Qeyri-müəyyən inteqral: xassələr, tətbiqetmələr, hesablama (nümunələr)

İnteqrasiya qaydalarını istifadə edərək həll etmək üçün bizə iki qeyri-müəyyən inteqral təqdim olunur:

Qeyri-müəyyən inteqral. Müəyyən olmayan inteqralların hesablanması

Riyazi analizin fundamental sahələrindən biri də integral hesabdır. Bu, birincisi qeyri-müəyyən bir inteqral olduğu ən geniş obyektləri əhatə edir. Bu mövqeyə gəlincə, ali məktəbdə hətta daha yüksək riyaziyyatla təsvir olunan perspektivlər və imkanlar artan sayda olur.

Görünüş

İlk bakışta integral tamamilə müasir, müvafiqdir, amma praktikada bu, M.Ö. 1800- cü ildə ortaya çıxdı . Vətən rəsmi olaraq Misir olaraq qəbul edildi, çünki biz onun varlığının daha əvvəlki sübutlarını almadık. O, informasiya çatışmazlığı səbəbindən, bütün bu vaxt bir fenomen kimi yerləşdirilib. O, həmin dövr xalqları arasında elmin inkişaf səviyyəsini bir daha təsdiqlədi. Nəhayət, qədim yunan riyaziyyatçılarının M.Ö. 4-cü əsrlərə aid əsərləri tapılmışdır. Onlar bir əyri xətt həcmi və ya sahəsi (üç ölçülü və iki ölçülü təyyarələr müvafiq olaraq) tapmaq üçün müəyyən bir qeyri-müəyyən integral tətbiq bir üsul təsvir. Hesablama prinsipi, orijinal rəqəmin sonsuz komponentlərə bölünməsinə əsaslanaraq, onların həcmi (ərazisi) artıq məlum olmuşdur. Vaxt keçdikcə metod artdı, Arximed parabolanın sahəsini tapmaq üçün istifadə etdi. Analoji hesablamalar, eyni zamanda, qədim Çinli alimlər tərəfindən həyata keçirilmişdir, üstəlik onlar elmdə olan Yunan qardaşlarından tamamilə müstəqildirlər.

İnkişaf

11-ci əsrdə növbəti irəliləyiş ərəbcə “universal” Əbu Əli əl-Basrinin işi idi. Bu, əvvəlcədən dördüncüyə qədər bir sıra serialların və məcmu məbləğlərin hesablanması üçün formulun inteqrasiyasına əsaslanaraq, artıq bilinənlərin sərhədlərini genişləndirmişdir. Riyazi induksiya üsulu.
Müasir ağıllar qədim Misirlilərin bəlkə də öz əlləri xaricində heç bir xüsusi uyğunlaşma olmadan gözəl arxitektura abidələr yaratdığına necə təəccüblənir, lakin o zaman alimlərin zehninin qüvvəsi az möcüzə deyildir? Müasir dövrlərlə müqayisədə, onların həyatı demək olar ki, primitiv görünür, lakin qeyri-müəyyən inteqralların həlli hər yerdə törədilib və daha da inkişaf üçün tətbiq olunurdu.

Sonrakı addım 16-cı əsrdə, İtaliyalı riyaziyyatçı Cavalieri, bölünməz üsulu Pierre Fermat tərəfindən götürüldüyü zaman ortaya çıxdı . Hal-hazırda bilinən müasir integral hesabın təməlini qoyan bu iki şəxsdir. Onlar əvvəllər muxtar birliklər kimi qəbul edilən fərqləndirmə və inteqrasiya anlayışlarını birləşdirdilər. Yəqin ki, həmin dövrlərin riyaziyyat hissəsi parçalanmışdı, nəticələrin hissəcikləri məhdud bir tətbiq sahəsinə malik idi. Birləşmə yolu və ortaq torpaq axtarışı o dövrdə yeganə doğru idi, ona görə müasir riyazi analiz böyüməyə və inkişaf etməyə başladı.

