Mühazirə mətinləri. Matrislər və onlar üzərində əməllər

Düsturu əzbərləmək üçün şəkildə təsvir olunan üçbucaq qaydası ilə çıxış etdilər. Əsas diaqonalın elementləri əvvəlcə vurulur. Qırmızı tərəfləri olan üçbucaqların küncləri ilə göstərilən elementlərin məhsulları alınan dəyərə əlavə olunur. Sonra, yan diaqonalın elementlərinin məhsulu çıxarılır və mavi tərəfləri olan üçbucaqların bucaqları ilə göstərilən bu elementlərin məhsulları çıxarılır.

Matrislərin hasilini necə tapmaq olar. Matrisin vurulması. Matrislərin skalyar hasili. Üç matrisin hasili

Matrislərlə (ədədi elementləri olan cədvəllər) müxtəlif hesablama hərəkətləri yerinə yetirilə bilər. Onlardan bəziləri ədədə, vektora, başqa bir matrisaya, bir neçə matrisəyə vurmadır. İş bəzən səhv çıxır. Səhv nəticə hesablama hərəkətlərinin yerinə yetirilməsi qaydalarını bilməməyin nəticəsidir. Çoxalmanın necə aparılacağını görək.

Matris və nömrə

Ən sadə şeydən başlayaq – nömrələri olan bir cədvəli müəyyən bir məbləğə vurmaq. Məsələn, a elementləri olan A matrisinə sahibik_ij (i sətir nömrələri, j isə sütun nömrələridir) və e rəqəmi. Bir matrisin e ədədinə hasili b elementləri olan B matrisidir_ijdüsturla tapılır:

Yəni b elementini almaq üçün₁₁ a elementini götürməlisiniz₁₁ və onu istədiyiniz ədədə vuraraq b əldə edin₁₂ a elementinin hasilini tapmaq tələb olunur₁₂ və e rəqəmləri və s.

Şəkildə təqdim olunan 1 nömrəli problemi həll edək. B matrisini əldə etmək üçün A-nın elementlərini 3-ə vurmaq kifayətdir:

1. a₁₁ × 3 = 18. Bu dəyəri B matrisinə 1-ci sütun və 1-ci sətirin kəsişdiyi yerdə yazırıq.
2. a₂₁ × 3 = 15. Biz b elementini aldıq₂₁.
3. a₁₂ × 3 = –6. b maddəsini aldıq₁₂. Onu B matrisinə 2-ci sütunla 1-ci sətirin kəsişdiyi yerdə yazırıq.
4. a₂₂ × 3 = 9. Bu nəticə b elementidir₂₂.
5. a₁₃ × 3 = 12. Bu ədədi matrisə b elementinin yerinə daxil edirik₁₃.
6. a₂₃ × 3 = –3. Alınan son nömrə b elementidir₂₃.

Beləliklə, ədədi elementləri olan düzbucaqlı massiv əldə etdik.

18	–6	12
15	9	–3

Vektorlar və matrislərin hasilinin mövcudluğu şərti

Riyazi fənlərdə “vektor” deyə bir şey var. Bu termin a-dan sifarişli kəmiyyətlər toplusu kimi başa düşülür₁ a_n. Bunlara vektor fəza koordinatları deyilir və sütun şəklində yazılır. “Köçürülmüş vektor” termini də var. Onun komponentləri sim kimi düzülmüşdür.

Vektorları matris adlandırmaq olar:

• sütun vektoru bir sütundan qurulmuş matrisdir;
• Sətir vektoru yalnız bir cərgədən ibarət matrisdir.

Matrislər üzərində vurma əməliyyatlarını yerinə yetirərkən məhsulun mövcudluğu üçün bir şərt olduğunu xatırlamaq lazımdır. A × B hesablama hərəkəti yalnız A cədvəlindəki sütunların sayı B cədvəlindəki sətirlərin sayına bərabər olduqda yerinə yetirilə bilər. Hesablama nəticəsində yaranan matris həmişə A cədvəlindəki sətirlərin sayına və nömrəyə malikdir. B cədvəlindəki sütunlar.

Çoxaldıqda, matrisləri (amilləri) yenidən təşkil etmək tövsiyə edilmir. Onların hasili adətən çoxalmanın kommutativ (köçürülə bilən) qanununa uyğun gəlmir, yəni A × B əməliyyatının nəticəsi B × A əməliyyatının nəticəsi ilə bərabər deyil. Belə bir xüsusiyyət qeyri-kommutativlik adlanır. matris məhsulu. Bəzi hallarda A × B vurmasının nəticəsi B × A vurmasının nəticəsinə bərabərdir, yəni məhsul kommutativdir. A × B = B × A bərabərliyinin təmin edildiyi matrislərə permutasiya matrisləri deyilir. Belə cədvəllərin nümunələrini aşağıda tapa bilərsiniz.

Sütun vektoru ilə vurma

Bir matrisin sütun vektoru ilə vurulmasını həyata keçirərkən məhsulun mövcudluğu şərtini nəzərə almalıyıq. Cədvəldəki sütunların sayı (n) vektorun tərtib olunduğu koordinatların sayına uyğun olmalıdır. Hesablamanın nəticəsi çevrilmiş vektordur. Onun koordinatlarının sayı cədvəldəki xətlərin sayına (m) bərabərdir.

