Qeyri-müəyyən inteqral: xassələr, tətbiqetmələr, hesablama (nümunələr)

Mən₂ = -GM ∫ (1 / y 2 ) dy = -GM ∫ y -2 dy = -GM [y -2+1 / (- 2 + 1)] + C₂ = GM. Y -1 + C₂

Sürəti hesablayın

Sürət, müəyyən bir anda bir şeyin “nə qədər sürətlə” getdiyini ölçür. Heç bir sürücülük zamanı bir avtomobilin sürətölçəninə baxmısınızsa, sürətin necə ölçüldüyünü görmüsünüz – iynə nə qədər uzanırsa, avtomobilin sürəti o qədər çox olur. Əldə etdiyiniz məlumatlardan asılı olaraq sürəti hesablamaq üçün bir neçə fərqli yol var. Ümumi təyinatlı tənlik sürət = məsafə / vaxt (və ya s = a / t) ümumiyyətlə sürəti hesablamağın ən asan yolu.

Addımlamaq

Metod 3-dən 1: Standart dərəcə tənliyindən istifadə

1. Bir obyektin keçdiyi məsafəni tapın. Bir çox insanın bir şeyin nə qədər sürətlə getdiyini anlamaq üçün istifadə etdiyi əsas tənliyi istifadə etmək həqiqətən asandır. Bilmək lazım olan ilk şey obyektin nə qədər məsafə qət etdiyi. Başqa sözlə, başlanğıc nöqtəsi son nöqtədən nə qədərdir?
   • Bu tənliyi bir nümunə ilə anlamaq daha asan olacaq. Tutaq ki, bir tema parkına avtomobil gəzirik 100 mil (təxminən 100 mil). Növbəti bir neçə addımda bu məlumatı bu tənliyi həll etmək üçün istifadə edəcəyik.

• Bizim nümunəmizdə tam olaraq deyək saat iki bu gəzintiyə çıxmağın dəyəri.

• Bizim nümunəmizdə bu tənlik 100 mil / 2 saat = 50 mil / saat (təxminən 80 kilometr / saat).

• Sürət vahidləri zaman vahidləri arasındakı məsafə vahidləri. Bizim nümunəmizdə vahidlərimiz var mil / saat məsafəni millə, saatı saatla ölçdüyümüzdən (və ya saatda mil).

Metod 3-dən 2: Digər problemlərin həlli

• Tutaq ki, bir qatarın dörd saat ərzində saatda 20 kilometr sürət qət etdiyini bilirik, amma qət etdiyi məsafəni bilməliyik. Bu vəziyyətdə tənliyi yenidən düzəldə bilərik: sürət = məsafə / vaxt sürət × vaxt = (məsafə / vaxt) × vaxt sürət × vaxt = məsafə 20 km / saat × 4 h = məsafə = 80 kilometr

• Məsələn, deyək ki, yuxarıdakı nümunə problemində cavabımıza ehtiyacımız var mil əvəzinə kilometr. Bir mildə təxminən 1,6 kilometr yol var, buna görə bunu belə çevirə bilərik: 80 kilometr × 1 mil / 1,6 kilometr = 50 mil
• Diqqət yetirin ki, kilometrlər hissənin altındadır, cavabı millərlə qoyaraq orijinal cavabdakı kilometrlərlə üst-üstə düşə bilər.
• Bu sayt ən çox yayılmış vahidlər üçün dönüşümləri ehtiva edir.

