Mühazirəçi: R. F. D. dosent Orucova Rəna Üzeyir qızı Ədəbiyyat

Qeyd edək ki, A və B matrislərinin fərgini

Maarif Əkbərov

Əkbərov Maarif Süleyman oğlu — riyaziyyatçı, filosof, riyaziyyatın fəlsəfəsi ixtisası üzrə Azərbaycanda ilk mütəxəssis-alim, fəlsəfə elmləri doktoru, fizika-riyaziyyat elmləri doktoru.

Mündəricat

• 1 Həyatı
• 2 Elmi fəaliyyəti
• 3 Əsas elmi əsərləri
• 4 Maarif Əkbərov haqqında
• 5 Ədəbiyyat
• 6 İstinadlar

Maarif Süleyman oğlu Əkbərov 1930-cu ildə Qərbi Azərbaycanda (Ermənistanın) Vedi rayonunun Goravan kəndində müəllim ailəsində anadan olmuşdur. O, 1947-ci ildə Böyük Vedi orta məktəbini gümüş medalla bitirmişdir. Maarif Əkbərov hələ ali məktəbə daxil olmamışdan əvvəl Vedi rayonunun Taytan kəndinin 7-illik məktəbində riyaziyyat müəllimi, kitabxana müdiri vəzifələrində çalışmışdır. O, Azərbaycanda Ucar rayonunun Qaradağlı kəndində ibtidai məktəb müəllimi işləmişdir.

M.Əkbərov Böyük Vətən Müharibəsi illərində və məktəblərdə tətil müddətində şagird-əmək briqadası xətti ilə kolxozda işləyərək, yüksək əmək nümunəsi göstərərək “1941-1945-ci illər Böyük Vətən Müharibəsi illərində Fədakar Əməyə görə” medalı ilə təltif edilmişdir.

Maarif Əkbərov 1953-cü ildə Gəncə Dövlət Universitetinin fizika-riyaziyyat fakültəsini fərqlənmə diplomu ilə bitirmiş və həmin universitetin Cəbr-həndəsə kafedrasında müəllim saxlanılmışdır. Alim 1953-1959-cu illərdə orada ali cəbr və elementar cəbr fənlərindən dərs demiş, “Elementar riyaziyyat” kafedrasının müdiri işləmişdir.

Maarif Əkbərov 12 avqust 2006-cı ildə Bakıda vəfat etmişdir.

Elmi fəaliyyəti

Maarif Əkbərov 1959-cu ildə ümumi əsaslar üzrə müsabiqə yolu ilə “Riyaziyyat elminin fəlsəfi problemləri” ixtisası üzrə M.V.Lomonosov adına Moskva Dövlət Universitetinin əyani aspiranturasına daxil olub, 1962-ci ildə oranı bitirib “Riyaziyyatda həqiqət problemi” mövzusunda namizədlik dissertasiyasını müvəffəqiyyətlə müdafiə etmişdir. Alim təyinatla Azərbaycana qayıtmış və riyaziyyatın fəlsəfəsi ixtisası üzrə respublikada ilk və yeganə mütəxəssis kimi Bakı Dövlət Universitetinə işləməyə dəvət edilmiş, 1963-cü ildən Mexanika-riyaziyyat fakültəsində fəaliyyətə başlamışdır. O, BDU-nun Həndəsə-cəbr, Cəbr və topologiya, Həndəsə kafedralarında fəaliyyət göstərmişdir. Maarif Əkbərov 1980-1992-ci illərdə BDU-nun Cəbr və topologiya kafedrasına rəhbərlik etmiş, “Ali cəbr”, “Cəbr və ədədlər nəzəriyyəsi”, “Riyaziyyatın fəlsəfi-metodoloji əsasları” fənlərindən dərs demiş, cəbrdən və riyaziyyatın fəlsəfi, metodoloji problemlərinə dair tədqiqat işi aparmış, kadrlar hazırlamışdır.

Maarif Əkbərov 1970-1972-ci illərdə “riyaziyyatın fəlsəfəsi” ixtisası üzrə M.V.Lomonosov adına Moskva Dövlət Universitetinin doktoranturasında təhsilini davam etdirib, orada “Riyaziyyatın bəzi fəlsəfi problemləri” mövzusunda doktorluq dissertasiyasını müvəffəqiyyətlə müdafiə etmiş, bu sahədə (09.00.08 indeksi üzrə) Azərbaycanda ilk və yeganə elmlər doktoru olmuş, dəqiq elmlərin fəlsəfəsi üzrə respublikada ilk cığır açan mütəxəssis-alim kimi tanınmışdır.

1966-cı ildə ona Həndəsə-cəbr kafedrası üzrə dosentlik, 1977-ci ildə isə Cəbr və topologiya kafedrası üzrə professorluq elmi adları verilmişdir. Bununla da, alim iki elm sahəsində çalışan, riyaziyyat ixtisası üzrə dosentlik və professorluq elmi adları, riyaziyyatın fəlsəfəsi ixtisası üzrə fəlsəfə elmləri namizədi və fəlsəfə elmləri doktoru elmi dərəcələri qazanmış yeganə mütəxəssisdir.

Maarif Əkbərov bir çox elmi konfrans və simpoziumların iştirakçısı olmuş, elmi məruzələrlə çıxış etmişdir. Alim maarifçilik, elmi biliklərin inkişafı və təbliği sahəsindəki xidmətlərinə görə 1995-ci ildə akademik Yusif Məmmədəliyev adına mükafata layiq görülmüşdür.

