M.m.səbzəliyev ali riyaziyyatdan mühazirələr

Beləliklə,ümumi hala baxaq.

SəRBƏst iŞ TƏLƏBƏ: orxan hüseynli faküLTƏ: YÜKSƏk texnologiya və innovativ müHƏndislik

Misal 2. Bir zəri bir dəfə atdıqda onun yuxarı düşən üzündəki xallar sayının 1, 2, 3, 4, 5, 6 olması hadisələrini uyğun olaraq ilə işarə edək. Bu hadisələr eyni ehtimallıdır, tam qrup əmələ gətirir və cüt-cüt uyuşmayandır. Onların ehtimalı

Verilmiş sınaq nəticəsində eyni zamanda (birgə) baş verə bilməyən hadisələrə uyuşmayan hadisələr deyilir. Ehtimal nəzəriyyəsində cüt-cüt uyuşmayan hadisələrin tam qrupunun böyük əhəmiyyəti vardır. Misal 2. Bir zəri bir dəfə atdıqda onun yuxarı düşən üzündəki xallar sayının 1, 2, 3, 4, 5, 6 olması hadisələrini uyğun olaraq ilə işarə edək. Bu hadisələr eyni ehtimallıdır, tam qrup əmələ gətirir və cüt-cüt uyuşmayandır. Onların ehtimalı

Burada hadisənin ehtimalına təkcə tezlik vasitəsilə verilən statistik tərifin (bunu ilk dəfə P. Mizes vermişdir) müəyyən nöqsanları olduğundan, o, ehtimal nəzəriyyəsinin elmi əsasını təşkil edə bilmir. Buna görə də hadisələrin ehtimalına daha əsaslı, aksiomatik olaraq tərif vermək zərurəti yaranmış olur. Hadisələrin ehtimalı bilavasitə klassik ehtimalın tərifinə əsaslanaraq hesablanır.Lakin ehtimalın bu yolla hesablanması yalnız ən sadə hallarda səmərəli olur.Belə ki,adətən keçirilən sınağın bütün mümkün nəticələrini ,eləcə də onların arasından hadisə üçün əlverişli olanlarını birbaşa hesablamaq əlverişsiz olur və bəzi hallarda isə özünün mürəkkəbliyi baxımından bu hesablamanı aparmaq ümumiyyətlə mümkün olmur.Bununla yanaşı hadisələrin ehtimalları arasında əlaqə yaradan teoremdən istifadə etməklə ehtimalların hesablanmasını ciddi şəkildə sadələşdirmək olar. Əvvəlcə aşağıdakı məsələyə baxaq.

M ə s ə l ə 1. Tələbələrin imtahan yazı işləri 1-dən 90-a qədər olan tam ədədlərlə kodlaşdırılıb.Təsadüfi götürülmüş yazı işinin nömrəsinin 10-a və ya 11-ə bölünməsi ehtimalını tapın.

H ə l l i. Yazı işinin nömrəsinin 10-a bölünməsi hadisəsini A ilə, 11-ə bölünməsi hadisəsini isə B ilə işarə edək.Onda yazı işinin nömrəsinin 10-a və ya 11-ə bölünməsi hadisəsi A+B=C olacaq.Aydındır ki,

Digər tərəfdən A və B hadisələri uyşmayandır,hər ikisinin eyni vaxtda baş verməsi mümkün deyildir (AB=V). Ona görə də A+B=C hadisəsi üçün əlverişli sayı 17 olur.Buradan isə alarıq: P(C)=P(A+B)=17/90.

Nəhayət ,(3)-ü (1) və (2) ilə müqayisə etdikdə görürük ki, A+B=C hadisəsinin ehtimalları cəmi bərabərdir.Yəni P(A)+P(B)= 9/90 + 8/90 =17/90= P(A+B).

T e o r e m 1. İki uyuşmayan A və B hadisələrinin cəminin ehtimalı bu hadisələrin cəminin ehtimalı bu hadisələrin ehtimalları cəminə bərabərdir,yəni P(A+B) P(A)+P(B). (4)

İ s b a t ı. Tutaq ki, A və B uyuşmayan hadisələrdir, yəni hər ikisinin eyni vaxtda baş verməsi mümkün deyildir.Keçirilən sınağın bütün mümkün nəticələrinin sayı n, eyni zamanda A hadisəsinin baş verməsi üçün əlverişli nəticələrin sayı m və B hadisəsinin baş verməsi üçün əlverişli nəticələrin sayı isə k olsun. A və B hadisələri uyuşmayan hadisələr olduğundan keçirilən bütün mümkün sınaqların nəticələri arasında eyni vaxtda həm A və həm də B hadisəsi üçün əlverişli olan nəticələr yoxdur. Deməli, C=A+B hadisəsi üçün ,başqa sözlə, A və ya B hadisəsi üçün əlverişli nəticələrin sayı m + k olacaq.Onda ehtimalın tərifinə görə A və B hadisələrinin ehtimalları uyğun olaraq P(A)=m/n və P(B) =k/n , eləcə də C=A+B hadisəsinin ehtimalı

P(A+B) = (m+k)/n =m/n + k/n

olur. Deməli, P(A+B) = P(A) + P(B), burada AB=V.

