XƏTTİ CƏBR VƏ RİYAZİ ANALİZ»

olan iki funksiyann frqinin limiti. Limitlri olan iki funksi-
yann hasilinin limiti. Limitlri olan iki funksiyann qismtinin
limiti.
teoreminin kömyi il isbat. kinci mühüm limit. Brabrsizlikd
limit keçm teoreminin kömyi il ikinci mühüm limitin isbat.
Birinci mühüm limitin baqa kild yazl. kinci mühüm
limitdn alnan birinci ntic. kinci mühüm limitdn alnan ikinci
ntic. kinci mühüm limitdn alnan üçüncü ntic. kinci mü-
hüm limitdn alnan nticlr aid misallar.
MÖVZU 6.
silmyn funksiyann “artm mnada” trifi. Nöqtd soldan
ksilmyn funksiya. Nöqtd sadan ksilmyn funksiya.
Nöqtd ksilmyn funksiyann bu nöqtnin müyyn
trafnda mhdudluu. Nöqtd ksilmyn v sfrdan frqli
funksiyann bu nöqt trafnda öz iarsini saxlamas. Nöqtd
ksilmyn iki funksiyann cminin v frqinin bu nöqtd k-
silmzliyi. Nöqtd ksilmyn iki funksiyann hasilinin bu
nöqtd ksilmzliyi. kinci funksiya nöqtd sfrdan frqli
olduqda ksilmyn iki funksiyann qismtinin bu nöqtd k-
silmzliyi.
la biln ksilm nöqtsi. Birinci növ ksilm nöqtsi. Ikinci növ
ksilm nöqtsi.
siyann trifi. Veyertrasn birinci teoremi. Veyertrasn ikinci
teoremi.
luqda müntzm ksilmyn funksiyann bu çoxluqda ksil-
myn olmas. Çoxluqda ksilmyn olub hmin çoxluqda
müntzm ksilmyn olmayan funksiyaya misal. Müntzm
ksilmzliyin hndsi izah. Kantor teoremi.
MOVZU 7.
rinci trtib törmnin hndsi mnas. Funksiyann qrafikin to-
xunann tnliyi.
kild göstrilii. Nöqtd diferensiallanan funksiyann trifi.
Funksiyann nöqtd sonlu törmsinin varl il bu nöqtd
diferensiallanan olmasnn ekvivalentliyi. Nöqtd diferensi-
allanan funksiyann bu nöqtd ksilmzliyi. Nöqtd ksil-
myn, lakin diferensiallanan olmayan funksiyaya aid misal.
Diferensiallanan funksiyann funksiya artmnn xtti ba
hisssi. Funksiyann diferensialnn trifi. Yüksk trtibli dife-
rensiallar. Diferensiallanan funksiyann diferensial il funksiya
artmnn müqayissi. Diferensialn tqribi hesablamalara tt-
biqi.
diferensiallanmas. Diferensiallanan iki funksiyann frqinin di-
ferensiallanmas. Diferensiallanan iki funksiyann hasilinin
12
diferensiallanan funksiyann nisbtinin diferensiallanmas. Iki
diferensiallanan funksiyann nisbtinin törm düsturunun
çxarl.
funksiya v onun varl. Trs funksiyann diferensiallanma
qaydas. Parametrik kild verilmi funksiyann diferensial-
lanma qaydas. sas elementar funksiyalarn törmlri cd-
vli.
artmlar klind yazl. Koi teoremi. Laqranj teoremi Koi
teoreminin xüsusi hal kimi.
yynliklr üçün Bernulli-Lopital qaydas. 0 · ∞ klindki qeyri-
müyynliklr. ∞ – ∞ klindki qeyri-müyynliklr. 0 0 , ∞
∞ , 1
kli. Qalq hddinin Laqranj kli. Qalq hddinin Koi kli.
Qalq hddinin Peano kli.
ümumi kli. Makloren düsturundak qalq hddinin Laqranj
kli. Makloren düsturundak qalq hddinin Koi kli. Mak-
loren düsturundak qalq hddinin Peano klind yazl.
e x funksiyasnn Makloren düsturu üzr ayrl. sinx
funksiyasnn Makloren düsturu üzr ayrl. cosx funksiya-
snn Makloren düsturu üzr ayrl. ln(1+x) funksiyasnn

xətti cəbr və riyazi analiz

X ə tti c ə br v ə riyazi analiz 1. X ətti asılılığın tə rifin ə gör ə 0 3 2 1 c b a b ə rab ə rliyi 0 3 2 1 olduqda öd ə n ə rs ə onda b a , v ə c vektorları bazis ə m ə l ə g ə tirir. Veril ə nl ə ri n ə z ə r ə alsaq 0 4 0 0 2 7 3 0 3 5 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 t ə nlikl ər sistemini alarıq. Ücüncü t ə nlikd ə n 3 1 4 ə v ə zl ə m ə sini dig ə r iki t ə nlikd ə n ə z ə r ə alsaq 0 2 7 12 0 3 5 8 3 2 3 3 2 3 olar. Buradan 0 2 0 0 14 7 0 5 5 3 2 3 2 3 2 3 2 t ə r ə f-t ə r ə f ə çıxcaq 0 3 alarıq. Demə li 0 3 olduğunu digə r t ə nlikl ə rd ə n ə z ə r ə alsaq 0 3 2 1 alarıq. Dem ə li bu vektorlar bazis ə m ə l ə g ə tirir. d vektorun b a , v ə c vektorları üzrə x ətti kombinasiyasını tapmaq üçün d c b a 3 2 1 t ə nliyini h ə ll etm ə liyik. Veril ə nl ə ri n ə z ə r ə alsaq 3 4 0 12 2 7 3 4 3 5 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 alarıq. Axırıncı tənliyi olduğu kimi saxlayıb -2 – y ə vurub 1-ci t ə nlikl ə , -3- ə vurub 2-ci t ə nlikl ə toplayaq. 3 2 2 3 4 0 21 14 7 10 5 5 3 4 0 3 2 3 2 3 2 1 3 2 3 2 3 2 1 İkinci və ücüncü t ə nlikl ə ri t ə r ə f-t ə r əf cıxsaq 1 3 alarıq. Bu qiym ə ti 2-ci t ə nlikd ə n ə z ə r ə alsaq 1 2 1 2 2 olar. 1 3 olduğunu 3 4 3 1 t ə nliyind ə n ə z ə r ə alsaq 1 1 alarıq. Dem ə li yeni koordinatlar 1 ; 1 ; 1 d olar. Y ə ni c b a d x ətti kombinasiya alınar. 2. 0 0 60 60 , 5 , 3 , 2 c b ab c b a olarsa c b a d -nin uzu nluğunu tapın.

Post on 08-Feb-2017

Documents

• Xtti cbr v riyazi analiz 1. Xtti aslln trifin gr 0321 cba brabrliyi 0321 olduqda dnrs onda ba , v c vektorlar bazis ml gtirir. Verilnlri nzr alsaq 040 0273 0352 321 321 321 tnliklr sistemini alarq. cnc tnlikdn 31 4 vzlmsini digr iki tnlikd nzr alsaq 02712 0358 323 323 olar. Buradan 02 0 0147 055 32 32 32 32 trf-trf xcaq 03 alarq. Demli 03 olduunu digr tnliklrd nzr alsaq 0321 alarq. Demli bu vektorlar bazis ml gtirir. d vektorun ba , v c vektorlar zr xtti kombinasiyasn tapmaq n dcba 321 tnliyini hll etmliyik. Verilnlri nzr alsaq 340 12273 4352 321 321 321 alarq. Axrnc tnliyi olduu kimi saxlayb -2 y vurub 1-ci tnlikl, -3- vurub 2-ci tnlikl toplayaq. 32 2 340 21147 1055 340 32 32 321 32 32 321 kinci v cnc tnliklri trf-trf cxsaq 13 alarq. Bu qiymti 2-ci tnlikd nzr alsaq 121 22 olar. 13 olduunu 34 31 tnliyind nzr alsaq 11 alarq. Demli yeni koordinatlar 1;1;1 d olar. Yni cbad xtti kombinasiya alnar. 2. 00 6060,5,3,2 cbabcba olarsa cbad -nin uzunluunu tapn.
• Bilirik ki, ddd , brabrliyi dorudur. Burdan cccbbbaaa ;,;,; 22 alna bilr. 222;2;2;2 ;;2;2;;2; ; ccbCoscbcaCoscabbaCosbaa cccbcabbbaaa cbacbad 19251510964252 1532 2 15229 2 13224 Demli, 19d olar. 3. ? ba Bilirik, ki aaa ; brabrliyi dorudur. Hminin, 30;2; 22 bbaabababa 250;2 900;2650 30529;22 ba ba ba 125; ba alarq. Onda 5291252121;2 ; 22bbaa bababa 20400250650 alarq. 20 ba 4. a v b vektorlarnn bazis ml gtirdiyini yoxlamaq n 021 ba brabrliyindn 02 022 21 21 sistemini alarq. Trf-trf toplasaq 01 alarq. Yerin yazsaq 01 olar. Demli, trif gr a v b vektorlar bazis ml gtirir. P vektorunun koordinatlarn tapaq. 1;44;21;24;44;21;22;22 P Xtti ayrl n pba 21 rti dnmlidir.
