Qeyri-müəyyən inteqral. Müəyyən olmayan inteqralların hesablanması

Əgər ∫f (x) dx = F (x), onda ∫f (x + a) dx = F (x + a) + C. Buna diferensial işarənin altına sabit bir müddət gətirmək deyilir. Diferensial işarənin altına sabit bir amil də əlavə edilə bilər: ∫f (ax) dx = F (ax) / a + C. Bu iki hiyləni birləşdirərək əldə edirik: ∫f (ax + b) dx = F (ax + b)) / a + C. Məsələn, f (x) = sin (2x + 3) olduqda ∫f (x) dx = -cos (2x + 3) / 2 + C.

Qeyri-müəyyən inteqral: xassələr, tətbiqlər, hesablamalar (nümunələr)

The qeyri-müəyyən inteqral törəmənin tərs əməlidir və onu işarələmək üçün uzadılmış “s” simvolundan istifadə olunur: ∫. Riyazi olaraq F (x) funksiyasının qeyri -müəyyən inteqralı yazılır:

F (x) = f´ (x) inteqradı dəyişənin funksiyasıdır x, öz növbəsində inteqral və ya əks törəmə adlanan başqa f (x) funksiyasının törəməsidir..

Şəkil 1. Qeyri -müəyyən inteqral riyazi modelləşdirmə üçün ən güclü vasitələrdən biridir. Mənbə: Wikimedia Commons. Wallpoper / İctimai sahə.

Öz növbəsində, C kimi tanınan sabitdir sabit inteqrasiya, bu həmişə hər qeyri-müəyyən inteqralın nəticəsini müşayiət edir. Onun mənşəyini dərhal bir nümunə ilə görəcəyik.

Aşağıdakı qeyri -müəyyən I inteqralını tapmağımızı istədiyimizi düşünün:

Dərhal f´ (x) x ilə eyniləşdirilir. Bu o deməkdir ki, f (x) funksiyasını elə təmin etməliyik ki, onun törəməsi x olsun, bu çətin deyil:

F (x) -i fərqləndirərək f´ (x) əldə etdiyimizi bilirik, bunu yoxlayırıq:

İndi funksiya: f (x) = ½ x 2 + 2 də tələbi yerinə yetirir, çünki törəmə xətti və sabitin törəməsi 0 -dır. F (x) = verən digər funksiyalar bunlardır:

½ x 2 -1, ½ x 2 + 15; ½ x 2 – √2…

Və ümumiyyətlə formanın bütün funksiyaları:

Problemin düzgün cavablarıdır.

Bu funksiyalardan hər hansı birinə deyilir əleyhinə və ya f´ (x) = x-in primitividir və qeyri-müəyyən inteqral kimi tanınan funksiyanın bütün antitörəmələrinin bu çoxluğuna aiddir.

Primitivlərdən yalnız birini bilmək kifayətdir, çünki göründüyü kimi, aralarındakı yeganə fərq inteqrasiyanın sabit C -dir.

Əgər problem ilkin şərtləri ehtiva edirsə, C dəyərini onlara uyğunlaşdırmaq üçün hesablamaq mümkündür (aşağıdakı həll edilmiş nümunəyə baxın).

• 1 Qeyri-müəyyən inteqralı necə hesablamaq olar
  • 1.1 – İşlənmiş nümunə
  • 2.1 Hərəkət
  • 2.2 İqtisadiyyat
  • 3.1 Həlli

  Qeyri -müəyyən bir inteqralı necə hesablamaq olar

  Əvvəlki nümunədə, ∫x.dx hesablandığı üçün f (x) funksiyası məlum olduğu üçün inteqral ilə nəticələndi.

  Bu səbəbdən ən tanınmış funksiyalardan və onların törəmələrindən əsas inteqrallar tez həll edilə bilər.

  Bundan əlavə, inteqralın həlli zamanı imkanlar dairəsini genişləndirən bəzi vacib xüsusiyyətlər var. Ol k həqiqi bir rəqəm, onda doğrudur:

  1.- ∫kdx = k ∫dx = kx + C

  2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

  3.- ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

  4.- ∫x n dx = [x n + 1 / n + 1] + C (n ≠ -1)

  5.- ∫x -1 dx = ln x + C

  İnteqraldan asılı olaraq, inteqralların həlli üçün müxtəlif cəbri, eləcə də ədədi üsullar mövcuddur. Burada qeyd edirik:

  -Cəbri və triqonometrik əvəzetmələr.