Vaxt keçdikdən sonra hər şey dəyişdi və inteqralın təyin edilməsi. Daha çox, məsələn, Newton bir inteqrasiya funksiyanı qoyan kvadrat ikiqat istifadə edən və ya sadəcə onun yanında qoyan elm adamları tərəfindən göstərildi. Bu anlaşılmazlıq 17-ci əsrə qədər davam etdi, ikitərəfli alim Gottfried Leibniz bütün riyazi analiz nəzəriyyəsinə görə bizi tanış olan simvolu təqdim etdi. Gərgin olan “S” əslində bu əlifbanın bu məktubuna əsaslanır , çünki antipodların cəmini ifadə edir. Adı 15 il sonra Jacob Bernoulli tərəfindən ayrılmışdır.

Formal tərif

Müəyyənləşdirilməmiş integral birbaşa antidrivivativin tərifindən asılıdır, buna görə əvvəlcə düşünün.

İbtidai törəmə üçün tərs bir funksiyadır, praktikada da ibtidai deyilir. Əks təqdirdə: funksiyasındakı antidrivivativ funksiya D, onun törəməsi v V ‘= v. Antidivivativ araşdırma qeyri-müəyyən bir inteqralın hesablanmasıdır və prosesin özü inteqrasiya adlanır.

Funksiyası s (y) = y 3 və antidrivivativ S (y) = (y 4/4).

Baxılan funksiyanın bütün antidepresanlarının müəyyənləşdirilməməsi qeyri-müəyyən bir ayrılmazdır, aşağıdakı kimi ifadə edilir: ∫v (x) dx.

V (x) yalnız orijinal funksiyadan birincil olduğundan, ifadəsi var: ∫v (x) dx = V (x) + C, burada C sabitdir. Özbaşısız sabit hər hansı bir sabit kimi başa düşülür, çünki onun törəməsi sıfırdır.

Properties

Müəyyən edilməmiş integral malik olan xüsusiyyətlər törəmələrin əsas təsvirinə və xüsusiyyətlərinə əsaslanır.
Əsas nöqtələri nəzərdən keçirin:

• Antidivivativin inteqrasiyası özü antidepresif bir plus bir özbaşına sabit C ∫V ‘(x) dx = V (x) + C;
• Funksiyanın inteqralının törəməsi başlanğıc funksiyası (∫v (x) dx) ‘= v (x);
• Sabit integral ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx əlamətindən çıxarılır, burada k kefi olur;
• Bu məbləğdən alınan integral bərabərdir ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy məbləğinə bərabərdir.

Son iki xüsusiyyətdən indiysiz integralin xətti olduğu qənaətinə gəlmək olar. Buna görə: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l ikw (y) dy.

Müəyyənləşdirmək üçün qeyri-müəyyən inteqralların həlli nümunələrini nəzərdən keçiririk.

Integral ∫ (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx – 3cosx + C

Nümunədən bağlaya bilərik: qeyri-müəyyən inteqralların necə həll ediləcəyini bilmirəm? Bütün təfəkkürü tapın! Və aşağıda axtarış prinsipləri var.

Metodlar və nümunələr

Integralin həlli üçün aşağıdakı üsullara müraciət edə bilərik:

• Hazırlanmış stoldan istifadə edin;
• Hissələri ilə inteqrasiya;
• Bir dəyişən dəyişdirərək inteqrasiya;
• Diferensialın işarəsi altında qoşma.

Masalar

Ən asan və ən xoş yol. Hal hazırda riyazi analiz qeyri-müəyyən inteqralların əsas formullarının təyin olunduğu kifayət qədər geniş masalarla öyünə bilər. Başqa sözlə, sizdən və sizin üçün əldə edilən şablonlar var, yalnız istifadə etmək üçün qalır. Burada bir problemin həlli olan hər bir nümunənin əldə oluna biləcəyi əsas cədvəllərin bir siyahısı var:

• ∫0dy = C, burada C sabitdir;
• ∫dy = y + C, burada C sabitdir;
• ∫y n dy = (y n + 1 ) / (n + 1) + C, burada C sabitdir, n isə qeyri-sıfır nömrədir;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, burada C sabitdir;
• ∫e y dy = e y + C, burada C sabitdir;
• ∫k y dy = (k y / ln k) + C, burada C sabitdir;
• ∫cosydy = siny + C, burada C sabitdir;
• ∫sinydy = -cosy + C, burada C sabitdir;
• ∫dy / cos 2 y = tgy + C, burada C sabitdir;
• ∫dy / sin 2 y = -qctqili + C, burada C sabitdir;
• ∫dy / (1 + y 2 ) = arctg + C, burada C sabitdir;
• ∫chydy = shy + C, burada C sabitdir;
• ∫shydy = chy + C, burada C sabitdir.