• 12 422 21 21 sistemind tnliklri trf-trf toplasaq 51 alarq. Digr tnlikd yerin yazsaq 3624522 111 alarq. Demli, bap 53 alnar. 5. nR – d xtti asl olan vektorlar haqqnda teorem v isbat. Teorem 1. . 21 vektorlarnn xtti asl olmas n zruri v kafi rt bu vektorlardan he olmazsa birinin yerd qalanlarnn xtti kombinasiyas kimi gstrilmsidir. Zrurilik. Frz edk ki, . 21 vektorlar xtti asldr. Yni, (2) brabrliyi . 21 ddlrinin biri (msln, m) sfrdan frqli olduqda dorudur. Onda (2) brabrliyinin hr trfini m blsk vektorunu digrlri il aadak kimi ifad ed bilrik: 1 1 2 2 1 1 . . (4) Burada, 1,1 kimi iar etsk, onda (4) brabrliyini 112211. mm (5) klind yaza bilrik. Bu is o demkdir ki, vektoru 121 . vektorlarnn xtti kombinasiyas kimi gstril bilir. Kafilik. Frz edk ki, . 21 vektorlarndan biri (msln, ) yerd qalanlarnn xtti kombinasiyasdr. Yni, (5) brabrliyi dorudur. Onda (5) brabrliyini 01)(. 1m1m2211 (6) kimi yazsaq, 01 olduundan trif sasn . 21 vektorlarnn xtti asl olduunu alrq. Qeyd edk ki, gr . 21 vektorlarnn he olmazsa biri sfr vektordursa, onda bu vektorlar xtti asldr. Dorudan da frz etsk ki, 0 . Onda ,1 ,0. 132 gtrsk, (2) brabrliyi dnir. Yoxlamaq olar ki, . 21 vektorlarnn bir nesi xtti asldrsa, onda bu vektorlarn hams xtti asldr. 6. 132 531 412 A, 211 232 143 B, 112 211 324 Cmatrislri zrind qrupladrma qanununun ))()(( BCACAB doruuunu yoxlayn. 101811 3814 818 211 232 143 132 531 412 AB
• 101811 3814 818 ))(( CAB 73046 233942 142515 112 211 324 331 259 2910 112 211 324 211 232 143 BC 73046 233942 142515 331 259 2910 132 531 412 ))(( BCA ))()(( BCACAB -nun doruluunu yoxladq 7. Determinant anlay. Minor v cbri tamamlayc. Determinantn sas xasslri. n trtibli Anxn kvadrat matrisinin aij elementinin yerldiyi i-ci stri v j-ci stunu rti olaraq sildikdn sonra qalan elementlrin ml gtirdiyi n 1 trtibli kvadrat matrisin determinantn Mij il iar edk. Mij y aij elementinin minoru deyilir. Bu halda 1 11 1 1212111111 11. 1 (7) cmin n trtibli Anxn kvadrat matrisinin determinant deyilir. Xass 1. Determinantn btn stirlrinin onun uyun nmrli stunlar il yerini dyidikd determinantn qiymti dyimz. Yni, 21 22212 12111 21 22221 11211 . . . . . . . . . (1) sonrak xasslrini ancaq stirlri v ya ancaq stunlar n sylmk kifaytdir. Xass 2. Hr hans determinantn ixtiyari iki strinin (stununun) yerini dyisk, onda determinantn yalnz iarsi dyir. Yni, msln . . . . . . . . 21 11211 22221 21 22221 11211 . (2) Xass 3. ki stri v ya iki stunu eyni olan determinant sfra brabrdir. Xass 4. Determinantn hr hans bir stir (stun) elementlrinin ortaq vuru olarsa, hmin vuru determinantn iarsi xaricin xarmaq olar. Yni 21 22221 11211 21 22221 11211 . . . . . . . . . (4) Xass 4 onu gstrir ki, hasilini tapmaq n detAnxn nin hr hans bir stirinin (stununun) elementlrini hmin k ddin vurmaq lazmdr. Xass 5. Determinantn iki strinin (stunun) elementlri mtnasibdirlrs, hmin determinant sfra brabrdir.
• Xass 6. Determinantn hr hans strinin (stunun) btn elementlri sfrdrsa, onda determinant sfra brabrdir. Xass 7. Determinantn hr hans bir strinin (stununun) btn elementlri iki toplanann cmi klinddirs, hmin determinant iki determinantn cmin brabrdir: 1-ci determinantda hmin stir (stun) elementi olaraq 1-ci toplanan, 2-ci determinantda is hmin stir (stun) elementlri olaraq 2-ci toplanan gtrlr. Yni, msln 1-ci stir elementlri n 21 21 22221 11211 21 22221 11211 21 22221 1112121111 . . . a a . . . . . . . . . b (5) olur. Xass 8. Determinantn hr hans strinin (stununun) btn elementlrini bir dd vurub digr bir strinin (stununun) uyun elementlrinin zrin lav etsk determinantn qiymti dyimz. Yni,msln, 21 22221 2122122111 21 22221 11211 . . . . . . . . . (6) Xass 9. Determinantn hr hans stir (stun) elementlrinin, digr stirin (stunun) uyun elementlrinin cbri tamamlayclarna hasillrinin cmi sfra brabrdir. Yni, msln 0. 2122122111 . (7) 8. 233 120 031 A olarsa, 232 xxxf oxhdlisin uyun ?Af 3120 133 300 200 020 002 699 360 093 1219 413 391 200 020 002 699 360 093 430669603 220340300 030063001 100 010 001 2 233 120 031 3 233 120 031 233 120 031 232 EAAAf 9. 01 32A olarsa, 2324 23 xxxxf oxhdlisin uyun EAAAAf 2324 23 kild yaza bilrik.
• 3235 105102 20 02 03 96 64 1214 2428 8480 20 02 03 96 64 1214 0634 0216144 20 02 03 96 32 672 01 32 32 6344 10 012 01 323 01 32 01 322 01 32 01 32 01 324Af 10. gr determinantn hr hans stunu iki toplanann cmi klinddirs onu iki determinantn cmi kimi yaza bilrik. 11 11 11 21 21 21 12 12 12 121 121 121 12 12 12 11 11 11 2 2 2 2 2 2 22 22 22 2 2 2 22 22 22 22 22 22 c b a ccc bbb aaa ccc bbb aaa ccc bbb aaa ccc bbb aaa cccc bbbb aaaa ccc bbb aaa gr determinantn iki stunu eyni v ya mtnasibdirs, o determinant sfra brabrdir. Onda I toplanan v axrnc toplanan sfra brabr olar. Digr determinantlar da ayrsaq alarq. Buradan caacbcbcabab baaccbcabcab 2 2 222222 alarq. 1 1 1 20 1 1 1 1 1 1 0 21 21 21 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cc bb aa cc bb aa cc bb aa cc bb aa cc bb aa cc bb aa ccc bbb aaa
• 11. Determinantn uyun xasssini yazn v hmin xassdn istifad edrk mpk fed cba x mpkxpxk fedxexd cbaxbxa21 Determinantn hr hans stir v stunu iki toplanann cmi klinddirs, onda determinant el iki determinantn cmin brabrdir ki, birinci determinantda birinci toplanan, ikinci determinantda is ikinci toplanan olmaqla qalan elementlri is verilmi determinantda olduu kimi saxlanlr. Iki stri v ya stunu eyni olan determinant . brabrdir. Determinantn hr hans bir strinin v ya stununun btn elementlrinin ortaq vuruunu determinant iarsi xaricin xarmaq olar. Hr hans determinantn iki strinin yerini dyisk, onda determinant yalnz iarsini dyir. Determinantn mtnasib olan stirlri v ya stunlar varsa, bu determinant sfra brabrdir. Yuxarda qeyd etdiyimiz xasslr sasn verilmi determinant hesablayaq. mpk fed cba x mkp fde cab x mpk fed cba mppx feex cbbx mkxpx fdxex caxbx mpk fed cba mkxk fdxd caxa mpkxpx fedxex cbaxbx mpkxk fedxd cbaxa mpkxpxk fedxexd cbaxbxa 22 1 12 . 1123 2112 1121 A Bilirik ki, matrisin sfrdan frqli n yksk minorunun trtibin ranq deyilir. Ranq tapmaq n haiylyn minorlar sulundan istifad edk. 054112 212 M 08423641 123 112 121 3 M olduuna gr bu matrisin ranq 3Ar olar. Onda
• 0 123 112 121 3 M olduundan hm d bazis minoru olacaqdr. 13. Matrisin ranq v onun hesablanmas mxn ll Amxn dzbucaql matrisind , rtini dyn ixtiyari k sayda stir v k sayda stunlarn ksimsind duran elementlrdn dzldilmi k trtibli Akxk kvadrat matrisin determinantna k trtibli minor deyilir v Mk il iar olunur. 21 22221 11211 . . . . kimidir. Matrislrin ranq n aadak mnasibtlrin doruluunu yoxlamaq olar. 1) ; 2) ; 3) , ; 4) ; 5) gr 0 olarsa; 6) , burada n, A matrisinin stunlarnn sayn v ya B matrisinin stirlri sayn gstrir. ranqn taplmas sullar haiylyn minorlar v elementar evirmlr suludur. 1) Haiylyn minorlar sulu. Amxn matrisinin ranqn tapmaq n hesablaman, onun aa trtibli minorlarndan balayb yuxar trtibli minorlara kemk v bu prosesd sfrdan frqli r trtibli Mr minoruna rast gldikdn sonra, Mr minorunu haiylyn (z daxilind saxlayan) (r+1) trtibli minorlar hesablamaq lazmdr. gr Mr i 0 haiylyn (r+1) trtibli minorlarn hams sfrdrsa, onda Amxn matrisinin ranq r -dir. Yni, . gr (r+1) trtibli haiylyn minorlardan biri, msln, 1 sfrdan frqli olarsa, onda Amxn matrisinin ranq r-dn byk olmaldr. Bu prosesi 1 -i haiylyn (r+2) trtibli minorlar hesablamaqla davam etdirsk v 1 -i 01 haiylyn btn (r+2) trtibli minorlar sfra brabrdirs onda Amxn matrisinin ranq r+1- brabrdir v s. 2) Elementar evirmlr sulu. sbatsz olaraq aadak teoremi qeyd edk. Teorem. Matrisin zrind aparlan elementar evirmlr onun ranqn dyimir. Qeyd edk ki, ranqlar brabr olan matrislr ekvivalent matrislr deyilir v ~ kimi iar olunur. Demli, elementar evirmlrdn sonra alnan matris, verilmi matris brabr deyildir. Teorem (bazis minorlar haqqnda teorem). Matrisin bazis stirlri (bazis stunlar) xtti asl deyildir. Matrisin ixtiyari stri (ixtiyari stunu) onun bazis stirlrinin (bazis stunlarnn) xtti kombinasiyas klind gstril bilr. 14. 211 121 111 A matrisinin trsini elementar evirmlrl tapaq. Bilirik ki, EAQ / kimi bir qoma matrisi dzldilir. Onu elementar evirmlrl AE / klin gtirilir.
• 100 010 001 211 121 111 / EA ~ 111100 011010 001111 ~ ~ 111100 011010 002101 ~ 111 111 113 100 010 001 Qeyd edk ki, birinci stri ikinci il toplayb ikinci stunda yazdq, birinci il nc stri toplayb nc stird yazdq. Daha sonra birinci stirl ikinci stri toplayb birinci stird yazdq. Sonra birinci stirl nc stri toplayb birinci stird yazdq. Nticd A matrisinin trsini elementar evirmlr yoli il tapm olduq. 15. 023 310 121 A matris n 1A -i tapaq. Bilirik ki, A matrisinin trsi 332313 322212 312111 1 det 1 AAA AAA AAA AA dsturu il hesablanr. Verilmi A matrisinin trs matrisini tapaq. 6230102 311 11 11 A , 99003 301 21 12 A 3132023 101 31 13 A , 2210202 121 12 21 A 3310103 111 22 22 A , 46223 211 32 23 A 716113231 121 13 31 A , 110 211 33 33 A Demli 143 339 726 15 11A 16 . 412 131 210 Aolduqda 2A -ni tapaq.