  – Hissələr üzrə inteqrasiya

  -Rasional tipli inteqrallar üçün sadə kəsrlərdə parçalanma

  Birdən çox üsulla həll oluna bilən inteqrallar var. Təəssüf ki, verilmiş inteqralı həll etmək üçün ən effektiv metodu aprior müəyyən etmək üçün vahid meyar yoxdur.

  Əslində bəzi üsullar müəyyən inteqralların həllinə digərlərinə nisbətən daha tez çatmağa imkan verir. Ancaq həqiqət budur ki, inteqral həll etmək bacarığı əldə etmək üçün hər bir metodla təcrübə aparmaq lazımdır.

  – Nümunə həll edildi

  Subradikal kəmiyyət üçün sadə bir dəyişən dəyişikliyi edək:

  İki ifadədən birində hər iki tərəfin əldə edilməsi aşağıdakıları verir:

  İndi mən olaraq göstərəcəyimiz inteqralı əvəz edirik:

  I = ∫x √ (x-3) dx = ∫ (u + 3) (√u) du = ∫ (u + 3) u 1/2 du

  Dağıtım mülkiyyətini və bərabər əsaslı səlahiyyətlərin vurulmasını tətbiq edirik və əldə edirik:

  Mən = ∫ (u 3/2 + 3 u 1/2 ) du

  Əvvəlki hissədən 3 -cü əmlaka görə:

  Mən = mən 3/2 du + ∫ 3u 1/2 du

  İndi 4-cü xüsusiyyət tətbiq olunur, bu da kimi tanınır səlahiyyətlərin hakimiyyəti:

  İlk ayrılmaz

  Sən 3/2 du = [u 3/2 + 1 / (3/2 + 1)] + C₁ =

  İkinci inteqral

  ∫ 3u 1/2 du = 3 dəqiqə 1/2 du = 3 [u 3/2 / (3/2)] + C₂ =

  Sonra nəticələr I-də birləşdirilir:

  I = (2/5) u 5/2 + 2 u 3/2 + C

  İki sabit problem olmadan birinə birləşdirilə bilər. Nəhayət, əvvəllər edilmiş dəyişən dəyişikliyini qaytarmağı və nəticəni orijinal x dəyişəni ilə ifadə etməyi unutmayın:

  Mən = (2/5) (x-3) 5/2 + 2 (x-3) 3/2 + C

  Nəticəni hesablamaq mümkündür:

  I = 2 (x-3) 3/2 [(1/5) (x-3) +1] + C = (2/5) (x-3) 3/2 (x + 2) + C

  Tətbiqlər

  Qeyri -müəyyən inteqral təbii və sosial elmlərdə çoxsaylı modellərə aiddir, məsələn:

  Hərəkat

  Hərəkət məsələlərinin həllində, sürətini bilməklə mobilin sürətini hesablamaq və sürətini bilməklə mobilin vəziyyətini hesablamaq.

  İqtisadiyyat

  Məsələn, maddələrin istehsalı xərclərinin hesablanması və tələb funksiyasının modelləşdirilməsi ilə.

  Tətbiq məşqi

  Bir cismin Yerin cazibə qüvvəsindən qaçması üçün lazım olan minimum sürət aşağıdakı kimidir:

  -v, Yerdən qaçmaq istəyən cismin sürətidir

  -y planetin mərkəzindən ölçülmüş məsafədir

  -M torpaq kütləsidir

  -G qravitasiya sabitidir

  Aralarındakı əlaqəni tapmaq istənir v və və, qeyri -müəyyən inteqralların həlli, əgər obyektə ilkin sürət v verilirsə_{və ya} və Yerin radiusu məlumdur və R adlanır.

  Şəkil 2.- Süni Soyuz peyki. Çox sürət verilsə, Yerin cazibə qüvvəsindən qaçacaq, bunun üçün minimum sürətə qaçış sürəti deyilir. Mənbə: Wikimedia Commons.

