Mühazirəçi: R. F. D. dosent Orucova Rəna Üzeyir qızı Ədəbiyyat

y=f(x) əyrisi , Ox oxu və x=a, x=b düz xəttləri ilə əhatə olunmuş aABb əyrixəttli trapesin Ox oxu ətrafında fırlanmasından əmələ gələn cismin həcmini

Mühazirə mətinləri. Matrislər və onlar üzərində əməllər

Nəticə ; İki funksiya fərqinin qeyri-müəyyən inteqralı onların qeyri-müəyyən inteqrallarının fərqinə bərabərdir.

Xassə 6. İnteqralın inteqrallama dəyişəninə nəzərən invariantlıq xassəsi vardır, yəni

olarsa ,onda istənilən diferensiallanan u=u(x) funksiyası üçün

olduğundan , diferensial şəklinin invariantlığı xassəsinə əsasən

olar. Buradan (7) bərabərliyinin doğruluğu aydındır.

Əsas inteqrallar cədvəli.

Inteqrallama üsulları .
İnteqralı cədvəldən istifadə edərək hesablamağa bilavasitə inteqrallama deyilir.

a). Ayırma üsulu.

Bu üsulun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, inteqral altındakı, funksiya inteqralları asan hesablana bilən funksiyaların cəmi şəklində göstərilir.

b). Dəyişəni əvəzetmə üsulu.

Bu üsulda dəyişən yeni bir dəyişənlə əvəz olunur. Bu yeni dəyişənə görə alınan inteqralaltı funksiyası asan hesablanır.

diferensiallanan funksiya olarsa , onda

olar. Buna görədə (2)- ni və (1)-də nəzərə alsaq onda

bərabərliyi alınır. Buna dəyişənin əvəzetmə düsturu deyilir.

Misal 1. burada t = 1+x 2 götürək , onda dt = 2xdx və

onda
(a › o olduğu fərz olunur ).

c) Hissə- hissə inteqrallama düsturu.

Tutaq ki, u və v kəmiyyətləri x – in diferensiallana bilən funksiyalarıdır. Onda , məlum olduğu kimi , uv hasilinin diferensialı

düsturu ilə hesablanır. Buradan inteqrallamaqla

alırıq. Axırıncı düstura hissə-hissə inteqrallama düsturu deyilir.

Misal. Burada götürək ;

Kəsirlərin inteqrallanması.

İrrasional funksiyaların və binomial diferensialların inteqrallanması.
Hər irrasional funksiyaların inteqralını elementar funksiya ilə ifadə etmək olmur. Biz inteqralları əvəzləmə vasitəsilə rasional funksiyaların inteqrallarına gətirilə bilən , deməli sonlu şəkildə inteqrallana bilən irrasional funksiyalara baxaq.

burada kəsirlərinin ümumi məxrəci k ədədidir. Onda əvəzləmə x=t k

1. Eylerin 1-ci əvəzləməsi . Əgər a › o olarsa əvəzləməsini qəbul edirik.
2. Eylerin 2-ci əvəzləməsi. Əgər c › o olarsa əvəzləməsini götürürük.
3. Eylerin 3-ci əvəzləməsi. Tutaq ki, α və β həqiqi ədədləri üchədlisinin kökləridir. Onda əvəzləməsini qəbul edirik.

Triqonometrik funksiyaların inteqrallanması.

şəklində ∫ – rın hesablanması tələb olunur. funksiyaları hesab əməlləri vasitəsilə ilə ifadə olunduğundan

şəklində inteqrala çevrilir . Buna görədə ancaq (2) inteqralının hesablanması ilə məşğul olaq. (2) inteqralında

onda həmin inteqral t dəyişənindən asılı rasional funksiyalarının inteqralına çevrilir.

Rasional funksiyaların inteqralı isə hesablana bilir.

Deməli , (2) şəklində hər bir inteqral (3) əvəzləməsi bilavasitə rasional funksiyalarının inteqralına gətirilir. Buna görədə (3) əvəzləməsinə “ universal triqonometrik əvəzləmə ” deyilir.