A matrisi və x vektoru varsa, y vektorunun koordinatları necə hesablanır? Hesablamalar üçün düsturlar yaradılmışdır:

harada x₁, . x_n X-vektorundan koordinatlar, m matrisdəki sətirlərin sayı və yeni y-vektorun koordinatlarının sayı, n matrisin sütunlarının və x-vektorundakı koordinatların sayıdır, a₁₁, a₁₂, . a_mn A matrisinin elementləridir.

Beləliklə, yeni vektorun i-ci komponentini almaq üçün nöqtə hasili yerinə yetirilir. i-ci sıra vektoru A matrisindən götürülür və o, mövcud vektor x ilə vurulur.

2 nömrəli məsələni həll edək.Matrisin vektora hasilini tapmaq olar, çünki A-nın 3 sütunu, x isə 3 koordinatdan ibarətdir. Nəticədə 4 koordinatlı bir sütun vektoru almalıyıq. Yuxarıdakı düsturlardan istifadə edək:

1. y hesablayın₁. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Son dəyər 2-dir.
2. y hesablayın₂. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Hesablayarkən 0 alırıq.
3. y hesablayın₃. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Bu amillərin məhsullarının cəmi 6-dır.
4. y hesablayın₄. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Koordinat -8-dir.

Matris vurulması ilə sıra vektoru

Çoxsütunlu matrisi sətir vektoruna vura bilməzsiniz. Belə hallarda əsərin mövcudluğu şərti yerinə yetirilmir. Lakin cərgə vektorunun matrislə vurulması mümkündür. Bu hesablama əməliyyatı vektordakı koordinatların sayı cədvəldəki sətirlərin sayına uyğun gələndə yerinə yetirilir. Vektor-matris hasilinin nəticəsi yeni cərgə vektorudur. Onun koordinatlarının sayı matrisdəki sütunların sayına bərabər olmalıdır.

Yeni vektorun birinci koordinatının hesablanması cədvəldən sıra vektorunun və birinci sütun vektorunun vurulmasını nəzərdə tutur. İkinci koordinat oxşar şəkildə hesablanır, lakin birinci sütun vektorunun əvəzinə ikinci sütun vektoru alınır. Budur koordinatları hesablamaq üçün ümumi düstur:

harada y_k y-vektorundan koordinatdır, (k 1-dən n-ə qədər diapazondadır), m matrisdəki sətirlərin sayı və x-vektorundakı koordinatların sayıdır, n matrisin sütunlarının sayıdır. və y-vektorundakı koordinatların sayı, a alfasayısal rəqəmsal indekslərlə – A matrisinin elementləri.

Düzbucaqlı matrislərin məhsulu

Bu hesablama addımı qorxulu görünə bilər. Bununla belə, çoxaltmaq asandır. Bir təriflə başlayaq.m sətir və n sütunlu A matrisinin və n sətri və p sütunlu B matrisinin hasili m sətir və p sütunlu C matrisidir, burada c elementi_ij A cədvəlinin i-ci sətirinin və B cədvəlinin j-ci sütununun elementlərinin hasillərinin cəmidir. Daha sadə dillə desək, c elementi_ij A cədvəlindən i-ci sətir vektorunun və B cədvəlindən j-ci sütun vektorunun nöqtə hasilidir.

İndi praktikada düzbucaqlı matrislərin hasilini necə tapacağını anlayaq. Bu problemi №3 həll edək. Məhsulun mövcudluğu şərti yerinə yetirilir. C elementlərini hesablamağa başlayaq_ij:

1. C matrisi 2 sətir və 3 sütundan ibarət olacaq.
2. c elementini hesablayın₁₁. Bunun üçün A matrisindən 1 nömrəli sətir və B matrisindən 1 nömrəli sütunun skalyar hasilini yerinə yetirin. c.₁₁ = 0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1 = 16. Sonra biz eyni şəkildə davam edirik, yalnız satır və sütunları dəyişdiririk (elementin indeksindən asılı olaraq).
3. c₁₂ = 12.
4. c₁₃ = 9.
5. c₂₁ = 31.
6. c₂₂ = 18.
7. c₂₃ = 36.

Elementlər hesablanır. İndi yalnız alınan nömrələrdən düzbucaqlı bir blok etmək qalır.

16	12	9
31	18	36

Üç matrisin vurulması: nəzəri hissə

Üç matrisin hasilini tapa bilərsinizmi? Bu hesablama əməliyyatı mümkündür. Nəticə bir neçə yolla əldə edilə bilər. Məsələn, 3 kvadrat masa var (eyni qaydada) – A, B və C. Məhsulu hesablamaq üçün aşağıdakıları edə bilərsiniz:

1. Əvvəlcə A və B-ni çoxaldın. Nəticə sonra C-yə vurulur.
2. Əvvəlcə B və C-nin hasilini tapın. Sonra A matrisini alınan nəticəyə vurun.

Əgər düzbucaqlı matrisləri çoxaltmaq lazımdırsa, əvvəlcə bu hesablama əməliyyatının mümkün olduğundan əmin olmalısınız. A × B və B × C məhsulları olmalıdır.

Artan vurma xəta deyil. “Matrisin çoxalmasının assosiativliyi” kimi bir şey var. Bu termin (A × B) × C = A × (B × C) bərabərliyini bildirir.

Üç matrisin vurulması: təcrübə

Kvadrat matrislər

Kiçik kvadrat matrisləri vurmaqla başlayaq. Aşağıdakı şəkildə həll etməli olduğumuz 4 nömrəli tapşırıq göstərilir.