  Həll

  İnteqrasiya qaydalarından istifadə edərək həll etmək üçün bizə iki qeyri -müəyyən inteqral təqdim olunur:

  Mən₂ = -GM ∫ (1 / y 2 ) dy = -GM ∫ y -2 dy = -GM [y -2+1 / (- 2 + 1)] + C₂ = GM. və -1 + C₂

  Mənə bərabər tuturuq₁ və mən₂:

  İki sabit bir yerə birləşdirilə bilər:

  İnteqrallar həll edildikdən sonra aşağıdakı şərtləri tətbiq edirik: cisim Yer səthində olduqda, mərkəzindən R məsafəsindədir. Açıqlamada y -nin Yerin mərkəzindən ölçülən məsafə olduğunu söyləyirlər.

  Və yalnız səthdə olmaq, planetin cazibə qüvvəsindən xilas olacağı ilkin sürət vo -nun verilməsidir. Buna görə v (R) = v olduğunu təyin edə bilərik_{və ya}. Bu halda, əldə etdiyimiz nəticədə bu şərti əvəz etməyimizə heç nə mane olmur:

  Və bəri v_{və ya} məlumdur və G, M və R də inteqrasiya sabitinin C dəyərini həll edə bilərik:

  Hansı ki, inteqralların nəticəsi ilə əvəz edə bilərik:

  Və nəhayət, v 2 , faktorinq və uyğun qruplaşdırma:

  Sürətlə əlaqəli ifadə budur v ilkin sürətlə planetin səthindən (R radiusunda) atılmış peykin vo, uzaqda olduqda və planetin mərkəzindən.

  İstinadlar

  1. Haeussler, E. 1992. İdarəetmə və İqtisadiyyat üçün Riyaziyyat. Qrup redaktoru Iberoamérica.
  2. Hiperfizika. Qaçış sürəti. Bərpa olundu: hthyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
  3. Larson, R. 2010. Bir dəyişənin hesablanması. 9 -cu. Nəşr. McGraw Hill.
  4. Purcell, E. 2007. Analitik həndəsə ilə hesablama. 9 -cu. Nəşr. Pearson Təhsil.
  5. Wolfram MathWorld. İnteqralların nümunələri. Mathworld.wolfram.com saytından bərpa edildi.

  Qeyri-müəyyən inteqral. Müəyyən olmayan inteqralların hesablanması

  Riyazi analizin fundamental sahələrindən biri də integral hesabdır. Bu, birincisi qeyri-müəyyən bir inteqral olduğu ən geniş obyektləri əhatə edir. Bu mövqeyə gəlincə, ali məktəbdə hətta daha yüksək riyaziyyatla təsvir olunan perspektivlər və imkanlar artan sayda olur.

  Görünüş

  İlk bakışta integral tamamilə müasir, müvafiqdir, amma praktikada bu, M.Ö. 1800- cü ildə ortaya çıxdı . Vətən rəsmi olaraq Misir olaraq qəbul edildi, çünki biz onun varlığının daha əvvəlki sübutlarını almadık. O, informasiya çatışmazlığı səbəbindən, bütün bu vaxt bir fenomen kimi yerləşdirilib. O, həmin dövr xalqları arasında elmin inkişaf səviyyəsini bir daha təsdiqlədi. Nəhayət, qədim yunan riyaziyyatçılarının M.Ö. 4-cü əsrlərə aid əsərləri tapılmışdır. Onlar bir əyri xətt həcmi və ya sahəsi (üç ölçülü və iki ölçülü təyyarələr müvafiq olaraq) tapmaq üçün müəyyən bir qeyri-müəyyən integral tətbiq bir üsul təsvir. Hesablama prinsipi, orijinal rəqəmin sonsuz komponentlərə bölünməsinə əsaslanaraq, onların həcmi (ərazisi) artıq məlum olmuşdur. Vaxt keçdikcə metod artdı, Arximed parabolanın sahəsini tapmaq üçün istifadə etdi. Analoji hesablamalar, eyni zamanda, qədim Çinli alimlər tərəfindən həyata keçirilmişdir, üstəlik onlar elmdə olan Yunan qardaşlarından tamamilə müstəqildirlər.