Maarif Əkbərov 18 kitabın, 3 iri həcmli monoqrafiyanın, ali məktəblər üçün 3 dərs vəsaitinin, ümumiyyətlə, 100-dən çox elmi-nəzəri, elmi-kütləvi, elmi-metodik və publisist xarakterli kitab, kitabça və məqalələrin müəllifidir.

Əsas elmi əsərləri

• Kibernetika və onun xalq təsərrüfatında əhəmiyyəti. Bakı, 1965
• Роль математики в познание. Москва, 1967
• Kibernetika və incəsənət. Bakı, 1968
• Riyaziyyat haqqında söhbətlər. Bakı, 1969
• Riyaziyyat və fəlsəfə. Bakı, 1971
• Ali cəbr. Bakı, 1976
• Kibernetika haqqında düşüncələr. Bakı, 1989
• Riyaziyyatın fəlsəfi problemləri. Bakı, 1992
• Ədədlər dünyasında. Bakı, 1998
• Ədədlər və fiqurlar aləmində. Bakı, 1999 [1]
• Cəbrdən mühazirələr. Bakı, 2001
• Cəbr və ədədlər nəzəriyyəsi. Bakı, 2005 və b.

Maarif Əkbərov haqqında

Maarif Əkbərovun həyatı, elmi fəaliyyəti, əsərləri haqqında onlarla məqalələr yazılmışdır. Qeyd etmək lazımdır ki, alimin elmi fəaliyyəti haqqında mətbuat səhifələrində 1960-cı illərdən etibarən məqalələr dərc edilmişdir. Bu mənada Qabil Seyidovun “Riyaziyyatçı-filosof” (“Kommunist” qəzeti, 23 may 1963), Moskvada çap edilən “Riyaziyyatın idrakda rolu” adlı kitabına N.İbrahimovun yazdığı “Qiymətli kitabça” (“Kommunist” qəzeti, 20 fevral 1968), Ə.Allahverdiyevin “Riyaziyyat və fəlsəfə” kitabı haqqında olan “Maraqlı tədqiqat əsəri” (“Bakı” qəzeti, 11 avqust 1972), F.Q.Maqsudovun və M.H.Cavadovun “Ali cəbr” kitabı haqqında yazdıqları “Qiymətli dərs vəsaiti” (“Kommunist” qəzeti, 8 iyul 1976) və başqa bu kimi məqalələrdə Maarif Əkbərovun elmi fəaliyyətindən bəhs edilir.

Həqiqət Kərimovanın “Azərbaycanın ilk riyaziyyatçı-filosofu” kitabında alimin həyat və yaradıcılığı geniş şəkildə əks olunur və bu kitab Maarif Əkbərovun 70 illiyinə həsr edilmişdir. [2]

Maarif Əkbərovun 75 illik yubileyi ilə əlaqədar 2005-ci ildə 190 saylı orta məktəbdə alimin müəllim və şagird kollektivi ilə görüşü keçirilmişdir. [3]

Nərgiz Rüstəmlinin “Görkəmli riyaziyyatçı filosof, elm fədaisi” (“Respublika” qəzeti, 17 avqust 2006-cı il) məqaləsində də Maarif Əkbərovun həyat və yaradışılığından bəhs edilir və alimin işıqlı xatirəsi yada salınır. [4]

• Qabil Seyidov. Riyaziyyatçı-filosof. “Kommunist” qəzeti, 23 may 1963
• N.İbrahimov. Qiymətli kitabça. “Kommunist” qəzeti, 20 fevral 1968-ci il
• Ə.Allahverdiyev. Maraqlı tədqiqat əsəri. “Bakı” qəzeti, 11 avqust 1972-ci il 4. F.Q.Maqsudov, M.H.Cavadov. Qiymətli dərs vəsaiti. “Kommunist” qəzeti, 8 iyul 1976-cı il
• Bayram Qaralov. Oxunaqlı kitab. “Səs” qəzeti, 20 iyul 1993-cü il
• İ.Əliyeva. Elmə həsr olunan ömür. (Maarif Əkbərovla müsahibə). “Yeni Azərbaycan” qəzeti, 1 iyul 1995-ci il
• Məmməd Yaqubov. Mənalı həyat yolu. “Bakı Universiteti” qəzeti, 13 aprel 2000-ci il
• Müzəffər Əsgərov. “Azərbaycanın ilk riyaziyyatçı-filosofu”. “Ziyalı” qəzeti, 8-14 mart 2002-ci il
• Etibar Əlişoğlu. Azərbaycanın ilk riyaziyyatçı-filosofu. “İdrak” qəzeti, 16 avqust 2003-cü il
• S.Məmməd. Alimlə görüş. “Respublika” qəzeti, 15 mart 2005-ci il
• Nərgiz Rüstəmli. Görkəmli riyaziyyatçı filosof, elm fədaisi. “Respublika” qəzeti, 17 avqust 2006-cı il

İstinadlar

1. ↑ Təbiət elmləri bütövlükdə
2. ↑ Müzəffər Əsgərov. “Azərbaycanın ilk riyaziyyatçı-filosofu”. “Ziyalı” qəzeti, 8-14 mart 2002-ci il
3. ↑ S.Məmməd. Alimlə görüş. “Respublika” qəzeti, 15 mart 2005-ci il
4. ↑ Nərgiz Rüstəmli. Görkəmli riyaziyyatçı filosof, elm fədaisi. “Respublika” qəzeti, 17 avqust 2006-cı il