Lazım olsa, bir neçə addım atın, inteqralın masanın görünüşünə gətirin və zəfərdən zövq alın. Məsələn: ∫cos (5x -2) dx = 1/5 ∫cos (5x-2) d (5x-2) = 1/5 x sin (5x-2) + C

Qərara əsasən, cədvəl nümunəsi üçün inteqranın 5-ci sürətinə malik olmamasıdır. Ümumi ifadənin dəyişməyəcəyi üçün paralel olaraq 1/5-ə çarpar.

Bölmələrlə inteqrasiya

Z funksiyasını (y) və x (y) nəzərə alın. Müəyyən edilmiş bütün sahələrdə daima fərqli olmalıdırlar. Fərqlilik xüsusiyyətlərindən birinə sahibik: d (xz) = xdz + zdx. Eşitlik hər iki tərəfi inteqrasiya, biz əldə: ∫d (xz) = ∫ (xdz + zdx) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

Nəticədə yaranan bərabərliyi yenidən yazaraq, parçaların inteqrasiya metodunu təsvir edən bir formula əldə edirik: ∫zdx = zx – ∫xdz.

Niyə lazım? Əslində, bəzi nümunələr ∫zdx-ni ∫xdz-ə endirmək üçün nisbətən sadələşdirmək imkanı verir, əgər ikincisi cədvəl formasına yaxındırsa. Bundan əlavə, bu formula birdən çox dəfə tətbiq edilə bilər, optimal nəticə əldə edir.

Bu şəkildə qeyri-müəyyən inteqralları necə həll etmək olar?

• ∫ (s + 1) e 2s ds hesablamaq lazımdır

∫ (x + 1) e2s ds = = ((s + 1) e2s ) / 2-1 / 2 ∫e 2s dx = ((s + 1) e2s) / 2-e 2s / 4 + C;

• ∫lnsds hesablamaq lazımdır

∫lnsds = = slns – ∫s x ds / s = slns – ∫ds = slns -s + C = s (lns-1) + C.

Dəyişən dəyişdirmə

Müəyyənləşdirilməmiş olsa da, qeyri-müəyyən inteqralların həlli prinsipi əvvəlki 2-dən çoxdur. Metod aşağıdakılardan ibarətdir: V (x) funksiyası v (x) funksiyasının ayrılmaz olmasıdır. Məsələn məsələnin tərkib hissəsi çətinləşdiyində, qarışıqlıq və yanlış yola çıxmağın böyük bir şansı var. Bunun qarşısını almaq üçün, dəyişən x-dən z-ə keçid tətbiq olunur, burada x-nin x-ə asılılığının təmin olunduğu hallarda, ümumi ifadə vizual olaraq sadələşdirilir.

Riyazi dilində aşağıdakı kimi görünür: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y ‘(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), x = y Z) bir permütadır. Və, əlbəttə, z = y -1 (x) funksiyası dəyişənlərin müstəqilliyini və qarşılıqlı təsirini tam olaraq təsvir edir. Əhəmiyyətli bir müşahidədir ki, diferensial dx mütləq yeni diferensial dz ilə əvəz olunur, çünki qeyri-müəyyən bir inteqralda bir dəyişənin əvəz edilməsi onu hər yerə dəyişdirməyi nəzərdə tutur və yalnız inteqrandadır.

• ∫ (s + 1) / (s 2 + 2s – 5) ds tapmaq lazımdır

Biz əvəzi z = (s + 1) / (s 2 + 2s-5) tətbiq edirik. Sonra dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds (s + 1) ds = dz / 2. Nəticədə, hesablamaq çox asan olan aşağıdakı ifadəni alırıq:

∫ (s + 1) / (s 2 + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s 2 + 2s-5 | + C;

• Integral ∫2 s e s dx tapmaq lazımdır

Həll üçün, ifadəni aşağıdakı formada yazırıq:

∫2 s e s ds = ∫ (2e) s ds.

