Mühazi̇rə 1. Kompleks ədədlər və onlar üzərində əməllər
Şəkil 4. Kompleks düzlüyündəki kompleks ədədlərin qütblü təsviri. Mənbə: Wikimedia Commons.
Kompleks ədədlər: xüsusiyyətlər, nümunələr, əməliyyatlar
The kompleks ədədlər Mənfi ədədlərin cüt kökləri də daxil olmaqla həqiqi ədədləri və polinomların bütün köklərini özündə birləşdirən ədədi çoxluqdur. Bu köklər həqiqi ədədlər dəstəsində yoxdur, amma kompleks ədədlərdə həll var.
Kompleks ədəd həqiqi bir hissədən və “xəyali” adlanan hissədən ibarətdir. Əsl hissəsi adlanır -əməsələn və xəyali hissəib, ilə -ə və b həqiqi rəqəmlər və “mən” kimi xəyali vahid. Bu şəkildə kompleks ədəd formasını alır:
Şəkil 1.- Kompleks ədədin real hissə və xəyali hissə baxımından binomial təsviri. Mənbə: Pixabay.
Kompleks ədədlərə nümunələr 2 – 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Ancaq onlarla işləmədən əvvəl xəyali vahidin haradan qaynaqlandığını görək iBu kvadrat tənliyi nəzərə alaraq:
x 2 – 10x + 34 = 0
Hansı a = 1, b = -10 və c = 34.
Çözümü müəyyən etmək üçün həll formulunu tətbiq edərkən aşağıdakıları tapırıq:
√-36 dəyərini necə təyin etmək olar? Kvadratın mənfi kəmiyyətlə nəticələnən real sayı yoxdur. Sonra bu tənliyin heç bir real həlli olmadığı qənaətinə gəlinir.
Ancaq bunu yaza bilərik:
√-36 = √-6 2 = √6 2 (-1) = 6√-1
Müəyyən bir dəyər təyin etsək x belə:
Və yuxarıdakı tənliyin bir həlli olardı. Buna görə xəyali vahid aşağıdakı kimi təyin edildi:
Antik dövrün bir çox riyaziyyatçısı oxşar problemləri həll etmək üçün çalışdı, xüsusən də Rönesans Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana (1501-1557) və Raffaele Bombelli (1526-1572).
İllər sonra René Descartes (1596-1650) nümunədə √-36 kimi miqdarları “xəyali” adlandırdı. Bu səbəbdən √-1 “olaraq bilinir xəyali vahid.
- 1 Kompleks ədədlərin xassələri
- 2 Kompleks ədədlərin təsviri
- 2.1 – Binomial forma
- 2.2 – Qütb forması
- 5.1 – Nümunə 1
- 5.2 – Nümunə 2
Kompleks ədədlərin xassələri
-Mürəkkəb ədədlər dəsti C olaraq təyin olunur və real ədədləri R və xəyali ədədləri ehtiva edir. Nömrələr dəsti aşağıdakı şəkildə göstərildiyi kimi bir Venn diaqramında təmsil olunur:
Şəkil 2. Sayı çoxluqlarının Venn diaqramı. Mənbə: F. Zapata.
-Bütün kompleks ədədlər həqiqi hissədən xəyali hissədən ibarətdir.
-Kompleks ədədin xəyali hissəsi 0 olduqda, bu, həqiqi bir ədəddir.
-Mürəkkəb ədədlərin həqiqi hissəsi 0 olarsa, bu rəqəm saf xəyali olur.
-İki kompleks ədəd bərabərdir, əgər onların həqiqi hissəsi və xəyali hissəsi eynidirsə.
-Mürəkkəb ədədlərlə başqa bir kompleks ədədlə nəticələnən məlum toplama, çıxma, vurma, məhsul və artırma əməliyyatları aparılır.
Kompleks ədədlərin təsviri
Kompleks ədədlər müxtəlif yollarla təqdim edilə bilər. Budur əsas olanlar:
– Binomial forma
Başlanğıcda, harada verilmiş formadır z kompleks sayıdır, -ə əsl hissəsidir, b xəyali hissəsidir e i xəyali vahiddir:
Kompleks ədədləri qrafikləşdirməyin bir yolu bu şəkildə göstərilən kompleks müstəvidən keçir. Im xəyali ox şaquli, həqiqi ox üfüqi və Re olaraq işarə olunur.