September 28, 2021
Ən son məqalələr

Lepisosteus oculatus

Lepsius-Projekt tw 1-1-16

Lerik Azerbaijan 01

Lerik District in Azerbaijan 2021

Lerik Heydər Əliyev Mərkəzi – 2

Lermontovun Aşıq Qəribinə çəkilmiş illüstrasiya (R. Karıçev)

Les Femmes de bonne humeur 01 by L. Bakst

Les Orres – Le chef lieu

Les Très Riches Heures du duc de Berry mars

Les bateaux rouges

Ən çox oxunan

Aston (kommuna)

Astma

Astrolab

Astronomik vahid

Astronomik obyekt

maarif, əkbərov, əkbərov, maarif, süleyman, oğlu, riyaziyyatçı, filosof, riyaziyyatın, fəlsəfəsi, ixtisası, üzrə, azərbaycanda, mütəxəssis, alim, fəlsəfə, elmləri, doktoru, fizika, riyaziyyat, elmləri, doktoru, maarif, süleyman, oğlu, əkbərovdoğum, tarixi, 193. Ekberov Maarif Suleyman oglu riyaziyyatci filosof riyaziyyatin felsefesi ixtisasi uzre Azerbaycanda ilk mutexessis alim felsefe elmleri doktoru fizika riyaziyyat elmleri doktoru Maarif EkberovMaarif Suleyman oglu EkberovDogum tarixi 1930Dogum yeri SSRI Ermenistan SSR Vedi rayonunu Goravan kendiVefat tarixi 12 avqust 2006Vefat yeri BakiVetendasligi SSRI AzerbaycanElm sahesi riyaziyyatElmi derecesi felsefe elmleri doktoru fizika riyaziyyat elmleri doktoru Tehsili ali Mundericat 1 Heyati 2 Elmi fealiyyeti 3 Esas elmi eserleri 4 Maarif Ekberov haqqinda 5 Edebiyyat 6 IstinadlarHeyati RedakteMaarif Suleyman oglu Ekberov 1930 cu ilde Qerbi Azerbaycanda Ermenistanin Vedi rayonunun Goravan kendinde muellim ailesinde anadan olmusdur O 1947 ci ilde Boyuk Vedi orta mektebini gumus medalla bitirmisdir Maarif Ekberov hele ali mektebe daxil olmamisdan evvel Vedi rayonunun Taytan kendinin 7 illik mektebinde riyaziyyat muellimi kitabxana mudiri vezifelerinde calismisdir O Azerbaycanda Ucar rayonunun Qaradagli kendinde ibtidai mekteb muellimi islemisdir M Ekberov Boyuk Veten Muharibesi illerinde ve mekteblerde tetil muddetinde sagird emek briqadasi xetti ile kolxozda isleyerek yuksek emek numunesi gostererek 1941 1945 ci iller Boyuk Veten Muharibesi illerinde Fedakar Emeye gore medali ile teltif edilmisdir Maarif Ekberov 1953 cu ilde Gence Dovlet Universitetinin fizika riyaziyyat fakultesini ferqlenme diplomu ile bitirmis ve hemin universitetin Cebr hendese kafedrasinda muellim saxlanilmisdir Alim 1953 1959 cu illerde orada ali cebr ve elementar cebr fenlerinden ders demis Elementar riyaziyyat kafedrasinin mudiri islemisdir Maarif Ekberov 12 avqust 2006 ci ilde Bakida vefat etmisdir Elmi fealiyyeti RedakteMaarif Ekberov 1959 cu ilde umumi esaslar uzre musabiqe yolu ile Riyaziyyat elminin felsefi problemleri ixtisasi uzre M V Lomonosov adina Moskva Dovlet Universitetinin eyani aspiranturasina daxil olub 1962 ci ilde orani bitirib Riyaziyyatda heqiqet problemi movzusunda namizedlik dissertasiyasini muveffeqiyyetle mudafie etmisdir Alim teyinatla Azerbaycana qayitmis ve riyaziyyatin felsefesi ixtisasi uzre respublikada ilk ve yegane mutexessis kimi Baki Dovlet Universitetine islemeye devet edilmis 1963 cu ilden Mexanika riyaziyyat fakultesinde fealiyyete baslamisdir O BDU nun Hendese cebr Cebr ve topologiya Hendese kafedralarinda fealiyyet gostermisdir Maarif Ekberov 1980 1992 ci illerde BDU nun Cebr ve topologiya kafedrasina rehberlik etmis Ali cebr Cebr ve ededler nezeriyyesi Riyaziyyatin felsefi metodoloji esaslari fenlerinden ders demis cebrden ve riyaziyyatin felsefi metodoloji problemlerine dair tedqiqat isi aparmis kadrlar hazirlamisdir Maarif Ekberov 1970 1972 ci illerde riyaziyyatin felsefesi ixtisasi uzre M V Lomonosov adina Moskva Dovlet Universitetinin doktoranturasinda tehsilini davam etdirib orada Riyaziyyatin bezi felsefi problemleri movzusunda doktorluq dissertasiyasini muveffeqiyyetle mudafie etmis bu sahede 09 00 08 indeksi uzre Azerbaycanda ilk ve yegane elmler doktoru olmus deqiq elmlerin felsefesi uzre respublikada ilk cigir acan mutexessis alim kimi taninmisdir 1966 ci ilde ona Hendese cebr kafedrasi uzre dosentlik 1977 ci ilde ise Cebr ve topologiya kafedrasi uzre professorluq elmi adlari verilmisdir Bununla da alim iki elm sahesinde calisan riyaziyyat ixtisasi uzre dosentlik ve professorluq elmi adlari riyaziyyatin felsefesi ixtisasi uzre felsefe elmleri