• Məsələn, deyək ki, bir təyyarə 20 mil enində bir dairədə beş dəfə uçur. Təyyarə bu səyahətini yarım saat ərzində tamamlayır. Bu nümunədə, sürəti tapmadan əvvəl təyyarənin nə qədər getdiyini dəqiq müəyyənləşdirməliyik. Tənlikdə “a” əvəzinə bir dairənin ətrafındakı məsafəyə (çevrəyə) görə tənlikdən istifadə edə bilərik. Bu tənlik dairə = 2πr, burada r = dairənin radiusu. Bunu aşağıdakı kimi həll edə bilərik: s = (2 × π × r) / t s = (2 × π × 10) /0.5 s = 62.83 / 0.5 = 125.66 mil / saat

• Bu fərqi göstərmək üçün bir avtomobildə son səyahətinizi təsəvvür edin. Səyahət boyu eyni sürəti qət etməyiniz ehtimalı çox azdır. Bunun əvəzinə yavaş başlamışdınız və tədricən ən yüksək sürətə çatdınız və işıqforlarda, tıxaclarda və s. Yavaşladınız. Səfər üçün sürətinizi hesablamaq üçün standart sürət tənliyindən istifadə edirsinizsə, bu sürət dəyişiklikləri əks olunmayacaqdır. Bunun əvəzinə getdiyiniz müxtəlif sürətlər arasında bir cavab alacaqsınız.

Metod 3-dən 3: Ani sürəti hesablayın

Qeyd: Bu bölmədə hesablama öyrənməyənlər üçün bilinməyən üsullardan istifadə olunur. Kömək üçün hesablama məqalələrimizə baxın.

1. Qeyd edək ki, sürət sürətin böyüklüyü kimi təyin olunur. Daha yüksək səviyyəli sürət hesablamaları qarışıq ola bilər, çünki riyaziyyatçılar və elm adamları “sürət” üçün fərqli təriflər istifadə edirlər (İngilis dilində sürət və sürət, sürətin sürət istiqaməti haqqında bir şey söylədiyi fərqli terminlər). Sürət (sürət) iki komponentdən ibarətdir: biri böyüklük və a istiqamət. Böyüklük cismin sürətinə bərabərdir. İstiqamət dəyişikliyi sürətdə (sürətdə) bir dəyişikliyə səbəb olacaq, ancaq sürətdə (sürətdə) deyil.
   • Məsələn, tutaq ki, əks istiqamətdə hərəkət edən iki avtomobil var. Hər iki avtomobilin sürətölçənləri 50 km / saat göstərdiyindən hər ikisi eyni sürətə malikdir. Ancaq bir-birlərindən ayrıldıqları üçün bir avtomobilin bir olduğunu deyə bilərik sürət (sürət) -50 km / s və birində var sürət (sürət) 50 km / s-dən.
   • Ani sürəti (sürəti) hesabladığınız kimi, ani sürəti də (sürəti) hesablaya bilərsiniz.
2. Mənfi sürətlər üçün mütləq dəyərlərdən istifadə edin. Cisimlər mənfi böyüklük sürətlərinə sahib ola bilər (başqa bir şeyə nisbətən mənfi istiqamətdə hərəkət etdikdə). Ancaq mənfi bir sürət deyilən bir şey yoxdur, buna görə də bu hallarda mütləq dəyər böyüklüyün, obyektin sürətinin.
   • Bu səbəblə yuxarıdakı nümunə problemindəki hər iki avtomobildə də bir sürət (sürət) dan 50 km / saat .
3. Mövqe funksiyasının törəməsini götürün. Zamanla əlaqədar bir obyektin mövqeyini verən s (t) funksiyanız varsa, s (t) törəməsi sizə verəcəkdir sürət (sürət) zamana görə vermək. Bu nöqtədə sürəti əldə etmək üçün t dəyişəninin (və ya zaman dəyəri nə olursa olsun) bu tənliyə bir zaman dəyəri qoymağınız kifayətdir. Buradan sürəti tapmaq asandır.
   • Tutaq ki, bir cisimin metrlərlə mövqeyi 3t + t – 4 tənliyi ilə verilmişdir, burada t = saniyələr içində vaxt. T = 4 saniyədə obyektin sürətinin nə olduğunu bilmək istəyirik. Bu vəziyyətdə bunu aşağıdakı kimi həll edə bilərik: 3t + t – 4 s ‘(t) = 2 × 3t + 1 s ‘(t) = 6t + 1
   • İndi t = 4 daxil edirik: s ‘(t) = 6 (4) + 1 = 24 + 1 = 25 metr / saniyə. Bu, texniki cəhətdən sürətin (sürətin) ölçülməsidir, lakin müsbət olduğu və istiqamətdə problemdən bəhs edilmədiyi üçün sürət üçün mahiyyət etibarilə istifadə edə bilərik.
4. Sürətləndirmə funksiyasının ayrılmaz hissəsini götürün. Sürətləndirmə yaxşılaşdırma yollarından biridir bir obyektin sürətinin zamanla dəyişməsi ölçmək. Bu mövzu bu məqalədə tam izah etmək üçün bir az çox mürəkkəbdir. Bununla birlikdə qeyd etmək faydalıdır ki, zamana görə sürət verən a (t) funksiyanız olduqda, a (t) -ın inteqrasiyası sizə zamana görə sürət verir. Nəzərə alın ki, obyektin başlanğıc sürətini bilmək faydalıdır, beləliklə qeyri-müəyyən inteqraldan əmələ gələn sabitliyi təyin edə bilərsiniz.
   • Tutaq ki, bir cisim sabit bir sürətlənməyə malikdir (a (t) = -30 ilə m / s-də verilmişdir. Həm də deyək ki, cismin başlanğıc sürəti 10 m / s-dir. Sürəti t = 12s-də tapmalıyıq). bu işi belə həll edə bilərik: a (t) = -30 v (t) = ∫ a (t) dt = ∫ -30dt = -30t + C
   • C tapmaq üçün t = 0 üçün v (t) üçün həll edirik ki, cismin başlanğıc sürəti 10 m / s-dir. v (0) = 10 = -30 (0) + C 10 = C, buna görə v (t) = -30t + 10
   • İndi t = 12 saniyəyə daxil ola bilərik. v (12) = -30 (12) + 10 = -360 + 10 = -350. Sürət (sürət) sürətin (sürətin) mütləq dəyəri olduğundan, obyektin sürətidir 350 metr / saniyə.