Kompleks sayı z koordinat nöqtəsi olaraq bu müstəvidə təmsil olunur (x, y) və ya (a, b), əsl təyyarənin nöqtələri ilə edildiyi kimi.
Mənşəyindən z nöqtəsinə qədər olan məsafə kompleks sayının modulu olaraq göstərilir r, φ isə yaratdığı bucaqdır r əsl ox ilə.
Şəkil 3. Kompleks sayın kompleks müstəvidə göstərilməsi. Mənbə: Wikimedia Commons.
Bu təsvir əsl müstəvidəki vektorların təsviri ilə sıx bağlıdır. R -nin dəyəri uyğun gəlir modul kompleks sayından.
– Qütb forması
Qütb forması kompleks ədədin dəyərlərini verməklə ifadə etməkdən ibarətdir r və φ. Şəkilə baxsaq, dəyəri r düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzuna uyğundur. Ayaqları dəyər -ə və b, Ey yaxşı x və və.
Binomial və ya binomial formadan qütb formasına keçə bilərik:
Bucaq φ Yatay ox və ya xəyali ox ilə r seqmentini meydana gətirən budur. Kimi tanınır mübahisə kompleks sayından. Bu cür:
2π radian dəyərində olan hər dəfə döndükdə r eyni mövqeyi tutduğunu nəzərə alaraq, arqument sonsuz dəyərlərə malikdir. Bu ümumi şəkildə, Arg (z) ilə işarələnən z arqumenti belə ifadə olunur:
Burada k tam ədəddir və dönmə sayını göstərmək üçün istifadə olunur: 2, 3, 4…. İşarə, saat yönünün əksinə və ya əksinə olarsa, dönüş istiqamətini göstərir.
Şəkil 4. Kompleks düzlüyündəki kompleks ədədlərin qütblü təsviri. Mənbə: Wikimedia Commons.
Qütb formasından ikili formaya keçmək istəyiriksə, trigonometrik nisbətlərdən istifadə edirik. Əvvəlki rəqəmdən bunu görə bilərik:
Bu şəkildə z = r (cos φ + i sin φ)
Hansı belə qısaldılmışdır:
Kompleks ədədlərə nümunələr
Aşağıdakı kompleks ədədlər binomial şəkildə verilir:
Və bunlar sifarişli bir cüt şəklində:
Nəhayət, bu qrup qütb və ya trigonometrik formada verilir:
Nə üçündür?
Mürəkkəb ədədlərin faydalılığı, mühəndislik və fizika sahələrində, xüsusən də:
-Elektromaqnit dalğalarının öyrənilməsi
-Alternativ cərəyan və gərginliyin təhlili
-Hər növ siqnalların modelləşdirilməsi
-Zamanın xəyali bir böyüklük olaraq qəbul edildiyi nisbilik nəzəriyyəsi.
Kompleks ədəd əməliyyatları
Kompleks ədədlərlə həqiqi ədədlərlə edilən bütün əməliyyatları yerinə yetirə bilərik.Nömrələr əlavə və çıxma kimi binomial formada gəlirsə bəzilərini etmək daha asandır. Digər tərəfdən, qütb forması ilə aparılırsa, vurma və bölmə daha asandır.
Bəzi nümunələrə baxaq:
– Misal 1
Z əlavə edin1 = 2 + 5i və z2 = -3 -8i
Həll
Həqiqi hissələr xəyali hissələrdən ayrı olaraq əlavə olunur:
– Misal 2
Z -ni vurun1 = 4 cis 45º və z2 = 5 cis 120º
Həll
Qütb və ya trigonometrik formada iki kompleks ədədin hasilinin verildiyini göstərmək olar:
z1 . z2 = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165º
Tətbiq
Mürəkkəb ədədlərin sadə bir tətbiqi, məqalənin əvvəlində göstərilən kimi bir polinom tənliyinin bütün köklərini tapmaqdır.
X tənliyi halında 2 – 10x + 34 = 0, həll formulunu tətbiq edərkən əldə edirik:
Buna görə həllər bunlardır:
İstinadlar
- Earl, R. Kompleks ədədlər. Maths.ox.ac.uk saytından bərpa edildi.
- Figuera, J. 2000. Riyaziyyat 1 -ci. Müxtəlifləşdirilmişdir. CO-BO nəşrləri.