Misal 1. inteqralını hesablamaq üçün (3) əvəzləməsindən istifadə edək. Onda

1. şəklində inteqrallar.

verilmiş inteqral binomial diferensialın inteqralına gətirilir. Doğrudanda , t=cosx əvəzləməsini götürsək, onda

olur və verilmiş inteqral

_{şəklinə gətirilir ki, bu da binomial diferensialın inteqralıdır
Aşağı və Yuxarı Darbu cəmləri.}

_{Sonlu [a ,b] parçasında məhdud olan ∀ ƒ(x) funksiyası götürək .[a ,b] parçasının}

_{bölgüsü üçün təyin olunmuş
və}

kəmiyyətləri vasitəsilə aşağıdakı cəmləri düzəldək.

_{Bu cəmlərə f(x) funksiyasının , uyğun olaraq ,aşağı və yuxarı Darbu cəmləri və ya aşağı və yuxarı interval cəmləri deyilir. Aydındır ki,}

_{bərabərsizliyini ödəyən hər bir məhdud f(x) funksiyası üçün}

_{Darbu cəmlərinin iki mühüm xassəsi vardır.}

_{Xassə 1. parçasının T bölgü nöqtələri sırasına yeni bölgü nöqtələri əlavə etdikdə aşağı Darbu cəmi azalmaz, yuxarı Darbu cəmi isə artmaz .}

_{Xassə 2. İstənilən bir T1 bölgüsünə uyğun olan aşağı Sn(T1) Darbu cəmi , ixtiyari başqa bir T2 bölgüsünə uyğun olan yuxarı Sn(T2) Darbu cəmindən böyük ola bilməz.
Müəyyən inteqralın tərifi.
Tərif. ƒ(x) funksiyası ücün [a,b] parçasında düzəldilmiş inteqral cəminin λ(T)→0 şərtində sonlu J limiti varsa , onda f(x) funksiyasına [a,b] parçasında inteqrallanan funksiya, J ədədinə isə onun [a,b] parçasında müəyyən inteqralı deyilir və}

_{Burada f(x) funksiyası inteqralaltı funksiya , a və b ədədləri , uyğun olaraq , müəyyən inteqralın aşağı və yuxarı sərhədləri, x dəyişəni isə inteqrallama dəyişəni adlanır.}

_{Müəyyən inteqralın əsas xassələrı.}

_{Xassə 1. Sabit vuruğu müəyyən işarəsi xaricinə çıxarmaq olar.}

_{Xassə 2. Sonlu sayda funksiyalarının cəminin müəyyən inteqralı}

_{toplananların müəyyən inteqrallarının cəminə bərabərdir.}

_{Xassə 3. İstənilən c nöqtəsi üçün}

_{Xassə 4. parçasında olarsa, onda .}

_{Xassə 5. parçasında kəsilməyən istənilən funksiyası üçün}

_{Xassə 6. [a,b] parçasının ancaq bir nöqtəsində sıfırdan fərqli olan funksiyanın inteqralı sıfra bərabərdir.}

_{şəklində funksiyanın inteqralı sıfra bərabərdir ;}

_{Xassə 7. [a,b] parçasında inteqrallanan ƒ(x) və φ(x) funksiyalarının hasili də}

_{həmin parçada inteqrallanandır.}

_{Müəyyən inteqralın varlığı haqqında teorem .
Tutaq ki, f(x) sonlu parçasında məhdud funksiyadır. parçasının ∀ T bölgüsü üçün inteqral və Darbu cəmləri düzəldək ;}

_{Teorem1. parçasında təyin olunmuş məhdud funksiyasının bu parçada inteqrallanan olması üçün}

_{münasibətinin ödənilməsi zəruri və kafi şərtdir.
Orta qiymət teoremi.
Teorem. və φ(x) funksiyaları parçasında kəsilməyən funksiyalar olduqda və φ(x) funksiyası bu parçada işarəsini dəyişmədikdə , elə}

_{bərabərliyi ödənilir.
Nyuton-Leybnis düsturu.
Müəyyən inteqral bəhsində qeyd etdik ki, verilmiş funksiyanın müəyyən inteqralı həmin funksiya üçün düzəldilmlş ∫ cəminin limitidir. Lakin qeyd etmək lazımdır ki, bu üsulla müəyyən inteqralı hesablamaq əlverişli üsul deyildir. Çünki bu üsuldan istifadə etdikdə mürəkkəb cəminin limitini tapmaq lazım gəlir. Bu da cox vaxt mümkün olmur və ya müəyyən texnikİ cətinliklərlə bağlı olur. Bu səbəbdən də müəyyən inteqralın hesablanması üçün əlverişli olan Nyuton – Leybnis düsturunu öyrənmək lazım gəlir.}