• Bilirik ki, 2A -ni tapmaq n -i 112 AAA hesablamaq lazmdr. 1A -matrisin trsini tapmaq n 332313 322212 312111 1 1 AAA AAA AAA AA dsturundan istifad etmk lazmdr.Bu dsturu verilmi misalla ttbiq edk. 81204220 412 131 210 A , 1111241 131 11 11 A 62442 111 21 12 A , 761 12 311 31 13 A 2)24(41 211 12 21 A , 44042 201 22 22 A 2)20(12 101 32 23 A , 561 13 211 13 31 A 22011 201 23 32 A , 110 31 101 33 33 A Demli 127 246 5211 8 11A olur. 112 AAA olduundan 419 307 7318 8 1 32872 24056 5624144 64 1 1435 2830 5455 2814 41612 10822 71277 142466 3512121 64 1 127 246 5211 127 246 5211 8 12 2A EAA 22 olduunu gstrk 2197 591 953 412 131 210 412 131 2102A
• E AA 100 010 001 800 080 008 8 1 842749 20277 361521 21021 503 909 18963126 456318 813554 8 1 419 307 7318 2197 591 953 8 122 17. 543 1132 132 523 321 321 321 321 xxx xxx xxx xxx Bilirik ki, sas matris dyinlrin msallarndan dzldilir. 143 312 132 123 A genilndirilmi matris is 5143 11312 1132 5123 A olar. Kroneker Kapelli teoremin gr sistemin hllinin varl n ArAr olmaldr. vvlc Ar -n tapaq. 04932 232 M ; 0412364227 212 132 123 3 M olduundan 3Ar olur. ndi is A -un ranqn tapaq. Bunun n
• 0482819224196028486244490 076 487 411 0176 4387 4111 0100 5143 11312 1132 5123 A olduuna gr 4Ar olar. Demli 43 ArAr olduundan sistem uyuan deyil. 18. . n mchullu m xtti tnlik sistemi. – n mchullu m xtti tnlik sistemin baxaq: . . . . 2211 22222121 11212111 (1) (1) xtti tnliklr sistemini hll etmzdn qabaq onun hllinin olub-olmadn myyn etmk lazm glir. Qeyd edk ki, . . . . 21 22221 11211 (2) veriln sistemin sas matrisi, 21 222221 111211 *1x . . . . (3) veriln sistemin genilnmi matrisi adlanr. (1) sisteminin birg (uyuan) olub-olmamasn my-ynldirmk n aadak teorem mhm rol oynayr. Teorem (KronekerKapelli). Verilmi (1) xtti tnliklr sisteminin birg (uyuan) olmas n zruri v kafi rt sistemin sas matrisinin ranqnn onun genilnmi matrisinin ranqna brabr olmasdr, yni, * olmasdr. 19. 192765 11543 12 13432 4321 321 431 4321 xxxx xxx xxx xxxx
• Birinci tnliyi aparc tnlik kimi qbul edk. Digr dyinlri toplama sulu il yox edk. 8422224 5012142 14622 13432 432 432 432 4321 xxx xxx xxx xxxx Indi is ikinci tnliyi aparc tnlik kimi qbul edk v toplama sulu il digr dyinlri ardcl yox edk. 3561018 536610 14622 13432 43 43 432 4321 xx xx xxx xxxx 16818030305450 4433 xxxx 3 124 3 3 x x 33 x qiymtini 36610 43 xx tnliyind yerin yazsaq 1 66 36630 4 4 4 x x x 1 22 14662 2 2 2 x x x 2 13492 1 1 x x Demli, tnliyin mumi v xsusi hllri eynidir. 1;3;1;2 olur. 20. Bilirik ki, bircins xtti tnliklr sisteminin sfrdan frqli hllinin varl n sas matrisin determinant sfra brabr olmaldr. 10220814371240 21 714 312 aaaa a olarsa, sistemin sonsuz sayda hlli var. 02 074 032 321 321 321 xxx xxx xxx nc tnliyi aparc tnlik kimi saxlayaq.
• 03 03 02 32 32 321 xx xx xxx 23 3xx alarq. RCx 2 qbul etsk~ Cx 33 v Cx CCx 5 06 1 1 alarq. Onda sistemin mumi hlli CCC 3;;5 olar. 21. 312321 ;2;8( xxxxxxAx ) Bu evirmnin matrisi msalardan dzldilir. 101 020 811 Ax Mxsusi ddi tapmaq n 0 EA tnliyini hll etmk lazmdr. 0 101 020 811 0002800121 08112 ,21 3 3 9 081 3 2 2 2 Onlarn cmi 2)3(2321 olar 22. Veriln evirmlrin msallarndan A v B matrislrini dzldk 011 102 110 101 120 031 BA 121 204 216 011 102 110 101 120 031 AB
• 151 161 221 101 120 031 011 102 110 AB 030 163 415 151 161 221 121 204 216 BAAB Onda AB-BA evirmsi yz zyxy zyxx 3 63 45 23. Bilirik ki, mxsusi dd 0 EA tnliyindn taplr. 0424000210 20 212 022 044821 08821 01821 0821 11 082 2 0822 2,4 32 Hr bir mxsusi dd uyun mxsusi vektorlar tapaq. 11 olduunu nzr alaq. 020 0212 0022 321 321 21 xxx xxx xx 02 022 02 32 31 21 xx xx xx 23 31 21 2 2 xx xx xx 12 Cx qbul etsk RC 10 olmaldr. Onda mxsusi vektor 111 2;;2 CCC olar. 2) 42 – uyun sistem 042 0232 022 32 321 21 xx xxx xx 32 321 21 2 0232 xx xxx xx 21 22 23 2 2 0 Cx Cx Cx alarq. Mxsusi vektor 222 ;2;2 CCC alnar. 3) 23 -y uyun mxsusi vektor.
• 022 0232 024 32 321 21 xx xxx xx 32 321 12 0232 2 xx xxx xx 33 32 31 2 2 Cx Cx Cx 333 2;2; CCC alnar. 24 Verilmi 25 43A matrisinin xtti evirmsinin mxsusi ddini v mxsusi vektorunu tapn. Hlli. 0 aaa aaa aaa nn2n1n n22221 n11211 . . . . brabrliyin sasn verilmi matrisin xarakte- ristik tnliyini 0145202325 432 EA klind yaza bilrik. Bu xarakteristik tnliyin kklri 21 v 72 olar. 21 olduqda tnliyin gr 0225 0423 025 043 21 21 21 21 xx xx xx xx 045 045 21 21 xx xx Rc cx cx 1 12 110 5 4. Demli, 21 mxsusi ddin uyun mxsusi vektoru 11 54 ccX ; klinddir. Rc 1 olduundan istniln qiymtlr vermkl veriln evirmnin mxsusi vektorlarn tapa bilrik. Eyni qayda il 72 olduqda uyun bircins tnlik 0725 0473 025 043 21 21 21 21 xx xx xx xx 055 044 21 21 xx xxRccxx xx xx 2221 21 21;0 0 0. Demli, 72 mxsusi ddin uyun mxsusi vektor 22 ccX ; kimidir.
• 25. Xtti evirmnin matrisi , mxsusi ddi v mxsusi vektoru Tutaq ki, n-ll nR xtti fzasnda n. e,ee 21 bazis vektorlar v A xtti evirmsi verilmidir. Onda bu fzadan gtrlm nRX vektorunun bazis vektorlar zr yegan qayda il nnexexexX . 2211 (1) klind ayrln yaza bilrik. A xtti evirm olduu n bu ayrl XAY brabrliyind nzr alsaq, nn2211 eAxeAxeAxXAY . (2) alarq. Digr trfdn n1ieA i ; vektorlar da nR fzasnn elementlri olduundan onlarn da ne. ee . 21 bazis vektorlar zr ayrln yazmaq olar. nnnnnn nn nn eaeaeaeA eaeaeaeA eaeaeaeA . . . . 2211 22221122 12211111 (3) Bu ayrllar (2) mnasibtind nzr alsaq, nnnnnn nn nn xaxaxay xaxaxay xaxaxay . . . . 2211 22221212 12121111 (4) alarq. (4) brabrliyinin msallarndan dzldilmi nn2n1n n22221 n11211 nn aaa aaa aaa A . . . . kvadrat matrisin ne. ee . 21 bazisind A xtti evirmsinin matrisi deyilir. Burada, n 2 1 1n x x x X . . -dir. Bu evirmni qsa olaraq 1nnn1n XAY kimi yazmaq olar. Tutaq ki, A operatoru nR -dn nR – tsir edn xtti evirmdir. Trif. nR -dn gtrlm sfrdan frqli hr hans X vektoru n nRXXAX 0 (5) brabrliyini dyn ddin A operatorunun mxsusi ddi, ona uyun taplan X vektoruna is mxsusi vektor deyilir. Bzn mxsusi dd vzin mxsusi qiymt d ildilir. (5) brabrliyini aq kild yazsaq 0. . 0. 0. . . . . 2211 2222121 1212111 2211 22222121 11212111 nnnnn nn nn nnnnnn nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa xxaxaxa xxaxaxa xxaxaxa (6) klind bircins xtti tnliklr sistemi alarq. Bu sistemin sfrdan frqli hllinin varl n zruri v kafi rt onun mchullarnn msallarndan dzldilmi determinantn sfra brabr olmasdr:
• 0 aaa aaa aaa nn2n1n n22221 n11211 . . . . . (7) (7) brabrliyini qsa olaraq 0 EA klind yazmaq olar. Bu brabrliyin sol trfi hm d -dan asl n-drcli oxhdlidir. Bu oxhdliy xarakteristik oxhdli deyilir. Xarakteristik oxhdlinin kklri A xtti evirmsinin mxsusi ddlridir. (7) xarakteristik tnliyini hll edrk k21 . mxsusi ddlrini taprq v bu mxsusi ddlri ayr-ayrlqda (6) bircins xtti tnliklr sistemind yerin yazaraq sfrdan frqli X hllini (vektorunu) taprq. Hmin bu X vektoru uyun mxsusi vektor olacaqdr.

«XƏTTİ CƏBR VƏ RİYAZİ ANALİZ»

ZRBYCN RSPUBLIKSI«XTT CBR V RYAZ ANALZ»
fnni üzr
(Bklvr pillsi üçün)
BKI – 2017
sntybr 2014-cü il tarixli 1 syl protokolu il tsdiq dilmi-
dir.
ÖN SÖZ li thsil sistminin ynidn qurulms tlblrdn d-
rin v möhkm riyzi biliy mlik lm, riyziyyt müsir lmi msllrin hllin ttbiqtm bcr v müstqil ilm vrdii tlb dir.
Tlblrin riyzi biliyini yüksltmk, nlrn yrdc tfkkürünü, siyytini, mntiqi v frdi düünm qbiliy- ytini v istddlrn inkif tdirmk, müstqil ilm v h- sblm prmq vrdilrini rtrmq, qzndqlr riyzi biliklri öz itisslrn id ln nzri v prktiki msllrin hllind ttbiqtm v lnn nticlri nliztm bcrn inkif tdirmk üçün «Xtti cbr v riyazi analiz» kursu tli- mind dk tlblr ml dilmlidir.