A = 2e (bu addımın dəyişdirilməməsi ilə əvəz olunmayaraq, hələ də var) ilə ifadə edərkən, ilk bakışta, kompleks inteqrasiyanı, elementar cədvəl formasına veririk:

∫ (2e) s ds = ∫a s ds = a s / lna + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 s e l / ln (2 + lne) + C = 2 s e / (Ln2 + 1) + C

Diferensialın əlaməti altında çəkilməsi

Müəyyən olmayan inteqralların bu üsulu dəyişən əvəz prinsipinin əkiz qardaşıdır, lakin dizayn prosesində fərqlər var. Daha ətraflı nəzər salaq.

Əgər ∫v (x) dx = V (x) + C və y = z (x), onda ∫v (y) dy = V (y) + C

Eyni zamanda, əhəmiyyətsiz inteqral dəyişiklikləri unutmamalıyıq:

• Dx = d (x + a), burada hər hansı bir sabit;
• Dx = (1 / a) d (ax + b), burada a bir daha sabitdir, lakin sıfıra bərabər deyil;
• Xdx = 1 / 2d (x2 + b);
• Sinxdx = -d (cosx);
• Cosxdx = d (sinx).

Əgər qeyri-müəyyən bir inteqrasiyanı hesablayarkən ümumi işi nəzərdən keçirsək, nümunələr w (x) dx = dw (x) ümumi formuluna endirilə bilər.

• ∫ (2s + 3) 2 ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) 2 ds = 1 / 2∫ (2s + 3) 2 d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) 2 ) / 3 + C = (1/6) X (2s + 3) 2 + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

Onlayn yardım

Bəzi hallarda ya tənbəllik və ya təcili tələbat ola biləcək təqsirsizliklər online məsləhətlərdən istifadə edə bilər, əksinə, qeyri-müəyyən inteqralların kalkulyatorundan istifadə edə bilərsiniz. İnteqralların bütün mürəkkəbliyi və mübahisələrinə baxmayaraq, onların həlli “əgər . olmasa . ” prinsipi əsasında qurulmuş müəyyən bir alqoritmaya tabedir.

Əlbəttə ki, belə bir kalkulyatorun xüsusilə mürəkkəb nümunələri mənimsəmə bilməz, çünki həlli süni şəkildə tapılmalı, prosesdə müəyyən elementləri “zorla” tətbiq etməlidir, çünki nəticənin aşkar yollarına nail ola bilməz. Bu bəyanatın bütün mübahisələrinə baxmayaraq, həqiqətdir, çünki prinsipcə, riyaziyyat elmdir və onun əsas vəzifəsi imkanların sərhədlərini genişləndirməkdir. Həqiqətən də, problemsiz bir şəkildə hərəkət edən nəzəriyyələr üzərində hərəkət etmək və inkişaf etmək son dərəcə çətindir, buna görə verdiyimiz qeyri-müəyyən inteqralların həll nümunələri imkanların başıdır. Ancaq məsələin texniki tərəfinə qayıdaq. Ən azı hər şeyi yazılı olan xidmətlərdən istifadə edə biləcəyiniz hesablamaları yoxlamaq üçün. Mürəkkəb ifadənin avtomatik hesablanmasına ehtiyac varsa, onları dağıtmaq mümkün deyil, daha ciddi proqramlara müraciət etməlisiniz. İlk növbədə MatLab mühitinə diqqət yetirmək lazımdır.

Ərizə

İlk baxışdan qeyri-müəyyən inteqralların həlli tamamilə reallıqdan ayrıldığından görünür, çünki aydın tətbiq təyyarələrini görmək çətindir. Həqiqətən, hər hansı bir yerdə birbaşa istifadə edilə bilməz, amma praktikada istifadə olunan qərarların qəbul edilməsi prosesində vacib bir vasitədir. Beləliklə, inteqrasiya bərabər fərqlənir, ona görə tənliklərin həlli prosesində fəal iştirak edir.
Öz növbəsində, bu tənliklər mexanik problemlərin həllinə, traektoriyaların hesablanmasına və istilik keçiriciliyinə birbaşa təsir göstərir – bir sözlə, gələcəyi yaradan və gələcəyi formalaşdıran hər şey. Yuxarıda nəzərdən keçirdiyimiz nümunələr qeyri-müəyyən inteqrasiya yalnız yeni baxımdan daha yeni olan kəşflər üçün əsas olduğundan, ilk baxışdan zəifdir.