_{Teorem. parçasında kəsilməyən ƒ(x) funksiyasıının ibtidai funksiyalarından biri Ф (x) funksiyasıdırsa , onda}

_{düsturu doğrudur. (1) Düsturuna Nyuton – Leybnis düsturu deyilir.}

_{İsbatı . Şərtə görə Ф (x) funksiyası [a,b] parçasında kəsilməyən funksiysının ibtidai funksiyalarından biridir. Bilirik ki, funksiyası da həmin funksiyanın ibtidai funksiyasıdır. Verilmiş funksiyanın iki ibtidai funksiyası bir birindən ancaq sabit bir ədədlə fərqlənə bilər. Buna görə də}

olmalıdır. Bu bərabərlikdə x=a götürsək və olduğunu nəzərə alsaq ,

c=-Ф(a) taparıq. Bu qiyməti (2) bərabərliyində yerinə yazıb , sonra da alınan bərabərlikdə x = b götürsək ;

_{Hissə – hissə inteqrallama .
Tutaq ki, u və v kəmiyyətləri x-in diferensiallana bilən funksiyalarıdır. Onda}

_{eyniliyin hər iki tərəfini parçasında inteqrallayaq ;}

_{ona görə (5) bərabərliyini}

_{şəklində yazmaq olar. Alırıq ki,}

_{Dəyişəni əvəzetmə üsulu.
Teorem . Tutaq ki, 1) funksiyaları parçasında kəsilməyəndir ;}

_{2) x=φ(t) funksiyası və onun (t) törəməsi parcasında kəsilməyəndir ;}

_{3) parcasında (1) münasibəti ödənilir.}

_{bərabərliyi doğrudur.Bu düstura müəyyən inteqralda dəyişəni əvəzetmə düsturu deyilir.}

_{Müəyyən inteqralın təqribi hesablanması .
Düzbucaqlılar düsturu. Tutaq ki, parçasında kəsilməyən y=f(x) funksiyası verilmişdir və}

_{inteqralını təqribi hesablamaq tələb olunur.}

_{bunlara düzbucaqlılar düsturu deyilir.}

_{Trapeslər düsturu . Bu halda (1) əvəzinə}

_{təqribi bərabərliyi götürülür. Bu təqribi bərabərlikləri tərəf-tərəfə toplasaq}

_{təqribi bərabərliyi alınır. Buna (1) müəyyən inteqralının təqribi hesablanması üçün}

_{trapesiyalar düsturu deyilir.}

_{(1) Inteqralını təqribi hesablamaq üçün bu halda parçasını}

nöqtələri vasitəsilə 2n sayda bərabər hissələrə ayırırlar.

_{təqribi bərabərliyini alarıq.}

_{Əyri qövsünün uzunluğu.
Tutaq ki, əyri müstəvi üzərində düzbucaqlı koordinat sistemində y=f(x) tənliyi ilə verilmişdir. Bu əyrinin x=a və x=b düz xəttləri arasındakı AB qövsünün uzunluğunu tapaq. AB qövsü üzərində absisləri}

_{xo=a, x1,x2. xi. b=xn olan y Mi B y=ƒ(x)}

_{cəkək . Bu vətərlərin uzunluqlarını M1}

_{işarə edək. Beləliklə , AB qövsü da- 0 a x1 x2 xi-1 xi b x}

_{xilinə cızılmış AM1M2. Mn-1B sınıq}

_{xəttini alarıq. Bu sınıq xəttin uzunluğu}

AB qövsü daxilinə cızılmış sınıq xəttin ən böyük tərəfi sıfra yaxınlaşarkən həmin sınıq xətt uzunluğunun yaxınlaşdığı limitə qövsünün S uzunluğu deyilir.

funksiyası və onun törəməsi parçasında kəsilməz olduqda həmin limitin varlığını biz indi isbat edəçəyik. Eyni zamanda qövs uzunluğunun hesablanması qaydasını verəcəyik. Bunun üçün

olduğunu qəbul edək. Onda

Loqranj teoreminə əsasən burada x_i-1 Fırlanmadan alınan cismin həcmi.

y=f(x) əyrisi , Ox oxu və x=a, x=b düz xəttləri ilə əhatə olunmuş aABb əyrixəttli trapesin Ox oxu ətrafında fırlanmasından əmələ gələn cismin həcmini

ddüsturu ilə hesablanır.