1. Mühzir ydn v b düüln dild, yüksk lmi- mtdiki sviyyd unulmldr. Mühzir prosesind udi- triy tlblrinin mnimsm v qvrm sviyysi nzr lnmldr.
2. Mühzird kursun mühüm v ss msllri rh dilmlidir. Mühzirlr prblm vziyytli v dilq rk- trli lmldr.Hr bir tlb uditriyd prln mühkim v isbtn, msl hllinin, lnn ss nticlrin müzkir v nlizinin fl itirkçs lmldr.
3. Mühzir drslri sfrbrdici v trbiydici rk- trli lml, tlblrl yüksk lqi v insni kyfiyytlri inkif tdirmlidir. Mühzird riyziyyt lminin hmiy- yti,nun müsir lm v iqtisadiyyatn mütlif shlrind lqsi qyd lunmldr.
4. li riyziyytdn prktik drslri l prlmldr ki, tlblrin müstqil ilm vrdilri, tfkkürü v yrdclq qbiliyytlri inkif tsin, mühzirlrd qznlm nzri bi- liklr drindn mnimsnilsin v nlrn iqtisadi prktiki ms- llr hllin ttbiqtm bcr yükslsin. Bu drslrd tlb- lrin frdi üsusiyytlri, bilik sviyylri, fllq v lmi yr- dcllq myllri nzr lnmldr.
5. Müllimlr prktik drslrind tlblr frdi yn-
4
ml v nlrl frdi ilmlidir.Tlblr prktik drslrind lzmi kömk v istiqmt lmql müstqil ilmli, mühüm v hmiyytli msllri mülliml birlikd müzkir tmli, glck prktik v müstqil ilr üçün tprqlr lmldrlr. Müllimlr mövzuya aid çalmalar hll edrkn iqtisadi yönümlü msllr üstünlük vermlidirlr. Ml drsl- rind tlblrin müstqil v frdi ilri ykunldrlml v nlrin biliyi qiymtlndirilmlidir.
6. Riyziyyt öyrnmk üçün tlblrin müstqil v fr- di ilrini smrli tkil tmyin böyük hmiyyti vrdr. Tdris ilri müllimlr trfindn vvlcdn ç diqqtl plnldrlmldr, bu zmn tlblrin müstqil ilm tp- rqlrn yrin ytirmlri, nzri kllkviumlr v ylm ilrin hzrlmlr nzr lnmldr.
7. Tlblrin kursu üurlu v drindn mnimsmlri, müstqil ilmk üçün vriln tprqlr vtnd v kyfiy- ytl yrin ytirmlri üçün, müllimlr nlrn tdris ili byu müntzm v rdcl ilmlrini tmin tmlidir.Tdris tp- rqlr bütün smstr byu müntzm (vtnd) yrin yti- rilmdikd smstrin snun yn tlblrin ii çlr v b- llikl d tdrisin kyfiyyti düür.
8. li riyziyyt kfdrsnn müllimlrinin drs ddik- lri fkultlrin itiss fnlri il tn lms, hmin shd prln lmi ilrin yrin ytirilmsind v müzkirsind ktiv itirk tmsi kursun tdrisinin yldrlms v nun ttbiqi istiqmtinin yüksldilmsinin ss yllrndn biridir.
Glck iqtisdç, kdrlrn hzrlnd bütün li mk- tblrd öyrniln fnlr rsnd xtti cbr v riyazi analizin üsusi hmiyyti vrdr, bl ki, müsir lmi tniki trqqi ritind, iqtisdiyytn n mütlif shlrin riyzi mtdlr gni ttbiq dilir.Hzrd riyzi mtdlr iqtisdiyytn bütün shlrin ttbiq dilir ki, vvllr nlrn riyzilmsi qyri mümkün sylrd. Müsir cmiyytd xtti cbr v riyazi ana- liz kursunun hmiyyti durmdn rtr. hzrd cmiyytin mhsuldar qüvvsin çvrilir.
5
Bk Bizns Univrsittind xtti cbr v riyazi analiz t- limini bu istiqmtd qurmq üçün sn illrd riyziyyt prq- rmnd bir nç df ediln dyiikliklr nzr alnmdr. Istifd dilck bu prqrm iqtisdiyyt v riyziyyt lminin qrlql lqsinin müsir idylrn v dövlt stndrtlrn uyun trtib lunmudur. Prqrmd iqtisdiyytl riyziyyt rsnd qrlql lqni tmin dn mtrillrn tdrisin böyük yr vrilmidir. Bu bmdn bklvr dövründ tlb- lrin dk biliklr yiylnmsini zruri hsb tmiik:
Xtti cbr;
Qeyri-mxsusi inteqrallar;
ddi v funksional sralar; Prqrm trtib diln zmn Azrbaycan Respublikas
Thsil Nazirliyinin bakalavr hazrlnn mzmununa v sviy- ysin qoyulan mcburi tlblr bard Dövlt Standartlar (2014) v Bk Bizns Univrsittinin müvafiq tdris pln ss götürülmüdür. Hmin tdris plnn ssn Xtti cbr v riyazi analiz fnni bir tdris smstrind (I smstrd) nzrd tutulmudur.
Tdris yükünün hcmi yni öbd 90 stdr (46 st mühzir, 44 st prktik ml).
Qiybi öbd tdris yükü gündüz öbnin tdris yükü- nün 30%-i qdrdir, imthnlrn sy 1-dir.
Prqrmd stlrn mövzulr üzr tmini bölgüsü göstrilmidir. Sonda azrbaycan v rus dillrind dbiyyat siyahs verilmidir. Ümumi stlrn miqdrn tunmmq rti il burd drs prn müllim mövzulr üzr stlrn bölgüsünd bzi dyiikliklr pr bilr.
6
DETERMNANTIN TRF, XASSLR V HESABLANMA QAYDALARI.
Matris anlay. Kvadrat v düzbucaql matrislr. Matris-
lr üzrind mllr. Diaqonal matris, vahid matris, trs matris
anlaylar. Transponir edilmi matris.
vzlmnin trifi. Transpozisiya anlay. vzlmnin
cütlüyü. nversiya anlay. n trtibli determinantn trifi.
Determinantn xasslri. Determinantn xasslrinin üç
trtibli determinant üzrind izahlar. Yalnz ba diaqonal ele-
mentlri sfrdan frqli olan determinantlarn hesablanma qay-
das. Yalnz kömkçi diaqonal elementlri sfrdan frqli deter-
minantlarn hesablanma qaydas. Ba v ya kömkçi diaqonal-
dan bir trfd olan elementlri sfr olan determinantlarn he-
sablanma qaydas.
tinin cbri tamamlaycs. Determinantn stir elementlrin gö-
r açl. Determinantn sütun elementlrin gör açl. De-
terminantn lverili kl salnaraq hesablanma qaydalar.
MÖVZU 2.
METODLARI. TRS MATRSN TAPILMA
qnn trifi. k trtibli bütün minorlar sfra brabr olan matrisin
k+1 trtibli minorlarnn da hamsnn sfra brabr olmas.Trif
7
ranqnn sfra brabr olmas.
tar çevirmlrinin onun ranqn dyimmsi. Diaqonal kild
olan düzbucaql matris. Sfrdan frqli hr bir matrisin diaqonal
kl gtirilmsinin mümkünlüyü. Diaqonal kild olan matri-
sin ranq.
bir matrisin pillli kl gtirilmsinin mümkünlüyü. Pillli –
kild olan matrisin diaqonal kl gtirilmsi. Pillli kild
olan matrisi diaqonal kl gtirdikd birinci matrisin sfrdan
frqli stirlri saynn ikinci matrisin ba diaqonalndak sfr-
dan frqli elementlr sayna brabr olmas. Pillli kild olan
matrisin ranq.
matrislr. Trs matrisin varlna aid teorem (isbatsz). Trs
matrisin hesablanma alqoritmi.
matrisin taplma üsulunun çatmayan chtlri. Matrisin stir-
lri üzrind elementar çevirmlr. n trtibli kvadrat matrisin
sa trfind n trtibli vahid matris yazmaqla alnan n x(2n)
ölçülü düzbucaql matrisin stirlri üzrind elementar çevir-
mlr. Trs matrisin elementar çevirmlr il taplmas. Trs
matrisin elementar çevirmlr il taplmasnn sxem üzr göst-
rilii.
v bircins olmayan sistemlr. Xtti tnliklr sisteminin hlli.
Trivial hll. Birg v birg olmayan sistemlr.
8
say mchullarnn sayna brabr olan matris klind yazlm
xtti tnliklr sisteminin hlli. sas v genilnmi matrislrin
ranqlarnn müqayissi. Kroneker –Kapelli teoremi (isbatsz). Tnliklrinin say mchullarnn sayna brabr olan xtti tnliklr sisteminin yazl. Xtti tnliklr sisteminin sas deter- minant. Xtti tnliklr sisteminin kömkçi determinantlar. Kra- mer teoremi (isbatsz). Kramer qaydasnn ttbiq edil bilmsi üçün xtti tnliklr sisteminin ödmli olduu iki rt.
xtiyari xtti tnliklr sistemi üçün Qauss metodunun ma-
hiyyti. Xtti tnliklr sisteminin tnliklri üzrind aparlan
mliyyatlarn genilnmi matrisin stirlri üzrind aparl-
mas. Genilnmi matrisi pillli kl gtirrkn bütün ele-
mentlri sfr olan stirlrin atlmas. Genilnmi matrisi pillli
kl gtirrkn sonuncu sütun elementindn baqa bütün ele-
mentlri sfr olan stir alndqda xtti tnliklr sisteminin birg
olmamas. Genilnmi matrisinin ranqnn mchullarnn sa-
yna brabr olan xtti tnliklr sisteminin Qauss üsulu il hll
edilmsi.
çik olan xtti tnliklr sisteminin Qauss üsulu il hll edilmsi.
Pillli kl salnm matris uyun olan xtti tnliklr sisteminin
yazlmas. Ba mchullar, srbst mchullar. Sistemin xüsusi hl-
lri. Sistemin ümumi hlli.
Hqiqi ddin modulu. Modulun sad xasslri. Parça,
interval, yarminterval. Nöqtnin traf. Bzi riyazi mntiq
simvollar ( . simvollar).
9
dud, monoton ardcllqlar.
Ylan ardclln mhdudluu v limitinin yeganliyi (isbatsz).
Sonsuz kiçiln ardcllqlar. Ylan ardcllqlar üzrind hesab
mllri (isbatsz).
ardclln yuxardan mhdudluu. Yuxardan mhdud ardcl-
ln dqiq yuxar srhddi. Aadan mhdud ardclln dqiq
aa srhddi. Monoton mhdud ardclln ylmasna aid teo-
rem (isbatsz).