Biz assosiativlik mülkiyyətindən istifadə edəcəyik. Əvvəlcə ya A və B, ya da B və C-ni çoxaldırıq. Yalnız bir şeyi xatırlayırıq: amilləri əvəz edə bilməzsiniz, yəni B × A və ya C × B-ni çoxalda bilməzsiniz. Belə vurma ilə səhv nəticə əldə edirik.

Birinci addım. Ümumi hasili tapmaq üçün əvvəlcə A-nı B-yə vurun. İki matrisi vurarkən yuxarıda qeyd olunan qaydaları rəhbər tutacağıq. Beləliklə, A və B-nin vurulmasının nəticəsi 2 sıra və 2 sütunlu D matrisi olacaq, yəni düzbucaqlı massiv 4 elementdən ibarət olacaqdır. Hesablama apararaq onları tapaq:

• d₁₁ = 0 × 1 + 5 × 6 = 30;
• d₁₂ = 0 × 4 + 5 × 2 = 10;
• d₂₁ = 3 × 1 + 2 × 6 = 15;
• d₂₂ = 3 × 4 + 2 × 2 = 16.

Aralıq nəticə hazırdır.

30	10
15	16

İkinci addım. İndi D matrisini C matrisinə vururuq. Nəticə 2 sətir və 2 sütunlu kvadrat G matrisi olmalıdır. Elementləri hesablayaq:

• g₁₁ = 30 × 8 + 10 × 1 = 250;
• g₁₂ = 30 × 5 + 10 × 3 = 180;
• g₂₁ = 15 × 8 + 16 × 1 = 136;
• g₂₂ = 15 × 5 + 16 × 3 = 123.

Beləliklə, kvadrat matrislərin hasilinin nəticəsi hesablanmış elementləri olan G cədvəlidir.

250	180
136	123

Düzbucaqlı matrislər

Aşağıdakı şəkildə 5 nömrəli məsələ göstərilir. Düzbucaqlı matrisləri çoxaltmaq və həllini tapmaq tələb olunur.

A × B və B × C hasillərinin mövcudluğu şərtinin təmin edilib-edilmədiyini yoxlayaq.Bu matrislərin sifarişləri bizə vurma aparmağa imkan verir. Problemi həll etməyə başlayaq.

Birinci addım. D əldə etmək üçün B-ni C-yə vurun. B matrisinin 3 cərgəsi və 4 sütunu, C matrisinin isə 4 sətri və 2 sütunu var. Bu o deməkdir ki, 3 sətir və 2 sütunlu D matrisinə sahib olacağıq. Elementləri hesablayaq. Burada 2 hesablama nümunəsi var:

• d₁₁ = 3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1 = 0;
• d₁₂ = 3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6 = 7.

Problemi həll etməyə davam edirik. Əlavə hesablamalar nəticəsində d dəyərlərini tapırıq₂₁, d₂₂, d₃₁ və d₃₂. Bu elementlər müvafiq olaraq 0, 19, 1 və 11-dir. Tapılan dəyərləri düzbucaqlı massivdə yazaq.

0	7
0	19
1	11

İkinci addım. Son F matrisini əldə etmək üçün A-nı D-yə vurun. Onun 2 sıra və 2 sütunu olacaq. Elementləri hesablayaq:

• f₁₁ = 2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1 = 1;
• f₁₂ = 2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11 = 139;
• f₂₁ = 0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1 = 3;
• f₂₂ = 0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11 = 52.

Üç matrisin vurulmasının son nəticəsi olan düzbucaqlı massiv tərtib edək.

1	139
3	52

Birbaşa işlə tanışlıq

Matrislərin Kronecker məhsulunu başa düşmək olduqca çətindir. Onun əlavə adı da var – birbaşa iş. Bu terminlə nə nəzərdə tutulur? Tutaq ki, bizdə m × n sıralı A cədvəli və p × q düzənli B cədvəli var. A matrisinin B matrisi ilə birbaşa hasilatı mp × nq düzənli matrisdir.

Şəkildə göstərilən 2 kvadrat A, B matrisimiz var. Birincisi 2 sütun və 2 sıra, ikincisi isə 3 sütun və 3 sətirdir. Birbaşa hasildən yaranan matrisin 6 sətirdən və tam olaraq eyni sayda sütundan ibarət olduğunu görürük.

Yeni matrisin elementləri birbaşa hasildə necə hesablanır? Rəsmi təhlil etsəniz, bu sualın cavabını tapmaq çox asandır. Birincisi, birinci sətir doldurulur. A cədvəlinin yuxarı cərgəsindən birinci elementi götürün və ardıcıl olaraq B cədvəlinin birinci cərgəsinin elementlərinə vurun. Sonra A cədvəlinin birinci cərgəsinin ikinci elementini götürün və ardıcıl olaraq cədvəlin birinci cərgəsinin elementlərinə çarpın. B. İkinci cərgəni doldurmaq üçün yenidən A cədvəlinin birinci sətirindən birinci elementi götürün və onu B cədvəlinin ikinci cərgəsinin elementlərinə çarpın.

Birbaşa məhsulun əldə etdiyi son matrisə blok matrisi deyilir. Şəkli yenidən təhlil etsəniz, nəticəmizin 4 blokdan ibarət olduğunu görəcəksiniz. Onların hamısına B matrisinin elementləri daxildir. Bundan əlavə, hər blokun elementi A matrisinin xüsusi elementi ilə vurulur. Birinci blokda bütün elementlər bir ilə vurulur.₁₁, ikincidə – a₁₂, üçüncüdə – a₂₁, dördüncüdə – a₂₂.