Göstərişlər

• Təcrübə mükəmməl edir! Yuxarıdakı nümunə problemlərindəki fərqli rəqəmləri əvəz edərək öz məbləğlərinizi etməyə çalışın.
• Qabaqcıl sürət hesablamaları üçün hesablamanın sürətli bir yolunu axtarırsınızsa, buradakı onlayn törəmə kalkulyatordan və onlayn inteqral kalkulyatordan istifadə edin.

Qeyri-müəyyən inteqral: xassələr, tətbiqetmələr, hesablama (nümunələr)

The qeyri-müəyyən inteqral türevinin tərs işidir və bunu ifadə etmək üçün uzanan “s” simvolu istifadə olunur: ∫. Riyazi olaraq F (x) funksiyasının qeyri-müəyyən inteqrasiyası yazılır:

İnteqrand F (x) = f´ (x) dəyişənin funksiyasıdır xbu da öz növbəsində inteqral və ya antiderivativ adlanan başqa bir f (x) funksiyasının törəməsidir.

Öz növbəsində, C olaraq bilinən bir sabitdir inteqrasiya daimi, hər zaman hər qeyri-müəyyən inteqralın nəticəsini müşayiət edir. Nümunə ilə mənşəyini dərhal görəcəyik.

Tutaq ki, bizdən aşağıdakı qeyri-müəyyən inteqralı tapmağımızı xahiş edirik:

Dərhal f´ (x) x ilə müəyyən edilir. Bu o deməkdir ki, f (x) funksiyasını elə gətirməliyik ki, onun törəməsi x olsun, çətin olmayan bir şey olsun:

F (x) çıxarmaqla f´ (x) əldə etdiyimizi bilirik:

İndi funksiya: f (x) = ½ x 2 + 2 də tələbi ödəyir, çünki hasilat xətti və sabitin törəməsi 0-dır, f (x) = ilə nəticələnən digər funksiyalar:

½ x 2 -1, ½ x 2 + 15; ½ x 2 – √2…

Və ümumiyyətlə formanın bütün funksiyaları:

Problemin doğru cavablarıdır.