Nyuton binomu düsturu. Ümumi hdd düsturu verilmi ard-
clln artan olmasnn isbat. Ümumi hdd düsturu verilmi ar-
dclln yuxardan mhdud olmasnn isbat. “e ddi”-nin t-
yin olunduu düstur.
mnada” v “Koi mnada” triflri. Funksiyann nöqtd sa v
sol limitlri. Funksiyann nöqtd limitinin varlnn zruri v
kafi rt teoremi. Limiti olan funksiyalarn xasslri.
Sonsuz kiçiln funksiyann trifi. Sonsuz kiçiln funk-
siyann “ dilind” trifi. Sonsuz kiçiln funksiyalarn
xasslri. Eyni bir nöqtd sonsuz kiçiln funksiyalarn müqa-
yissi. Limitlrin hesablanmasnda ekvivalent sonsuz kiçiln
funksiyalardan istifad edilmsi.
limiti il sonsuz kiçiln funksiyann cmi klind göstril

olan iki funksiyann frqinin limiti. Limitlri olan iki funksi-
yann hasilinin limiti. Limitlri olan iki funksiyann qismtinin
limiti.
teoreminin kömyi il isbat. kinci mühüm limit. Brabrsizlikd
limit keçm teoreminin kömyi il ikinci mühüm limitin isbat.
Birinci mühüm limitin baqa kild yazl. kinci mühüm
limitdn alnan birinci ntic. kinci mühüm limitdn alnan ikinci
ntic. kinci mühüm limitdn alnan üçüncü ntic. kinci mü-
hüm limitdn alnan nticlr aid misallar.
MÖVZU 6.
silmyn funksiyann “artm mnada” trifi. Nöqtd soldan
ksilmyn funksiya. Nöqtd sadan ksilmyn funksiya.
Nöqtd ksilmyn funksiyann bu nöqtnin müyyn
trafnda mhdudluu. Nöqtd ksilmyn v sfrdan frqli
funksiyann bu nöqt trafnda öz iarsini saxlamas. Nöqtd
ksilmyn iki funksiyann cminin v frqinin bu nöqtd k-
silmzliyi. Nöqtd ksilmyn iki funksiyann hasilinin bu
nöqtd ksilmzliyi. kinci funksiya nöqtd sfrdan frqli
olduqda ksilmyn iki funksiyann qismtinin bu nöqtd k-
silmzliyi.
la biln ksilm nöqtsi. Birinci növ ksilm nöqtsi. Ikinci növ
ksilm nöqtsi.
siyann trifi. Veyertrasn birinci teoremi. Veyertrasn ikinci
teoremi.
luqda müntzm ksilmyn funksiyann bu çoxluqda ksil-
myn olmas. Çoxluqda ksilmyn olub hmin çoxluqda
müntzm ksilmyn olmayan funksiyaya misal. Müntzm
ksilmzliyin hndsi izah. Kantor teoremi.
MOVZU 7.
rinci trtib törmnin hndsi mnas. Funksiyann qrafikin to-
xunann tnliyi.
kild göstrilii. Nöqtd diferensiallanan funksiyann trifi.
Funksiyann nöqtd sonlu törmsinin varl il bu nöqtd
diferensiallanan olmasnn ekvivalentliyi. Nöqtd diferensi-
allanan funksiyann bu nöqtd ksilmzliyi. Nöqtd ksil-
myn, lakin diferensiallanan olmayan funksiyaya aid misal.
Diferensiallanan funksiyann funksiya artmnn xtti ba
hisssi. Funksiyann diferensialnn trifi. Yüksk trtibli dife-
rensiallar. Diferensiallanan funksiyann diferensial il funksiya
artmnn müqayissi. Diferensialn tqribi hesablamalara tt-
biqi.
diferensiallanmas. Diferensiallanan iki funksiyann frqinin di-
ferensiallanmas. Diferensiallanan iki funksiyann hasilinin
12
diferensiallanan funksiyann nisbtinin diferensiallanmas. Iki
diferensiallanan funksiyann nisbtinin törm düsturunun
çxarl.
funksiya v onun varl. Trs funksiyann diferensiallanma
qaydas. Parametrik kild verilmi funksiyann diferensial-
lanma qaydas. sas elementar funksiyalarn törmlri cd-
vli.
artmlar klind yazl. Koi teoremi. Laqranj teoremi Koi
teoreminin xüsusi hal kimi.
yynliklr üçün Bernulli-Lopital qaydas. 0 · ∞ klindki qeyri-
müyynliklr. ∞ – ∞ klindki qeyri-müyynliklr. 0 0 , ∞
∞ , 1
kli. Qalq hddinin Laqranj kli. Qalq hddinin Koi kli.
Qalq hddinin Peano kli.
ümumi kli. Makloren düsturundak qalq hddinin Laqranj
kli. Makloren düsturundak qalq hddinin Koi kli. Mak-
loren düsturundak qalq hddinin Peano klind yazl.
e x funksiyasnn Makloren düsturu üzr ayrl. sinx
funksiyasnn Makloren düsturu üzr ayrl. cosx funksiya-
snn Makloren düsturu üzr ayrl. ln(1+x) funksiyasnn

,
hesablamalara ttbiqlri.
MÖVZU 9.
siyann trifi. Nöqtd artan funksiyann trifi. Nöqtd azalan
funksiyann trifi. Nöqtd diferensiallanan funksiyann bu nöq-
td artan v ya azalan olmas üçün kafi rt.
Nöqtd diferensiallanan funksiyann bu nöqtd artmas
üçün birinci trtib törmnin müsbt olmasnn zruri rt ol-
mamas. Funksiyann azalmas üçün birinci trtib törmnin
mnfi olmasnn zruri rt olmamas. Diferensiallanan funksi-
yann artma intervallarnn taplmas. Diferensiallanan funksi-
yann azalma intervallarnn taplmas. ntervalda diferensi-
allanan funksiyann bu intervalda azalmayan v ya artmayan
olmasnn zruri, kafi rt teoremi.
Funksiyann lokal maksimumu. Funksiyann lokal mini-
mumu. Lokal ekstremumun trifi. Ekstremumun zruri rt teo-
remi. Birinci trtib törmsinin sfra brabr olduu nöqtd
ekstremumu olmayan funksiyaya misal.
stasionar nöqtnin kiçik trafnda böhran nöqtsindn solda
müsbt, sada mnfi olduqda lokal maksimuma malik olmas.
Stasionar nöqtdn solda mnfi, sada müsbt olduqda lokal
minimuma malik olmas. Stasionar nöqtdn solda v sada
eyni iarli olduqda ekstremuma malik olmamas. Birinci kafi
rt teoreminin ttbiqi il lokal maksimuma aid misal. Birinci
kafi rt teoreminin ttbiqi il lokal minimuma aid misal.
Ekstremumun birinci kafi rt teoreminin ttbiqinin çtin
14
teoremi. Ekstremumun üçüncü kafi rt teoremi. Funksiyann
parçada n böyük v n kiçik qiymtlrinin taplmas.
MÖVZU 10.
intervalda hr yerd toxunana malik olmas. Funksiya qrafiki-
nin aa yönlmi qabarqla malik olmasnn trifi. Funksiya
qrafikinin yuxar yönlmi qabarqla malik olmasnn trifi.
Sonlu ikinci trtib törmy malik olan funksiyann qrafikinin
aa yönlmi qabarqla malik olmasnn kafi rti. Sonlu
ikinci trtib törmy malik olan funksiyann qrafikinin yuxar
yönlmi qabarqla malik olmasnn kafi rti.
Funksiya qrafiki üzrind olan nöqtnin müxtlif trf-
lrind eyni istiqamtli qabarqla malik olan funksiya qrafik-
lri. Qrafik üzrindki nöqtnin müxtlif trflrind ks isti-
qamtli qabarqla malik olan funksiya qrafiklri. Funksiya
qrafikinin dönm nöqtsinin trifi. Dönm nöqtsind funksiya
qrafikinin toxunana malik olmas. Dönmnin zruri rt teore-
mi.
tyin edilmsinin mümkün olmamas. Nöqtd ikinci trtib tö-
rmnin sfra brabrliyinin bu nöqtnin dönm nöqtsi olmas
üçün kafi rt olmamas. Dönmnin birinci kafi rt teoremi.
Dönmnin birinci kafi rt teoreminin ttbiqinin çtin olduu
v ya mümkün olmad hallar. Dönmnin ikinci kafi rt teo-
remi.
15
asimptotlara aid misallar. Funksiya qrafikinin maili asimpto-
tunun trifi. Maili asimptotlara aid misallar. Maili asimptotun
qrafik üzr tyin edilmsinin çtinliklri.
Funksiya qrafikinin maili asimptota malik olmasnn
zruri v kafi rt teoremi. Qrafiki maili asimptota malik olan
funksiya üçün iki limitin varlnn zruriliyi. ki limitin var-
lnn funksiya qrafikinin maili asimptota malik olmas üçün
kafi rt olmas. Limitlrdn biri olmadqda qrafikin maili
asimptota malik olmamas. Maili asimptotun taplmasna aid
misal.
KSLMZLY. ÇOXDYINLI FUNKSYANIN
m-ölçülü koordinant fzasnn trifi. m –ölçülü Evklid fzasnn trifi. m-ölçülü Evklid fzasnda kür, açq kür, sfe- ra, nöqtnin traf anlaylar. Çoxdyinli funksiyann ümu- mi trifi. ki v üçdyinli funksiyalar.
m-ölçülü Evklid fzasnda nöqtlr çoxluunun limiti an- lay. Çoxdyinli funksiyann limiti. Çoxdyinli funksiya- nn xüsusi artmlar. Çoxdyinli funksiyann tam artm. Çox- dyinli funksiyann ksilmzliyi v dyinlrdn birin n- zrn ksilmzliyi.
Çoxdyinli funksiyann birinci trtib xüsusi törmlri. Birinci trtib xüsusi törmlrin hesablanmasna aid misallar. kidyinli funksiyalarn ikinci trtib xüsusi törmlri. kinci trtib qarq xüsusi törmlr. kidyinli funksiyann yüksk trtibli xüsusi törmlri.
16
Diferensiallanan çoxdyinli funksiyann tam artmnn xtti ba hisssi. Çoxdyinli funksiyann birinci trtib tam di- ferensial. kidyinli funksiya üçün diferensial simvolu. ki- dyinli funksiyann ikinci trtib tam diferensial. Diferensial simvolunun kömyi il ikidyinli funksiyann yüksk trtibli diferensiallarnn tyini.
MOVZU 12.
ÇOXDYNL FUNKSYANIN EKSTREMUMU
vahid uzunluqu vektora paralel olan düz xttin tnliyi. stiqamt
üzr törmnin trifi. Qradiyent anlay. stiqamt üzr törmnin
qradiyent il ifad düsturu. Funksiyann verilmi nöqtdki müx-
tlif istiqamtlr üzr olan törmlrinin müqayissi.