  İnkişaf

  11-ci əsrdə növbəti irəliləyiş ərəbcə “universal” Əbu Əli əl-Basrinin işi idi. Bu, əvvəlcədən dördüncüyə qədər bir sıra serialların və məcmu məbləğlərin hesablanması üçün formulun inteqrasiyasına əsaslanaraq, artıq bilinənlərin sərhədlərini genişləndirmişdir. Riyazi induksiya üsulu.
  Müasir ağıllar qədim Misirlilərin bəlkə də öz əlləri xaricində heç bir xüsusi uyğunlaşma olmadan gözəl arxitektura abidələr yaratdığına necə təəccüblənir, lakin o zaman alimlərin zehninin qüvvəsi az möcüzə deyildir? Müasir dövrlərlə müqayisədə, onların həyatı demək olar ki, primitiv görünür, lakin qeyri-müəyyən inteqralların həlli hər yerdə törədilib və daha da inkişaf üçün tətbiq olunurdu.

  Sonrakı addım 16-cı əsrdə, İtaliyalı riyaziyyatçı Cavalieri, bölünməz üsulu Pierre Fermat tərəfindən götürüldüyü zaman ortaya çıxdı . Hal-hazırda bilinən müasir integral hesabın təməlini qoyan bu iki şəxsdir. Onlar əvvəllər muxtar birliklər kimi qəbul edilən fərqləndirmə və inteqrasiya anlayışlarını birləşdirdilər. Yəqin ki, həmin dövrlərin riyaziyyat hissəsi parçalanmışdı, nəticələrin hissəcikləri məhdud bir tətbiq sahəsinə malik idi. Birləşmə yolu və ortaq torpaq axtarışı o dövrdə yeganə doğru idi, ona görə müasir riyazi analiz böyüməyə və inkişaf etməyə başladı.

  Vaxt keçdikdən sonra hər şey dəyişdi və inteqralın təyin edilməsi. Daha çox, məsələn, Newton bir inteqrasiya funksiyanı qoyan kvadrat ikiqat istifadə edən və ya sadəcə onun yanında qoyan elm adamları tərəfindən göstərildi. Bu anlaşılmazlıq 17-ci əsrə qədər davam etdi, ikitərəfli alim Gottfried Leibniz bütün riyazi analiz nəzəriyyəsinə görə bizi tanış olan simvolu təqdim etdi. Gərgin olan “S” əslində bu əlifbanın bu məktubuna əsaslanır , çünki antipodların cəmini ifadə edir. Adı 15 il sonra Jacob Bernoulli tərəfindən ayrılmışdır.

  Formal tərif

  Müəyyənləşdirilməmiş integral birbaşa antidrivivativin tərifindən asılıdır, buna görə əvvəlcə düşünün.

  İbtidai törəmə üçün tərs bir funksiyadır, praktikada da ibtidai deyilir. Əks təqdirdə: funksiyasındakı antidrivivativ funksiya D, onun törəməsi v V ‘= v. Antidivivativ araşdırma qeyri-müəyyən bir inteqralın hesablanmasıdır və prosesin özü inteqrasiya adlanır.

  Funksiyası s (y) = y 3 və antidrivivativ S (y) = (y 4/4).

  Baxılan funksiyanın bütün antidepresanlarının müəyyənləşdirilməməsi qeyri-müəyyən bir ayrılmazdır, aşağıdakı kimi ifadə edilir: ∫v (x) dx.

  V (x) yalnız orijinal funksiyadan birincil olduğundan, ifadəsi var: ∫v (x) dx = V (x) + C, burada C sabitdir. Özbaşısız sabit hər hansı bir sabit kimi başa düşülür, çünki onun törəməsi sıfırdır.

  Properties

  Müəyyən edilməmiş integral malik olan xüsusiyyətlər törəmələrin əsas təsvirinə və xüsusiyyətlərinə əsaslanır.
  Əsas nöqtələri nəzərdən keçirin:

  • Antidivivativin inteqrasiyası özü antidepresif bir plus bir özbaşına sabit C ∫V ‘(x) dx = V (x) + C;
  • Funksiyanın inteqralının törəməsi başlanğıc funksiyası (∫v (x) dx) ‘= v (x);
  • Sabit integral ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx əlamətindən çıxarılır, burada k kefi olur;
  • Bu məbləğdən alınan integral bərabərdir ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy məbləğinə bərabərdir.