- Hoffmann, J. 2005. Riyaziyyat mövzularının seçilməsi. Monfort Nəşrləri.
- Jiménez, R. 2008. Cəbr. Prentice Hall.
- Vikipediya Kompleks ədədlər. En.wikipedia.org saytından bərpa edildi
Mühazi̇rə 1. Kompleks ədədlər və onlar üzərində əməllər
Fərz edək ki, x və y ixtiyari həqiqi ədədlərdir. Bu ədədlər vasitəsilə təyin
olunan
z x iy
(1)
şəklində ifadəyə kompleks ədəd deuilir; burada i xəyali vahid adlanan riyazi
işarədir. i xəyali vahidi i 2 1 bərabərliyi ilə təyin olunur.
x və y həqiqi ədədlərinə z kompleks ədədinin uyğun olaraq həqiqi və
xəyali hissəsi deyilir və simvolik olaraq x Re z və y Im z ilə işarə olunur.
x iy kompleks ədədi z x iy kompleks ədədinə qoşma olan
kompleks ədəd adlanır və z x iy kimi işarə olunur.
Qeyd edək ki, i 2 1 olmasından çıxır ki, i-nin istənilən tam üstlü
qüvvəti, -1,1,i,-i ədədlərindən birini verir:
i 2 1, i 3 i 2 i i, i 4 (i 2 ) 2 ( 1) 2 1, i 5 i 4 i i və s.3.
Kompleks ədədlər üzərində əməllər
Həqiqi və xəyali hissələri uyğun olaraq bərabər olan z1 x1 iy1 və
z 2 x2 iy 2 kompleks ədədlərini bərabər hesab edirlər:
x1 iy1 x2 iy 2
(2)
Buradan aydındır ki, (2) bərabərliyi həqiqi ədədlərin iki x1 x2 və
y1 y 2 bərabərlikləri ilə eyni güclüdür.
Böyük (>) və kiçik ( <) anlayışlarının kompleks ədədlər üçün mənası yoxdur.
Verilmiş z1 x1 iy1 və z 2 x2 iy 2 kompleks ədədlərinin cəmi və hasili
aşağıdakı qayda ilə təyin edilir:
1.
z1 z 2 x1 x2 i( y1 y2 ) ;
z1 z 2 ( x1 iy1 ) ( x 2 iy 2 )
x1 x 2 ix1 y 2 ix 2 y1 i 2 y1 y 2 ( x1 x 2 y1 y 2 ) i ( x1 y 2 x 2 y1 ).
Cəbri şəkildə verilmiş z1 x1 iy1 , z2 x2 iy 2 ədədlərinin nisbətini
belə tapmaq olar:
z1
x iy1
( x iy1 )( x2 iy 2 )
x x y1 y2 i ( x1 y2 x2 y1 )
1
1
1 22
.
z2
x2 iy 2 ( x2 iy 2 )( x2 iy 2 )
x2 y22
x22 y224.
Kompleks ədədlərin həndəsi göstərilişi
Hər bir z x iy kompleks ədədini həndəsi olaraq müstəvi üzərindəki
( x, y ) nöqtəsi ilə göstərirlər. Kompleks ədədləri həndəsi olaraq göstərmək üçün
işlədilən müstəviyə kompleks müstəvi deyilir. Kompleks müstəvi üzərində
absis oxuna həqiqi ox, ordinat oxuna isə xəyali ox deyilir.
Kompleks ədədin arqumenti və modulu. Komplek müstəvi üzərində
z x iy kompleks ədədini həndəsi göstərən ( x, y )
у
nöqtəsinin polyar koordinatları ( , ) olsun. Onda:
x cos ,
y sin .
(3)
0
Buradan və kəmiyyətlərini təyin etmək üçün
cos
х
x2 y2
x
r
y
sin
r
x y
2
x y
,
(5)
y
2
х
(4)
x
2
у
2
.5.
münasibətlərini alarıq. (5) bərabərlikləri vasitəsi ilə təyin olunan -yə
z x iy kompleks ədədinin arqumenti deyilir və Argz Arg(x iy)
kimi işarə olunur. Buradan aydın görünür ki, Argz kəmiyyəti çoxqiymətlidir
və 2k (k tam ədəddir) həddinə qədər dəqiqliklə təyin olunur. Buna görə də
çox vaxt Argz -in baş üiymətini ayırmaq lazım gəlir. Argz -in
Argz
(6)
bərabərsizliyini ödəyən qiymətinə onun baş qiyməti deyilir və arg z ilə içarə
olunur və aşağıdakı düsturla hesablanır:
y
arctg
,
x 0,
x
arctg y ,
x 0, y 0,
x
y
əgər
arg z arctg ,
x
x 0, y 0,
2 ,
,
x 0,
y 0,
2
x 0, y 0,6.