Teorem isbat olundu.

Bu teorem uyuşmayan hadisələr üçün toplama teoremi adlanır. Qed edək ki, bu teoremi riyazi induksiya üsulundan istifadə edərək n sayda cütcüt uyuşmayan A1, A2, A3, . An hadisələri üçün də isbat etmək olar.

Yəni P(A1+A2+A3+. +An)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+. +P(An). Qeyd edək ki,iki hadisə üçün toplama teoremi başqa bir istiqamətdə ümumiləşdirilə bilir .Yəni teoremin şərtindəki hadisələrin uyuşmazlığı təıəbindən imtina etsək,onda daha ümumi teoremi isbat etmək olar ki,buradan da yuxarıda isbat edilmiş teorem xüsusi hal hal kimi alınır.

Beləliklə,ümumi hala baxaq.

T e o r e m 2. İstənilən iki hadisənin cəminin ehtimalı onların ehtimallarının cəmi ilə bu hadisələrin hasilinin ehtimalı fərqinə bərabərdir,yəni P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) (5) Və ya P(AUB) = P(A) U P(B) – P(A B) (6)

İ s b a t ı: Tutaq ki, A hadisəsi üçün sınağın əlverişli nəticələrinin sayı m, B hadisəsi üçün isə k –dır. Həm də AB hadisəsinin ,yəni A və B hadisələrinin hər ikisinin eyni vaxtda baş verməsi üçün əlverişıi nəticələrin sayı t olsun.Əgər sınağın bütün mümkün nəticələrinin sayı n olarsa,onda ehtimalın tərifinə görə alırıq:

P(A) = m / n , P(B) = k / n və P(AB) = t / n.

Aydındır ki, bu halda A + B hadisəsi üçün sınağın əlverişli nəticələrinin sayı m + k – t olacaq.Odur ki, A + B hadisəsinin ehtimalı aşağıdakı kimi olur:

P(A+B) =( m+ k –t ) / n = (m / n) + ( k / n ) – (t / n ) =P(A)+P(B)- P(AB).

Teorem isbat olundu.

Tutaq ki, hadisələri bütövlükdə aslı olmayan hadisələrdir. Onda bu hadisələrdən heç olmasa birinin baş verməsi ( başqa sözlə, bu hadisələrin cəminin) ehtimalını tapmaq tələb olunur.

Teorem . Bütövlükdə aslı olmayan hadisələrdən heç olmasa birinin baş verməsi, vahidlə, bu hadisələrlə qarşılıqlı əks olan 1 2 . . n hadisələrinin ehtimalları hadisələrinin fərqinə bərabərdir, yəni P(A) = 1- q1 .q2. qn (1) olur. Burada P( i) =q (i=1,2. n ) işarə olunmuşdur. Bütövlükdə asılı olmayan hadisələrindən heç olmasa birinin baş verməsi ilə baş baş verən hadisəni A-ilə işarə edək.

A= A 1 +A 2 + . A n olur .

Burada A və 1, 2 . . n hadisələri qarşılıqlı əks hadisələrdir.

Yəni P(A) +P( 1 * 2 . n P(A)+P(A 1A 2. An)=1 olur.

Buradan P(A)=1-P(A1A2. An)=P(A1)P(A2). P(An)= =1-q1q2. qn olur.

Olarsa, onda P(A1)=1-p=q p(A2)=1-p=q p(A3)=1-p=q . p(An)=1-p=q olar və bu halda (1 ) düsturu P(A)=1-q.q. q (2) olur. Məsələ. Hədəfə üç atəş açılır. Birinci atəşin hədəfi vurması hadisəsinin ehtimalı P(A1)=P1 ikinci P(A2)=P2=0,7 üçüncü P(A3)=P3=0,9 olsun. Hədəfə açılan üç atəşdən heç olmasa birinin hədəfi vurması ehtimalını (P(A)- nı) tapmalı. Məsələnin həlli.

Birdəyişənli həqiqi funksiyaları öyrənmək üçün əvvəlcə onların təyin oblastını təşkil edən həqiqi ədədlər çoxluğu qurulur və onun xassələri öyrənilir. Ehtimalı öyrənmək üçün də onun təyin oblastını təşkil edən hadisələr çoxluğunu müəyyən etmək və bir sıra xassələrini öyrənmək lazımdır. Tutaq ki, təkrarən aparıla bilən hər hansı S sınağının icrasında cüt-cüt uyuşmayan ωi (i=1,2,…) nəticələrin-dən ancaq biri baş verir. Bu halda, ωi əticələrinin hər biri S sınağının elementar hadisəsi (və ya elementar nəticəsi) adlanır. Bütün belə elementar hadisələr çoxluğuna S sınağının elementar hadisələr fəzası deyilir və Ω ilə işarə olunur :