  Son iki xüsusiyyətdən indiysiz integralin xətti olduğu qənaətinə gəlmək olar. Buna görə: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l ikw (y) dy.

  Müəyyənləşdirmək üçün qeyri-müəyyən inteqralların həlli nümunələrini nəzərdən keçiririk.

  Integral ∫ (3sinx + 4cosx) dx:

  • ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx – 3cosx + C

  Nümunədən bağlaya bilərik: qeyri-müəyyən inteqralların necə həll ediləcəyini bilmirəm? Bütün təfəkkürü tapın! Və aşağıda axtarış prinsipləri var.

  Metodlar və nümunələr

  Integralin həlli üçün aşağıdakı üsullara müraciət edə bilərik:

  • Hazırlanmış stoldan istifadə edin;
  • Hissələri ilə inteqrasiya;
  • Bir dəyişən dəyişdirərək inteqrasiya;
  • Diferensialın işarəsi altında qoşma.

  Masalar

  Ən asan və ən xoş yol. Hal hazırda riyazi analiz qeyri-müəyyən inteqralların əsas formullarının təyin olunduğu kifayət qədər geniş masalarla öyünə bilər. Başqa sözlə, sizdən və sizin üçün əldə edilən şablonlar var, yalnız istifadə etmək üçün qalır. Burada bir problemin həlli olan hər bir nümunənin əldə oluna biləcəyi əsas cədvəllərin bir siyahısı var:

  • ∫0dy = C, burada C sabitdir;
  • ∫dy = y + C, burada C sabitdir;
  • ∫y n dy = (y n + 1 ) / (n + 1) + C, burada C sabitdir, n isə qeyri-sıfır nömrədir;
  • ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, burada C sabitdir;
  • ∫e y dy = e y + C, burada C sabitdir;
  • ∫k y dy = (k y / ln k) + C, burada C sabitdir;
  • ∫cosydy = siny + C, burada C sabitdir;
  • ∫sinydy = -cosy + C, burada C sabitdir;
  • ∫dy / cos 2 y = tgy + C, burada C sabitdir;
  • ∫dy / sin 2 y = -qctqili + C, burada C sabitdir;
  • ∫dy / (1 + y 2 ) = arctg + C, burada C sabitdir;
  • ∫chydy = shy + C, burada C sabitdir;
  • ∫shydy = chy + C, burada C sabitdir.

  Lazım olsa, bir neçə addım atın, inteqralın masanın görünüşünə gətirin və zəfərdən zövq alın. Məsələn: ∫cos (5x -2) dx = 1/5 ∫cos (5x-2) d (5x-2) = 1/5 x sin (5x-2) + C

  Qərara əsasən, cədvəl nümunəsi üçün inteqranın 5-ci sürətinə malik olmamasıdır. Ümumi ifadənin dəyişməyəcəyi üçün paralel olaraq 1/5-ə çarpar.

  Bölmələrlə inteqrasiya

  Z funksiyasını (y) və x (y) nəzərə alın. Müəyyən edilmiş bütün sahələrdə daima fərqli olmalıdırlar. Fərqlilik xüsusiyyətlərindən birinə sahibik: d (xz) = xdz + zdx. Eşitlik hər iki tərəfi inteqrasiya, biz əldə: ∫d (xz) = ∫ (xdz + zdx) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

  Nəticədə yaranan bərabərliyi yenidən yazaraq, parçaların inteqrasiya metodunu təsvir edən bir formula əldə edirik: ∫zdx = zx – ∫xdz.

  Niyə lazım? Əslində, bəzi nümunələr ∫zdx-ni ∫xdz-ə endirmək üçün nisbətən sadələşdirmək imkanı verir, əgər ikincisi cədvəl formasına yaxındırsa. Bundan əlavə, bu formula birdən çox dəfə tətbiq edilə bilər, optimal nəticə əldə edir.

  Bu şəkildə qeyri-müəyyən inteqralları necə həll etmək olar?