namizedi ve felsefe elmleri doktoru elmi dereceleri qazanmis yegane mutexessisdir Maarif Ekberov bir cox elmi konfrans ve simpoziumlarin istirakcisi olmus elmi meruzelerle cixis etmisdir Alim maarifcilik elmi biliklerin inkisafi ve tebligi sahesindeki xidmetlerine gore 1995 ci ilde akademik Yusif Memmedeliyev adina mukafata layiq gorulmusdur Maarif Ekberov 18 kitabin 3 iri hecmli monoqrafiyanin ali mektebler ucun 3 ders vesaitinin umumiyyetle 100 den cox elmi nezeri elmi kutlevi elmi metodik ve publisist xarakterli kitab kitabca ve meqalelerin muellifidir Esas elmi eserleri RedakteKibernetika ve onun xalq teserrufatinda ehemiyyeti Baki 1965 Rol matematiki v poznanie Moskva 1967 Kibernetika ve incesenet Baki 1968 Riyaziyyat haqqinda sohbetler Baki 1969 Riyaziyyat ve felsefe Baki 1971 Ali cebr Baki 1976 Kibernetika haqqinda dusunceler Baki 1989 Riyaziyyatin felsefi problemleri Baki 1992 Ededler dunyasinda Baki 1998 Ededler ve fiqurlar aleminde Baki 1999 1 Cebrden muhazireler Baki 2001 Cebr ve ededler nezeriyyesi Baki 2005 ve b Maarif Ekberov haqqinda RedakteMaarif Ekberovun heyati elmi fealiyyeti eserleri haqqinda onlarla meqaleler yazilmisdir Qeyd etmek lazimdir ki alimin elmi fealiyyeti haqqinda metbuat sehifelerinde 1960 ci illerden etibaren meqaleler derc edilmisdir Bu menada Qabil Seyidovun Riyaziyyatci filosof Kommunist qezeti 23 may 1963 Moskvada cap edilen Riyaziyyatin idrakda rolu adli kitabina N Ibrahimovun yazdigi Qiymetli kitabca Kommunist qezeti 20 fevral 1968 E Allahverdiyevin Riyaziyyat ve felsefe kitabi haqqinda olan Maraqli tedqiqat eseri Baki qezeti 11 avqust 1972 F Q Maqsudovun ve M H Cavadovun Ali cebr kitabi haqqinda yazdiqlari Qiymetli ders vesaiti Kommunist qezeti 8 iyul 1976 ve basqa bu kimi meqalelerde Maarif Ekberovun elmi fealiyyetinden behs edilir Heqiqet Kerimovanin Azerbaycanin ilk riyaziyyatci filosofu kitabinda alimin heyat ve yaradiciligi genis sekilde eks olunur ve bu kitab Maarif Ekberovun 70 illiyine hesr edilmisdir 2 Maarif Ekberovun 75 illik yubileyi ile elaqedar 2005 ci ilde 190 sayli orta mektebde alimin muellim ve sagird kollektivi ile gorusu kecirilmisdir 3 Nergiz Rustemlinin Gorkemli riyaziyyatci filosof elm fedaisi Respublika qezeti 17 avqust 2006 ci il meqalesinde de Maarif Ekberovun heyat ve yaradisiligindan behs edilir ve alimin isiqli xatiresi yada salinir 4 Edebiyyat RedakteQabil Seyidov Riyaziyyatci filosof Kommunist qezeti 23 may 1963 N Ibrahimov Qiymetli kitabca Kommunist qezeti 20 fevral 1968 ci il E Allahverdiyev Maraqli tedqiqat eseri Baki qezeti 11 avqust 1972 ci il 4 F Q Maqsudov M H Cavadov Qiymetli ders vesaiti Kommunist qezeti 8 iyul 1976 ci il Bayram Qaralov Oxunaqli kitab Ses qezeti 20 iyul 1993 cu il I Eliyeva Elme hesr olunan omur Maarif Ekberovla musahibe Yeni Azerbaycan qezeti 1 iyul 1995 ci il Memmed Yaqubov Menali heyat yolu Baki Universiteti qezeti 13 aprel 2000 ci il Muzeffer Esgerov Azerbaycanin ilk riyaziyyatci filosofu Ziyali qezeti 8 14 mart 2002 ci il Etibar Elisoglu Azerbaycanin ilk riyaziyyatci filosofu Idrak qezeti 16 avqust 2003 cu il S Memmed Alimle gorus Respublika qezeti 15 mart 2005 ci il Nergiz Rustemli Gorkemli riyaziyyatci filosof elm fedaisi Respublika qezeti 17 avqust 2006 ci ilIstinadlar Redakte Tebiet elmleri butovlukde Muzeffer Esgerov Azerbaycanin ilk riyaziyyatci filosofu Ziyali qezeti 8 14 mart 2002 ci il S Memmed Alimle gorus Respublika qezeti 15 mart 2005 ci il Nergiz Rustemli Gorkemli riyaziyyatci filosof elm fedaisi Respublika qezeti 17 avqust 2006 ci ilMenbe https az wikipedia org w index php title Maarif Ekberov amp oldid 5921676, wikipedia, oxu, kitab, kitabxana, axtar, tap, hersey,

ne axtarsan burda

en yaxsi meqale sayti, meqaleler, kitablar, oyrenmek, wiki, bilgi, tarix, seks, porno, indir, yukle, sex, azeri sex, azeri, seks yukle, sex yukle, izle, seks izle, porno izle, mobil seks, telefon ucun, chat, azeri chat, tanisliq, tanishliq, azeri tanishliq, sayt, medeni, medeni saytlar, chatlar, mekan, tanisliq mekani, mekanlari, yüklə, pulsuz, pulsuz yüklə, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, şəkil, muisiqi, mahnı, kino, film, kitab, oyun, oyunlar.

