Matematikte Adını Sık Duyduğumuz Sayılar Teorisi Nedir

Elif Köse

Sayı teorisi

Geleneksel olarak, sayı teorisi , tam sayıların ( doğal veya bağıl tamsayılar ) özellikleriyle ilgilenen bir matematik dalıdır . Daha genel olarak, bu teorinin çalışma alanı, doğal olarak tamsayıların incelenmesinden kaynaklanan büyük bir problemler sınıfı ile ilgilidir. Sayı teorisi, hem diğer birçok alanla olan bağlantıları hem de teoremlerine ve açık uçlu problemlerine olan hayranlığı nedeniyle matematikte özel bir yere sahiptir. . Jürgen Neukirch’in aşağıdaki alıntısı bunu ifade ediyor :

“Sayı teorisi, diğer bilimler arasında matematiğin kendisine benzer şekilde matematik disiplinleri arasında ideal bir konuma sahiptir. “

” Aritmetik ” terimi de sayı teorisine atıfta bulunmak için kullanılır. Artık eskisi kadar popüler olmayan oldukça eski bir terimdir; Karışıklığı önlemek için yirminci yüzyılın başına kadar sayılar teorisi bazen “yüksek aritmetik” olarak da anılırdı. Bununla birlikte, sıfat aritmetiği , özellikle soruların ve çözümlerin tam sayılara veya bunların bazı uzantılarına sınırlandırılmasının önemli bir rol oynadığı matematiksel alanları ( aritmetik cebirsel geometri , eğrilerin ve eliptik yüzeylerin aritmetiği vb.) belirtmek için oldukça yaygın kalır . Belirleyici rol. Aritmetik teriminin bu anlamı, Peano’nun aritmetiğinde olduğu gibi, tamsayıları aksiyomlaştıran biçimsel sistemlerin incelenmesi için mantıkta kullanılan anlamla karıştırılmamalıdır .

Sayı teorisi, kullanılan yöntemlere ve ele alınan sorulara bağlı olarak çeşitli çalışma alanlarına bölünmüştür.

Özet

• 1 Sayı teorisinin çeşitli dalları
  • 1.1 Temel sayılar teorisi
  • 1.2 Analitik sayı teorisi
  • 1.3 Cebirsel sayı teorisi
  • 1.4 Diofan geometrisi
  • 2.1 Olasılıksal sayı teorisi
  • 2.2 Kombinatoryal sayı teorisi
  • 2.3 Algoritmik sayı teorisi
  • 3.1 Kökenler
    • 3.1.1 Aritmetiğin doğuşu
    • 3.1.2 Antik Yunanistan ve Helenistik dönemin başlangıcı
    • 3.1.3 Diophantus
    • 3.1.4 Āryabhaṭa, Brahmagupta, Bhāskara
    • 3.1.5 İslam Altın Çağında Aritmetik
    • 3.1.6 Orta Çağlarda Batı Avrupa
    • 3.2.1 Fermat
    • 3.2.2 Euler
    • 3.2.3 Lagrange, Legendre ve Gauss
    • 5.1 Atıfta bulunulan eserler
    • 6.1 İlgili makaleler
    • 6.2 Kaynakça
    • 6.3 Dış bağlantılar

    Sayı teorisinin çeşitli dalları

    Temel sayı teorisi

    Terimi, temel genellikle kullanmayan bir yöntem tanımlar karmaşık bir analiz . Örneğin, asal sayı teoremi 1896’da karmaşık analiz kullanılarak kanıtlandı, ancak 1949’a kadar Erdős ve Selberg tarafından temel kanıt bulunamadı . Terim biraz belirsizdir: örneğin, karmaşık Tauber teoremlerine (örneğin Wiener-Ikehara teoremi ) dayanan ispatlar genellikle çok aydınlatıcı olarak kabul edilir ancak basit değildir. Temel kanıt, çoğu okuyucu için temel olmayan kanıttan daha uzun ve daha zor olabilir.

    Sayı teorisi, pek çok sonucun meslekten olmayan kişiler tarafından anlaşılabileceği bir alan olarak ün kazanmıştır. Aynı zamanda, bu sonuçlara ilişkin kanıtlar, kısmen, kullandıkları araçların aralığı matematikte alışılmadık derecede geniş olduğu için özellikle erişilebilir değildir.

    Temel sayılar teorisindeki birçok soru basit görünür ancak çok derin bir değerlendirme ve aşağıdaki örnekler gibi yeni yaklaşımlar gerektirir:

    • Goldbach varsayım ifadesini ilgilendiren hatta sayıların bir şekilde toplamı iki asal ,
    • İkiz asal varsayımı hakkında sonsuzluğa ait çiftleri ardışık asal sayılar ve
    • Syracuse varsayım tek ilişkin yineleme .

    Diophantine denklemleri teorisinin karar verilemez olduğu bile gösterilmiştir , yani bir kişi, çözümlerin varlığı matematiğin olağan aksiyomları kullanılarak gösterilemeyen açık bir denklem oluşturulabilir (c’ Matiyasevich’in teoremidir ).

    Analitik sayı teorisi

    Riemann zeta fonksiyonu ζ ( s olarak) , kompleks düzlemin . Bir s noktasının rengi ζ ( s ) değerini kodlar : siyaha yakın renkler sıfıra yakın değerleri gösterirken, hue değer argümanını kodlar .

    • araçlarıyla ilgili olarak, yani gerçek ve karmaşık analiz araçları aracılığıyla tam sayıların incelenmesi ;
    • çıkarlarıyla ilgili olarak, yani kimliklerin aksine büyüklük ve yoğunluk tahminlerini incelemek.

    Elek teorisi gibi genel olarak analitik sayılar teorisinin bir parçası olarak kabul edilen bazı konular , bunun yerine ikinci tanımla tanımlanır.