Qeyri-müəyyən inteqral: xassələr, tətbiqetmələr, hesablama (nümunələr)

The qeyri-müəyyən inteqral türevinin tərs işidir və bunu ifadə etmək üçün uzanan “s” simvolu istifadə olunur: ∫. Riyazi olaraq F (x) funksiyasının qeyri-müəyyən inteqrasiyası yazılır:

İnteqrand F (x) = f´ (x) dəyişənin funksiyasıdır xbu da öz növbəsində inteqral və ya antiderivativ adlanan başqa bir f (x) funksiyasının törəməsidir.

Öz növbəsində, C olaraq bilinən bir sabitdir inteqrasiya daimi, hər zaman hər qeyri-müəyyən inteqralın nəticəsini müşayiət edir. Nümunə ilə mənşəyini dərhal görəcəyik.

Tutaq ki, bizdən aşağıdakı qeyri-müəyyən inteqralı tapmağımızı xahiş edirik:

Dərhal f´ (x) x ilə müəyyən edilir. Bu o deməkdir ki, f (x) funksiyasını elə gətirməliyik ki, onun törəməsi x olsun, çətin olmayan bir şey olsun:

F (x) çıxarmaqla f´ (x) əldə etdiyimizi bilirik:

İndi funksiya: f (x) = ½ x 2 + 2 də tələbi ödəyir, çünki hasilat xətti və sabitin törəməsi 0-dır, f (x) = ilə nəticələnən digər funksiyalar:

½ x 2 -1, ½ x 2 + 15; ½ x 2 – √2…

Və ümumiyyətlə formanın bütün funksiyaları:

Problemin doğru cavablarıdır.

Bu funksiyalardan hər hansı birinə deyilir antivivativ və ya f´ (x) = x ibtidai və dəqiq olmayan bir inteqrasiya olaraq bilinən bir funksiyanın bütün antidivivlərinin bu dəstinə aiddir.

İlkəllərdən yalnız birini bilmək kifayətdir, çünki göründüyü kimi, aralarındakı yeganə fərq inteqrasiyanın daimi C-sidir.

Əgər problem ilkin şərtləri ehtiva edirsə, onlara uyğun C dəyərini hesablamaq mümkündür (aşağıdakı həll nümunəsinə baxın).

Qeyri-müəyyən bir inteqral necə hesablanır

Əvvəlki misalda ∫x.dx hesablandı, çünki f (x) funksiyası məlum olduqda inteqranla nəticələndi.

Bu səbəbdən, əsas inteqrallar ən populyar funksiyalardan və onların törəmələrindən tez həll edilə bilər.

Bundan əlavə, bir inteqral həll edilərkən imkanları genişləndirən bəzi vacib xüsusiyyətlər var. Ol k həqiqi bir rəqəm, onda doğrudur:

1.- ∫kdx = k ∫dx = kx + C

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

3.- ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

4.- ∫x n dx = [x n + 1 / n + 1] + C (n–1)

5.- ∫x -1 dx = ln x + C

İnteqraldan asılı olaraq, inteqralları həll etmək üçün bir sıra cəbri və ədədi metodlar mövcuddur. Burada qeyd edirik:

-Cəbri və trigonometrik əvəzetmələr.

-Hissələrə görə inteqrasiya

-Rasional tipin inteqrasiyası üçün sadə kəsrlərə ayrılma

Birdən çox metodla həll edilə bilən integral var. Təəssüf ki, müəyyən bir inteqrasiyanı həll etmək üçün əvvəlcədən ən təsirli metodu təyin etmək üçün tək bir meyar yoxdur.