Həyatda istənilən sayda təkrarən aparıla bilən müxtəlif sınaqlar və onların elementar nəticələri vardır. Bunların hər birini ayrılıqda öyrənməyin heç bir elmi əhəmiyyəti yoxdur. Buna görə də ehtimal nəzəriyyəsində konkret elementar hadisələr və elementar hadisələr fəzası deyil, ümumi (abstrakt) elementar hadisələr fəzası öyrənilir. Ümumiyyətlə, ixtiyari təbiətli ω, elementlərinin Ω çoxluğu elementar hadisələr fəzası, onu təşkil edən ω elementləri isə elementar hadisələr adlanır. Hər bir real hadisə və prosesi öyrənmək üçün uyğun elementar hadisə-lər fəzası təyin edilir. Baxılan sınağın cüt-cüt uyuşmayan uyğun nəticələri isə elementar hadisələr hesab olunur. Misal 1. Bir zəri bir dəfə atmaqdan ibarət olan sınaqda zərin yuxarı düşən üzündəki xallar sayının 1, 2, 3, 4, 5, 6 olması nəticələrini uyğun olaraq ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6 ilə işarə etsək, bu halda elementar hadisələr fəzasını Ω= kimi təyin etmək daha əlverişlidir. Burada hər bir sınaq nəticəsində ωk (k=1,2,3,4,5,6) elementar hadisələrinin ancaq biri baş verir və onlar cüt-cüt uyuşmayandır. Bu misalda göstərilən sınağın icrası zamanı “zərin yuxarı düşən üzündə cüt sayda xalın olması” (A hadisəsi) və ya “zərin yuxarı üzündə tək sayda xalın olması” (B ha-disəsi) kimi təsadüfi hadisələrə də baxmaq olar. Sınaq nəticəsində A hadisəsinin baş verməsi ω4 ,ω5 və ω6 elementar hadisələrinin hər hansı birinin baş verməsi deməkdir. B hadisəsinin baş verməsi isə ω1, ω3, ω5 elementar hadisələrinin hər hansı birinin baş verməsinə ekvivalentdir. Buna görə də, Ω= elementar hadisələr fəzasının A= və B= alt çoxluq-larını təsadüfi hadisə hesab etmək olar. Hadisə anlayışı ümumi halda da uyğun şəkildə təyin edilir. Elementar hadisələr fəzasının hər bir altçoxluğuna təsadüfi hadisə və ya sadəcə olaraq hadisə deyilir. Aparılan sınaqda müəyyən hadisənin baş verməsi, onu təşkil edən elementar hadisələrin heç olmazsa birinin baş verməsi deməkdir. Beləliklə, baxılan sınaq nəticəsində baş verə bilən bütün hadisələr çoxluğu Ω fəzasının bütün altçox-luqları çoxluğundan ibarətdir. Ω çoxluğudan (fəzanın özündən) ibarət olan hadisə, sınaq nəticəsində baş verən hər bir elementar hadisənin baş verməsi nəticəsində baş verir. Bu o deməkdir ki, Ω hadisəsi hər bir sınaq nəticəsində baş verir. Deməli, Ω fəzası yəqin hadisədir. Boş çoxluq isə sınağın icrası zamanı heç bir elementar hadisənin baş verməsi nəticəsində baş verə bilməz, yəni ∅ boş çoxluğu mümkün olmayan hadisədir. Qeyd edək ki, hər bir elementar hadisəyə Ω fəzasının bir elementli alt çoxluğu kimi baxmaq olar. Buna görə də Ω fəzasını təşkil edən ω elementar hadisələrinin hər biri təsadüfi hadisədir.

Ehtimal nəzəriyyəsinin sadə məsələlərini, xüsusilə, yuxarıdakı misallarda olduğu kimi eyniehtimallı sonlu nəticəsi olan sınaqlarla bağlı olan məsələləri həll etmək üçün ehtimalın sonlu additiv olmasını, yəni (4) bərabərliyini ödəməsini tələb etmək kifayətdir. Lakin həndəsi xa-rakterli və bir sıra başqa mürəkkəb məsələləri həll etmək üçün ehtimalın hesabi-additiv olması tələb olunur. Dediklərimizdən aydındır ki, hadisələrin P(A) ehti-malı mənfi olmayan qiymətlər alan hesabi-additiv çoxluq funksiyasıdır. Ehtimal anlayışını təyin etmək üçün Ω ele-mentar hadisələr fəzası, onun σ− cəbr olan F hadisələr sistemi və bu sistem üzərində təyin olunmuş P(A) funksiyası göstərilməlidir. Bunların üçlüyü ehtimal fəzası adlanır. Hər bir təsadüfi prosesi öyrənmək üçün onun ehtimal fəzası qurulur. Bu ehtimal fəzası həmin prosesin riyazi modelidir. Ehtimal nəzəriyyəsində də təsadüfi hadisələrin belə riyazi modelləri öyrənilir. Ehtimal nəzəriyyəsində qurulmuş ehtimal fəzalarını tədqiq etmək üçün çoxluqlar nəzəriyyəsindən və ölçü nəzəriyyəsindən istifadə edilir

A1, A2, A2 birlikdə asılı olmayan hadisələrdir. Onda bunlarla qarşılıqlı olan A1, A2, A3 hadisələri də birlikdə asılı olmayan hadisələrdir və P( A1, A2, A3 )=P(A1 )P(A2 )P(A3)= = q1 q2 q 3 = ( 1-P1) (1-P2 ) (1-P3 )= =( 1-0,8)(1-0,7)(1-0,9)=0,2*0,3*0,1=0,006 Axtarılan ehtimal P(A)=1-q1.q2.q3=1-0,006=0,994 olar.