(4) münasibəti ilə təyin olunan 0 ədədi z kompleks ədədinin
modulu adlanır və
z x iy
ilə göstərilir.
(3) münasibətlərinə əsasən z x iy ədədini
z (cos i sin )
(7)
şəklində yazmaq olar (7) ifadəsinə z kompleks ədədinin triqonometrik şəkli
deyilir.
Eyler düsturu.Kompleks ədədlər üçün Eyler düsturu
e i cos i sin
(8)
münasibətinə deyilir. (8) düsturundan istifadə etsək (7) münasibətini
z e i
(9)
z z e iArgz
(10)
və yaxud
şəklində yaza bilərik.7.
(9) ifadəsi z kompleks ədədinin üstlü şəkli adlanır.
z e i olduqda z e i olur. Deməli, qarşılıqlı qoşma kompleks
ədədlər üçün z z və arg z arg z (arg z ) münasibətləri ödənir.
Eylerin (8) düsturundan
e i cos i sin
(11)
Münasibətini də almaq olar.
Tapşırıq: (8) və (11) bərabərliklərini tərəf-tərəfə toplayıb, çıxmaqla
cos və sin üçün ifadələr alaraq, onlar vasitəsilə sh , ch ifadələrini
almaqla cos i ch , sin i ish olduğun göstərməli.8.
Modulun və Arqumentin Xassələri
Verilmiş z1 və z 2 KƏ-nin cəmini və fərqini həndəsi olaraq məlum
paraleloqram qaydası ilə tapırlar.Asanlıqla görmək olar ki, z1 z 2 ifadəsi z1
və z 2 nöqtələri arasındakı məsafəyə bərabərdir. Kompleks müstəvi üzərində
təpə nöqtələri 0, z1 , z 2 nöqtələrində olan üçbucaq götürək. Bu üçbucağın
tərəflərinin uzunluğu z1 ,
z2 ,
z1 z 2
olar. Məlumdur ki, üçbucağın bir
tərəfinin uzunluğu qalan iki tərəfinin uzunluqları cəmindən böyük ola bilməz:
z1 z 2 z1 z 2
buradan
z1 z 2 ( z1 z 2 )
z1 z 2 z1 z 2 münasibətini alarıq.
və
z 2 z1 ( z 2 z1 )
(1)
yazaraq9.
z1 və z 2 KƏ-ni üstlü şəkildə götürək:
z1 1e i 1 ,
z 2 2 e i 2 .
Aydındır ki,
z1 z 2 1 2 e i ( 1 2 ) .
Deməli
z1 z 2 1 2 z1 z 2
(2)
və
Arg ( z1 z 2 ) ( 1 2 ) Argz1 Argz 2
(3)
münasibətləri doğrudur.
z1 z 2 z n z olduqda
zn z ,
(4)
Argz n nArgz.
(5)
n
Xüsusi halda, z cos i sin olduqda (4) və (5) düsturlarına əsasən
(cos i sin ) n cos n i sin n .
(6) düsturuna Muavr düsturu deyilir.
(6)10.
Tapşırıq: (2) və (3) bərabərliklərində z1 əvəzinə
z1
z2
nisbətini ( z 2 0)
götürməklə KƏ-in nisbətinin modulu və arqumenti haqqında düsturları yazın.
KƏ-dən kökalma
n z münasibəti ödənildikdə re i ədədinə z e i ədədinin n -ci
dərəcədən kökü deyilir və n z ilə işarə olunur. n z münasibətindən
r n e in e i alarıq.Buradan:
r n və n 2k
Onda KƏ-dən n -ci dərəcədən kökalma düsturu belə yazılar:
n
(cos i sin ) n (cos
Misal.
2k
n
i sin
i kökünün qiymətlərini tapın.