Çoxdyinli funksiya üçün Teylor düsturu. Teylor düstu-
runun ikidyinli funksiya üçün ifadsi. kidyinli funksiya
üçün Teylor düsturunun birdyinli funksiya üçün Teylor düs-
turuna gtirilmsi. kidyinli funksiya üçün Teylor düsturunun
isbat. kidyinli funksiya üçün Teylor düsturunun açq kild
yazl.
funksiyann lokal minimumu. Çoxdyinli funksiyann ekstre-
mumu. Çoxdyinli funksiyann nöqtd lokal maksimuma ma-
17
lik olmasnn tam artm il tyin edilmsi. Lokal minimuma malik
olmann tam artm il tyin edilmsi.
Birdyinli funksiya üçün mümkün ekstremum nöqtsinin
trifinin tkrar . Birdyinli funksiya üçün ekstremumun zruri
rt teoreminin tkrar. Çoxdyinli funksiya üçün ekstremumun
zruri rt teoremi. Çoxdyinli funksiyann ekstremumunun
zruri rtinin birdyinli funksiyann ekstremumunun zruri
rtin gtirilmsi. Çoxdyinli funksiya üçün mümkün ekstre-
mum nöqtsi v onun taplmasna aid misal.
kidyinli funksiyann ikinci trtib xüsusi törmlrinin
mümkün ekstremum nöqtsind qiymtlrinin hesablanmas.
kidyinli funksiyann mümkün ekstremum nöqtsind lokal
maksimuma malik olmasnn kafi rti. Mümkün ekstremum nöq-
tsind lokal minimuma malik olmann kafi rti. Lokal ekstre-
mumun olmamas rti. Lokal ekstremumun taplmasna aid misal
hlli.
NTEQRALLAMA ÜSULLARI
Sad inteqral brabrliyin törmalma mli il yoxlanlma qaydas. sas triqonometrik funksiyalarn törm düsturlarna sasn alnan sad inteqrallar. Trs triqonometrik funksiyalarn törm düsturlarna sasn alnan sad inteqrallar. Loqarifmik funksiyann törm düsturuna sasn alnan sad inteqrallar. Bzi lav sad inteqrallar.
Qeyri-müyyn inteqrallarn yalnz sas inteqrallar cdvli
18
masnda ayrlma üsulundan istifad edilmsi. Mürkkb funk-
siyadan törmalma qaydasnn tkrar. Qeyri-müyyn inteqralda
dyini vzetm üsulu. Dyini vzetm üsulunun ttbiqi il
misallar.
müyyn inteqralda hiss-hiss inteqrallama düsturu. Hiss-hiss
inteqrallama düsturunun diferensial formada yazl. Hiss-hiss
inteqrallama düsturunun bir neç df ardcl ttbiq edilmsi.
Hiss-hiss inteqrallama üsulunun ttbiqi prosesind nzr
alnmal olan sas iki amil.
Rekurrent düstur haqqnda ümumi mlumat.
inteqral üçün rekurrent düsturun çxarl. n=0 v n=1 halnda
bilavasit, n=2;3 halnda is rekurrent düsturdan istifad etmkl
inteqralnqiymtlrinin hesablanmas. inteqral
üçün rekurrent düsturun çxarl. λ =1 olduqda bilavasit, λ=2;3
olduqda is rekurrent düsturdan istifad etmkl inteqraln qiy-
mtinin hesablanmas.
MÖVZU 14.
LANMASI. TRQONOMETRK FUNKSYALAR
rasional ksrlr. Düzgün olmayan rasional ksrin çoxhdli v
düzgün rasional ksrin cmi klind göstrilmsi. Düzgün
rasional ksrin sad ksrlr ayrlmas.
Düzgün rasional ksrin mxrcinin bütün köklri hqiqi v
xdx n
n sin
ksrlrin cmi klind göstrilmsi. Birinci növ sad ksrlrin
inteqrallama qaydas. Birinci növ sad ksrlrin inteqrallan-
masna aid misallar. Ikinci növ sad ksrlrin inteqrallanmas.
Ikinci növ sad ksrlrin inteqrallanmasna aid misallar.
Üçüncü növ sad ksrlrin mxrclrind tam kvadratn
ayrlmas. Üçüncü növ sad ksrlrin inteqrallanmasnda dyi-
nin vz edilmsi. Üçüncü növ sad ksrlrin inteqrallan-
mas. Üçüncü növ sad ksrlrin inteqrallanmasna aid misallar.
Dördüncü növ sad ksrlrin inteqrallanmas.
Birdyinli rasional funksiyalar. ki, üç, çoxdyinli rasi-
onal funksiyalar. Rasional funksiyaya aid misallar. Mürkkb
rasional funksiyalar. Rasional funksiyann törmsinin d rasi-
onal funksiya olmas.
vzlm vasitsi il triqonometrik funksiyalarn daxil olduu
rasional ifadnin inteqralnn yeni dyinin rasional funksiya-
snn inteqralna gtirilmsi. Universal vzlmnin effektiv ol-
mad bzi hallar üçün istifad olunan baqa vzlmlr. Uni-
versal vzlmdn frqli vzlmlrl triqonometrik funksi-
yalarn daxil olduu rasional ifadlrin inteqrallanmasna aid
misallar hlli.
MÖVZU 15.
olan hal üçün cbri irrasionallqlarn inteqralnn ümumi yazl.
Cbri irrasionallqlar üçün vzlm. vzlm vasitsi il
cbri irrasionallqlarn inteqralnn yeni dyinin rasional
20
inteqrallanmasna aid misallar hlli. Ümumi halda cbri irrasi-
onallqlarn inteqralnn yazl.
kvadrat üçhdlisinin hqiqi köklri olmad halda
üçhdlinin iarsinin – nn iarsi il eyni olmas. Eylerin
birinci vzlmsi. Eylerin birinci vzlmsinin müxtlif vari-
antlar. vzlm vasitsi il kvadratik irrasionallqlarn in-
teqralnn yeni dyinin rasional funksiyasnn inteqralna gti-
rilmsi.
onun vuruqlara ayrlmasnn tkrar. Eylerin ikinci vzlmsi.
Eylerin ikinci vzlmsi vasitsi il vvlki dyinin yeni
dyinl ifad edilmsi. Kvadratik üçhdlinin yeni dyin il
ifad edilmsi. Kvadratik irrasionallqlarn inteqralnn yeni
dyinin rasional funksiyasnn inteqral klind yazl. Ey-
lerin ikinci vzlmsinin ttbiqi il misal hlli.
Eylerin üçüncü vzlmsi. Üçüncü vzlmnin müxtlif
variantlar. Eylerin üçüncü vzlmsind vvlki dyinin
yeni dyinl ifadsi. Kvadratik üçhdlinin yeni dyinl ifa-
dsi. Kvadratik irrasionallqlarn inteqralnn yeni dyinin
rasional funksiyasnn inteqralna gtirilmsi.
ral. Ümumi kild olan binomial diferensialn sadldiril-
rk bir irrasionallqdan azad edilmsi. Binomial diferensiallarn
inteqrallanma variantlar. Binomial diferensiallarn inteqrallan-
masna aid misallar hlli.
NTEQRALLAMA ÜSULLARI
nteqral cminin limitinin trifi. Müyyn inteqraln trifi. Aa
v yuxar inteqral cmlri.
parçadak rqsi analy. nteqrallamann zruri v kafi rt teo-
remini ifad edn brabrsizliyin funksiyann rqslri il ifadsi.
Parçada ksilmyn funksiyann inteqrallanmasna aid teorem.
Parçada monoton olan funksiyann inteqrallanmasna aid teorem.
Müyyn inteqraln isbatsz qbul edn iki xasssi. Mü-
yyn inteqraln xttilik xasssi. Müyyn inteqraln isbat ediln
lav be xasssi. Müyyn inteqral üçün orta qiymt düsturu.
Ksilmyn funksiyalar üçün orta qiymt düsturu.
Parçada inteqrallanan funksiyann bu parça daxilind yer-
ln hr bir parçada inteqrallanan olmasnn tkrar. Yuxar sr-
hddi dyin müyyn inteqral anlay. Yuxar srhddi dyi-
n müyyn inteqraln yuxar srhdd nzrn törmsi. Nyu-
ton-Leybnis düsturu. Nyuton-Leybnis düsturunun ttbiqi il mi-
sallar hlli.
runun tkrar. Müyyn inteqralda hiss-hiss inteqrallama
düsturu. Hiss-hiss inteqrallama düsturunun ttbiqi il müyyn
inteqraln hesablanmasna aid misallar hlli. Müyyn inteqralda
dyini vzetm üsulu. Dyini vzetm üsulu il müyyn
inteqraln hesablanmasna aid misallar hlli.
22
parçasnda ksilmyn y=f(x)>0 funksiyasnn
qrafiki, x= , x=b, y=0 düz xtlri il mhdud edilmi yrixtli
trapesiyann sahsinin müyyn inteqral vasitsi il hesablanmas.
[c, d] parçasnda ksilmyn x=f(y) >0, y=c, y=d, x=0 düz xtlri
il mhdud edilmi yrixtli trapesiyann sahsinin müyyn
inteqral vasitsi il hesablanmas. parçasnda ksilmyn
iki dn y=f1(x), y=f2(x), (f1(x) ≥ f2(x)) funksiyalarnn qrafiklri,
x= , x=b düz xtlri il mhdud edilmi yrixtli trapesiyann
sahsinin müyyn inteqral vasitsi il hesablanmas. x=φ(t),
y=ψ(t) parametrik tnliklri il verilmi yri v x= , x=b düz
xtlri il mhdud edilmi müstvi fiqurun sahsinin müyyn
inteqral vasitsi il hesablanmas. yrixtli trapesiyalarn
sahlrinin hesablanmasna aid misallar hlli.
Polyar koordinant sistemi haqqnda mlumat. Polyar ko-
ordinant sistemindn düzbucaql koordinant sistemin keçid
düsturlar. Düzbucaql koorduinant sistemindn polyar koordinant
sistemin keçid düsturlar. yrixtli sektorun trifi. yrixtli sek-
torun sahsinin müyyn inteqral vasitsi il hesablanmas.
Müstvi üzrind yri anlay. Düzlnn yri anlay.
Hamar yri. Adi kild bir düsturla verilmi yrinin uzunluunun
müyyn inteqral vasitsi il hesablanmas. Adi kild bir
düsturla verilmi yrinin uzunluunun hesablanmasna aid misal
hlli.