Bir sıra məsələlərin həlli üçün sonlu sayda elementlərdən müxtəlif qruplar düzəltmək lazım gəlir. Sonlu sayda elementlər üzərində aparılan beləəməliyyatlardan bəhs edən bölməbirləşmələr nəzəriyyəsi (və ya kombinatorika) adlanır. Birləşmələrin üç növü vardır: permutasyon, aranjeman və kombinezon. Birləşmələrdən elm və texnikanın müxtəlif sahələrində, bir sıra ehtimal məsələlərinin həllində, hesablama maşınları və idrəetmə sistemlərində vəs.çox istifadə olunur.Biz yalnız təkrarsız birləşmələrdən danışacağıq. Əvvəlcə bəzi zəruri anlayışlarla tanış olaq. Çoxunun cüt-cüt kəsişməyən alt çoxluqların birləşməsi şəklində göstərilməsinə onun alt çoxluqlara və ya siniflərə ayrılışı deyilir. Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika elminin formalaşmış bir sahə kimi inkişafında, XX əsrin 30-cu illərində akademik A. N. Kolmoqorovun təklif etdiyi və elmin bu sahəsinin əsaslarını təşkil edən aksiomatika yeni inkişaf dövrü yaratdı. Bu aksiomatikanın yaranmasına və ümumiyyətlə, ehtimal nəzəriyyəsinin inkişafına dünyanın tanınmış riyaziyyatçılarının nəşr etdirdikləri müxtəlif elmi əsərlərin tə siri danılmazdır. Bu əsərlər arasında P. Laplasın «Essai philosophique sur les probabilités», V. Ya. Bunyakovskinin «Oснования математической теории вероятностей», S. N. Bernşteynin «Oснования математической теории вероятностей» adlı əsərlərini xüsusi qeyd etmək olar. Qeyd olunan əsərlər və A. N. Kolmoqorovun ehtimal nəzəriyyəsi haqqında yazdığı «Большая Советская энциклопедия»-da (birinci nəşr) dərc olunmuş ensiklopedik məqalələr həmin sahə haqqında geniş məlumat verən, bu sahənin incəliklərini dərindən əks etdirən, zəngin və tamamlanmış elmi əsər kimi təqdim oluna bilər. Bütün hadisə və ya proseslər, hətta özünün əhəmiyyətsizliyi ilə guya ki, təbiətin ali qanunlarından asılı olmayanları belə, o dərəcədə də məhz bu qanunların zəruri nəticələridir, məs., günəşin dövr etməsi kimi. Bu nəticələri bütün kainat sistemi ilə əlaqələndirən bağları bilmədən, bunların birinin digərinin ardınca məlum bir düzgünlüklə və ya görünməz bir qayda ilə baş verib-vermədiklərindən asılı olaraq, onların son səbəblər və ya təsadüf nəticəsində baş verdikləri fərz olunur, lakin xəyalın məhsulu olan bu səbəblər, bizim bilik hüdudlarımız genişləndikcə, nəzərə alınmayaraq sağlam fəlsəfə qarşısında tamamilə itmiş oldu, belə ki, bu fəlsəfəyə görə, bu səbəblər – həqiqi səbəbi yalnız özümüz olan – bilgisizliyin təzahürüdür. Baş vermiş hər bir hadisə və ya proses özündən əvvəlki ilə belə bir açıq-aşkar prinsipə əsaslanaraq əlaqəlidir ki, hər hansı hadisə və ya proses (təzahür) onu doğuran səbəb olmadan baş verə bilməz. «Əsas kifayətedici prinsip» adı ilə məlum olan bu aksiom, hətta əhəmiyyətsiz sayılan olaylara da şamil olunur. Bu olayları onları əmələ gətirən səbəblər olmadan ən azad iradə belə yarada bilməz; çünki bu iradə, əgər bir halda təsir göstərib, digər halda təsir göstərməkdən yayınmış olsa idi və hər iki vəziyyət isə bütün cəhətlərilə tamamilə oxşar olsaydı, iradənin seçimi – səbəbsiz bir olay olardı: Leybnitsin dediyi kimi, bu iradə epikürçülərin kor-koranə bir halı olardı. Əks fikir əqlin illüziyasıdır ki, o, fərqinə varılmayan davranışlarda iradənin bu və ya digər seçimində xırda səbəbləri nəzərdən qaçıraraq əminliklə hesab edir ki, bu fikir özü-özünə və səbəbsiz yaranır. Sınaq, təcrübə və ya müşahidənin nəticəsinə hadisə deyilir. Sınaq (təcrübə və ya müşahidə) nəticəsində baş verə bilən və ya verə bilməyən istənilən hadisəyə təsadüfi hadisə deyilir. Sınaq nəticəsində hökmən baş verən hadisəyə yəqin hadisə deyilir. Sınaq nəticəsində baş verməyəcəyi əvvəlcədən məlum olan hadisəyə mümkün olmayan hadisə deyilir. Sınağın hər bir ayrılmayan nəticəsinə elementar hadisə deyilir. Bütün elementar hadisələr çoxluğuna elementar hadisələr fəzası deyilir. Sınağın bütün mümkün nəticələri E₁ ,E₂ . E_n , elementar hadisələri olarsa, elementar hadisələr fəzası E₁ , E₂ . E_n olar. Elementar hadisələr fəzasının ixtiyari alt çoxluğuna hadisə deyilir. Bu zaman AE boş çoxluq mümkün olmayan hadisə, U isə yəqin hadisə olacaqdır. Bütün nəticələri A və ya B hadisələrindən heç olmasa birinə daxil olan hadisəyə A və B hadisələrinin birləşməsi deyilir və AÈ B kimi işarə olunur. Nəticələri həm A hadisəsinə, həm də B hadisəsinə daxil olan hadisəyə A və B hadisələrinin kəsişməsi deyilir və AÇ B kimi işarə olunur. Ortaq nəticələri olmayan hadisələrə uyuşmayan hadisələr deyilir. A hadisəsinə daxil olmayan bütün nəticələr çoxluğuna A hadisəsinin əks hadisəsi deyilir və -A kimi işarə olunur. Əgər A hadisəsinin hər bir nəticəsi həm də B hadisəsinin nəticəsidirsə, onda deyirlər ki, A hadisəsi B hadisəsini doğurur və ya B hadisəsi A hadisəsinin nəticəsidir, bu halda AÌ B yazılır. Nəticələri B hadisəsinə daxil olmayıb, yalnız A hadisəsinə daxil olan hadisəyə A hadisəsi ilə B hadisəsinin fərqi deyilir və A\B kimi işarə olunur.