    Modüler grubun düzlemdeki hareketi . Gri bölge, standart temel etki alanıdır .

    Analitik sayı teorisindeki problemlere örnek olarak asal sayı teoremi, Goldbach varsayımı (veya ikiz asal sayı varsayımı veya Hardy-Littlewood varsayımı ), Waring sorunu veya Riemann hipotezi verilebilir . Analitik sayı teorisindeki en önemli araçlardan bazıları daire yöntemi , elek yöntemleri ve L fonksiyonlarıdır . Teorisi modüler formlar (ve daha genel olarak Otomorf formları ) analitik sayıda teorik olarak giderek daha fazla yer işgal eder.

    cebirsel sayı teorisi

    Bir cebirsel sayı a, karmaşık sayı a çözüm polinom katsayılı alan . Örneğin, herhangi bir çözelti içinde bir cebirsel sayıdır. Cebirsel sayılar teorisi cebirsel sayılar alanlarını inceler. Bu nedenle, analitik ve cebirsel sayı teorileri örtüşebilir: birincisi yöntemleriyle, ikincisi çalışma nesneleri ile tanımlanır. S > x x 5 + ( 11 / 2 ) x 3 – 7 x 2 + 9 = 0 + (11/2) x ^ -7x ^ + 9 = 0>

    Ernst Kummer

    Bildiğimiz gibi bu dalında temelleri, sonunda kuruldu XIX inci yüzyıl, idealleri ve değerlendirme geliştirilmiştir. İdeallerin gelişimi için itici güç ( Ernst Kummer tarafından ), daha yüksek karşılıklılık yasalarının incelenmesinden, yani ikinci dereceden karşılıklılık yasasının genellemelerinden geliyor gibi görünüyor .

    Organları genellikle diğer küçük cisimlerinin uzantıları olarak incelenir: Bir vücut L bir olduğu söylenir uzantısı bir vücut ait K ise L içeriyor K’yi . Sınıflandırılması Abel uzantıları programı olmuştur sınıf alan teorisini sonunda başlatılan XIX inci (kısmen ile yüzyıl Kronecker ve Eisenstein , 1900 ile 1950 arasındaki büyük bir bölümü) ve gerçekleşmiştir.

    Iwasawa teori cebirsel sayılar teorik olarak aktif bir araştırma alanı bir örnektir. Matematikte büyük bir tam ölçekli güncel araştırma programı olan Langlands programı , bazen teori sınıflarını Abelian olmayan uzantılara genelleştirme girişimi olarak tanımlanır.

    diyofan geometrisi

    Diophantine geometrisi ile ilgili temel problem, bir Diophantine denkleminin ne zaman çözümleri olduğunu ve varsa kaç tane olduğunu belirlemektir. Kabul edilen yaklaşım, bir denklemin çözümlerini geometrik bir nesne olarak düşünmektir.

    Örneğin, iki değişkenli bir denklem düzlemde bir eğri tanımlar . Daha genel olarak, iki veya daha fazla değişkenli bir denklem veya denklem sistemi, n boyutlu bir uzayda bir eğriyi, bir yüzeyi vb. tanımlar . Diophantine geometrisinde, eğri veya yüzey üzerinde rasyonel noktalar (koordinatlarının tümü rasyonel olan noktalar ) veya tam noktalar (koordinatlarının tümü tamsayı olan noktalar ) olup olmadığı merak edilir . Bu tür noktalar varsa, bir sonraki adım kaç tane olduğunu ve nasıl dağıldığını sormaktır. Bu yöndeki temel soru şudur: belirli bir eğri (veya yüzey) üzerinde sonlu veya sonsuz sayıda rasyonel nokta var mı? Peki ya tam puanlar?

    Bir örnek Pisagor denklemi olabilir ; rasyonel çözümlerini, yani x ve y’nin her ikisi de rasyonel olacak şekilde çözümlerini incelemek istiyoruz . Bu, aşağıdakilerin tüm çözümlerini istemek anlamına gelir ; Bu denklemin her türlü çözümün bize bir çözüm sunuyor , . Bu, (bu eğri birim çember olur) ile tanımlanan eğri üzerinde rasyonel koordinatlara sahip tüm noktaları istemekle eşdeğerdir . x 2 + y 2 = 1 + y ^ = 1> ( x , y ) de 2 + b 2 = vs 2 <\ displaystyle a ^ + b ^ = c ^ > x = de / vs y = b / vs x 2 + y 2 = 1 + y ^ = 1>

    Eliptik eğrilere iki örnek . Bunlar dört boyutlu bir simit dilimi olarak görülebilir .

    Denklemlerdeki soruların eğriler üzerindeki noktalar açısından yeniden formüle edilmesi başarılı oluyor. Bir cebirsel eğri üzerindeki rasyonel ya da tamsayı noktalarının sayısının sonluluğu ya da başka türlüsü, kritik olarak eğrinin cinsine bağlıdır. Bu alan Diophant yaklaşımlarıyla yakından ilişkilidir : bir sayı verildiğinde, rasyonaliteye ne kadar yakın olabilir? ( Aralarında a ve b asal olan bir rasyonelin , nerede büyük olduğu için iyi bir yaklaşım olduğunu düşünüyoruz .) Bu soru, eğer bir cebirsel sayı ise özellikle ilgi çekicidir . Eğer iyi yaklaşmıştır edilemez, sonra bazı eşitlikler, tam veya rasyonel çözümler yoktur. Ek olarak, hem Diophantine geometrisinde hem de Diophantine yaklaşımlarının çalışmasında birçok kavramın çok önemli olduğu kanıtlanmıştır. Bu soru, aşkın sayılar teorisinde de özellikle ilgi çekicidir : eğer bir sayıya herhangi bir cebirsel sayıdan daha iyi yaklaşılabiliyorsa, o zaman aşkın bir sayıdır . Bu argümanla, bu kanıtlanmıştır ve aşkındır. de / b x | x – de / b | < 1 b vs >>> vs x x π e >

    Diophantine geometrisi , cebirsel sayı teorisindeki belirli soruları yanıtlamak için grafik yöntemlerin bir koleksiyonu olan sayı geometrisi ile karıştırılmamalıdır . Aritmetik geometri terimi, şüphesiz en sık olarak , Diophantine yaklaşım teknikleri yerine modern cebirsel geometriyle ( Faltings teoremi gibi ) bağlantıları vurgulamak istendiğinde kullanılır .