İşin müəyyənedicisi

Matrislərin vurulması mövzusunu nəzərdən keçirərkən, “matrislərin məhsulunun müəyyənedicisi” kimi bir termini də nəzərdən keçirməyə dəyər. Determinant nədir? Bu, kvadrat matrisin mühüm xarakteristikasıdır, bu matrisə təyin edilmiş müəyyən bir dəyərdir. İdentifikator hərfi detdir.

İki sütunlu və iki sıralı A matrisi üçün determinantı tapmaq asandır. Xüsusi elementlərin məhsulları arasındakı fərqi təmsil edən kiçik bir formula var:

İkinci dərəcəli cədvəl üçün determinantın hesablanması nümunəsini nəzərdən keçirək. A matrisi var ki, orada a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 5 və a₂₂ = 1. Determinantı hesablamaq üçün düsturdan istifadə edirik:

det A = 2 × 1 – 3 × 5 = 2 – 15 = –13.

3 × 3 matrislər üçün determinant daha mürəkkəb düsturla hesablanır. A matrisi üçün aşağıda təqdim olunur:

Düsturu əzbərləmək üçün şəkildə təsvir olunan üçbucaq qaydası ilə çıxış etdilər. Əsas diaqonalın elementləri əvvəlcə vurulur. Qırmızı tərəfləri olan üçbucaqların küncləri ilə göstərilən elementlərin məhsulları alınan dəyərə əlavə olunur. Sonra, yan diaqonalın elementlərinin məhsulu çıxarılır və mavi tərəfləri olan üçbucaqların bucaqları ilə göstərilən bu elementlərin məhsulları çıxarılır.

İndi matris hasilinin determinantından danışaq. Bu göstəricinin faktor cədvəllərinin determinantlarının hasilinə bərabər olduğunu söyləyən bir teorem var. Bunu bir nümunə ilə təsdiq edək. Bizdə a elementləri olan A matrisi var₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 1 və a₂₂ = 1 və elementləri olan B matrisi b₁₁ = 4, b₁₂ = 5, b₂₁ = 1 və b₂₂ = 2. A və B matrisləri üçün təyinediciləri, A × B hasilini və bu hasilin təyinedicisini tapın.

Birinci addım. A üçün müəyyənedicini hesablayaq: det A = 2 × 1 – 3 × 1 = –1. Sonra B üçün müəyyənedicini hesablayırıq: det B = 4 × 2 – 5 × 1 = 3.

İkinci addım. A × B məhsulunu tapaq. Yeni matris C hərfi ilə işarələnir. Onun elementlərini hesablayaq:

• c₁₁ = 2 × 4 + 3 × 1 = 11;
• c₁₂ = 2 × 5 + 3 × 2 = 16;
• c₂₁ = 1 × 4 + 1 × 1 = 5;
• c₂₂ = 1 × 5 + 1 × 2 = 7.

Üçüncü addım. C üçün determinantı hesablayaq: det C = 11 × 7 – 16 × 5 = –3. Orijinal matrislərin təyinedicilərini vurmaqla əldə edilə bilən dəyərlə müqayisə edin. Rəqəmlər eynidir. Yuxarıdakı teorem doğrudur.

İş dərəcəsi

Matrisin dərəcəsi xətti müstəqil sətir və ya sütunların maksimum sayını əks etdirən bir xüsusiyyətdir. Rütbəni hesablamaq üçün elementar matris çevrilmələri aparılır:

• iki paralel sıranın yenidən təşkili;
• cədvəldən müəyyən bir cərgənin bütün elementlərini sıfıra bərabər olmayan rəqəmə vurmaq;
• bir sıra elementlərə digər cərgədən elementlərin əlavə edilməsi, müəyyən bir ədədə vurulması.

Elementar çevrilmələrdən sonra sıfırdan fərqli xətlərin sayına baxırlar. Onların sayı matrisin dərəcəsidir. Əvvəlki nümunəyə baxaq. O, 2 matrisdən ibarət idi: a elementləri ilə A₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 1 və a₂₂ = 1 və b elementləri ilə B₁₁ = 4, b₁₂ = 5, b₂₁ = 1 və b₂₂ = 2.Çarpma nəticəsində alınan C matrisindən də istifadə edəcəyik. Elementar çevrilmələri yerinə yetirsək, sadələşdirilmiş matrislərdə sıfır sıra olmayacaq. Bu o deməkdir ki, A cədvəlinin rütbəsi, B cədvəlinin dərəcəsi və C cədvəlinin dərəcəsi 2-yə bərabərdir.

İndi biz matris məhsulunun dərəcəsinə xüsusi diqqət yetirəcəyik. Rəqəm elementləri olan cədvəllərin hasilinin dərəcəsinin heç bir amillərin dərəcəsindən çox olmadığını söyləyən bir teorem var. Bunu sübut etmək olar. A k × s matrisi və B an s × m matrisi olsun. A və B məhsulu C-yə bərabərdir.