Firlanmadan alınan səthin sahəsi.
y=f(x) müstəvi əyrisinin Ox oxu ətrafında fırlanmasından alınan səth

düsturu ilə hesablanır.

Kompleks dəyişənli funksiyaların limiti və kəsilməzliyi.

Tutaq ki, E, z kompleks ədədlərinin müəyyən çoxluğudur. Z-in E çoxluğundakı hər bir qiymətinə bir W kompleks ədədi uyğun (qarşı) qoyma qanunu (qaydası) göstərildikdə deyirlər ki, E çoxluğunda W=ƒ(z) kompleks funksiyası verilmişdir. Z dəyişəni sərbəst dəyişən və ya arqument, W asılı dəyişən və ya funksiya adlanır. E çoxluğuna funksiyanın təyin oblastı deyilir.

Verilmlş z₀ nöqtəsində və onun müəyyən ətrafında təyin olunmuş W=ƒ(z) funksiyasının z→z₀ şərtində sonlu limiti varsa və bu limit ƒ(z) funksiyasının z₀ nöqtəsindəki ƒ(z₀) qiymətinə bərabərdirsə , yəni

münasibəti ödənilərsə , onda ƒ(z) funksiyasına z=z_o nöqtəsində kəsilməyən funksiya deyilir.

Koşi teoremi.
Teorem . Birrabitəli məhdud oblastında analitik W=ƒ(z) funksiyasının həmin oblastda yerləşən qapalı Г konturu üzrə inteqralı sıfıra bərabərdir.

Koşi düsturu.
Fərz edək ki, W=ƒ(ξ) funksiyası qapalı Г konturu ilə əhatə olunmuş birrabitəli oblastında analitik funksiyadır. Onda oblastının istənilən nöqtəsində

bərabərliyi doğru olur.

Diferensial tənliklər haqqında ümumi anlayışlar.
Sərbəst dəyişən x, asılı dəyişən y və onun törəmələri daxil olan tənliyə diferensial tənlik deyilir. y- dəyişəninin tənliyə daxil olan ən yüksək törəməsinin tərtibinə diferensial tənliyin tərtibi deyilir. n tərtibli diferensial tənliyi aşağıdakı kimi göstərmək olar;

Məsələn , birinci tərtib

y ı =3x 2 (2)

diferensial tənliyinə baxaq. İnteqral hesabından məlumdur ki, (2) şərtini ödəyən bütün funksiyalar y = x 3 +c şəklində verilir, burada c ixtiyari sabitdir. Bu onu göstərir ki, (2) tənliyinin sonsuz sayda həlləri vardır. Ümumiyyətlə isbat edilmişdir ki, birinci tərtib diferensial tənliyin həlli bir ∀ sabitdən , n tərtibli diferensial tənliyin həlli isə n ∀ sabitdən asılı funksiyalardır.

Diferensial tənliyin həllinin tapılması prosesinə diferensial tənliyin inteqrallanması deyilir. Diferensial tənliyinin ∀ sabitlərdən asılı həllinə onun ümumi həlli deyilir. Diferensial tənliyin ümumi həllinə daxil olan sabitlərin qeyd olunmuş qiymətlərində alınan həllərə xüsusi həllər deyilir.

Diferensial tənliyin həllinin qrafikinə bu tənliyin inteqral əyrisi deyilir. Birtərtibli diferensial tənliyin inteqral əyriləri müstəvi üzərində bir parametrdən asılı əyrilər ailəsi təşkil edir.

Diferensial tənliyi həll etmək , onun inteqral əyriləri ailəsini təyin etmək deməkdir. Əgər diferensial tənliyinin həllinin tapılması müəyyən funksiyaların , qeyri-müəyyən inteqrallarının tapılmasına gətirilirsə , bu halda tənliyə kvadratura ilə həll edilən tənliklər deyilir.