    Son yaklaşımlar ve dallar

    Olasılıklı sayı teorisi

    Bir ile bir milyon arasında rastgele bir sayı alındığında, asal olma olasılığı nedir? Bu, bir ile bir milyon arasında kaç tane asal sayı olduğunu sormanın başka bir yoludur. Ve ortalama olarak kaç bölücüye sahip olacak?

    Olasılıksal sayı teorisinin çoğu, neredeyse birbirinden bağımsız olan değişkenlerin çalışmasının bir dalı olarak görülebilir . Bazen titiz olmayan bir olasılıksal yaklaşım, bir dizi buluşsal algoritmaya ve açık problemlere, özellikle de Cramer varsayımına yol açar .

    kombinatoryal sayı teorisi

    Let A olmak bir dizi N tamsayılar. Setini düşünün A + A = < m + n | m , n, ∈ A > iki elemanlarının her toplamlar oluşur A . Mı A + A den çok daha büyük A ? Daha mı uzun? A , aritmetik bir diziye benziyor mu? Yeterince büyük bir sonsuz A kümesinden başlarsak , aritmetik ilerlemede çok sayıda eleman içeriyor mu? de + b , de + 2 b , de + 3 b , . , de + değil b

    Bu sorular kombinatoryal sayı teorisinin karakteristiğidir. Büyüme ve dağılım konularına olan ilgisi, kısmen ergodik teori , sonlu gruplar teorisi , model teorisi ve diğer alanlarla olan bağlarının gelişmesinden kaynaklanmaktadır . İncelenen kümelerin tamsayı kümeleri olması gerekmez, bunun yerine geleneksel olarak toplama sembolünün değil çarpma sembolünün kullanıldığı değişmeli olmayan grupların alt kümeleri olması gerekir ; halkaların alt kümeleri de olabilirler .

    Algoritmik sayı teorisi

    İki ana soru var: “Bunu hesaplayabilir miyiz?” Ve “hızlı bir şekilde hesaplayabilir miyiz?” “. Herkes bir sayının asal olup olmadığını test edebilir veya asal değilse asal çarpanlarına ayırabilir ; hızlı bir şekilde yapmak daha karmaşık hale gelir. Bugün , asallığı test etmek için hızlı algoritmalar biliyoruz , ancak çok fazla çalışmaya (hem teorik hem de pratik) rağmen, bu görev için hiçbir algoritma gerçekten hızlı değildir.

    Bir hesaplamanın zorluğu yararlı olabilir: modern mesaj şifreleme protokolleri (örneğin, RSA ) herkes tarafından bilinen, ancak tersleri yalnızca küçük bir sayı tarafından bilinen işlevlere bağlıdır ve bunları kendi kaynaklarıyla bulmak çok uzun sürer. . Sayı teorisi dışındaki birçok hesaplama problemi bilinirken, mevcut şifreleme protokollerinin çoğu birkaç teorik problemin zorluğuna dayanmaktadır.

    Görünüşe göre bazı şeyler hiç hesaplanamaz olabilir ; bu bazı durumlarda kanıtlanabilir. Örneğin, 1970 yılında, Hilbert’in onuncu problemi çözülerek, tüm Diophant denklemlerini çözebilecek bir Turing makinesinin olmadığı kanıtlandı . Bu, bir dizi hesaplanabilir ve numaralandırılabilir aksiyom verildiğinde, aksiyomlardan, denklem setinin tüm çözümleri olup olmadığına dair hiçbir kanıtı olmayan Diophantine denklemleri olduğu anlamına gelir.

    Tarih

    kökenler

    aritmetiğin şafağı

    Aritmetik bir doğanın tarihsel keşfi, bir tablonun bir parçasıdır: kırık kil tablet Plimpton 322 ( Larsa , Mezopotamya , yaklaşık 1800 M.Ö.) ” Pisagor üçlülerinin “, yani . Bunlar, kapsamlı araştırmalarla elde edilemeyecek kadar büyüktür . Tabletin düzeni, modern tabirle kimliğe karşılık gelen miktarlar kullanılarak inşa edildiğini gösteriyor. de 2 + b 2 = vs 2 + b ^ = c ^ >

    ( 1 2 ( x – 1 x ) ) 2 + 1 = ( 1 2 ( x + 1 x ) ) 2 > \ sol (x – > \ sağ) \ sağ) ^ + 1 = \ sol ( > \ sol (x + > \ sağ) \ sağ) ^ > .

    Babil sayı teorisi bu tek parçadan oluşurken, Babil cebiri ( lise “cebir” anlamında ) son derece iyi gelişmiştir. Pisagor matematiği Babillilerden öğrenmiş olurdu. Daha önceki birçok kaynak, Thales ve Pythagoras’ın Mısır’da seyahat ettiğini ve okuduğunu belirtir .