Yuxarıdakı rəqəmi öyrənək. O, C matrisinin birinci sütununu və onun sadələşdirilmiş təsvirini göstərir. Bu sütun A matrisinə daxil olan sütunların xətti kombinasiyasıdır. Eynilə, C düzbucaqlı massivindən hər hansı digər sütun haqqında da deyə bilərik. Beləliklə, C cədvəlinin sütun vektorlarının yaratdığı alt fəza onun yaratdığı alt fəzada mövcuddur. A cədvəlinin sütun vektorları. Bu səbəbdən №1 alt fəzanın ölçüsü №2 alt fəzanın ölçüsünü keçmir. Bu o deməkdir ki, C cədvəlinin sütunlarındakı dərəcə cədvəlin sütunlarındakı dərəcəni aşmır. A, yəni r (C) ≤ r (A). Əgər oxşar şəkildə əsaslandırsaq, onda əmin ola bilərik ki, C matrisinin cərgələri B matrisinin cərgələrinin xətti kombinasiyasıdır. Bu, r (C) ≤ r (B) bərabərsizliyini nəzərdə tutur.

Matrislərin məhsulunu necə tapmaq olduqca mürəkkəb bir mövzudur. Asanlıqla mənimsənilə bilər, lakin belə bir nəticə əldə etmək üçün bütün mövcud qaydaları və teoremləri yadda saxlamağa çox vaxt sərf etməli olacaqsınız.

Mühazirə mətinləri. Matrislər və onlar üzərində əməllər

və ya (1)
şəklində yazılır. Bəzən qısa olmaq ücün şəklində yazılır. Matrisi təşkil edən a_ij ədədlərinə onun elementləri deyilir.

matrislərinin cəmi həmin ölçülü və hədləri

C_ij =
kimi təyin olunan C= matrisinə deyilir ki, ilə işarə olunur. (2) matrisin hasilini təyin edək;

(2)
C (3)
kimi təyin olunan (m×p) ölçülü C= matrisinə deyilir və C=AB ilə işarə olunur.

Çoxluq anlayışı. Çoxluq və onlar üzərində əməllər.

Çoxluq riyaziyyatın əsas anlayışlarından biridir, çoxluğa tərif verilmir ancaq izah edilir, əsas xassə və əlamətləri göstərilir.

Eyni əlaməti və ya xassəsi olan əşyalar, obyektlər çoxluq təşkil edir. Hər bir çoxluq onu təşkil edən elementlərdən ibarətdir. Adətən çoxluqlar böyük həriflə ( A, B, X, Y. ) , onları təşkil edən elementlər isə kiçik hərflə ( a, b, x, y, . ) , göstərilir.

A çoxluğunun hər bir elementi B çoxluğunun da elementi olduqda deyirlər ki, A çoxluğu B çoxluğuna daxildir. kimi yazılır, və deyirlər ki, A çoxluğu B-nin alt çoxluğudur.

1. Çoxluqların birləşməsi____A və B çoxluğunun hec olmasa birinə daxil olan bütün elementlərdən ibarət çoxluğa həmin çoxluğun çəmi və ya birləşməsi deyilir. Bunu A+B və ya kimi işarə edirlər.

2. Çoxluqların kəsişməsi____A və B çoxluğunun hər birinə daxil olan elementlərdən ibarət çoxluğa həmin çoxluğun hasili və ya kəsişməsi deyilir. və AB kimi göstərilir.

Çoxluqların kəsişməsi aşağıdakı xassələrə malikdir;

3. Çoxluqların fərqi. A çoxluğunun B çoxluğuna daxil olmayan elementlərdən ibarət çoxluğa A- ilə B-nin fərqi deyilir və A \ B ilə işarə edilir.

Determinantlar və onların əsas xassələri.

(1) matrisinin elementlərindən düzəldilmiş fərqinə (1) matrisinin determinantı deyilir və (2) kimi yazılır. (1) matrisinin (2) determinantına ∆(A₂) və ya det A₂ ilə işarə olunur. Üçtərtibli determinant aşağıdakı kimi işarə olunur:

determinantın hər hansı elementinin olduğu sətir və sütun üzərindən düz xətlər çəkdikdə yerdə qalan elementlər (nisbi vəziyyətini dəyişmədən) bir determinant ( tərtibi verilmiş determinantın tərtibindən bir vahid az olan) əmələ gətirir. Bu determinanta həmin elementin minoru deyilir.a_ij elementinin minorunu M_ij ilə işarə edilir. M_ij minorunun (-1) vuruğu ilə hasilinə a_ij elemenyinin cəbri tamamlayıcısı deyilir və

A_ij= ilə işarə olunur.

Teorem 1. Hər bir determinant hər hansı bir sətir və ya sütun elementlərinin öz cəbri tamamlayıcıları ilə hasillərinin cəminə bərabərdir.

Xassə1. Determinantın bütün sətirləri ilə sütunlarının uyğun olaraq yerini dəyişdikdə onun qiyməti dəyişməz.

Xassə 2. Determinantın iki sətrinin və ya sütunun bir- biri ilə yerini dəyişdikdə determinantın ancaq işarəsi dəyişər.

Xassə 3. İki sətri eyni olan determinant sıfıra bərabərdir.
∆=
Xassə 4. Determinantın hər hansı bir sətir elementlərinin ortaq vuruğu olarsa, onda həmin vuruğu determinantın xaricinə çıxarmaq olar;

Xassə 5. Determinantın hər hansı bir sətrinin bütün elementləri iki ədədin cəmi kimi verildikdə, həmin determinant iki determinantın cəminə bərabər olar,: bu determinantların birində həmin sətir elementləri olaraq birinçi toplananlar, o birində isə həmin sətir elementləri olaraq ikinçi toplananlar götürülür.

=
Xassə 6. Determinantın hər hansı sətirinin bütün elementlərini bir ədədə vurub onun başqa bir sətrinin uyğun elementləri üzərinə əlavə etsək, determinant dəyiş-məz;

Tərs matris.