Eyni şəraitdə və eyni şərtlər daxilində sınağın baş verən elementar hadisələrinin birinin digərindən heç bir üstünlüyü yoxdursa, onlara eyni imkanlı hadisələr deyilir. Müstəvi üzərində təyin edilmiş düzbucaqlı koordinat sisteminin absis oxu üzərində A hadisəsinin başvermə tezliyi olan m ədədi, ordinat oxu üzərində isə həmin ədədə uyğun olan �� binomial ehtimalı göstərilir (koordinat oxlarıüzərindəölçü vahidləri eyni olmaya da bilər). Belə tapılan �� ( ) �� nöqtələri ardıcıl olaraq düz xətt parçaları ilə birləşdirildikdə nəticədə bir sınıq xətt alınır (şəkil 1). Buna ehtimallar poliqonu və ya ehtimalların paylanma çoxbucaqlısı deyilir.

1.M.M.Səbzəliyev “Ali riyaziyyatdan mühazirələr” II hissə, Bakı-2014, XI fəsil II bölmə, §4, §5. 2. R.H.Məmmədov “Ali riyaziyyat kursu”, III hissə, Maarif nəşriyyatı, Bakı-1984, 51-ci fəsil, §4, §5. 3. П.Е.Данко, А.Г.Попов “Высшая математика в упражнениях и задачах”, часть II, Москва, “Высшая школа”, 1980, стр.208-237. 4. В.Е.Гмурман, “Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике”, Москва “Высшая школа”, 1979, стр.157-181.

Məşhur riyaziyyat alimləri

Bir alman riyaziyyatçısı olan David Hilbert, 1862 ilində Königsberqdə anadan olmuşdur.1895 və 1929-cu illər arasında Qottingen Universitetində professor olmuşdur.XX əsrin əvvəlində Alman riyaziyyat məktəbinin başçısı hesab edilir.1897ci ildə cisim anlayışını və cəbri rəqəmlər qurmuşdur.1890cı illərdəki ilk çalışmaları sırasında,cəbri həndəsə və müasir cəbrdə əhəmiyyətli bir rol oynayan invariantlar nəzəriyyəsinin əsas qanunlarını ortaya çıxarmağı bacarmışdır.

Qodel (1906 – 1978)

Kurt Qodel Avstriya əsilli bir Amerikan məntiqçisi və riyaziyyatçısıdır.Buğün Brno deyilən şəhərdə 1906-cı ildə anadan olmuşdur.1938-ci ildə Amerikaya gəlmişdir.1948-ci ildən Amerikan vətəndaşı olmuşdur.1953-cü ildə Princeton Universitetində professor olmuşdur.”Principia Mathematica”-nın “Bənzəri sistemlərin formal hökmə bağlana bilməyən mülahizələri barədə” məqalələr yazmışdır.Burada,o,iki teoremin müəllifidir.Bu mülahizələrə görə,arifmetika xətasız ola bilməz.Çünki,xətasızlıq bu sistemdə qərarsızlığa yol açan bir mülahizədir.Müasir məntiq nəzəriyyəsinin qurucusudur.