Qeyd edək ki, mexanikanın , fizikanın , astranomiyanın və başqa təbiət elimlərinin bir çox məsələlərinin həlli diferensial tənliklərə gətirilir.

Birtərtibli diferensial tənliklər.
Birinci tərtib diferensial tənliyinin ümumi şəkli aşağıdakı kimidir.

Bəzi hallarda bu tənliyi y ı dəyişəninə nəzərən həll edərək

şəklində yazmaq olar. Bu törəməyə nəzərən həll edilmiş birinci tərtib diferensial tənlikdir. Bu tənliyi bəzi hallarda ona ekvivalent olan

şəklində yazırlar. Ümumi halda bəzən birinci tərtib diferensial tənlik

şəklində tənliklərə deyilir.

Koşi məsələsi.
diferensial tənliyinin şərtini ödəyən , yəni x=x_o olduqda y=y_o

olan həllinin tapılması məsələsinə birinci tərtib diferensial tənlik ücün Koşi məsələsi deyilir. Həndəsi olaraq Koşi məsələsi tənliyin bütün inteqral əyriləri içərisindən M_o(x_o,y_o) nöqtəsindən keçən inteqral əyrisinin tapılmasından ibarətdir.

Mühazirəçi : R. F. D. dosent Orucova Rəna Üzeyir qızı Ədəbiyyat

-nin xüsusi parçalara verilmiş bölgüsunə və aralıq nöqtələrinin verilmiş seçiminə uyğun olan parçasında funk­siyası üçün inteqral cəmi adlandıracıq.

olan düzbucaq­ların sahələri cəminə bərabərdir (şəkil 1).

onda bu limit funksiyasının parçasında müəyyən inteqralı adlanır və aşağıdakı kimi işarə edilir

funksiyasına parçasında inteqrallanan funksiya de­yilir. – inteqralaltı funksiya, a və b ədədləri uyğun olaraq inteqralın aşağı və yuxarı sərhədləri, x isə inteqrallama dəyişəni adlanır.

yanlardan x ₌ a , x ₌ b düz xətləri ilə hüdudlanan fiqura deyilir.

Teorem . Əgər parçasında kəsilməzdirsə, onda həmin parçada inteqrallanandır.

2. Müəyyən inteqralın əsas xassələri

1. Müəyyən inteqral yalnız funksiyasının şəklindən və inteq­ralın sərhədlərindən asılı olur, inteqrallama dəyişənindən isə asılı olmur. Ona görə də inteqrallama dəyişənini istənilən hərflə işarə etmək olar:

4. a, b, c ədədlərinin neçə olmalarından asılı olmayaraq aşağıdakı bərabərlik doğrudur

6. Bir neçə funksiyanın cəbri cəminin müəyyən inteqralı toplananların inteqrallarının cəbri cəminə bərabərdir

7. Əgər parçasınında olarsa, onda

parçasında olarsa, onda

parçasında təyin olunmuş funksiyası üçün aşağıdakı bərabərlik doğrudur:

İnteqralların hansı növləri var?

The inteqral növləri hesablamalarda tapdığımız qeyri -müəyyən inteqrallar və qəti inteqrallardır. Müəyyən inteqralların qeyri-müəyyən inteqrallardan daha çox tətbiqi olsa da, ilk növbədə qeyri-müəyyən inteqralların həllini öyrənmək lazımdır.

Müəyyən inteqralların ən cəlbedici tətbiqlərindən biri, inqilab cisminin həcminin hesablanmasıdır. Hər iki növ inteqral eyni xətti xüsusiyyətlərə malikdir və bundan əlavə, inteqrasiya üsulları inteqralın növündən asılı deyildir.

Ancaq çox oxşar olmasına baxmayaraq, bir əsas fərq var; birinci növ inteqralda nəticə funksiyadır (xüsusi deyil), ikinci tipdə isə nəticə ədəddir.

İnteqralların əsas növləri

İnteqrallar dünyası çox genişdir, lakin içərisində gündəlik həyatda böyük tətbiq oluna bilən iki əsas inteqral növünü ayırd edə bilərik.