Tutaq ki, A hər hansı tərtibli kvadrat matris və I həmin tərtibli vahid matrisdir. Bu halda

bərabərliyini ödəyən A -1 matrisinə A matrisinin tərsi deyilir.

Yəni A və A -1 matrisləri qarışılıqlı tərs matrislərdir. Verilmiş A matrisinin tərs A -1 matrisi olması üçün onun ∆(A) determinantının sıfırdan fərqli olması zəruri və kafi şərtdir.

Determinantı sıfıra bərabər , yəni ∆(A)=0 olan kvadrat A matrisinə cirlaşmış (və ya məxsusi) matris deyilir. Determinantı sıfıra bərabər olmayan kvadrat A matrisinə isə cirlaşmamış (və ya qeyri-məxsusi) matris deyilir.

Matrisin ranqı.
Tutaq ki, (m×n) ölçülü A= matrisi verilmişdir. Bu matrisin ixtiyari k sayda sətrinin ixtiyari k sayda sütunu ilə kəsişdiyi elementlər k-tərtibli bir kvadrat matris təşkil edir. Bu k-tərtibli matrisin determinantına A martisinin k-tərtibli minoru deyilir. Burada k ədədi m və n ədədlərinin kiçiyindən böyük ola bilməz.

A matrisinin heç olmasa bir elementi sıfırdan, fərqlidirsə, onda onun sıfırdan fərqli minorları içərisində elə birisi vardır ki, onun tərtibi ən böyükdür. A matrisinin sıfırdan fərqli minorları tərtiblərinin ən böyüyünə həmin matrisin ranqı deyilir. A matrisinin ranqını r(A) ilə işarə etsək, onun üçün

bərabərsizliyi doğru olar.

Xətti tənliklər sistemi və onların həlli üsulları.

Buradakı iki tərtibli determinantları

∆= , ∆₁= , ∆₂= ilə işarə etsək, sistemin yeganə (∆ ) x= , y= (2)

həlli (1) sisteminin yeganə həlli olur. (2) düsturuna Kramer düsturları, ∆ determinantına isə (1) sisteminin determinantı deyilir.

Üçməchullu üç xətti tənlik sistemi.

kimi yazılır. ∆ olduqda bu sistemin yeganə həlli var.

1. Xətti tənliklər sisteminin tərs matrisin köməyi ilə həlli .

AX=B (6) tənliyinə matris tənlik deyilir.

> (7)
Bu sistemi matris şəklində yazaq;

Onda bu sistem Ax=B olar. ∆(A)≠0 olduqda x=A -1 B olar. Bu xətti tənliklər sisteminin tərs matrisin köməyi ilə həllidir.

1. Qauss üsulu ilə xətti tənliklər sisteminin həlli .

Xətti tənliklər sistemində məchulların sayı tənliklərin sayına bərabər olmadıqda yəni sistem

şəklində olduqda isə onun həllinə Kramer qaydasını bilavasitə tətbiq etmək olmur.Buna görədə (1) şəklində xətti tənliklər sistemini çox zaman məchulların ardıcıl yox edilməsi üsulu və ya Qauss üsulu ilə həll edirlər. , Onda sistemin birinci tənliyinin hər iki tərəfini ədədinə vursaq , alınan tənliyini sistemin 2-ci tənliyindən tərəf-tərəfə çıxırıq. Aldığımız tənlikdə x₁ məchulu iştirak etmir.

Sonra sistemin 1-ci tənliyinin hər iki tərəfini ədədinə vuraraq alınan tənliyi sistemin ücüncu tənliyindən tərəf- tərəfə çıxırıq. Bu mühakiməni ardıcıl tətbiq etməklə (1) sistemini

. (2)
yeni (2) sisteminin ikincidən sonrakı tənliklərindən də yuxarıdakı qayda ilə, x₂ məchulu yox edilir. Prosesi bu qayda ilə davam etməklə (1) sistemi ona ekvivalent olan

(3)
sisteminə gətirilir. (3) sisteminə pilləvari sistem, və s. əmsallarına isə sistemin baş elementləri deyilir.

1. r(B)r(A)=k, ( kmin (m,n) olduqda (1) sistemi uyuşmayandır.)
2. r(B)=r(A) olduqda (1) sistemi uyuşandır və bu halda ;

1. r(B) = r(A)=n olduqda sistemin həlli yeganədir və həmin həll Kramer düsturları vasitəsilə tapılır.
2. r(B) = r(A)=k, (kmin(m,n) olduqda isə sistemin həlli sonsuz saydadır.)

Bazis minoru haqqında teorem.
Ranqı r olan A matrisinin sıfırdan fərqli olan r tərtibli minoruna onun bazis minoru deyilir.A matrisinin sıfırdan fərqli bir neçə r-tərtibli minoru ola bilər. Bu halda, həmin minorların hər biri həmin matrisin bazis minotu olur.

A matrisin, kəsişmələrində bazis minorun elementləri yerləşən sətir və sütunlarına bazis sətirləri və bazis sütunları deyilir.

Teorem ; Bazis sətirləri ( sütunları) xətti asılı deyildir. A matrisinin istənilən sətri

(sütunu) onun bazis sətirlərinin (sütunlarının) xətti kombinasiyasıdır.

Deməli, A matrisinin xətti asılı olmayan sətirlərinin sayı onun ranqına bərabərdir.

Xətt və onun tənliyi.