2k
n
) (k 0, 1, , n 1)X sinif Kompleks ədədlər çoxluğu və kompleks ədədlər üzərində əməllər. Göygöl rayon Üçtəpə kənd orta məktəbin müəllimi – Nurlan Quliyeva Müəllif: Nurlan. – презентация
Презентация на тему: ” X sinif Kompleks ədədlər çoxluğu və kompleks ədədlər üzərində əməllər. Göygöl rayon Üçtəpə kənd orta məktəbin müəllimi – Nurlan Quliyeva Müəllif: Nurlan.” — Транскрипт:
1 x sinif Kompleks ədədlər çoxluğu və kompleks ədədlər üzərində əməllər. Göygöl rayon Üçtəpə kənd orta məktəbin müəllimi – Nurlan Quliyeva Müəllif: Nurlan Səəddin Quliyeva
2 ı qrup – həqiqi ıı qrup – kompleks ııı qrup – ədəd ıv qrup – virtual
3 <. -2, -1, 0, ½, 1. >U <. 3, 5, 7. >= Müv ə ff ə qiyy ə t ə ld ə etm ə k üçün nec ə biliy ə sahib olmaq lazımdır? Ə BOB(7,15) = 1 Bir ail ə nin üç üzvü dünya s ə yah ə tin ə çıxmağı planlaşdırdı. Baba, ata v ə n ə v ə. Baba qoca idi. X ə yal ə n g ə zdi. Ata pul toplamağa başladı. N ə v ə İnternetd ə n istifad ə etdi. Sizc ə hansı s ə yah ə t daha real idi?
4 Cavab: 1) Ədəd varlıqların miqdarını göstərir. 2) Ədəd varlıqların say xarakteristikası üçün istifadə olunan anlayışdır. 3) Ədədlə kəmiyyətlərin ölçüsü müəyyən olunur. 4) Ədədlər çoxluqlar yaradırlar. Sual: Ədəd anlayışını necə başa düşürsünüz?
5 Cavab: Natural ədədlər çoxluğunu-N Tam ədədlər çoxluğunu-Z Rasional ədədlər çoxluğunu-R Həqiqi ədədlər çoxluğunu-Q.
6 Cavab: 1) Sayma zamanı istifadə olunan ədədlər natural ədədlərdir. “0” natural ədəd deyil. Ən kiçik natural ədəd 1-dir. N= 2) Natural ədədlər çoxluğunu 0 və natural ədədlərin əksi ilə genişləndirdikdə tam ədədlər çoxluğunu alırıq. U<. -4, -3, -2, -1, 0>=Z 3)Tam ədədlər çoxluğunu m/n şəkilli rasionnal ədədlərlə genişləndirdikdə rasional ədədlər çoxluğunu alırıq. Z U =R 4) Rasional ədədlər çoxluğunu irrasional – kök altından tam ədəd kimi çıxa bilməyən ədədlərlə( 3, 5, 7. ) genişləndirdikdə həqiqi ədədlər çoxluğu alınır. R U < 3, 5, 7. >= Q Tapşırıq: Natural ədədlər çoxluğunu pillə-pillə həqiqi ədədlər çoxluğuna qədər genişləndirin.