Godfrey Hardi (1877 – 1947)

Bri ingilis riyaziyyatçısı olan Godfrey Hardi, 1877-ci ildə Cranley,Surreydə anadan olmuşdur.Oxford Universitetində həndəsə professoru olub.Sonralar həyatının böyük bir hissəsini Kembric Universitetində riyaziyyat müəllimi olmaqla keçirtdi.Geniş və müxtəlif olan əsərləri ümumilikdə toplamalı və ya analitik ədədlər nəzəriyyəsi barədədir.

Qalua (1811 – 1832)

Fransız riyaziyyatçısı olan Qalua, 1811-1832 illəri arasında yaşamışdır.Abelin müasiri olan bu riyaziyyatçının doğum və ölün tarixlərinə baxdıqda 21 illik bir həyat yaşadığını görür və bu işdə bir səhvlik olduğunu fikirləşirsiniz.Amma heç bir səhvlik yoxdur.Qalua 21 yaşında dueldə öldürülmüşdür.Qalua cəbri funksiyaların inteqralı haqqında əsas teoremləri ifadə etmişdir.

Furye (1768 – 1830)

Bir dərzinin oğlu olan Jan Baptista Jozef Furye 21 Mart 1768ci il tarixində Fransanın Oser şəhərində anadan olmuşdur.Hələ 9 yaşında olarkən həm anasını,həm də atasını itirmişdir.Xeyriyyəçi Madam Moiton və Oser qəsəbəsinin baş rahibinə nə qədər təşəkkür edilsə yenə də azdır.Çünki bu xeyriyyəçi şəxslər yetim və kimsəsiz qalan Furyeni şəhərdəki hərbi məktəbə göndərdilər.Furye özünü bu məktəbdə çox yaxşı şəkildə inkişaf etdirdi.Riyaziyyatla ilk dəfə tanış olduqda sehrlənmiş kimi olmuşdur.

Dedekind (1831 – 1916)

Bir hüquq professoru olan Ulrix Dedekindin 4 övladından ən balacası olan Riçard Dedekind Qaussun anadan olduğu yerdə 6 oktyabr 1831-ci il tarixdə Brunsviçdə anadan olmuşdur.Riçard yeddi yaşından on altı yaşına qədər şəhərdə gimnaziyada oxumuşdur.Cavan yaşlarında riyaziyyat dühası çox da bilinmirdi.Onun ilk sevgisi kimya və riyaziyyat olmuşdur.Riyaziyyata elmlərin xidmətçisi gözü ilə baxırdı.Əsil yolunu aşkar etməkdə də heç ləngimədi.Daha 17 yaşında olarkən fizikanın istifadə etdiyi bir çox qaydalarda səhvlər aşkar etdi və riyaziyyata qayıtdı.Çünki onun atdığı hər addım sağlam olmalı idi.

De Lopital (1661 – 1704)

De Lopital həvəskar Fransa riyaziyyatçısıdır.1661-ci ildə Parisdə anadan olmuşdur.Ailəsi fransız zadəganlarından idi.İohan Bernullinin rəhbərliyi altında işləmiş və özünü inkişaf etdirmişdir. De Lopital çox qabiliyyətli bir riyaziyyatçı idi və brachystochrone adı verilən məsələni həll etmişdir. De Lopitalın ən məşhur əsəri 1692-ci ildə yazdığı “Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes” əsəridir.Bu əsər eyni zamanda differensial analiz haqqında yazılmış ilk dərs kitabıdır.

Kramer (1704 – 1752)

İsveçrəli bir riyaziyyatçı olan Qabriel Kramer,1704-ci ildə Cenevrədə anadan olmuşdur.Cenevrədə riyaziyat və fəlsəfə professoru olmuşdur.Berlin akademiyasına və İngiltərə Kraliyyət Akademiyasına üzv seçilmişdir.”Cəbri əyrilərin analizinə giriş” adlı kitabı 1750-ci ildə nəşr olunmuşdur.Kramerin bu kitabı,analitik həndəsə sahəsində yazılan ilk kitablardan biridir.Kramerin ən böyük xidmətlərindən biri də,Jan və Jak Bernullilərin bütün kitabları ilə,Leybnitsin “Commerciu Epistolcum” adını daşıyan məktublarını bir araya gətirərək toplu halda nəşr etdirməsi olmuşdur.Bu gün tənlik sistemlərinin həll edilməsində istifadə edilən Kramer qaydası riyaziyyatçılara olduqca çox kömək edir.