Tərif 1.___Verilmiş Oxy koordinat sistemində L xəttinin tənliyi elə F(x,y)=o (1) tənliyinə deyilir ki, onu yalnız və yalnız bu xətt üzərindəki nöqtələrin koordinatları ödəyir.

Tərif 2.____x və y dəyişənlərinə nəzərən iki dərəcəli tənliklə təyin olunan xətt (əyri) ikitərtibli xətt(əyri ) adlanır.
Düz xəttin polyar koordinat sistemində tənliyi.
Düz xəttin polyar koordinat sistemində tənliyini cıxarmaq üçün,müstəvi üzərində polyar koordinat sistemi və hər hansı L düz xəttini götürək. Polyusdan L düz xəttinə ON perpendikulyarı çəkib bu perpendikulyar üzərində O nöqtəsindən L düz xəttinə tərəf istiqamət təyin edək. və vektorunun OP oxu ilə əmələ gətirdiyi müsbət bucağı α ilə işarə edək.

L düz xətti üzərində nöqtəsi götürsək onda n

ifadələrinin sol tərəfləri bərabər olduğundan , alarıq. N

_{(1) ifadəsi L düz xəttinin polyar koordinat sistemində α φ p}

_{tənliyi adlanır. 0}

_{Düz xəttin ümumi tənliyi.
Düz xəttin ümumi tənliyi (1) şəklindədir. Burada A,B və C əmsallarının qiymətlərindən asılı olaraq həmin tənliyin təyin etdiyi düz xəttin verilmiş koordinat sisteminə görə necə yerləşdiyini tədqiq edək.
1 . olsun . Onda (1) tənliyini .}

_{(2) tənliyi bucaq əmsalı və ordinat oxundan ayırdığı parçanın qiyməti olan düz xəttin tənliyidir.}

_{2. olsun. Bu halda (1) tənliyini (3) şəklində yazmaq olar. (3) tənliyi absis oxuna paralel olan düz xəttin tənliyidir.}

_{3. olduqda (1) tənliyini (4)}

_{şəklində yazmaq olar, bu da ordinat oxuna paralel düz xəttin tənliyidir.}

_{4. A≠0, B≠0 və C=0 olduqda (1) tənliyini (5)}

_{şəklində yazmaq olar, buda koordinat başlanğıcından keçən düz xəttin tənliyidir.}

_{5. A≠0, B=0 və C=0 olduqda (1) tənliyini x=o (6) şəklində yazmaq olar}

_{bu da ordinat oxunun tənliyidir.}

_{6. A=C=O və B≠O olduqda (1) tənliyi obsis oxunun y=o (7) tənliyinə çevrilir.
Düz xəttin parçalarla tənliyi.
Koordinat oxlarının hec birinə paralel olmayan koordinat baş-}

_{lanğıcından keçməyən L düz xətti götürək. Düz xəttin obsis və}

_{ordinat oxlarını kəsdiyi nöqtələr uyğun olaraq M(a,o) və y}

_{N(o,b) olsun.L düz xəttinin tənliyini L N(o,b)}

_{(1)
şəklində yazsaq, şərtə görə A≠0, B≠0 və C≠0 olar.}

_{M(a,o) və N(o,b) nöqtələri L düz xətti üzərində yerləşdiyin- M(a,0)}

_{dən, onların koordinatları (1) tənliyini ödəyir. 0 x}

_{(1) tənliyini Ax+By=- C şəklində yazaraq, bərabərliyin hər iki tərəfini}

_{və (2) bərabərliklərini nəzərə alsaq ;}

_{(3)
olar. Bu tənliyə düz xəttin parçalarla tənliyi deyilir.}

Müstəvi üzərində düz xətt. Düz xəttin normal tənliyi .
Müstəvi üzərində (0×y) koordinat sistemi və ∀ L düz xətti götürək. Koordinat başlanğıcını polyus və absis oxunu polyar ox hesab etsək , alınan polyar koordinat sistemində L düz xəttinin tənliyi y

olacaqdır. (1) tənliyinin sol tərəfini açsaq n

ρ cosφ∙cosα+ρ sinφ∙sinα=p N

və polyar koordinatlarla düzbucaqlı koordinatlar

arasındakı x=ρcosφ və y=ρsinφ əlaqə düsturla- p α ρ M(x,y)

rından istifadə etsək φ

x cosα+ysinα-p=0 (2) 0 x

və ya düz xəttin tənliyinin normal şəkli adlanır. P

və α ədədlərinə normal tənliyin parametirləri deyilir.

Düz xəttin bucaq əmsallı tənliyi.

Tənliyinə düz xəttin bucaq əmsallı tənliyi deyilir.

b=0 olduqda (1) tənliyi y=kx şəklinə düşür, y=kx isə koordinat başlanğıcından keçən və bucaq əmsalı k olan düz xəttin tənliyidir.

k=0 olduqda (1) tənliyi y=b şəklinə düşür , bu da absis oxuna paralel olan düz xəttin tənliyidir.

M₀ (x₀, y₀) nöqtəsindən keçən və bucaq əmsalı k olan düz xəttin tənliyi

y – y₀ = k (x-x₀)

M₁ (x₁, y₁) və M₂ (x₂, y₂) nöqtələrindən keçən düz xəttin tənliyi

Nöqtədən düz xəttə qədər olan məsafə.
Verilmiş M_o (x_o, y_o) nöqtəsindən Ax + By + C =0 (1) düz xəttə qədər olan məsafəni tapmaq üçün əvvəlcə düz xəttin (1) tənliyini normal şəklə salmaq , hər iki tərəfini μ ədədinə vururlar.