7 Həll: x^2 + 1 = 0 x^2 = -1 x = ±-1 tənliyin kökü yoxdu. Qeyd: Diskiriminant mənfi olduqda tənliyin kökü var və kompleks ədəddir
8 Kompleks sözünü necə başa düşürsünüz? Cavablar: 1) Kompleks nəyə görə isə utanma, çəkinmədir 2) Ticarət, heyvandarlıq, yaşayış kompleksi olur 3) Kompleks mualicə aparılır 4) Fənlər kompleks halda tədris olunur
9 Kompleks bird ə n çox hiss ə d ə n ibar ə t olan v ə bu hiss ə l ə rin bir-biriyl ə ə laq ə li olduğunu göst ə r ə n bir bütündür. Maddi c ə h ə td ə n baxdıqda mü ə yy ə n varlıqların c ə midir. Psixoloji c ə h ə td ə n xülyadır. Kompleks ə d ə d bu iki c ə h ə tin h ə r ikisini özünd ə birl ə şdirir. i^2 = -1 ( i x ə yali vahiddir) -4 = -1*4 = i^2 * 4 = ±2i x ə yali ə d ə ddir. i-ni daxil etdikd ə n sonra h ə qiqi ə d ə dl ə r çoxluğu ele genişl ə ndirm ə k lazımdır ki bütün ə d ə dl ə r yeni yaranan kompleks ə d ə dl ə r çoxluğunda olsun v ə ə m ə ll ə r öd ə nsin. Bu z = a + bi ş ə klidir. kompleks ə d ə d ə c ə bri ş ə kild ə verilmiş kompleks ə d ə d deyil a + bi ş ə klind ə veril ə n ir. a v ə b h ə qiqi, i virtual ə d ə ddir. bi x ə yali ə d ə ddir. Kompleks ə d ə ddin t ə rsi, ə ksi, qoşması var v ə kompleks ə d ə dl ə r üz ə rind ə ə m ə ll ə r dem ə k olar ki h ə qiqi ə d ə dl ə r çoxluğundakı kimidir. Kompleks ə d ə dl ə r çoxluğu bütün ə d ə dl ə ri daxilin ə aldığından ə m ə ll ə r yerin ə yetiril ə rk ə n h ə qiqi ə d ə dl ə rin qanunauygunluğu pozulmamalıdır. a + bi formasıda bütün ə d ə dl ə ri göst ə rm ə k olur. M ə s ə l ə n: 3 = 3 + 0i
10 Cavablar: z = a + bi əksi –z = – a – bi z = a + bi tərsi 1 /a+bi z = a + bi qoşması w = a-bi (Iki ədəddin kvadratları fərqidir)
11 z = a + bi və w = c + di kompleks ədədləri üzərində cəbri əməlləri necə yerinə yetirmək olar( onlara ikihədli kimi baxmaq olar). 1) Kompleks ədədlər ikihədli şəklindədirlər 2) Kompleks ədədləri çoxhədlilər kimi toplamaq ( çıxmaq) olar. z + w =( a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i 3) Kompleks ədədlərin vurulması çoxhədlilərin vurulması kimidir. (a + bi) * (c + di) = ac + adi + cbi + bdii = ac – bd + (ad + cb)i burada i^2 = -1 nəzərə alınır. 4) Ədədləri çoxhədli kimi böldükdə nəticə vermir. Cavab:
12 Nəlli: z : w = z * 1/ w = = (ac + bd)/( c^2 + d^2) + + ( bc –ad)/( c^2 + d^2)i İzahat: Kompleks ədədlərin nisbətini tapmaq üçün bölünəni bölənin tərsinə vurmaq lazımdır. Sadələşdirmə apararkən kəsri məxrəcin qoşmasına vurmalıyıq.
13 Həlli: i^12, i^3, i^101 i^12 = (i^2)^6 = ( -1)^6 = 1 i^3 = i^2*i = -1i = -i i^101 = i^100*i = (i^2)50*i = (-1)^50*i = i
14 Həll: z = 5 + 3i və w = 6 – 4i z + w = (5 + 3i) + (6 – 4i) = 5 + 3i + 6 – 4i = 11 – i z – w = (5 + 3i) – (6 – 4i) = 5 + 3i – 6 + 4i = i z * w = (5 + 3i) * (6 – 4i) = 30 – 20i + 18i – 12ii = 42 – 2i z : w = (5 + 3i) * 1/(6 – 4i) = 9/ /26i
15 Həlli: x^2 + 8x + 41 = 0 x = – 4 ±16 – 41 = – 4 ± – 25 = = – 4 ± – 1*25 = = -4 ± i^2*25 = – 4 ± 5i x^2 + 8x + 41 = 0
16 Tam və rasional ədədlər çoxluğunun kəsişməsi hansı çoxluqdur? Həqiqi ədəd kompleks ədəd şəklində necə göstərilir? i – nin tək dərəcədən qüvvətlərini yazıb hesablayın. Hesablayın: ( 0,2 + 5i) + ( 0,3 – 2i) ( i + 1)^16 2i/(3 – i) Tənliyi həll edin. x^2 + 4x + 5 = 0
17 İndi testləri həll edək
18 Qiymətləndirək ı qrup – həqiqi ıı qrup – kompleks ııı qrup – ədəd ıv qrup – virtual
20 Riyaziyyat-x Müəllif: Nurlan Səəddin Quliyeva
Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.