  • ∫ (s + 1) e 2s ds hesablamaq lazımdır

  ∫ (x + 1) e2s ds = = ((s + 1) e2s ) / 2-1 / 2 ∫e 2s dx = ((s + 1) e2s) / 2-e 2s / 4 + C;

  • ∫lnsds hesablamaq lazımdır

  ∫lnsds = = slns – ∫s x ds / s = slns – ∫ds = slns -s + C = s (lns-1) + C.

  Dəyişən dəyişdirmə

  Müəyyənləşdirilməmiş olsa da, qeyri-müəyyən inteqralların həlli prinsipi əvvəlki 2-dən çoxdur. Metod aşağıdakılardan ibarətdir: V (x) funksiyası v (x) funksiyasının ayrılmaz olmasıdır. Məsələn məsələnin tərkib hissəsi çətinləşdiyində, qarışıqlıq və yanlış yola çıxmağın böyük bir şansı var. Bunun qarşısını almaq üçün, dəyişən x-dən z-ə keçid tətbiq olunur, burada x-nin x-ə asılılığının təmin olunduğu hallarda, ümumi ifadə vizual olaraq sadələşdirilir.

  Riyazi dilində aşağıdakı kimi görünür: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y ‘(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), x = y Z) bir permütadır. Və, əlbəttə, z = y -1 (x) funksiyası dəyişənlərin müstəqilliyini və qarşılıqlı təsirini tam olaraq təsvir edir. Əhəmiyyətli bir müşahidədir ki, diferensial dx mütləq yeni diferensial dz ilə əvəz olunur, çünki qeyri-müəyyən bir inteqralda bir dəyişənin əvəz edilməsi onu hər yerə dəyişdirməyi nəzərdə tutur və yalnız inteqrandadır.

  • ∫ (s + 1) / (s 2 + 2s – 5) ds tapmaq lazımdır

  Biz əvəzi z = (s + 1) / (s 2 + 2s-5) tətbiq edirik. Sonra dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds (s + 1) ds = dz / 2. Nəticədə, hesablamaq çox asan olan aşağıdakı ifadəni alırıq:

  ∫ (s + 1) / (s 2 + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s 2 + 2s-5 | + C;

  • Integral ∫2 s e s dx tapmaq lazımdır

  Həll üçün, ifadəni aşağıdakı formada yazırıq:

  ∫2 s e s ds = ∫ (2e) s ds.

  A = 2e (bu addımın dəyişdirilməməsi ilə əvəz olunmayaraq, hələ də var) ilə ifadə edərkən, ilk bakışta, kompleks inteqrasiyanı, elementar cədvəl formasına veririk:

  ∫ (2e) s ds = ∫a s ds = a s / lna + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 s e l / ln (2 + lne) + C = 2 s e / (Ln2 + 1) + C

  Diferensialın əlaməti altında çəkilməsi

  Müəyyən olmayan inteqralların bu üsulu dəyişən əvəz prinsipinin əkiz qardaşıdır, lakin dizayn prosesində fərqlər var. Daha ətraflı nəzər salaq.

  Əgər ∫v (x) dx = V (x) + C və y = z (x), onda ∫v (y) dy = V (y) + C

  Eyni zamanda, əhəmiyyətsiz inteqral dəyişiklikləri unutmamalıyıq:

  • Dx = d (x + a), burada hər hansı bir sabit;
  • Dx = (1 / a) d (ax + b), burada a bir daha sabitdir, lakin sıfıra bərabər deyil;
  • Xdx = 1 / 2d (x2 + b);
  • Sinxdx = -d (cosx);
  • Cosxdx = d (sinx).

  Əgər qeyri-müəyyən bir inteqrasiyanı hesablayarkən ümumi işi nəzərdən keçirsək, nümunələr w (x) dx = dw (x) ümumi formuluna endirilə bilər.

  • ∫ (2s + 3) 2 ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)

  ∫ (2s + 3) 2 ds = 1 / 2∫ (2s + 3) 2 d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) 2 ) / 3 + C = (1/6) X (2s + 3) 2 + C;

  ∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

  Onlayn yardım

  Bəzi hallarda ya tənbəllik və ya təcili tələbat ola biləcək təqsirsizliklər online məsləhətlərdən istifadə edə bilər, əksinə, qeyri-müəyyən inteqralların kalkulyatorundan istifadə edə bilərsiniz. İnteqralların bütün mürəkkəbliyi və mübahisələrinə baxmayaraq, onların həlli “əgər . olmasa . ” prinsipi əsasında qurulmuş müəyyən bir alqoritmaya tabedir.