Bu funksiyalardan hər hansı birinə deyilir antivivativ və ya f´ (x) = x ibtidai və dəqiq olmayan bir inteqrasiya olaraq bilinən bir funksiyanın bütün antidivivlərinin bu dəstinə aiddir.

İlkəllərdən yalnız birini bilmək kifayətdir, çünki göründüyü kimi, aralarındakı yeganə fərq inteqrasiyanın daimi C-sidir.

Əgər problem ilkin şərtləri ehtiva edirsə, onlara uyğun C dəyərini hesablamaq mümkündür (aşağıdakı həll nümunəsinə baxın).

Qeyri-müəyyən bir inteqral necə hesablanır

Əvvəlki misalda ∫x.dx hesablandı, çünki f (x) funksiyası məlum olduqda inteqranla nəticələndi.

Bu səbəbdən, əsas inteqrallar ən populyar funksiyalardan və onların törəmələrindən tez həll edilə bilər.

Bundan əlavə, bir inteqral həll edilərkən imkanları genişləndirən bəzi vacib xüsusiyyətlər var. Ol k həqiqi bir rəqəm, onda doğrudur:

1.- ∫kdx = k ∫dx = kx + C

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

3.- ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

4.- ∫x n dx = [x n + 1 / n + 1] + C (n–1)

5.- ∫x -1 dx = ln x + C

İnteqraldan asılı olaraq, inteqralları həll etmək üçün bir sıra cəbri və ədədi metodlar mövcuddur. Burada qeyd edirik:

-Cəbri və trigonometrik əvəzetmələr.

-Hissələrə görə inteqrasiya

-Rasional tipin inteqrasiyası üçün sadə kəsrlərə ayrılma

Birdən çox metodla həll edilə bilən integral var. Təəssüf ki, müəyyən bir inteqrasiyanı həll etmək üçün əvvəlcədən ən təsirli metodu təyin etmək üçün tək bir meyar yoxdur.

Əslində, bəzi metodlar müəyyən inteqralların həllinə digərlərindən daha tez çatmağa imkan verir. Ancaq həqiqət budur ki, inteqral həll bacarıqlarını əldə etmək üçün hər metodla tətbiq etməlisiniz.

– Nümunə həll edildi

Subradikal kəmiyyət üçün sadə dəyişən dəyişiklik edək:

İki ifadənin hər hansı birində hər iki tərəfi çıxarmaq belə verir:

İndi I kimi göstərəcəyimiz inteqralın yerini tuturuq:

I = ∫x √ (x-3) dx = ∫ (u + 3) (√u) du = ∫ (u + 3) u 1/2 du

Dağıtım mülkiyyətini və bərabər əsaslı güclərin vurulmasını tətbiq edirik və əldə edirik:

I = ∫ (u 3/2 + 3 u 1/2 ) du

Əvvəlki hissədən 3 əmlak:

I = ∫ u 3/2 du + ∫ 3u 1/2 du

İndi 4 kimi tətbiq olunan əmlak tətbiq olunur güclər qaydası:

Birinci inteqral

. U 3/2 du = [u 3/2 + 1 / (3/2 + 1)] + C₁ =

İkinci inteqral

U 3u 1/2 du = 3 ∫u 1/2 du = 3 [u 3/2 / (3/2)] + C₂ =

Sonra nəticələr I-də birləşdirilir:

I = (2/5) u 5/2 + 2u 3/2 + C

İki sabit problemsiz birinə birləşdirilə bilər. Nəhayət, əvvəllər edilmiş dəyişən dəyişikliyini qaytarmağı və nəticəni orijinal dəyişən x ilə ifadə etməyi unutmayın:

I = (2/5) (x-3) 5/2 + 2 (x-3) 3/2 + C

Nəticəni faktorlaşdırmaq mümkündür:

I = 2 (x-3) 3/2 [(1/5) (x-3) +1] + C = (2/5) (x-3) 3/2 (x + 2) + C

Proqramlar

Qeyri-müəyyən inteqrasiya təbii və sosial elmlərdəki çoxsaylı modellərə aiddir, məsələn:

Hərəkat

Hərəkət problemlərinin həllində, sürətini bilməklə və sürətini bilməklə bir cibin sürətini hesablamaq.