    √ 2’nin mantıksızlığının keşfi , ilk Pisagorculara atfedilir. Bu keşif, matematik tarihindeki ilk krize neden olmuş gibi görünüyor; ispatı ve yayılması bazen Pisagor mezhebinden kovulan Hippasus’a atfedilir . Bu, bir yanda sayılar (tamsayılar ve rasyoneller), diğer yanda uzunluklar ve oranlar (gerçek sayılar) arasında bir ayrım yapılmasını zorunlu kıldı.

    Çinli kalanlar teoremi Antlaşması bir egzersiz olarak görünür Sunzi Suanjing ( III E , IV , E veya V inci yüzyıl MÖ. ).

    Antik Yunanistan ve Helenistik dönemin başlangıcı

    Birkaç parça dışında, antik Yunanistan’ın matematiği bizim için ya çağdaş matematikçi olmayanların raporları ya da Helenistik dönemin matematiksel çalışmaları aracılığıyla biliniyor. Sayı teorisi söz konusu olduğunda, buna Platon ve Öklid dahildir . Plato matematikle ilgilendi ve aritmetik ile kalkülüs arasında açıkça ayrım yaptı. (Aritmetik, o sayısı hakkında teori duydum.) Bu Plato, diyaloglarında biri geçer Theaetetus , bunu biliyoruz Theodore kanıtladık olan irrasyonel sayılar . Theaetetus, Platon gibi Theodore’un bir öğrencisiydi; Farklı ölçülebilirlik türleri arasında ayrım yapmak için çalıştı ve bu nedenle dijital sistemlerin incelenmesinde tartışmasız bir öncüydü. 3 , 5 , . , 17 >, >, \ nokta, >>

    Öklid , Elementlerinin bir bölümünü asal sayılara ve bölünebilirliğe, sayı teorisinin ana konularına adadı ( Öklid’in Elementleri Kitapları VII’den IX’a ). Özellikle, iki sayının en büyük ortak bölenini ( Elementler , Prop. VII.2) ve sonsuz asal sayıların varlığının bilinen ilk kanıtını ( Elements , Prop. IX. 20) hesaplamak için bir algoritma verdi .

    Diophantus

    Claude Gaspard Bachet de Méziriac tarafından Latince’ye çevrilen Arithmetica de Diophante’nin 1621 baskısının kapak sayfası .

    İskenderiyeli Diophantus hakkında çok az şey biliyoruz ; muhtemelen MS üçüncü yüzyılda, yani Öklid’den yaklaşık beş yüz yıl sonra yaşadı. Arithmetica görevi genellikle form veya içinde, polinom denklemlerin rasyonel çözümler bulmaktır sorunların bir koleksiyon veya . Bu nedenle günümüzde, rasyonel veya tamsayı çözümleri bulmamız gereken polinom denklemlerinden bahsettiğimizde Diophant denklemlerinden bahsediyoruz. f ( x , y ) = z 2 > f ( x , y , z ) = w 2 >

    Diophantus esas olarak rasyonel çözümlerle ilgilenirken, herhangi bir tamsayının dört karenin toplamı olduğu gerçeği gibi doğal tamsayılar hakkında tahminlerde bulundu .

    Āryabhaṭa, Brahmagupta, Bhāskara

    Yunan astronomisi muhtemelen Hint öğrenimini trigonometriyi tanıtma noktasına kadar etkilemiş olsa da, Hint matematiğinin yerli bir gelenek olduğu görülüyor; Nitekim dair hiçbir kanıt yoktur Elemanları Öklid önce Hindistan ulaşmış XVIII inci yüzyılın.

    Aryabhata bağdaşım çifti olduğunu göstermiştir (476-550 MÖ.) , O adı verilen bir yöntem ile çözülebilir kuṭṭaka ; muhtemelen Hindistan’da bağımsız olarak keşfedilen Öklid algoritmasının yakın ve genelleştirilmiş bir prosedürüdür . Brahmagupta (628 BC) özellikle ikinci dereceden denklem çalışma başladı Pell-Fermat denklemi hangi, Arşimet zaten ilgi olmuştu ve sadece başladığı ile Batı’da çözülmesi gereken Fermat ve Euler . Genel bir yöntem, (Metot chakravala Pell denklemini çözmek için) Jayadeva (atıf ile saptanmıştır XI inci yüzyılda çalışmaları kaybolur); Hayatta kalan ilk maruz kalma , II . Bhāskara’nın Bija-ganita’sında görülür . Hint matematik sonuna kadar Avrupa’da bilinmeyen kalmıştır XVIII inci yüzyılın. Brahmagupta ve Bhāskara’nın eseri 1817’de Henry Colebrooke tarafından İngilizce’ye çevrildi . değil ≡ de 1 mod m 1 > _ > değil ≡ de 2 mod m 2 > _ >

    İslam Altın Çağında Aritmetik

    Johannes Hevelius, Selenographia (Gdansk, 1647). Solda Alhasen, İbnü’l-Heysem’in temsilleri, bilgiyi akıl yoluyla simgeleyen geometrik bir diyagramı ve sağda Galileo’yu elinde teleskop tutan ve bilgiyi duyular yoluyla simgeleyen .

    Erken IX inci yüzyılda Halife Memun (çok sayıda Rum matematik eserleri ve en az bir eser Sanskritçe çevirisini sipariş Sindhind veya olabilir de olmayabilir de, Brāhmasphuṭasiddhānta ait Brahmagupta ). Diophantus’un ana eseri Arithmetica , Qusta ibn Luqa (820-912) tarafından Arapçaya çevrildi. Roshdi Rashed göre alhazen , çağdaş bir El-Kerecî , sonradan adını alacak biliyordu Wilson teoremi .

    Orta Çağ’da Batı Avrupa

    Fibonacci’nin aritmetik ilerlemede kareler üzerine bir incelemesi dışında , Orta Çağ’da Batı Avrupa’da sayılar teorisinde hiçbir ilerleme kaydedilmedi . Eski Yunan eserlerinin yenilenmiş bir çalışması sayesinde, Rönesans’ın sonunda Avrupa’da işler değişmeye başladı.