üçün törmsinin hesablanma düsturunun tkrar edilmsi. Bir
düstur il adi kild verilmi yrinin uzunluu düsturunun çev-
rilmsi. Parametrik tnliklri il verilmi yrinin uzunluunun
müyyn inteqral vasitsi il hesablanmas. Hamar yri polyar
koordinatlarda verildikd onun uzunluunun müyyn inteqral
dx
dy
ba,
a
ba,
a
a
23
uzunluunun hesablanmasna aid misallar hlli.
y=f(x) yrisi, x= , x=b (b> ) v y=0 düz xtlri il
mhdud edilmi yrixtli trapesiyann OX oxu trafnda
frlanmasndan alnan cismin hcminin müyyn inteqral vasitsi
il hesablanma düsturu. OX oxu trafnda frlanmadan alnan
cismin hcminin hesablanmasna aid misal hlli. y=f(x), x= ,
x=b, y=0 yrixtli trapesiyann OY oxu trafnda frlanmasndan
alnan cismin hcminin müyyn inteqral vasitsi il
hesablanmas. OY oxu trafnda frlanmadan alnan cismin hc-
minin hesablanmasna aid misal hlli. r=r(φ), (α≤ φ ≤ β) yrisi v
φ= α, φ= β üalar il mhdud edilmi yrixtli sektorun polyar
OX trafnda frlanmasndan alnan cismin hcminin müyyn
inteqral vasitsi il hesablanmas.
aral üçün birinci növ qeyri-mxsusi inteqraln trifi. (-∞, b]
klindki aralqlar üçün birinci növ qeyri-mxsusi inteqraln
trifi. (-∞, +∞) üçün birinci növ qeyri-mxsusi inteqraln trifi.
Birinci növ qeyri-mxsusi inteqralnn ylmasnn ara-
drlmas.
lamti. Birinci növ qeyri-mxsusi inteqral üçün xüsusi müqayis
lamti. Xüsusi müqayis lamtinin ttbiqi il misal hlli. Xüsusi
müqayis lamtinin limit kli. Xüsusi müqayis lamtinin limit
klinin ttbiqi il misal hlli.
[ , b) yarmintervalnda qeyri-mhdud olub, bu yarm-

inteqraln trifi. Yarminterval üzr ikinci növ qeyri-mxsusi
inteqrala aid misal hlli.
parça daxilind yerlib bu nöqtni özünd saxlamayan hr bir
parçada inteqrallanan funksiyalar. Mxsusi nöqtnin trifi. Parça
daxilind qeyri- mhdud olan funksiyalar üçün ikinci növ qeyri-
mxsusi inteqraln trifi. Parçada qeyri-mhdud olan funksiyann
ikinci növ qeyri-mxsusi inteqralna aid misal hlli. Qeyri-
mxsusi inteqraln ba qiymti.
inteqraln birinci növ qeyri-mxsusi inteqrala gtirilmsinin
mümkünlüyü. kinci növ qeyri-mxsusi inteqralda dyinin vz
edilmsi. vzetm nticsind ikinci növ qeyri-mxsusi inteq-
raln birinci növ qeyri-mxsusi inteqrala çevrilmsini ifad edn
brabrlik. kinci növ qeyri-mxsusi inteqraln birinci növ qeyri-
mxsusi inteqrala gtirilmsin aid misal.
MÖVZU 19.
lastda verilmi funksiyann ikiqat inteqral üçün inteqral cmi-
nin tyin edilmsi. Düzbucaql oblastlar üçün ikiqat inteqraln
trifi. ikiqat inteqraln tkrarl müyyn inteqrala gtirilrk he-
sablanmas. Düzbucaql oblastlarda ikiqat inteqrallarn hesab-
lanmasna aid misallar hlli.
a
a
25
vasitsi il ikiqat inteqraln tyin edilmsi. Ordinat oxuna paralel
olub, oblast il ortaq nöqtsi olan hr bir düz xtt bu oblastn sr-
hddini n çoxu iki nöqtd ksn oblastlar üçün ikiqat inteq-
raln hesablanma qaydas.Misal hlli. Absis oxuna paralel olub,
oblast il ortaq nöqtsi olan hr bir düz xtt bu oblastn sr-
hddini n çoxu iki nöqtd ksn oblastlar üçün ikiqat inteqra-
ln hesablanma qaydas. Misal hlli.
kiqat inteqraln additivlik xasssi. kiqat inteqraln xttilik
xasssi. kiqat inteqral üçün orta qiymt teoremi. Ksilmyn
funksiyalar üçün orta qiymt teoremi. Sahnin ikiqat inteqral il
ifadsi.
yinin trifi. Birinci növ yrixtli inteqraln trifi. Parametrik –
kild verilmi yrinin mxsusi nöqtlri. Birinci növ yrixtli
inteqraln müyyn inteqral vasitsi il hesablanma düsturu. Bi-
rinci növ yrixtli inteqrallarn xasslri. kidyinli P(x,y) funksiyasnn yri üzr x dyinin
nzrn ikinci növ yrixtli inteqral. kidyinli Q(x,y) funk- siyasnn y dyinin nzrn ikinci növ yrixtli inteqral. yri üzr ümumi ikinci növ yrixtli inteqral. kinci növ yrixtli in- teqraln müyyn inteqral vasitsi il hesablanma düsturu. kinci növ yrixtli inteqraln hesablanmasna aid misal hlli.
MÖVZU 20. DD SIRALAR. MÜSBT HDL SIRALAR ÜÇÜN
MÜQAYS V YIILMA LAMTLR
ddi srann trifi. Ylan v dalan ddi sralar. Ylan ddi sralarn xasslri. Ylmann zruri rti. Harmonik sra. Müsbt hdli ddi sralar. Ciddi müsbt hdli sralar. Müsbt hdli, xüsusi cmlr ardcll mhdud olan dalan ddi sraya aid misal. Müsbt hdli sralarn ylmasnn zruri v kafi rt teoremi. Müsbt hdli ddi sra ylan olmadqda onun xü-
26
Müsbt hdli sralar üçün müqayis lamtinin trifi.
Müsbt hdli sralar üçün birinci müqayis lamti. Birinci
müqayis lamtin aid qeydlr. Müsbt hdli sralar üçün ikinci
müqayis lamti. Müsbt hdli sralar üçün üçüncü müqayis
lamti.
lamtinin ttbiqi il misal hlli. Dalamber lamtinin limit kli.
Dalamber lamtinin limit klinin ttbiqi il misal hlli.
Koi lamti. Koi lamtinin ttbiqi il misal hlli. Koi
lamtinin limit kli. Koi lamtinin limit klinin ttbiqi il
misal hlli. Dalamber lamti il Koi lamtinin müqayissi.
MÖVZU 21.
MÜTLQ V RT YIILAN DD SIRALAR
Hdlri iarlrini növb il dyin ddi sralar. Hdlri
iarlrini növb il dyin ddi sralarn cüt nömrli xüsusi
cmlr ardcllnn azalmayan olmasnn isbat. Cüt nömrli
xüsusi cmlr ardcllnn yuxardan mhdudluu. Leybnis la-
mtini ifad edn teorem. Hdlri iarlrini növb il dyin
ddi srann cmini bu srann bir neç ilk hddinin cmi il
vz etdikd buraxlan xtann atlan birinci hddin modulunu
amamas. Leybnis sralarnn trifi. srasnn hdlrinin
modullarndan düzldilmi ddi ardclln yazlmas. Alnan ddi ardclln artmayan olmasnn göstrimsi. Bu ddi ard- clln sonsuz kiçiln olmas. Leybnis lamtin gör baxlan ddi srann ylan olmasnn tsdiqi. Bir misal üzrind hd- lri iarlrini növb il dyin ddi srann cminin tqribi qiymtinin 0,01- qdr dqiqlikl hesablanmas.
Mütlq ylan ddi srann trifi. Mütlq ylan ddi s-

rann özünün ylan olmasna aid teorem. Koi teoremi. Mütlq ylan ddi sralarda toplamann yerdyim qanunundan ist- niln kild istifad etmyin mümkün olmas. Mütlq ylan ddi sralara aid misallar.
rti ylan ddi srann trifi. rti ylan sraya aid misal. Hr bir rti ylan ddi sralarda hm müsbt, hm d mnfi hdlrin sonsuz sayda olmasna aid izahat. rti ylan sralara aid Riman teoremi. Riman teoreminin ttbiqi il misal hlli.
MÖVZU 22.
td ylmasnn trifi. Funksional ardclln oblastda mün-
tzm ylmasnn trifi. Oblastn hr bir nöqtsind ylan
olub, bu oblastda müntzm ylmayan funksional ardclla
aid misal. Funksional ardclln müntzm ylmasnn zruri
v kafi rti.
masnn trifi. Funksional srann n-ci qal. Funksional srann
ylmasnn zruri v kafi rti.
Funksional sralar üçün Veyertras lamti. Majorantlanan
funksional sra anlay. Funksional srann majorant. Veyertras
lamtinin majorant anlay il ifadsi. Veyertras lamtinin
ttbiqi il misal hlli. Qüvvt srasnn trifi. Qüvvt srasnn funksional srann xüsusi hal olmas. Hr bir qüvvt srasnn x=0 nöqtsind y- lan olmas. Abel teoremi. Abel teoreminin ttbiqlri. Hr bir nöqtd ylan qüvvt srasna misal. Heç bir nöq-
28
td ylmayan qüvvt srasna misal. Qüvvt srasnn ylma radiusunun v ylma intervalnn triflri. Ylma radiusunun Dalamber lamtin gör tyin edilmsi. Ylma radiusunun Koi lamtin gör tyin edilmsi.
MÖVZU 23.
XTT FZALAR.
mi mlinin xasslrini ifad edn aksiomlar. Xtti fzada ele- mentin dd hasili mlinin xasslrini ifad edn aksiomlar. Xtti fzann trifindki aksiomlara sasn sfr elementinin ye- gn olmasnn isbat. Xtti fzann trifindki aksiomlara sa- sn ks elementin yegan olmasnn isbat.
Xtti fzalara aid misallar. Müstvi üzrindki bütün vek- torlar çoxluunun xtti fza tkil etmsi. Fzadak bütün vektor- lar çoxluunun xtti fza tkil etmsi. Bütün n trtibli kvadrat matrislr çoxluunun xtti fza tkil etmsi. n-ölçülü hesabi vek- torlar çoxluu.
Xtti fza elementlrinin xtti kombinasiyas. Xtti asl v xtti asl olmayan elementlr. Xtti fzann bazisi. Xtti f- zann ixtiyari elementinin bazis üzr ayrl. Xtti fzann öl- çüsü.
Xtti fzann elementinin verilmi bazisdki koordinantlar. Xtti fzann elementinin iki müxtlif bazisdki ayrllar. Bazisin birini tkil edn elementlrin o biri bazis nzrn ayr- llar. Keçid matrisi. xtiyari elementin bazislr üzr koordi- nantlar arasnda laqnin matris klind yazl.