Kristoffel (1829 – 1900)

Bir alman riyaziyyatçısı olan Elvin Bruno Kristoffel 1829-ci ildə Reynlandda anadan olmuşdur.Əvvəllər Zürih Politexnikumunda,sonralar isə Berlin və Strasburq Universitetlərində riyaziyyat professoru olaraq işləmişdir.Xüsusilə,Abel funksiyaları,cəbri funksiyalar,törəməli tənliklər və differensial həndəsə üzərində çalışmaları vardır.Reymann ilə birlikdə riyaziyyata tensor anlayışını gətirdilər və tensor hesabı üzərində şalışdılar.

Koşi (1789 – 1857)

İlk böyük fransız riyaziyyatçısı olan Auqusto Luis Koşi Bastiliyanın işğalından sonra Parisdə 21 avqust 1789-cu ildə anadan oldu.Koşi hürriyətə olan borcunu aclıq və səfalət içində yaşayaraq ödədi.Yarı aclıq içində ancaq atasının hesabına yaşadı.Atası parlamentin vəkili idi.

Kartan (1869 – 1951)

Bir fransız riyaziyatçısı olan Elie Kartan,1869-cu ildə Dolomiyada anadan olmuşdur.1912-ci ildə SorbonUniversitetində professor olmuşdur.1924-1940-cı illəri arasında ali həndəsədən dərslər vermişdir.İşlərinin çoxu qruplar nəzəriyyəsinin analizi sahəsindədir.Arasıkəsilməz və sonsuz qrupların daxili ilə əlaqədar nəzəriyyəni və yeni dünyaların varlığı ilə əlaqədar ümumiləşdirmələr və kainat nəzəriyəsini hazırlamışdır.1922-ci ildə ortaya çıxartdığı,heç əyri olmayan tamamilə paralel bir kainat anlayışı ən məşhur kəşflərdən sayılır.

Borel (1871 – 1956)

Feliks Eduard Emil Borel 7 dekabr 1871 günü Fransada Saint Affrique deyilən kiçik bir qəsəbədə anadan olmuşdur.Atası əhalisi protestant olan bu şəhərin keşişi idi.Anası tacir ailəsindən idi.Borel ilk dəfə 1889-cu ildə Ecole Normale məktəbində təhsil almışdır.Bu məktəbi bitirincə Linne Universitetində,Ecole Normale-də və Sorbonda riyaziyyat müəllimi olmuşdur.Analiz və ehtimal nəzəriyyəsində çox önəmli kəşfləri vardır.

Boole (1815 – 1864)

2 noyabr 1815-ci ildə Linkolnda anadan olan Corc Boole sadə bir dükançı oğlu idi.O vaxtın İngiltərəsində dükançılıq olduqca səviyyəsiz bir peşə idi.Öz-özünü yetişdirən bu dahinin yüksək zəkası ən aşağı xalq təbəqəsinə verilmişdi.Qaydalara görə bu dahi insan yüksək təbəqələrin oxuduğu məktəblərdə oxuya bilməzdi.

Bolzano (1781 – 1848)

Bernhard Bolzano,Çexiyanın Praqa şəhərində 5 oktyabr 1781-ci ildə anadan olmuşdur.Atası bir italyan köçkünü idi.Anası Praqada mədəncilik ilə məşğul olan bir ailənin qızı idi.Bolzano, Praqa Universitetində fəlsəfə,fizika,riyaziyyat və ilahiyyat oxumuşdur.1807-ci ildə Praqada eyni universitetdə din və fəlsəfə professoru olaraq işləməyə başladı.1816-ci ilə qədər bu univeristetdə dərslər keçdi.1816-ci ildə Xirstian kilsəsincə mənimsənən inam,duyğu və düşüncə ilə üst-üstə düşmədiyi üçün din və fəlsəfə dərslərini tulladı və riyaziyyatla məşğul olmağa başladı.

Beyr (1874 – 1932)

Rene Beyr 1874-cü ildə Parisdə anadan olmuşdur.Ecole Normal məktəbində təhsilini tamamlamışdır.Daha sonra Dijon Fənn Fakultəsinin riyazi analiz dərslərini tədris etmişdir.Özü kimi fransız riyaziyyatçıları olan Henri Poincare,Emil Borel və Henri Lebeski ilə bərabər həqiqi dəyişənli funksiyalar üzərində yeni cığırlar açdı.Həqiqi analizə aid çox dəyərli kitablar yazmışdır.

Evklid (e.ə.325-e.ə.265)

Bizim eradan əvvəl yaşamış Evklid Afina qəbiləsindən olan Platonun şagirdi olmuşdur.Evklid Qədim Yunanıstanın ən böyük astronomu olan Klavdi ptolemeyin dəvəti ilə İsgəndəriyyə şəhərinə gəlmiş və orada riyaziyyat məktəbi təşkil etmişdir.Evklid “Başlanğıclar” əsərində planimetriya,stereometriya və ədədlər nəzəriyyəsinə aid bir çox məsələlərin həllini vermişdir.Onun “Fiqurların bölünməsi haqqında” və s. əsəri ərəb dilinə tərcümə edilmiş və günümüzə qədər gəlib çatmışdır.Evklidin paralellər aksiomunu teorem şəklində isbat etmək etmək istəyənlər çox olmuşdur,amma nəticəsiz qalmışlar.Yalnız 1826-cı ildə dahi rus alimi Lobaçevski bu ruyazi təklifin isbatının qeyri-mümkünlüyünü isbat etdi və onun həqiqətən aksiom olduğunu göstərdi.