    Modern sayı teorisi

    Fermat

    Pierre de Fermat.

    Pierre de Fermat (1601-1665) yazılarını hiç yayınlamadı; özellikle, sayı teorisi üzerine çalışması neredeyse tamamen Matematikçilere Mektuplar ve Özel Notlar ve Kenar Boşluklarında yer almaktadır. Sayı teorisinin kanıtını neredeyse hiç yazmadı. Sahada rol modeli yoktu. Sonsuz iniş yöntemini tanıtarak yineleme akıl yürütmesini tekrar tekrar kullandı . Fermat’ın ilk ilgi alanlarından biri mükemmel sayılar (ki bunlar Euclid’in Elements IX’unda görülür ) ve dost sayılardı ; bu, onu, zamanın matematik topluluğuyla temasa geçiren yazışmaların (1636 yılı ve sonrası) konuları arasında en başından beri olan tamsayı bölücüler üzerinde çalışmaya yönlendirdi. Diophantus’un Bachet baskısını dikkatle incelemişti; 1643’ten sonra ilgi alanları Diophantine ve kareler toplamı problemlerine döndü (ayrıca Diophantus tarafından ele alındı).

    Aritmetikte Fermat’ın sonuçları şunları içerir:

    • Fermat’ın little teoremi ise, belirten (1640), bir asal sayı ile bölünebilir değildir p , sonra . de p – 1 ≡ 1 mod p \ eşdeğer 1 >>
    • Eğer a ve b birbirine asal değilse, -1 modulo 4 ile uyumlu asal sayılara bölünemez ve 1 modulo 4 ile uyumlu herhangi bir asal sayı olarak yazılabilir . Bu iki ifade 1640 yılına aittir; 1659’da Fermat, Huygens’e son ifadeyi sonsuz inişle kanıtladığını yazdı . Fermat ve Frenicle, diğer ikinci dereceden formlar üzerinde bazı çalışmalar (bazıları hatalı) yaptılar. de 2 + b 2 + b ^ > de 2 + b 2 + b ^ >
    • Fermat, çözme problemini İngiliz matematikçiler için bir meydan okuma olarak ortaya koydu (1657). Sorun Wallis ve Brouncker tarafından birkaç ay içinde çözüldü. Fermat, çözümlerini geçerli olarak değerlendirdi, ancak kanıtsız bir algoritma sağladıklarına dikkat çekti (Fermat asla bilmeyecek olsa da Jayadeva ve Bhaskara gibi). Kanıtın sonsuz inişle bulunabileceğini belirtir. x 2 – DEĞİL y 2 = 1 <\ displaystyle x ^ -Ny ^ = 1>
    • Fermat, Diophantus (Obs XLV) üzerindeki gözlemlerin bir eki olarak (sonsuz iniş yoluyla), Diophantine denkleminin tamsayılarda önemsiz olmayan çözümleri olmadığını beyan ve ispat eder . Fermat, muhabirlerine ayrıca aşikar olmayan çözümlerin olmadığını ve bunun sonsuz inişle kanıtlanabileceğini belirtti. Bilinen ilk kanıt Euler’e aittir (1753, sonsuz iniş). x 4 + y 4 = z 4 + y ^ = z ^ > x 3 + y 3 = z 3 + y ^ = z ^ >

    Fermat’ın (“Fermat’ın son teoremi”) her şey için denklemin çözümünün olmadığını gösteren ifadesi, yalnızca Diophantus ‘ Arithmetica’nın bir kopyasının kenar boşluklarında görünür . x değil + y değil = z değil + y ^ = z ^ > değil ≥ 3

    Euler

    Leonhard Euler.

    Faiz Leonhard Euler arkadaşlarından birinin, amatör zaman sayılar teorisi için (1707-1783) ilk 1729 yılında uyarıldı Goldbach , konuyla ilgili Fermat çalışmalarının bazı geçmesini işaret etti. Bu, Fermat’ın çağdaşlarının dikkatini konuya çekmedeki göreceli başarısızlığından sonra, modern sayılar teorisinin “yeniden doğuşu” olarak adlandırılmıştır. Euler’in sayı teorisi üzerine çalışması şunları içerir:

    • Fermat’ın ifadelerinin kanıtı . Bu, Fermat’ın küçük teoremini (Euler tarafından asal olmayan modüllere genelleştirilmiş) içerir; gerçek şu ki ancak ve ancak ; dört kare teoreminin ispatına yönelik bir çalışma (ilk tam ispat Joseph-Louis Lagrange (1770) tarafından yapılmıştır, daha sonra Euler tarafından geliştirilmiştir); sıfır olmayan tamsayı çözümlerinin yokluğu ( Fermat’ın son teoreminin n = 4 durumunu ima ederek, n = 3 durumu da Euler tarafından ele alındı). p = x 2 + y 2 + y ^ > p ≡ 1 mod 4 >> x 4 + y 4 = z 2 + y ^ = z ^ >
    • Pell-Fermat denklemi ve onun bağlantı sürekli kesirler .
    • Analitik sayılar teorisine doğru ilk adımlar . Dört karenin toplamı, bölmeler , beşgen sayılar ve asal sayıların dağılımına ilişkin çalışmasında Euler , teoride analiz (özellikle sonsuz seriler ) olarak görülebilecek olanın kullanımına öncülük etti . Daha sonra Riemann zeta fonksiyonu olarak adlandırılacak olan şey üzerinde kayda değer (ancak tamamen titiz olmayan) erken çalışmalar yaptı .
    • Kuadratik formlar. Fermat’ın ardından Euler, hangi asal sayıların formda ifade edilebileceği sorusu üzerine araştırmasına devam etti ve böylece ikinci dereceden karşılıklılık yasasını haber verdi . x 2 + DEĞİL y 2 <\ displaystyle x ^ + Ny ^ >
    • Diofant denklemleri. Euler, bazı Diophant denklemleri üzerinde çalıştı. Özellikle, Diophantus’un çalışmalarını inceledi ve sistematikleştirmeye çalıştı, ancak böyle bir çaba için zaman henüz olgunlaşmamıştı – cebirsel geometri henüz emekleme aşamasındaydı. Diophant problemleri ile eliptik integraller arasında bir bağlantı olduğunu fark etti.