Mühazirəçi : R. F. D. dosent Orucova Rəna Üzeyir qızı Ədəbiyyat

1. Məmmədov R.H. Ali riyaziyyat kursu. Bakı, Maarif, 3 hissə 1978.

2. Ə.B.Əliyev, A.Hüseynov. Riyaziyyat, Bakı 2005

3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. Москва, Наука, 1971.

4. Кудрявцев В.А. ; Демидович Б.П. Краткий курсвысшей математики, Москва, Наука, 1989.

5. Ə.A.Vəliyev və başqaları. Ali riyaziyyatdan məsələ və misal həllinə rəhbərlik. I və II hissə Bakı,2001.

6. Alməmmədov M.S. və başqaları. İqtisadçılar üçün ali riyaziyyat kursuna aid məslə və misallar. Bakı,2009.

7. Шипачев В.С. Высшая математика, Москва, Высшая школа 1990.

8. Маркович Э.С. Курс высшей математики. Москва, Высшая школа, 1972.

9. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. Учебник. М;2010.

10. Тихомиров В.М. Дифференциальное исчисление (теория и приложения), М;2002.

11. Слободская В.А. Краткий курс высшей математики, Москва, Высшая школа, 1969.

12. Abdullayev F.S. Adi diferensial tənliklər.Kompleks dəyişənli funksiyalar. Bakı, Kür, 2002.

13. Orucova R.Ü. Qeyri-müəyyən inteqral. Müəyyən inteqral. Çoxqat və əyrixətli inteqrallar. Dərs vəsaiti. Gəncə, 2016.

14. Hüseynov O.M. Adi differensial tənliklərdən məsələ və misallar. AKTA, Gəncə 2003.

15. Məsimova S.N. Ali riyaziyyatın əsasları, Bakı, Yeni Nəsil, 2009

16.Piskunov N.S. Diferensial və inteqral hesabı. Bakı, Maarif, 1986.

17. Qmurman V.Y. Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika məsələlərinin həllinə dair rəhbərlik. Bakı, Maarif, 1980.

18. 1. Əkbərov M. Ali cəbr, Bakı, Maarif, 1976.

19. Nağıyev Ə. Ədədi sistemlər, Bakı, Maarif, 1976.

20. İbrahimov İ.İ. Ədədlər nəzəriyyəsinin əsasları, Bakı, 1955.

21. Sultanov R.M. Xətti cəbrin əsasları, Bakı, 1960.

Matris anlayışı. Determinantlar və onların xassələri.

1. Matris anlayışı, onların üzərində əməllər.

2. Determinantın tərifi və əsas xassələri.

3. Tərs matris anlayışı.

4. Matrisin ranqı.

1. Matris anlayışı, onların üzərində əməllər.

►Tutaq ki, m və n natural ədədlərdir. mn sayda ədəddən düzbucaqlı şəklində düzəldirmiş , m sayda sətri və n sayda sütunu olan cədvələ (m · n) – ölçülü matris deilir. Matrisi

a₁₁ a₁₂ . a_1n

a₂₁ a₂₂ . a_2n

. . . . .

a₁₁ a₁₂ . a_1n

a₂₁ a₂₂ . a_2n

a_m1 a_m2 ..a_mn
şəklində yazırlar. Bəzən qısa olmaq üçün matrisi böyük hərflə (A, B, C, X, Y, . ), və ya ║a_{i j}║ (i=1,2, . n) şəklində işarə edirlər.

Matrisi təşkil edən a_{i j} ədədlərinə onun elementləri deyilir. Elementin aşaqısında yazılan iki (ij) indeksin birincisi (i) onun yerləşdiyi sətrin nömrəsini, ikincisi (j) isə yerləşdiyi sütunun nömrəsini göstərir.

(m · n) ölçülü (1) matrisinin sətir və sütunlarının sayı bərabər (m=n) olduqda, ona kvadrat matris deilir. Bu halda n ədədinə kvadrat matrisin tərtibi deyilir. Məsələn

A = 3 5 B = 2 4 7

matrislərinin birincisi iki, ikincisi isə üçtərtiblidir. Bir elementdən ibarət olan matrisə birtərtibli matris deyilir. Birtərtibli matrisi onu təşkil edən yeganə ədədlə eyniləşdirirlər: ║a₁₁║= a₁₁.

Ancaq bir sətri olan matrisə sətir-matris, ancaq bir sütunu olan matrisə sütun-matris deyilir. Məsələn,

A = 2, 7, 8, 9 B = a, b, c

C = 2 , D = b₁

4 d₁
matrisləri isə sütun-matrislərdir.

n-tərtibli kvadrat

A = a₂₁ a₂₂ . a_2n

matrisinin sol yuxarı küncündə olan a₁₁ elementi ilə sağ aşağı küncündə olan a_mn elementini birləşdirən düz xətt parçası üzərində yerləşən a₁₁, a₂₂, a₃₃, . a_nm elementləri çoxluğu həmin matrisin baş diaqonalı adlanır. Ancaq baş diaqonalının elementləri sıfırdan fərgli olan kvadrat matrisə diaqonal matris deilir. Bütün elementləri vahidə bərabər olan diaqonal matris vahid matris adlanır və I_n ilə işarə olunur. Birtərtibli vahid matris

ikitərtibli vahid matris

Üçtərtibli vahid matris və s.olar.