Evklid fzasnn trifi. Evklid fzasnn trifdki skalyar hasilin xasslrini ifad edk aksiomlar. Evklid fzasnda nor- ma anlay. Koi-Bunyakovski brabrsizliyi. Ortoqonal ele- mentlr.
29
Mövzunun ad Müh. M. Cmi
Mövzu 1. Matrislr v onlar üzrind ml- lr. Determinantn trifi, xasslri v he- sablanma qaydalar
1. Matrislr v onlar üzrind mllr. Mat- 2. rislrin növlri. Trs matris v transponir
edilmi matris anlaylar. 2. ki v üç trtibli determinantlar. 3. n trtibli determinantn trifi. 4. Determinantn xasslri. 5.Minor v cbri tamamlayc. Determinantn
stir v sütun elementlrin gör ayrl.
2 2 4
Mövzu 2. Matrisin ranq v onun hesab- lanma metodlar. Trs matrisin taplma üsullar
1. Matrisin minorunun v ranqnn triflri. Trif sasn matrisin ranqnn hesablan- mas.
2. Matrisin elementar çevirmlri. Matrisin diaqonal kl gtirilmsi. Diaqonal kil- d olan matrisin ranq.
3. Pillli kild olan matris. Matrisin pillli kl gtirilmsi. Pillli kild olan matri- sin ranq.
4.Mxsusi v qeyri-mxsusi matrislr. Trs matrisin varlna aid teorem(isbatsz).
5. Trs matrisin elementar çevirmlr vasitsi il hesablanmas.
2 2 4
Mövzu 3. Xtti tnliklr sistemi (XTS) 1. Xtti tnliklr sistemin aid sas anlay-
lar. 2. Xtti tnliklr sisteminin matris klind
yazl. Xtti tnliklr sisteminin birgliyi üçün Kroneker – Kapelli teoremi (sbatsz).
2 2 4
3. Tnliklrinin say mchullarnn sayna brabr olan xtti tnliklr sisteminin Kra- mer qaydas il hlli.
4. xtiyari xtti tnliklr sistemi üçün Qauss üsulu (genilnmi matrisin ranqnn mc- hullarn sayna brabr olan hal).
5. xtiyari xtti tnliklr sistemi üçün Qauss üsulu (genilnmi matrisin ranqnn mchullarn sayndan kiçik olduu hal).
Mövzu 4. ddi ardcllq v onun limiti
1. ddi çoxluqlar v bzi riyazi mntiq sim-
vollar.
v növlri.
n xasslri (isbatsz).
lr. Monoton mhdud ardclln limitin
aid teorem (isbatsz)
5. “e” ddi.
2 2 4
Limiti olan funksiyalarn xasslri.
v müqayissi.
mllri.
2 2 4
slri 1.Nöqtd ksilmyn funksiyann müxtlif
triflri. Nöqtd sadan, soldan ksilmyn
2 2 4
funksiyalar.
ri.
slri.
sial
nan tnliyi.
ribi hesablamalara ttbiqi.
qi, hasili v ikinci funksiya sfrdan frqli
olduqda qismtinin diferensiallanmas.
rensiallanma qaydalar.
remlri. Qeyri-müyynliklrin açl.
Laqranj, Koi).
Bernulli –Lopital qaydas.
müxtlif killri.
4. Makloren düsturu v onun qalq hddinin
müxtlif killri.
düsturu üzr ayrllar.
mtlri. Funksiyann ekstremumu.
masnn kafi rt teoremlri.
Ekstremumun zruri rt teoremi.
2 2 4
m nöqtlri v asimptotlar
nlmi qabarqla malik olmasnn triflri.
Qabarqln istiqamtinin kafi rt teoremi.
2.Funksiya qrafikinin dönm nöqtsinin trifi.
Dönmnin zruri rt teoremi.
remlri.
totlarnn triflri.
2 2 4
Mövzu 11. Çoxdyinli funksiya, onun li-
miti v ksilmzliyi. Çoxdyinli funksi-
yann xüsusi törmlri, diferensiallanmas
luu. Çoxdyinli funksiyann trifi.
tam artmlar v ksilmzliyi.
lri.
lar.
yent. Çoxdyinli funksiyann ekstremu-
rmsi v qradiyenti.
3. Çoxdyinli funksiyann lokal ekstremu-
mu analy.
kafi rt teoremi.
2 2 4
onun sas inteqrallama üsullar
onlarn sad xasslri.
2.sas inteqrallar cdvli.
teqrallama üsulu.
la hesablanmas.
teqrallanmas. Triqonometrik funksiya-
rallanmas
rlmas.
rallanmas.
teqrallanmas.
onal ifadlrin inteqrallanmas.
2 2 4
rallanmas
vzlmsi.
ci vzlmsi.
üçüncü vzlmsi.
rilmsi. Sad hallarda binomial diferensial-
larn inteqrallanmas.
inteqrallama üsullar
Parçada ksilmyn v parçada monoton
funksiyalarn inteqrallanmasna aid teorem-
Nyuton Leybnis düsturu.
2 2 4
dsi ttbiqlri
teqral vasitsi il hesablanmas.
uzunluunun müyyn inteqral vasitsi il
hesablanmas.
uzunluunun müyyn inteqral vasitsi il he-
sablanmas.
2 2 4
Mövzu 18. Qeyri-mxsusi inteqrallar
lumat. Birinci növ qeyri mxsusi inteqraln t-
rifi. Misal.
ümumi v xüsusi müqayis lamtlri.
3. Yarmintervaln ucunda qeyri-mhdud olan
funksiya üçün ikinci növ qeyri-mxsusi in-
teqraln trifi. Misal.
funksiya üçün ikinci növ qeyri-mxsusi in-
teqraln trifi. Misal.
növ qeyri-mxsusi inteqrala gtirilmsi.
Mövzu 19. kiqat v yrixtli inteqrallar 1.Düzbucaql oblastlar üçün ikiqat inteqraln
trifi v hesablanma qaydalar. 2. Düzbucaql olmayan bzi oblastlar üçün
ikiqat inteqraln trifi v hesablanma qay- dalar.
3. kiqat inteqraln xasslri. 4.Birinci növ yrixtli inteqrallar. 5. kinci növ yrixtli inteqrallar.
2 2 4
ralar üçün müqayis v ylma lamt-
lri
onlarn xasslri.
v kafi rt teoremi.
lri.
4.Dalamber lamti v onun limit kli.
5.Koi lamti v onun limit kli.
Mövzu 21. Hdlri iarlrini növb il d-
yin, mütlq v rti ylan ddi sralar 1.Hdlri iarlrini növb il dyin ddi sralar. Leybnis lamti. 2. Leybnis srasnn tdqiqi. 3.Mütlq ylan ddi sralar. Koi teoremi. 4. rti ylan sralar.
2 2 4
ylma, müntzm ylma anlaylar.
müntzm ylma anlaylar.
zm ylma anlaylar.
3. Veyertras lamt.
5. Qüvvt srasnn ylma radiusunun tapl-
ma üsullar.
2 2 4
Mövzu 23. Xtti fzalar 1. Xtti fzann trifi. Xtti fzann trifind-
ki aksiomlardan çxan nticlr. 2. Xtti fzalara aid misallar. 3. Xtti fzann bazisi v ölçüsü. 4. Xtti fzann bir bazisindn baqa bazisin
keçid.
mllr. Determinantn trifi, xasslri
sablanma metodlar. Trs matrisin ta-
plma üsullar.
2 2
3. Mövzu 3. Xtti tnliklr sistemi . (XTS) 2 2 4. Mövzu 4. ddi ardcllq v onun
limiti. 2 2
5. Mövzu 5. Funksiyann limiti. 2 2 6. Mövzu 6.Ksilmyn funksiya v onun
xasslri. 2 2
ferensial.
teoremlri.Qeyri-müyynliklrin
mtlri. Funksiyann ekstremumu. 2 2
10. Mövzu 10. Funksiya qrafikinin qabarq-
lnn istiqamti. Funksiya qrafikinin
dönm nöqtlri v asimptotlar.
limiti v ksilmzliyi. Çoxdyinli
funksiyann xüsusi törmlri, dife-
rensiallanmas v tam diferensiallar.
diyent. Çoxdyinli funksiyann eks- 2 2
39
onun sas inteqrallama üsullar. 2 2
14. Mövzu 14. Rasional ksrlr v onlarn
inteqrallanmas. Triqonometrik funksi-
teqrallanmas.
inteqrallanmas. 2 2
sas inteqrallama üsullar. 2 2
17 Mövzu 17. Müyyn inteqraln bzi
hndsi ttbiqlri. 2 2
18 Mövzu 18. Qeyri-mxsusi inteqrallar. 2 2 19 Mövzu 19. kiqat v yrixtli inteqral-
lar. 2 2
sralar üçün müqayis v ylma la-
mtlri.
ralar.
ylma, müntzm ylma anlaylar.
40
DBYYT
Bak-2014, 485 sh. .
Bak-2014, 494 sh. .
nr), Maarif-1999, 534 sh. .
1981, 447 sh. .
1984, 499 sh. .
(R.Sultanovun trcümsi)”, Bak-1965, 580 sh. .
7. N.S.Piskunov,“Diferensial v inteqral hesab, II hiss
(R.Sultanovun trcümsi)”, Bak-1966, 309 sh. .
8. .M.Sbzliyeva, “Xtti fzalar v xtti çevirmlrin
tdrisin aid metodiki tövsiylr”, Bak-2010, 35 sh. .
9. Y..Slimov, M.M.Sbzliyev, “Ali riyaziyyatdan
msllr”, I hiss (tkrar nr), Bak-2014, 281sh. .
10. Y..Slimov, M.M.Sbzliyev, “Ali riyaziyyatdan
msllr”, II hiss (tkrar nr), Bak-2014, 216 sh. .
11. Y..Slimov, M.M.Sbzliyev, “Ali riyaziyyatdan
msllr”, III hiss (tkrar nr), Bak-2014, 206 sh. .
12. M.M.Sbzliyev, “Ali riyaziyyatdan msllr”, I hiss,
Bak -2016, 522sh.
Bak-2016,392sh.
15. sgndrov B.B. “Xtti cbr elementlrinin bzi iqtisadi
msllrin hllin ttbiqi”, Bak 1998.
16. Almmmdov M.S., M..Qarayev., QuluzadT.H. “Xtti
cbr, analitik hnds v riyazi analiz”, Bak-2012.
41
1947-1954.
-2002, 592 .
», I- III, , 1964-
1969.
», I, , 1971, 599 ..
21. . . « –
», II, , 1972, 447 ..
22. . « », ,
1975, 398 ..
1978, 302 ..
..
26. . « –
», , 1980, 335 . .
27. . . .. . ( .
..), « » (
), I – III, , 1985-1987.
28. . . . « –
», I , II,
, 1980, 320 . 365 . .
29. . « –
», , 1987, 350 . .
30. . . . ..-
, « » I ,
-2007, 375 . .