    Lagrange, Legendre ve Gauss

    Disquisitiones Arithmeticae , Carl Friedrich Gauss , ilk baskı.

    Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), Fermat ve Euler’in belirli çalışmalarına ve gözlemlerine – örneğin, dört kare teoremi ve Pell-Fermat denklemi teorisine – tam kanıtlar veren ilk kişiydi . Ayrıca denklik ilişkilerini tanımlayan ikinci dereceden formlar üzerinde çalıştı, bunların indirgenmiş forma nasıl yerleştirileceğini vb. gösterdi.

    Adrien-Marie Legendre (1752-1833) ikinci dereceden mütekabiliyet yasasını ilk ortaya koyan kişidir . Ayrıca bugünün aritmetik ilerlemeler üzerindeki asal sayı teoremi ve Dirichlet teoremi ile eşdeğer olduğunu tahmin etti . Denklemin tam bir analizini verdi . Hayatının sonunda, Fermat’ın n = 5 için son teoremini kanıtlayan ilk kişi oldu . de x 2 + b y 2 + vs z 2 = 0 + by ^ + cz ^ = 0>

    Carl Friedrich Gauss.

    Carl Friedrich Gauss ( 1777-1855 ), Disquisitiones Arithmeticae (1798) adlı eserinde ikinci dereceden karşılıklılık yasasını gösterdi ve ikinci dereceden formlar teorisini geliştirdi. Ayrıca uyum gösterimini tanıttı ve asallık testlerine bir bölüm ayırdı . Disquisitiones’ın son bölümü, birliğin köklerini sayılar teorisine bağlar . Bu şekilde Gauss, şüphesiz Évariste Galois’in ve cebirsel sayı teorisinin çalışmalarını başlatmıştır .

    Alt alanlara bölme

    Erken başlayarak XIX inci yüzyılın aşağıdaki gelişmeler yavaş yavaş meydana gelmiş:

    • Sayı teorisinin bir çalışma alanı olarak ortaya çıkışı.
    • Modern sayılar teorisi için gerekli olan modern matematiğin çoğunun gelişimi: karmaşık analiz , grup teorisi , Galois teorisi – cebirde daha fazla analiz ve soyutlama ile birlikte.
    • Sayı teorisinin modern alt alanlarına, özellikle analitik ve cebirsel sayı teorisine ilkel alt bölümü . Cebirsel sayı teorisi, karşılıklılık ve siklotomi çalışmasıyla ortaya çıkar, ancak ikincisi, soyut cebir ve değerleme teorisinin gelişimi ile gerçekten başladı . Analitik sayı teorisi için bir başlangıç ​​noktası , kanıtı Lfonksiyonlarını tanıtan ve asimptotik analizi içeren Dirichlet’in Aritmetik İlerlemeler Üzerine Teoremidir (1837) . Sayı teorisinde analitik fikirlerin ilk kullanımı, seri ve limitlerin kullanımıyla Euler’e (1730) kadar uzanır. Sayı teorisinde karmaşık analizin kullanımı daha sonra gelir: Bernhard Riemann’ın (1859) zeta fonksiyonu üzerindeki çalışması başlangıç ​​noktasıdır. Jacobi dört karenin teoremi (1839) analitik sayılar teorisi (öncü rol almıştır modüler formlar ).

    Alıntı

    “Matematik bilimin kraliçesidir ve sayılar teorisi matematiğin kraliçesidir. » Gauss

    Referanslar

    (fr) Bu makale kısmen veya tamamen Wikipedia makalesinden alınmıştır İngilizce başlıklı “ Sayı teorisi ” ( yazarların listesini görmek ) .

    1. ↑Sayı Alanlarının Kohomolojisine Giriş . “ Matematiğe uygun hale getirildi. Mathematik’in en iyi matematik bilgisine sahip olması için ideal bir sistemdir, ancak aynı zamanda matematiksel olarak da kabul edilebilir bir şeydir. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . “
    2. ↑ Örneğin bkz. Iwaniec ve Kowalski 2004 , s. 1.
    3. ↑ a ve bApostol 1976 , s. 7.
    4. ↑Granville 2008 , bölüm 1: ” Temel fark, cebirsel sayı teorisinde [. ] kişinin tipik olarak cevapları kesin formüllerle verilen soruları dikkate alması, oysa analitik sayı teorisinde [. ] kişinin iyi yaklaşımlar aramasıdır. . “
    5. ↑Granville 2008 , bölüm 3: ” [Riemann] şimdi Riemann zeta işlevi dediğimiz şeyi tanımladı [. ] Riemann’ın derin çalışması konumuz doğurdu [. ] “
    6. ↑ girişinde sözleri bakın Iwaniec ve Kowalski 2004 , s. 1: ” Ne kadar güçlü olursa olsun. ” .
    7. ↑Edwards 2000 , s. 79.
    8. ↑Martin Davis , Yuri Matiyasevich ve Julia Robinson , “Hilbert’s Tenth Problem: Diophantine Equations: Positive Aspects of a Negative Solution” , Felix E. Browder (ed.), Mathematical Developments from Hilbert Problems , AMS , koll. “Proc. Güzel. Saf Matematik. “( N O XXVIII.2) 1976 ( ISBN0-8218-1428-1 , zbMATH0346.02026 ) , s. 323-378 . Solomon Feferman tarafından düzenlenen The Collected Works of Julia Robinson’da yeniden basılmıştır , s. 269-378, AMS, 1996.
    9. ↑ Neugebauer ( Neugebauer 1969 , s. 36-40) tabloyu ayrıntılı olarak tartışır ve tesadüfen modern gösterimde Euclid’in yönteminden bahseder: ( Neugebauer 1969 , s. 39).
    10. ↑Neugebauer ve Sachs 1945 , s. 40.