Bütün elementləri sıfra bərabər olan kvadrat matrisə sıfır matris deyilir və O ilə işarə olunur. Məsələn,

matrisləri uyğun olaraq ikitərtibli və üçtərtibli sıfır matrislərdir.

Verilmiş A matrisinin bütün sətir və sütunlarının yerinin dəyişilməsinə (nömrəsini saxlamaqla) həmin matrisin çevrilməsi (transponirə edilməsi) deyilir və A⃰ ilə işarə olunur. Məsələn,

1 2 0 ⃰ = 2 4 0 2 ⃰ = 0 5

3 4 7 0 7 , 5 -7 2 -7 ,

Aydındır ki, (A*)* = A olar. A = A* olduqda A matrisinə simmetrik matris deyilir. (2) matrisinin simmetrik olması şərtini a_{i j} = a_{i j} ( i, j = 1, 2, . n ) kimi yazmaq olar.

a_{i j =} – a_{i j} olduqda A matrisinə çəpsimmetrik matris deyilir.

Bütün elementləri həqiqi ədədlər olan matrisə həqiqi, heç olmasa bir elementi kompleks ədəd olan matrisə isə kompleks matris deyilir. Biz burada həqiqi matrislərə baxırıq.

Eyni ölçülü və bütün uyğun elementləri bərabər olan matrislərə bərabər matrislər deyilir.

►Matrislərin cəmindən (fərgindən), ədədə və başqa matrisə hasillərindən danışmaq olar.

Eyni (m · n) – ölçülü A =║a_{i j}║ və B = ║b_{i j}║ (i=1, 2, . m; j=1, 2, . n) matrislərinin cəmi həmin ölçülü və hədləri

c_{i j} = a_{i j} + b_{i j} (i=1, 2, . m; j=1, 2, . n) (1)

kimi təyin olunan C = ║c_{i j}║ (i=1, 2, . m; j=1, 2, . n) matrisinə deyilir və C = A+B ilə işarə olunur. Xüsusi halda,

a₁₁ a₁₂ a₁₃ + b₁₁ b₁₂ b₁₃ = a₁₁ + b₁₁ a₁₂ + b₁₂ a₁₃ + b₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃ b₂₁ b₂₂ b₂₃ a₂₁ + b₂₁ a₂₂ + b₂₂ a₂₃ + b₂₃

Tərifdən aydındır ki, matrislərin toplanması yerdəyişmə və qruplaşdırma xassələrinə malikdir, yəni eyniölçülü A, B və C matrisləri üçün

A + ( B + C ) + (A + B ) + C

Eyniölçülü A matrisi və O (sıfır) matrisi üçün həmişə

Eyniölçülü A və B matrislərinin fərgi həmin ölçülü elə C matrisinə deyilir ki, onu B ilə topladıqda A-ya bərabər olsun: A = C + B. A və B matrislərinin fərgini

ilə işsarə edirlər. Aydındır ki, həmişə:

Verilmiş A =║a_{i j}║ (i=1, 2, . m; j=1, 2, . n) matrisinin həqiqi λ ədədinə hasili, hədləri

b_{i j} = λ a_{i j} (i=1, 2, . m; j=1, 2, . n)
kimi təyin olunan B = ║b_{i j}║ (i=1, 2, . m; j=1, 2, . n) matrisinə deyilir və B = λA( və ya B = Aλ ) ilə işarə olunur. Aydındır ki, ixtiyarı A, B matrisləri və həqiqi λ, μ ədədləri üçün

( λμ ) A = λ ( μA ), λ ( A + B ) = λA + λB,

( λ + μ )A = λA + μA

Qeyd edək ki, A və B matrislərinin fərgini

A + B = A + (-1 ) · B

kimi də yazmaq olar. Bundan başqa

( A + B )* = A* + B * və (λA )* = λA* (2)

sadə xassələri də doğrudur.

Indi iki matrisin hasilinin təyin edək. (m · n) – ölçülü A =║a_{i j}║ (i=1, 2, . m; j=1, 2, . n) matrisinin (n · p) – ölçülü B = ║b_{i j}║ matrisinə hasili hədləri c_{i j}

_{i k} b_{k j} (i=1, 2, . m; j=1, 2, . p) (3)
kimi təyin olunan ( m · p) ölçülü C = ║c_{i j}║ (i=1, 2, . m; j=1, 2, . p) matrisinə deyilir və C=AB ilə işarə olunur.

Tərifdən aydındır ki, istənilən ölçülü iki matrisi vurmaq olmaz. A matrisini o zaman B matrisinə vurmaq olar ki; A-nın sütunlarının sayı B-nın sətirlərinin sayına bərabər olsun. Xüsusi halda,

a₁₁ a₁₂ · b₁₁ b₁₂ = ( a₁₁ b₁₂ + a₁₂b₂₁ ) ( a₁₁b₁₂ + a₁₂b₂₂ )

a₂₁ a₂₂ b₂₁ b₂₂ ( a₂₁b₁₁ + a₂₂b₂₁ ) ( a₂₁b₁₂ + a₂₂b₂₂ )
Deməli, AB və BA hasillərinin ikisinin də eyni zamanda təyin olunması üçün A-nın sütunlarının sayı B-nın sətirlərinin sayına və A-nın sətirlərinin sayı B-nın sütunlarının sayına bərabər olmalıdır. A və B matrisləri eynitərtibli kvadrat matrislər olduqda AB və BA hasilləri də eynitərtibli kvadrat matrislər olar.