1- Qeyri-müəyyən inteqrallar

Əgər f dairəsində olan bütün x üçün F ‘(x) = f (x) olarsa, biz deyirik ki, F (x) f (x)-in antitörəmə, primitiv və ya inteqralıdır.

Digər tərəfdən, (F (x) + C) ‘= F’ (x) = f (x) olduğunu müşahidə edək ki, bu da funksiyanın inteqralının unikal olmadığını göstərir, çünki fərqli dəyərlər verir. sabit C fərqli antiderivatives əldə edəcəyik.

Bu səbəbdən F (x) + C -yə f (x) -in qeyri -müəyyən inteqralı, C -yə inteqrasiya sabiti deyilir və bunu aşağıdakı kimi yazırıq.

Gördüyümüz kimi, f (x) funksiyasının qeyri -müəyyən inteqralı funksiyalar ailəsidir.

Məsələn, f (x) = 3x² funksiyasının qeyri-müəyyən inteqralını hesablamaq istəyirsinizsə, əvvəlcə f (x) funksiyasının əks törəməsini tapmalısınız.

F (x) = x³-nin antiderivativ olduğunu görmək asandır, çünki F ’(x) = 3x². Buna görə də belə bir nəticəyə gəlmək olar

∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.

2- Müəyyən inteqrallar

Y = f (x) qapalı [a, b] intervalında həqiqi, davamlı bir funksiya olsun və F (x) f (x) əleyhinə vasitə olsun. a və b hədləri arasında f (x)-in müəyyən inteqralına F (b) -F (a) ədədi deyilir və aşağıdakı kimi işarələnir.

Hesablamanın əsas teoremi

Yuxarıda göstərilən düstur daha yaxşı “Hesablamanın Əsas Teoremi” olaraq bilinir. Burada “a” a alt hədd, “b” yə isə yuxarı hədd deyilir. Gördüyünüz kimi, funksiyanın müəyyən inteqralı ədəddir.

Bu halda, [0,3] intervalında f (x) = 3x² -nin müəyyən inteqralı hesablanarsa, bir ədəd alınar.

Bu ədədi müəyyən etmək üçün f (x) = 3x²-in əks törəməsi kimi F (x) = x³ seçirik. Sonra F (3) -F (0) hesablayırıq ki, bu da bizə 27-0 = 27 nəticə verir. Sonda, [0,3] intervalında f (x) -in müəyyən inteqralı 27 -dir.

Qeyd etmək olar ki, əgər G (x) = x³ + 3 seçilərsə, G (x) F (x) dən fərqli olaraq f (x) əleyhinədir, lakin G (3) – dən bəri nəticəyə təsir etmir. G (0) = (27 + 3) – (3) = 27. Bu səbəbdən də müəyyən inteqrallarda inteqrasiya sabiti görünmür.

Bu tip inteqralın ən faydalı tətbiqlərindən biri, uyğun funksiyaları və inteqrasiya sərhədlərini (və fırlanma oxunu) quraraq düz bir fiqurun sahəsini (həcmini) hesablamağa imkan verməsidir.

Müəyyən edilmiş inteqrallar içərisində biz onun müxtəlif uzantılarını tapa bilərik, məsələn, xətt inteqralları, səth inteqralları, düzgün olmayan inteqrallar, çoxsaylı inteqrallar və digərləri arasında elm və mühəndislikdə çox faydalı tətbiqlərlə.

İstinadlar

1. Casteleiro, J. M. (2012). İnteqrasiya etmək asandır? Öz-özünə iş təlimatı. Madrid: ESIC.
2. Casteleiro, J. M., & Gómez-vlvarez, R. P. (2002). İnteqral hesab (Şəkil red.). Madrid: ESIC Redaksiyası.
3. Fleming, W. və Varberg, D.E. (1989). Hesablama Öncəsi Riyaziyyat. Prentice Hall PTR.
4. Fleming, W. və Varberg, D.E. (1989). Precalculus riyaziyyatı: problem həll yanaşması (2, İllüstrasiyalı red.). Miçiqan: Prentice Hall.
5. Kishan, H. (2005). İnteqral Hesablama. Atlantik Nəşriyyatları və Distribyutorları.
6. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Hesablama (Doqquzuncu nəşr). Prentice Hall.