    Olan Kısmı İngilizce metin Fransızca’ya çevrilmesi
    İngilizce metin çevirmek için:
    vadeli takiltum problemlidir. Robson işlemeyi tercih ediyor
    Olan Kısmı İngilizce metin Fransızca’ya çevrilmesi
    Çevirilecek İngilizce metin:
    ap.

    Proclus, 65.7 (örneğin, Morrow 1992 , s. 52) şu kaynakta alıntılanmıştır: O’Grady 2004 , s. 1. Proclus, Eudemus of Rhodes’un (artık yürürlükte olmayan) Geometers Kataloğu’nu kullanır . Ayrıca bkz. giriş, Morrow 1992 , s. xxx

    Olan Kısmı İngilizce metin Fransızca’ya çevrilmesi
    
    Çevrilecek İngilizce metin: Proclus’un güvenilirliği hakkında
    Olan Kısmı İngilizce metin Fransızca’ya çevrilmesi

    Çevrilecek İngilizce metin: Metnin tarihi, dahili kanıtlarla (= metinde varsayılan vergilendirme sistemleri) 220-420 AD (Yan Dunjie) veya 280-473 AD (Wang Ling) olarak daraltılmıştır.

    Olan Kısmı İngilizce metin Fransızca’ya çevrilmesi

    Çevrilecek İngilizce metin:
    Bu, sayı teorisinde diğer alanlardan daha fazlaydı ( Mahoney 1994 , s. 284). Bachet’nin kendi kanıtları “gülünç derecede beceriksizdi”

    Olan Kısmı İngilizce metin Fransızca’ya çevrilmesi

    Çevirilecek İngilizce metin:
    Fermat’ın yazışmalarının ilk konuları arasında bölenler (“tam parçalar”) ve sayı teorisinin dışındaki birçok konu vardı; Fermat’tan Roberval’a mektuptaki listeye bakın, 22.IX.1636

    Olan Kısmı İngilizce metin Fransızca’ya çevrilmesi

    İngilizce metin çevirmek için:
    Fermat aşağıdaki alıntıların tümü Varia Opera alınır Weil 1984 , adamdan. II. Standart Tannery & Henry çalışması, Fermat’ın ölümünden sonra orijinal olarak oğlu tarafından hazırlanan Varia Opera Mathematica’sının bir revizyonunu içerir.

    Olan Kısmı İngilizce metin Fransızca’ya çevrilmesi

    Çevrilecek İngilizce metin: Euler, başkalarına hak verme konusunda cömert davrandı ( Varadarajan 2006 , s. 14), her zaman doğru değil.

    Matematikte Adını Sık Duyduğumuz Sayılar Teorisi Nedir?

    Kimileri için sayı sadece sayıdır, kimileri için ise çok daha fazlası.

    Editör 13/03/2017 Son güncelleme: 12/09/2022
    4 dakika okuma süresi

    Şimdiye kadar âşık olan herkes, size önemli olanın âşık olunan kişi hakkındaki küçük şeyler olduğunu söyleyecektir. Günün sonunda paylaşılan aptalca şakalar, onun sabah kahvesi ritüelinin özellikleri, kâğıt kapaklı eski kitapları komodinin üstünde dizme şekli. Bu gibi birbirleriyle ilişkili detaylar bizi tanımlar.

    Please enable JavaScript

    Kimileri için de aşık olunan şey matematiğin kendisidir. Sayıların dünyasına bakar ve tıpkı sahip olduğunuz insanları asla sadece mesleği veya saç rengi ile tanımlamayacağınız gibi sayıların arkasındakini görür bu kişiler. 6, 28 ve 496 gibi sayılar basit bilgi taşıyıcılarından daha yüce bir şeye dönüşür onların gözünde. Kullanımlarından bağımsız olarak sayılar büyüleyici unsurlar haline gelir. Matematiksel ilişkileri, doğanın kendisini destekleyen muazzam bir sistemin karmaşıklığını ifade eder.

    Bazen göze çarpmayan ve geniş kapsamlı bu ilişkilerin çalışması, kimi zaman yüksek aritmetik olarak da anılan sayılar teorisidir. Sayı teorisyenleri… -2,-1,0,1,2 … olarak bildiğimiz tam sayıları mercek altına alır. Matematikçiler kısmen teorik kısmen deneysel olarak büyüleyici ve hatta beklenmedik matematiksel etkileşimleri keşfetmeye çalışırlar.

    Sayılar Teorisinde Hangi İlişkiler İncelenir?

    Aslında tam sayıları ilişkilerine dayanarak farklı sayı tiplerine sınıflandırıyoruz. Elbette, eşit miktarda bölünemeyen tek sayılar (1,3,5…) ve bölünebilen çift sayılar (2,4,6…) vardır. Bir sayının kendisi ile çarpılmasıyla ortaya çıkan karesel sayılar vardır. Örneğin; 2×2=4 ve 3×3=9, 4 ve 9 birer karesel sayıdır. 1(1×1=1) ve 9801(99×99=9801) de öyle. Bu sayıları ayrıca 2 2 , 3 2 , 1 2 ve 99 2 olarak gösteriyoruz.