Xüsusi halda, hər bir kvadrat A matrisini özü-özünə vurmaq olar. Bu halda həmin matrisin kvadratı, kubu və s. alınır:

A·A=A 2 , A·A·A=A·A 2 =A 3 , .

a₁ a₁x₁ a₂x₂ … a₁x_n

a₂ a₂x₁ a₂x₂ … a₂x_n

… · x₁, x₂, . x_n = . . . . . .

a_n a_nx₁ a_nx₂ … a_nx_n ,

a₁₁ a₁₂ . a_1n x₁ a₁₁x₁ = a₁₂x₂ + . + a_1nx_n

AX = a₂₁ a₂₂ . a_2n · x₂ = a₂₁x₁ = a₂₂x₂ + . + a_2nx_n

. . . . . . . … . . . . . . . . . . . . . .

a_n1 a_n2 . a_nn x_n a_n1x₁ = a_n2x₂ + . + a_nnx_n .

Qeyd edək ki, eynitərtibli iki A və B kvadrat matrislərinin hasili üçün yerdəyişmə xassəsi doğru olmaya da bilər. Doğrudan da,

A = 0 1 və B = 0 1

matrisləri üçün
AB = 1 0 və BA = 0 0

yəni AB = BA. Buradan aydın ki, matrisləri vurarkən onların yerini dayişmək olmaz.

Lakin istənilən kvadrat A matrisi ilə eynitərtibli olan I vahid və O sıfır matrislərinin hasili üçün həmişə yerdəyişmə xassəsi doğrudur:

IA = AI = A (4)

OA = AO = O (5)

(4) bərabərliyi göstərir ki, vahid I matrisinin həqiqi vahid ədədinin uyğun xassəsinə vardır. Məsəslən, ixtiyari A, B, C matrisləri ( lazım olan ölçülü ) və həqiqi λ ədədi üçün

(λA)B = A(λB) = λ(AB),

(A+B)C = AC + BC

C(A+B) = CA + CB

A(BC) = (AB) · C

bərabərlikləri doğrudur. Eyni zamanda,

(AB)* = B* · A* (6)

2. Determinantın tərifi və əsas xassələri.

matrisinə baxaq. Bu matrisin elementlərindən düzəldilməş.

a₁₁ a₂₂ – a₁₂ a₂₁ = (2)

kimi işarə olunur. (1) matrisinin (2) determinantını ∆(A₂) və ya det A₂ ilə işarə edirlər.

A₃ = a₂₁ a₂₂ a₂₃ (3) a₃₁ a₃₂ a₃₃

matrisinin elementlərindən düzəldilmiş.

a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₂₁ a₂₃ a₃₁ +a₂₁ a₃₂ a₁₃ – a₁₃ a₂₂ a₃₁ – a₁₂ a₂₁ a₃₃ – a₁₁ a₂₃ a₃₂ (4)

ifadəsinə həmin matrisin determinantı (və ya üçtərtibli determinant) deyilir və

ilə işarə olunur. Beləliklə,

Bu bərabərliyin sağ tərəfindəki (4) ifadəsinə (5) determinantını açılışı (və ya qiyməti) deyilir. Verilmiş determinantın qiymətini tapmaq üçün onun bərabər olduqu (4) ifadəsini hesablamaq lazımdır.

Matrislər kimi determinantlar da sətir və sütunlardan ibarətdir. Ikitərtibli determinantın iki sətri və iki sütunu, üçtərtibli determinantın isə üç sətri və üç sütunu vardır. Determinantı təşkil edən a_{i j} ədədləri onun elementləri adlanır.

Determinantın hər hansı elementinin olduğu sətir və sütun üzərindən düz xətlər çəkdikdə yerdə qalan elementlər ( nisbi vəziyyətlərini dəişmədən) bir determinant (tərtibi verilmiş determinantın tərtibindən bir vahid az olan) əmələ gətir. Bu determinanta həmin elementin minoru deyilir. a_{i j} elementinin minorunu M_{i j} ilə işarə edirlər. M_{i j} ilə işarə minorunun (-1) i+j vuruğu ilə hasilinə a_{i j} elementinin cəbri tamamlayıcısı deyilir və

A_{i j} = (-1) i+j M_{i j}

ilə işarə olunur.

İkitərtibli (2) determinantının a₁₁ elementinin minoru M₁₁ = a₂₂ cəbri tamamlayıcısı isə A₁₁ (-1) 1+1 M₁₁ = a₂₂; üçtərtibli (5) determinantının a₁₃ və a₂₃ elementlərinin minoru uyğun olaraq

M_{13 =} və M_{23 =}

cəbri tamamlayıcıları isə

A₁₃ = (-1) 1+3 və A₂₃ = (-1) 2+3
T e o r e m 1 . Hər bir hər hansı bir sətir və ya sütun elementlərinin öz cəbri tamamlayıcıları ilə hasillərinin cəminə bərabərdir.

