalələr
Törəmə düsturları
Funksiyanın nöqtədəki qiymət artımının, arqumentin həmin bu artımı yaradan fərqinə nisbətinə funksiyanın həmin nöqtədəki törəməsi deyilir.
© Müəllif hüquqları qorunur
Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.
© Copyright Jsoft
Funksiyanın törəməsinin hesablanması və
Funksiyanın törəməsinin hesablanması və
inteqrallanması
Funksiyanın törəməsinin riyazi ifadəsi üçün Diff (f,x,x2,…,xn), törəmənin hesablanması üçün isə diff (f, x1,x2,…xn) əmrindən istifadə oluna bilər. Burada f törəməsi axtarılan funksiya və ya funksiyalar siyahısı ola bilər Məsələn,
İnteqralın hesablanması
Qeyri–müəyyən inteqralın riyazi ifadəsi üçün İnt(f,x), hesablanması üçün int(f,x) əmrindən, müəyyən inteqralın riyazi ifadəsi üçün İnt(f,x=a..b), hesablanması üçün isə int (f,x
=a..b) və ya int (f, x=a..b, c) əmrlərindən istifadə olunur. Burada c parametri əlavə inteqrallama şərtini təyin edir, a və b isə inteqralın aşağı və yuxarı sahələrini bildirir. Məsələn,
Müəyyən inteqralın ədədi üsulla qiymətinin tapılması üçün
evalf(int(f, x=a..b)) əmrindən istifadə etmək olar.
2 cos(x 2 )x
Yüksək tərtibli törəmələri hesablamaq üçün isə aşağıdakı
əmrdən istifadə etmək lazımdır:
Diff (f,x$m,x2$m,…,xn$m)= diff (f,x$m,x2$m,…,xn$m);
Bir sıra hallarda Maple 9.01 inteqralı hesablaya bilmir və bu zaman inteqralın təkrar yazılışı sənəddə əks olunur. Belə
olduqda toyler və convert əmrləri vasitəsilə inteqralaltı ifadəni teylor sırasına ayırıb inteqrallama əməliyyatını aparmaq olar Məsələn,
conve(rttaylor(int(exp(sin(x)), x), x 0.8), polynom);
Bərabərsizlik və tənliklərin həlli
Bərabərsizlik və tənliklərin, bərabərsizlik və tənliklər sisteminin analitik həlli üçün müvafiq olaraq, solve (eqn, var) və ya solve ( eqn_2, …,eqn_n>, var_1, var_2, … ,
x 1 x 2
var_n >) əmrlərindən istifadə olunur. Burada eqn, eqn_1,
eqn_2, …,eqn_n tənlik və ya bərabərsizlik, var, var_1, var_2,
… , var_n isə axtarılan məchullardır.
Eyni qayda ilə çox qat inteqral da hesablanılır. Məsələn,
y), x 4..4.4), y 2..2.6);
Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.