  Əlbəttə ki, belə bir kalkulyatorun xüsusilə mürəkkəb nümunələri mənimsəmə bilməz, çünki həlli süni şəkildə tapılmalı, prosesdə müəyyən elementləri “zorla” tətbiq etməlidir, çünki nəticənin aşkar yollarına nail ola bilməz. Bu bəyanatın bütün mübahisələrinə baxmayaraq, həqiqətdir, çünki prinsipcə, riyaziyyat elmdir və onun əsas vəzifəsi imkanların sərhədlərini genişləndirməkdir. Həqiqətən də, problemsiz bir şəkildə hərəkət edən nəzəriyyələr üzərində hərəkət etmək və inkişaf etmək son dərəcə çətindir, buna görə verdiyimiz qeyri-müəyyən inteqralların həll nümunələri imkanların başıdır. Ancaq məsələin texniki tərəfinə qayıdaq. Ən azı hər şeyi yazılı olan xidmətlərdən istifadə edə biləcəyiniz hesablamaları yoxlamaq üçün. Mürəkkəb ifadənin avtomatik hesablanmasına ehtiyac varsa, onları dağıtmaq mümkün deyil, daha ciddi proqramlara müraciət etməlisiniz. İlk növbədə MatLab mühitinə diqqət yetirmək lazımdır.

  Ərizə

  İlk baxışdan qeyri-müəyyən inteqralların həlli tamamilə reallıqdan ayrıldığından görünür, çünki aydın tətbiq təyyarələrini görmək çətindir. Həqiqətən, hər hansı bir yerdə birbaşa istifadə edilə bilməz, amma praktikada istifadə olunan qərarların qəbul edilməsi prosesində vacib bir vasitədir. Beləliklə, inteqrasiya bərabər fərqlənir, ona görə tənliklərin həlli prosesində fəal iştirak edir.
  Öz növbəsində, bu tənliklər mexanik problemlərin həllinə, traektoriyaların hesablanmasına və istilik keçiriciliyinə birbaşa təsir göstərir – bir sözlə, gələcəyi yaradan və gələcəyi formalaşdıran hər şey. Yuxarıda nəzərdən keçirdiyimiz nümunələr qeyri-müəyyən inteqrasiya yalnız yeni baxımdan daha yeni olan kəşflər üçün əsas olduğundan, ilk baxışdan zəifdir.

  Qeyri-müəyyən Inteqralları Necə Tapmaq Olar

  İnteqrasiya və fərqləndirmə riyazi analizin əsasını təşkil edir. İnteqrasiya, öz növbəsində, müəyyən və qeyri-müəyyən integral anlayışlarına üstünlük verir. Qeyri-müəyyən inteqralın nə olduğunu bilmək və onu düzgün tapmaq bacarığı ali riyaziyyat öyrənən hər kəs üçün lazımdır. Qeyri-müəyyən inteqralları necə tapmaq olar

  Təlimat

  Addım 1

  Qeyri-müəyyən inteqrasiya anlayışı antidiviv funksiya anlayışından irəli gəlir. F (x) funksiyası, tərifinin bütün sahəsindəki F ′ (x) = f (x) olduqda, f (x) funksiyası üçün antidiviv deyilir.

  Addım 2

  Bir arqumentli hər hansı bir funksiyanın ən çox bir törəməsi ola bilər. Lakin antidiviv dərmanlarla belə deyil. F (x) funksiyası f (x) üçün antidivivdirsə, C-nin hər hansı bir sıfır olmayan sabit olduğu F (x) + C funksiyası da onun üçün antidivivdir.

  Addım 3

  Həqiqətən, fərqləndirmə qaydası ilə (F (x) + C) ′ = F ′ (x) + C ′ = f (x) + 0 = f (x). Beləliklə, f (x) üçün istənilən antidiviv F (x) + C kimi görünür. Bu ifadə f (x) funksiyasının qeyri-müəyyən inteqrasiyası adlanır və ∫f (x) dx ilə işarələnir.