Qauss (1777 – 1855)

Karl Fridrix Qauss görkəmli alman riyaziyyatçısıdır.O,Qottingen Universitetində oxuduğu müddətdə riyaziyyata aid ciddi tədqiqat işləri aparmış və universiteti qurtararkən “Ədədi tədqiqatlar” adlı əsərini yazmışdır.Bu əsərdə kvadratik çıxıq nəzəriyyəsi,kvadratik formaların qısa ifadəsi,n-dərəcəli tənliklər nəzəriyyəsi öz əksini tapmışdır.Qauss da başqa alimlər kimi paralel xətlərlə maraqlanmışdı.O,XVIII əsrin sonunda Evklid həndəsəsindən fərqli başqa həndəsələrin olmasının mümkünlüyü ideyasına gəlmidi.Qauss bu sahədə xeyli tədqiqat işləri apararaq varlığı mümkün olan həndəsəni anti-evklid həndəsəsi alandırmışdı.

Laplas (1749 – 1827)

Markiz Pyer Simon de Laplas fransız materialisti,astronomu,riyaziyyatçısı və fizikidir.O,Paris və Fransa Elmlər Akademiyasının üzvü olmuşdur.1766-cı ildə Jan Dalamberin təklifi ilə ona Paris hərbi məktəbinin professoru adı verilmişdir.Laplasın elmi irsi kainat mexanikasına,riyaziyyata və riyazi fizika sahələrinə aiddir.O,mexanikanın,diferensial tənliklər nəzəriyyəsinin,xəta nəzəriyyəsinin və ehtimal nəzəriyyəsinin əsasını qoyanlardan biridir.Riyazi fizikada Laplasın sadə elliptik tənliyi geniş mövqe tutmuşdur.Laplas Fransada ali təhsil sisteminin təkmilləşdirilməsində önəmli rol oynamışdır.

Lebesqyu (1875 – 1941)

Bir fransız riyaziyyatçısı olan Henri Leon Lebesqyu Fransada Bove şəhərində 28 iyun 1875-ci ildə anadan olmuşdur.Çox yaxşı bir təhsil alaraq 1897-ci ildə Paris Universitetində Ph.D. diplomunu aldı.Dirixle funksiyasının Reyman anlamında inteqralının olmadığı o zamanlar bilinirdi.Rasional funksiyalarda bir,irrasional funksiyalarda sıfır qiymətini alan funksiya riyaziyyatda Dirixle funksiyası adı ilə tanınır.Lebesqyu bu inteqralın olduğunu isbat etmişdir.

Leybnits (1646 – 1716)

“Məndə o qədər yaxşı fikir var ki,əgər məndən daha yaxşı görməsini bilənlər bir gün onları dərinləşdirəcək və mənim zehn əməyimə öz beyinlərinin gözəlliyini əlavə edəcəklərsə sonralar bəlkə nəyəsə lazım olar” deyən Qotfrid Vilhelm Leybnits 1 Tiyul 1646-cı ildə Leypsiqdə anadan olmuşdur.

Abel (1802-1829)

Nils Henrik Abel görkəmli Norveç riyaziyyatçısıdır,müasir cəbrin və cəbri funksiyalar nəzəriyyəsinin əsasını qoymuşdur.Abel beşinci dərəcəli tənliyin radikallarla həlli üzərində çalışmış və dərəcəsi dörddən böyük olan hərfi əmsallı cəbri tənliklərin ümumi halda həll olunmadığını isbat etmişdir.O,radikallarla həll edilən ixtiyari qüvvətdən tənliklər sinfi yaratmışdır.O,bir sıra inteqrallamanmayan funksiyalar tapmış və öz adını daşıyan “Abel inteqralları”nı tədqiq etmişdir.Abel elliptik funksiyalar nəzəriyyəsinin əsasını qoymuşdur.

Laqranj (1736-1813)

Jozef Lui Laqranj böyük fransız riyaziyyatçısı və mexanikidir.O,Berlin və Paris elmlər akademiyasının üzvü,Peterburq akademiyasının isə fəxri üzvü olmuşdur.Napoleon onu “Laqranj riyaziyyat elminin möhtəşəm ehramıdır” sözləri ilə ifadə etmişdir.laqranjın riyaziyyata aid əsas əsərləri variasiya hesabına,analitik və nəzəri mexanikaya həsr olunmuşdur. “Analitik mexanika” əsəri onun ən klassik əsəridir.Laqranj bir sıra araşdırmalar apararaq Teylor sırasının qalıq həddinin düsturu,sonlu artımlar düsturu,şərti ekstremumlar nəzəriyyəsi, simmetrik funksiyalar,kəsilməz kəsrlər nəzəriyyəsi və s. kimi kəşflər etmişdir.

Teqlər:
məşhur riyaziyyatçılar