Teorem üçtərtibli determinantı ikitərtibli determinantlar vasitəsilə, ikitərtibli determinantı isə birtərtibli determinantlar vasitəsilə təyin etməyə imkan verir. Bu qayda ilə dörd, beş və s. tərtibli determinantları da ardıcıl olaraq təyin etmək olar.

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄

A₄ = a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄

a₄₁ a₄₂ a₄₃ a₄₄
matrisinin ∆(A₄) determinantını (dördtərtibli determinantı)

∆(A₄) = a₁₁ A₁₁ + a₁₂ A₁₂ + a₁₃ A₁₃ + a₁₄ A₁₄ (6)

kimi təyin etmək olar. Burada A₁₁, A₁₂, A₁₃ və A₁₄ kəmiyyətləri dördtərtibli

determinantının 1-ci sətir elementlərinin üçtərtibli determinantlar vasitəsilə ifadə olunan uyğun cəbri tamamlayıcılarıdır. (7) determinantını başqa sətir və ya sütun elementləri üzrə ayrılışlar vasitəsilə də təyin etmək mümkündür.

Bu mülahizələr əsasən n-tərtibli determinanta aşağıdaki kimi tərif vermək olar.

T ə r i f. (˃1) – tərtibli

a₁₁ a₁₂ . a_1n

a_n1 a_n2 . a_nn

a₁₁ a₁₂ . a_1n

determinantı (n-tərtibli determinant)

k+1 a _1k M _1k

ədədinə deyilir. Burada M_1k ilə A_n matrisinin 1-ci sətrini və k – nömrəli sütunu pozmaqla alınan (1-n) – tərtibli matrisin determinantı işarə olunmuşdur.

Yuxarıda isbat olunan teorem göstərir ki, iki və üçtərtibli determinantlara əvvəlcə verdiyimiz təriflər bu təriflə n=2 və n=3 olduqda ekvivalentdir. Həmin teorem n-tərtibli determinantlar üçün də doğrudur:

T e o r e m 2. n-tərtibli ∆(A _n) determinantı və istənilən i (1 ≤ i ≤ n) və j (1 ≤ j ≤ n) üçün
(8)

və
k+j a _{k j} M _{k j} (9)

bərabərlikləri deyilir.

(8) bərabərliyinə ∆(A_n) determinantının i – nömrəli sətir elementləri üzrə ayrılışı, (9) bərabərliyinə isə onun j – nömrəli sütun elementləri üzrə ayrılışı deyilir.

Misal 1. Vahid matrisin determinantə vahidə bərabərdir.

İ₂ = olduqda ∆(İ₂) = = 1,
İ₃ = olduqda ∆(İ₃) = = 1,

İ_n= 0 1 . 0

0 0 . 1
olduqda ∆(İ_n) = ∆(İ_n-1) = ∆(İ_n-2) = . = ∆(İ₂) = 1.
►Determinantın tərtibi artdıqca onun elementlərinin və hədlərinin sayı artır.

«Касымпаша» – «Умраниеспор»: прогноз и ставка на матч чемпионата Турции

В субботу в рамках 26-го тура турецкой Суперлиги будет сыграно три матча, в наиболее раннем из которых в очной дуэли сойдутся стамбульские «Касымпаша» и «Умраниеспор». Представляем вашему вниманию прогноз на этот поединок.

Сегодня в 13:30 Трансляция
Сегодня в 13:30 Трансляция

«Касымпаша»

Команда Селчука Ынана занимает текущее 14-е место в турнирной таблице, опережая зону вылета всего лишь на 1 очко. В двух последних домашних матчах чемпионата «Касымпаша» сумела отпраздновать победы над «Гиресунспором» (5:1) и «Антальяспора» (3:1), между этими успехами проиграв на выезде «Хатайспору» (0:1). В прошлом туре «апачи» минимально уступили в гостях лидеру Суперлиги «Галатасараю» (0:1).

«Умраниеспор»

«Умраниеспор» занимает последнее 19-е место в турнирной таблице, но при этом имеет неплохие шансы на выживание, так как отставание от спасительной зоны составляет всего лишь 3 очка. После вынужденной паузы в чемпионате, в связи с землетрясением, команда Реджепа Учара сначала дома сыграла вничью с «Адана Демирспором» (1:1), а затем отпраздновала победу на выезде над чемпионом прошлого сезона «Галатасараем» (2:1).

Статистика и цифры

• «Касымпаша» имеет 6-матчевую безничейную серию (2 победы + 4 поражения);
• В 10 из последних 12 матчей «Касымпаши» проходила ставка «Обе команды забьют + Тотал больше 2,5 голов»;
• «Касымпаша» проиграла лишь 1 матч из последних пяти домашних, победив трижды;
• «Умраниеспор» набрал 4 очка в последних двух турах, хотя до этого в чемпионате имел 4-матчевую серию поражений);
• В последних шести матчах «Умраниеспора» проходила ставка «Обе команды забьют», а в четырёх из них – «Тотал больше 2,5 голов»;
• «Умраниеспор» проиграл только 2 матча из последних семи гостевых, победив четырежды.

Прогноз

В матче первого круга «Касымпаша» победила в гостях 2:1, но в декабре с таким же счётом на поле соперника в Кубке Турции победу праздновал «Умраниеспор». «Хвойные» сейчас на выезде выступают даже успешней, чем в родных стенах, так что «апачи» вполне могут в этом дерби не досчитаться очков, ведь гостям отступать некуда – надо уходить с последнего места в турнирной таблице, пока имеется хорошая форма. Кто знает, в каком состоянии будет команда после международной паузы.