  Addım 4

  Bir funksiya elementar funksiyalarla ifadə olunursa, onun törəməsi daima elementar funksiyalarla ifadə olunur. Lakin bu antidiviv maddələr üçün də doğru deyil. Sin (x ^ 2) kimi bir sıra sadə funksiyaların elementar funksiyalarla ifadə edilə bilməyən qeyri-müəyyən inteqralları vardır. Bunlar yalnız ədədi üsullarla inteqrasiya edilə bilər, lakin bu cür funksiyalar riyazi analizin bəzi sahələrində mühüm rol oynayır.

  Addım 5

  Qeyri-müəyyən inteqrallar üçün ən sadə düsturlar diferensiasiya qaydalarından götürülür. Məsələn, ∫ (x ^ 2) dx = (x ^ 3) / 3, çünki (x ^ 3) ′ = 3x ^ 2. Ümumiyyətlə istənilən n ≠ -1 üçün ∫ (x ^ n) dx = (x ^ (n + 1)) / (n + 1) olduğu doğrudur. N = -1 üçün bu ifadə mənasını itirir, lakin f (x) = 1 / x funksiyası buna baxmayaraq inteqrasiya olunur. ∫ (1 / x) dx = ∫dx / x = ln | x | + C. Qeyd edək ki, ln | x | funksiyası, ln (x) funksiyasından fərqli olaraq, 1 / x funksiyası kimi sıfır xaricində bütün real oxda təyin olunur.

  Addım 6

  F (x) və g (x) funksiyaları inteqrasiya olunarsa, onların cəmi də inteqrasiya edilə bilər və ∫ (f (x) + g (x) dx = ∫f (x) dx + ∫g (x) dx. F (x) funksiyası inteqrasiya olunarsa, thenaf (x) dx = a∫f (x) dx Bu qaydalar birləşdirilə bilər. Məsələn, ∫ (x ^ 2 + 2x + 1) dx = (x ^ 3) / 3 + x ^ 2 + x + C.

  Addım 7

  Əgər ∫f (x) dx = F (x), onda ∫f (x + a) dx = F (x + a) + C. Buna diferensial işarənin altına sabit bir müddət gətirmək deyilir. Diferensial işarənin altına sabit bir amil də əlavə edilə bilər: ∫f (ax) dx = F (ax) / a + C. Bu iki hiyləni birləşdirərək əldə edirik: ∫f (ax + b) dx = F (ax + b)) / a + C. Məsələn, f (x) = sin (2x + 3) olduqda ∫f (x) dx = -cos (2x + 3) / 2 + C.

  Addım 8

  İnteqrasiya olunan funksiya f (g (x)) * g ′ (x) şəklində təmsil oluna bilərsə, məsələn, sin ^ 2 (x) * 2x, bu funksiya dəyişən metodun dəyişməsi ilə inteqrasiya olunur: ∫f (g (x)) * g ′ (X) dx = ∫f (g (x)) dg (x) = F (g (x)) + C. Bu düsturun törəməsi üçün düsturdan götürülmüşdür mürəkkəb funksiya: f (g (x)) ′ = f ′ (g (x)) * g ′ (x).

  Addım 9

  İnteqrasiya edilə bilən funksiya u (x) * v ′ (x) kimi təmsil oluna bilərsə, thenu (x) * v ′ (x) dx = uv – ∫v (x) * u ′ (x) dx. Bu hissə-hissə inteqrasiya metodudur. U (x) törəməsi v (x) ilə müqayisədə çox sadə olduqda istifadə olunur. Məsələn, f (x) = x * sin (x) olsun. Burada u (x) = x, v ′ (x) = sin (x), buna görə v (x) = -cos (x) və u ′ (x) = 1. Sonra ∫f (x) dx = – x * cos (x) – ∫ (-cos (x)) dx = sin (x) – x * cos (x) + C

  Related posts:

  1. Sinifden xaric oxu 2 sinif pdf
  2. Azerbaycan sifahi xalq ədəbiyyatı numuneleri
  3. Ermnistan respublikası cmiyyti v terror
  4. Kurort tsrrufatının inkişaf