Əslində, bəzi metodlar müəyyən inteqralların həllinə digərlərindən daha tez çatmağa imkan verir. Ancaq həqiqət budur ki, inteqral həll bacarıqlarını əldə etmək üçün hər metodla tətbiq etməlisiniz.

– Nümunə həll edildi

Subradikal kəmiyyət üçün sadə dəyişən dəyişiklik edək:

İki ifadənin hər hansı birində hər iki tərəfi çıxarmaq belə verir:

İndi I kimi göstərəcəyimiz inteqralın yerini tuturuq:

I = ∫x √ (x-3) dx = ∫ (u + 3) (√u) du = ∫ (u + 3) u 1/2 du

Dağıtım mülkiyyətini və bərabər əsaslı güclərin vurulmasını tətbiq edirik və əldə edirik:

I = ∫ (u 3/2 + 3 u 1/2 ) du

Əvvəlki hissədən 3 əmlak:

I = ∫ u 3/2 du + ∫ 3u 1/2 du

İndi 4 kimi tətbiq olunan əmlak tətbiq olunur güclər qaydası:

Birinci inteqral

. U 3/2 du = [u 3/2 + 1 / (3/2 + 1)] + C₁ =

İkinci inteqral

U 3u 1/2 du = 3 ∫u 1/2 du = 3 [u 3/2 / (3/2)] + C₂ =

Sonra nəticələr I-də birləşdirilir:

I = (2/5) u 5/2 + 2u 3/2 + C

İki sabit problemsiz birinə birləşdirilə bilər. Nəhayət, əvvəllər edilmiş dəyişən dəyişikliyini qaytarmağı və nəticəni orijinal dəyişən x ilə ifadə etməyi unutmayın:

I = (2/5) (x-3) 5/2 + 2 (x-3) 3/2 + C

Nəticəni faktorlaşdırmaq mümkündür:

I = 2 (x-3) 3/2 [(1/5) (x-3) +1] + C = (2/5) (x-3) 3/2 (x + 2) + C

Proqramlar

Qeyri-müəyyən inteqrasiya təbii və sosial elmlərdəki çoxsaylı modellərə aiddir, məsələn:

Hərəkat

Hərəkət problemlərinin həllində, sürətini bilməklə və sürətini bilməklə bir cibin sürətini hesablamaq.

İqtisadiyyat

Məsələn, məhsulların istehsal xərclərini hesablamaq və bir tələb funksiyasını modelləşdirməklə.

Tətbiqi məşq

Bir cisimin Yerin cazibə qüvvəsindən qaçması üçün tələb etdiyi minimum sürət belədir:

-v Yerdən qaçmaq istəyən cismin sürətidir

-y planetin mərkəzindən ölçülən məsafəsidir

-M quru kütləsidir

-G sabit cazibə qüvvəsidir

Arasındakı əlaqəni tapmağı xahiş edir v Y Y, obyektə başlanğıc sürət v verilsə, qeyri-müəyyən inteqralların həlli_{və ya} və Yerin radiusu məlumdur və R adlanır.

Həll

İnteqrasiya qaydalarını istifadə edərək həll etmək üçün bizə iki qeyri-müəyyən inteqral təqdim olunur:

Mən₂ = -GM ∫ (1 / y 2 ) dy = -GM ∫ y -2 dy = -GM [y -2+1 / (- 2 + 1)] + C₂ = GM. Y -1 + C₂

Məni eyniləşdiririk₁ və mən₂:

İki sabit birinə birləşdirilə bilər:

İnteqrallar həll edildikdən sonra, aşağıdakı şərtlər olan ilkin şərtləri tətbiq edirik: cisim Yerin səthində olanda onun mərkəzindən R məsafədədir. Bəyanatda y-nin Yerin mərkəzindən ölçülən məsafə olduğunu izah edirlər.