    Şimdi, bu örneğe bir başka entrika ekleyelim. Bazı durumlarda karesel sayıları başka karesel sayılar elde etmek için toplayabiliriz ve Pisagor teoremini (a 2 +b 2 =c 2 ) sağlayan bu sayılara Pisagor üçlüsü denir. Örnek olarak 3 2 +4 2 =5 2 ya da 3,4,5. Sayılar teorisi, bu tür matematiksel ilişkilerin analiz edilmesi ile ilgilendiği kadar onlar hakkında yeni sorular sormayı da içerir. Fakat sadece sayılar teorisi nedir mi? Bir ispatı formüle etmek için neler yapılır? Ve neden bazı matematiksel sorular yüzyıllar boyunca cevapsız kalmaya devam ediyor?

    Sayılar Teorisinde Cevapsız Kalan Sorular

    Matematik dünyası hepsi kendine ait özelliklere sahip olan çok çeşitli sayı tipleri sunar. Matematikçiler sayılar ve sayı grupları arasındaki ilişkiler hakkında teoriler formüle eder. Teorilerini, aksiyomlarla (daha önce gerçek olarak kabul edilen ifadeler) ve teoremlerle (diğer teoremlere veya aksiyomlara dayalı ifadeler) desteklerler.

    Parlak ve yeni bir matematiksel teori inşa etmenin ilk adımı ise sayı ilişkileri hakkında teorik bir soru sormaktır. Örneğin; iki küpün toplamı bir küp olabilir mi? Yukarıdaki Pisagor üçlüsünü hatırladınız mı? (3,4,5) gibi bu sayı üçlüsü a 2 +b 2 =c 2 denklemini çözer. Peki ya a 3 +b 3 =c 3 ?

    Matematikçi Pierre de Fermat da küpler hakkında aynı soruyu sordu. 1637’de satır satır özenli bir mantık ile hiç şüphe bırakmadan iki küp toplamının bir küp olamayacağını gösteren matematiksel bir kanıt geliştirdiğini öne sürdü. Buna Fermat’ın Son Teoremi diyoruz. Ne yazık ki, notlarına tam kanıt sunmak yerine, Fermat sadece şunu yazdı: ” Bu önermenin gerçekten harika bir gösterimi var fakat kenar boşluğu bunu yazmak için çok dar”

    Devam eden üç buçuk asırdan daha fazla bir süre boyunca dünyadaki matematikçiler Fermat’ın kanıtını yeniden keşfetmek için beyhude bir çaba gösterdiler. Bu arayışı sürdüren neydi? Akademik gurur ve yalnızca soyut matematik sevgisi dışında hiçbir şey.

    Daha sonra 1993’te, Fermat zamanında henüz keşfedilmemiş olan bilgisayarlı matematik sayesinde İngiliz matematikçi Andrew Wiles 356 yıllık teoremi kanıtlamayı başardı. Uzmanlar, Fermat’ın bilgisayar öncesi çağda bu kadar olağanüstü bir kanıtı oluşturup oluşturmayacağını ya da hatalı olduğunu tartışmaya devam ediyorlar.

    Sayılar teorisindeki diğer sorular, sayılar ve sayı gruplarındaki çeşitli algısal ya da teorik örüntülerle ilgilidir. Her şey akılcı düşüncenin en önemli yönüyle başlar: örüntü tanıma. Brown Üniversitesi’nden matematikçi Profesör Joseph H. Silverman sayılar teorisinin 5 temel basamağını düzenledi.

    Sayılar teorisine tipik bir giriş örneği

    Sayılar Teorisinin 5 temel Basamağı

    • Matematiksel veya soyut verileri toplamak
    • Verileri incelemek ve örüntü ya da ilişkiler hakkında araştırma yapmak
    • Bu ilişkileri açıklayan bir varsayım oluşturmak (genellikle bir denklem şeklinde)
    • Varsayımı ilave verilerle test etmek
    • Varsayımın doğru olduğunu gösteren bir ispat tasarlamak. İspat bilinen gerçeklerle başlamalı ve istenen sonuç ile bitmeli.

    Bu nedenle, Fermat’ın son teoremi gerçekten 365 yıllık bir varsayımdı ve yalnızca 1993’te doğru bir teorem oldu. Diğerleri, mesela Öklid’in asal sayıların sonsuzluğu ispatı M.Ö. 300’den beri sağlam bir matematiksel akıl yürütme modeli olarak kaldı. Hem yeni hem de eski diğer sayı teorisi varsayımları halen ispatlanamadı.

    İnsan anlayışının sonlu olduğu kadar, sayılar sonsuzdur. Bu yüzden sayılar teorisi ve çeşitli alt alanları matematik severlerin aklını çağlar boyunca cezbetmeye devam edecektir. Eski problemler düşebilir fakat yeni ve daha çetrefilli varsayımlar ortaya çıkacaktır.

    Elif Köse

    • Şans ve Rastlantının Hesaplanması: Olasılık Kuramının Doğuşu
    • Küresel Üçgeni Bize Tanıtan İskenderiyeli Menelaus Ve Ünlü Teoremi
    • Fermat’ın Küçük Teoremi ve Asalmış Gibi Davranan Carmichael Sayıları
    • Fermat’ın Son Teoremi Neden Özeldir?
    • Matematiğin Gelişimine Önemli Katkı Sağlayan 9 Amatör Matematikçi

    Matematiksel

    Related posts:

    1. Müəllim ucun metodik vəsait 7-ci sinif riyaziyyat pdf
    2. Pedaqogika pdf sinifdə
    3. Riyaziyyat olimpiadası sualları 6ci sinif pdf
    4. Sinif rəhbərinin illik iş planı pdf 2018 2019