İqtisadiyyat

Məsələn, məhsulların istehsal xərclərini hesablamaq və bir tələb funksiyasını modelləşdirməklə.

Tətbiqi məşq

Bir cisimin Yerin cazibə qüvvəsindən qaçması üçün tələb etdiyi minimum sürət belədir:

-v Yerdən qaçmaq istəyən cismin sürətidir

-y planetin mərkəzindən ölçülən məsafəsidir

-M quru kütləsidir

-G sabit cazibə qüvvəsidir

Arasındakı əlaqəni tapmağı xahiş edir v Y Y, obyektə başlanğıc sürət v verilsə, qeyri-müəyyən inteqralların həlli_{və ya} və Yerin radiusu məlumdur və R adlanır.

Həll

İnteqrasiya qaydalarını istifadə edərək həll etmək üçün bizə iki qeyri-müəyyən inteqral təqdim olunur:

Mən₂ = -GM ∫ (1 / y 2 ) dy = -GM ∫ y -2 dy = -GM [y -2+1 / (- 2 + 1)] + C₂ = GM. Y -1 + C₂

Məni eyniləşdiririk₁ və mən₂:

İki sabit birinə birləşdirilə bilər:

İnteqrallar həll edildikdən sonra, aşağıdakı şərtlər olan ilkin şərtləri tətbiq edirik: cisim Yerin səthində olanda onun mərkəzindən R məsafədədir. Bəyanatda y-nin Yerin mərkəzindən ölçülən məsafə olduğunu izah edirlər.

Və yalnız səthdə olmaq ona planetin cazibə qüvvəsindən xilas olacağı ilkin sürət vo verilmişdir. Bu səbəbdən v (R) = v olduğunu təyin edə bilərik_{və ya}. Bu vəziyyətdə, bu şərti yeni əldə etdiyimiz nəticə ilə əvəzləməyimizə heç bir şey mane olmur:

Və v_{və ya} bilinir və G, M və R də bilinir, C inteqrasiya sabitinin dəyəri üçün həll edə bilərik:

Hansı inteqralların nəticəsi ilə əvəz edə bilərik:

Və nəhayət v 2 , faktorinq və uyğun qruplaşdırma:

Bu sürətlə əlaqəli ifadədir v ilkin sürətlə planetin səthindən (radius R) atılan bir peykin vo, məsafədə olduqda Y planetin mərkəzindən.

İstinadlar

1. Haeussler, E. 1992. İdarəetmə və İqtisadiyyat üçün Riyaziyyat. Grupo Editorial Iberoamérica.
2. Hiperfizika. Sürətdən qaçın. Qurtarıldı: hthyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
3. Larson, R. 2010. Dəyişənin hesablanması. 9-cu. Nəşr. McGraw Hill.
4. Purcell, E. 2007. Analitik Həndəsə ilə Hesablama. 9-cu. Nəşr. Pearson Təhsil.
5. Wolfram MathWorld. İnteqral nümunələr. Mathworld.wolfram.com saytından bərpa edildi.

Ətrafı hesablayın

Bir dairənin perimetri dairəvi xəttin uzunluğudur. Bir dairənin çevrəsi 3 kilometrdirsə, başladığınız yerə çatana qədər dairənin ətrafında 3 km gəzin. Ancaq riyaziyyat problemlərini həll edirsinizsə, stuldan qalxmaq məcburiyyətində deyilsiniz. olub olmadığını öyrənmək üçün tapşırığı diqqətlə oxuyun radius (r) kim Diametr (d) və ya ərazi (A) verilir və sonra tapşırığınıza uyğun olan bölməyə keçin. Ölçməniz lazım olan dairəvi obyektin çevrəsini necə təyin etmək barədə təlimat da var.

hərəkət kurs

Metod 1 Radiusu bilirsinizsə, çevrəni təyin edin

• Qeyd: Riyaziyyat probleminizdə radiusun uzunluğu göstərilməyibsə, səhv bölmədə ola bilərsiniz. Diametr və ya sahə üçün bölmələrin tapşırığınız üçün daha mənalı olub olmadığını yoxlayın.