Və yalnız səthdə olmaq ona planetin cazibə qüvvəsindən xilas olacağı ilkin sürət vo verilmişdir. Bu səbəbdən v (R) = v olduğunu təyin edə bilərik_{və ya}. Bu vəziyyətdə, bu şərti yeni əldə etdiyimiz nəticə ilə əvəzləməyimizə heç bir şey mane olmur:

Və v_{və ya} bilinir və G, M və R də bilinir, C inteqrasiya sabitinin dəyəri üçün həll edə bilərik:

Hansı inteqralların nəticəsi ilə əvəz edə bilərik:

Və nəhayət v 2 , faktorinq və uyğun qruplaşdırma:

Bu sürətlə əlaqəli ifadədir v ilkin sürətlə planetin səthindən (radius R) atılan bir peykin vo, məsafədə olduqda Y planetin mərkəzindən.

İstinadlar

1. Haeussler, E. 1992. İdarəetmə və İqtisadiyyat üçün Riyaziyyat. Grupo Editorial Iberoamérica.
2. Hiperfizika. Sürətdən qaçın. Qurtarıldı: hthyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
3. Larson, R. 2010. Dəyişənin hesablanması. 9-cu. Nəşr. McGraw Hill.
4. Purcell, E. 2007. Analitik Həndəsə ilə Hesablama. 9-cu. Nəşr. Pearson Təhsil.
5. Wolfram MathWorld. İnteqral nümunələr. Mathworld.wolfram.com saytından bərpa edildi.

İnteqral Nədir

İnteqral, funksiyanın diferensialına tərs kəmiyyətdir. Bir çox fiziki və digər problemlər mürəkkəb diferensial və ya inteqral tənliklərin həllinə gətirilir. Bunu etmək üçün diferensial və inteqral hesabın nədən ibarət olduğunu bilməlisiniz. İnteqral nədir

Təlimat

Addım 1

Törəməsi f (x) funksiyası olan bəzi F (x) funksiyasını təsəvvür edin. Bu ifadəni belə yazmaq olar: F ‘(x) = f (x). Əgər f (x) funksiyası F (x) funksiyasının törəməsidirsə, F (x) funksiyası f (x) üçün antidivivdir. Eyni funksiyada bir neçə antividiv maddə ola bilər. Buna misal olaraq x ^ 2 funksiyasını göstərmək olar. Bunların arasında x ^ 3/3 və ya x ^ 3/3 + 1 kimi əsasları olan sonsuz sayda antividiv var. Bir və ya digər rəqəmin əvəzinə aşağıdakı kimi yazılan C sabit göstərilir: F (x) = x ^ n + C, burada C = const. İnteqrasiya – diferensiala tərs funksiyanın antiderivativinin tərifi. İnteqral ∫ işarəsi ilə qeyd olunur. Bəzi funksiyalar ixtiyari C ilə verildikdə ya tərif olunmamış, həm də C-nin bir dəyəri olduqda müəyyən edilə bilər. Bu vəziyyətdə inteqral yuxarı və alt sərhəd adlanan iki dəyərlə verilir.

Addım 2

İntegral törəmənin qarşılıqlı olduğu üçün ümumiyyətlə belə görünür: ∫f (x) = F (x) + C Məsələn, diferensiallar cədvəlindən istifadə edərək y = cosx funksiyasının antidivivini tapa bilərsiniz: ∫cosx = sinx, f (x) funksiyasının törəməsi f ‘(x) = (sinx)’ = cosx olduğundan. İntegralların digər xüsusiyyətləri də var. Aşağıda yalnız ən əsas olanlar: – cəmin ayrılmaz hissəsi cəmin cəminə bərabərdir; – sabit amil ayrılmaz işarədən çıxarıla bilər;

Addım 3

Bəzi problemlərdə, xüsusən həndəsə və fizikada fərqli bir növ inteqral istifadə olunur – qəti. Məsələn, t1 və t2 dövrləri arasında bir maddi nöqtənin keçdiyi məsafəni təyin etmək lazım olduqda istifadə edilə bilər.

Addım 4

İnteqrasiya edə biləcək texniki cihazlar var. Bunlardan ən sadəi analog inteqrasiya zənciridir. Birləşdirən voltmetrlərdə olduğu kimi bəzi dozimetrlərdə də mövcuddur. Biraz sonra rəqəmsal inteqratorlar – impuls sayğacları icad edildi. Hal-hazırda inteqrator funksiyası proqram təminatı ilə mikroprosessora malik istənilən cihaza təyin edilə bilər.