• Düyməni bassan belə? kalkulyatorda ?-nin dəqiq dəyərini almırsınız, amma çox, çox yaxındır.

• C “əhatə dairəsinin” adıdır.

• Siz sol tərəf kimi ola bilər 2r yazılıb, bu yaxşıdır. Amma insanlar tənliyin oxunmasını asanlaşdırmaq üçün simvolların qarşısına rəqəmləri qoymağı xoşlayırlar və bu, dəyəri dəyişmir.
• Riyazi tənlikdə həmişə sol və sağ tərəfləri eyni qiymətə vura bilərsiniz və sağ tənlik hələ də qalır.

• Məsələn, radiusun uzunluğu 2 vahiddirsə, onda 2? R = 2 * 3,14 * 2 vahid = 12,56 vahid = çevrə.
• Eyni misal üçün, lakin bu dəfə kalkulyatorda? düyməsini istifadə edərək, biz 2 *? * 2 vahid = 12,56637 . vahid, lakin müəlliminiz başqa cür deməsə, rəqəmi 12,57 vahidə qədər əldə edə bilərsiniz.

Metod 2 Diametri bilirsinizsə, çevrəni təyin edin

• Xətt seqmenti dairənin bir yerindən deyil, tam olaraq dairənin mərkəzindən keçməlidir.
• Qeyd: Problem sözü diametrinin nə qədər uzun olduğunu bildirmirsə, əvəzinə başqa üsuldan istifadə edin.

• Burada istifadə edirik d və yox 2rçünki riyaziyyat problemi bizə nə qədər böyük olduğunu deyir d edir. Bununla belə, bu addımı başa düşmək vacibdir ki, müəlliminiz və ya riyaziyyat kitabınızda çaşqınlıq olmasın 2r harada istifadə etməyinizdən asılı olmayaraq d gözləmək olardı.

• Düyməni bassan belə? kalkulyatorda ?-nin dəqiq dəyərini almırsınız, amma çox, çox yaxındır.

• ? * d = (C / d) * d
• d = C

• Məsələn, diametri 6 vahid uzunluğundadırsa, bizdə 3.14 * 6 ədəd = 18.84 ədəd var.
• Eyni misal üçün, lakin bu dəfə açardan istifadə edirsiniz? kalkulyatorda, alırıq? * 6 vahid = 18,84956 . vahid, lakin müəlliminiz başqa cür deməsə, rəqəmi 18,85 vahidə qədər yuvarlaqlaşdıra bilərsiniz.

Metod 3 Sahəni bilirsinizsə, perimetri təyin edin

• Qeyd: Əgər söz problemində sahənin ölçüsü göstərilməyibsə, bu səhifədəki digər üsullardan birini istifadə etməli ola bilərsiniz.

• A =? R
• A /? =?r /? = r
• ? (A /?) =? (r) = r
• r =? (A /?)

• C = 2? R
• C = 2? (? (A /?))

• Bu nümunədəki nəticə 13,72937 . vahiddir, lakin müəlliminiz başqa cür deməsə, nömrəni əlavə edə bilərsiniz 13,73 Dairəvi vahidlər.

Metod 4 Həqiqi dairənin perimetrini təyin edin

• Diqqətli olun ki, ipi bir dəfə sarmayın. İpinizdə sadə bir döngə olmalıdır ki, dairədə iki qat iplik olan sahələr olmasın.

Məsləhətlər

• Radiusun cəm halları ya radius, ya da radiusdur.

Əlaqədar səh

• Dairə sahəsinin hesablanması
• Bir dairənin diametrini hesablayın
• Silindr səthinin sahəsini hesablayın