Bu tənliyin normal tənlik olması üçün

olmalıdır. Birinci iki bərabərlikdən μ vuruğunu tapaq;

μ ədədinə normallaşdırıcı vuruq deyilir. (1) tənliyini normal şəklə gətirdikdən sonra M₀ (x₀, y₀ ) nöqtəsindən həmin düz xəttə qədər olan məsafə

düsturu ilə hesablanır.

Ters matris: hesablama və həll edilmiş məşq

The Tərs matris müəyyən bir matrisdən, şəxsiyyət matrisindəki orijinal nəticələrə vurulan matrisdir. Tərs matris, xətti tənliklər sistemini həll etmək üçün faydalıdır, buna görə də onu necə hesablayacağınızı bilmək vacibdir.

Matrislər fizika, mühəndislik və riyaziyyatda çox faydalıdır, çünki mürəkkəb məsələlərin həlli üçün yığcam bir vasitədir. Matrislərin faydası çevrilə bildikdə və tərsləri də məlum olduqda artır.

Qrafik işləmə, Big Data, Data Mining, Machine Learning və digər sahələrdə nxn matrislərinin tərs matrisini minlərlə və ya milyonlarla sıra ilə qiymətləndirmək üçün səmərəli və sürətli alqoritmlərdən istifadə olunur.

Xətti tənliklər sisteminə baxarkən tərs matrisin istifadəsini göstərmək üçün hamısının ən sadə vəziyyətindən başlayacağıq: 1 × 1 matrislər.

Ən sadə hal: tək dəyişənin xətti tənliyi hesab olunur: 2 x = 10.

Fikir x dəyərini tapmaqdır, ancaq “matris” ediləcəkdir.

(X) vektorunu vuran M = (2) matrisası (10) vektoru ilə nəticələnən 1 × 1 matrisdir:

M matrisinin tərsi M ilə işarələnir -1 .

Bu “xətti sistemi” yazmağın ümumi yolu:

M X = B, burada X vektor (x), B isə vektordur (10).

Tərifə görə, tərs matris, orijinal matrisə vurulan şəxsiyyət matrisi I ilə nəticələnəndir:

Nəzərə alınan vəziyyətdə, matris M -1 (½) matrisidir, yəni M -1 = (½) M-dən bəri -1 M = (½) (2) = (1) = I

Naməlum vektor X = (x) tapmaq üçün təklif olunan tənlikdə hər iki üzv tərs matrisə vurulur:

M -1 M (x) = M -1 (10)

Yalnız uyğun elementləri bərabər olduqda, yəni x = 5 olduqda bərabər olan iki vektorun bərabərliyinə çatdı.

Bir matrisin tərsinin hesablanması

Tərs matrisin hesablanmasına təkan verən, aşağıdakı 2 × 2 sistemi kimi xətti sistemlərin həlli üçün universal bir metod tapmaqdır:

Əvvəlki hissədə öyrənilən 1 × 1 halının addımlarını izləyərək tənliklər sistemini matris şəklində yazırıq:

Qeyd edək ki, bu sistem kompakt vektor qeydində aşağıdakı kimi yazılmışdır:

Növbəti addım M.-nin tərsini tapmaqdır.

Metod 1: Gauss Eliminasiyasından istifadə

Gaussun aradan qaldırılması metodu tətbiq ediləcəkdir. Matrisin sətirlərində elementar əməliyyatlar etməkdən ibarət olan bu əməliyyatlar:

– Sıfır olmayan bir sıra ilə bir sıra vurun.

– Bir sətirdən başqa bir sətir və ya başqa sətrin qatını əlavə et və ya çıxart.

Məqsəd bu əməliyyatlar vasitəsilə orijinal matrisanı şəxsiyyət matrisinə çevirməkdir.

Edildiyi kimi, eyni əməliyyatlar M matrisindəki şəxsiyyət matrisinə də aiddir. M sətrlərindəki bir neçə əməliyyatdan sonra vahid matrisə çevrildikdə, əvvəlcə vahid olan M-in tərs matrisinə, yəni M-yə çevriləcəkdir. -1 .

1- Prosesi M matrisini və yanında vahid matrisini yazaraq başlayırıq:

2- İki satırı əlavə edirik və nəticəni ikinci sıraya qoyduq, bu şəkildə ikinci satırın ilk elementində bir sıfır əldə etdik:

3- İkinci cərgədə 0 və 1 əldə etmək üçün ikinci cərgəni -1-ə vururuq:

4- Birinci sıra ½ ilə vurulur:

5- İkincisi və birincisi əlavə olunur və nəticə birinci sıraya yerləşdirilir:

6- Prosedurun sonunda ilk sətirdə şəxsiyyət matrisini, ikinci sətirdə orijinal M matrisin tərs matrisini əldə etmək üçün birinci sətir 2-yə vurulur:

Sistem həlli

Tərs matris əldə edildikdən sonra, tənliklər sistemi tərs matrisin kompakt vektor tənliyinin hər iki üzvünə tətbiq edilməsi ilə həll olunur:

Hansı şəkildə açıq şəkildə belə görünür:

Sonra X vektorunu əldə etmək üçün matris vurma aparılır:

Metod 2: əlavə edilmiş matrisdən istifadə

Bu ikinci metodda tərs matris orijinal matrisin bitişik matrisindən başlayaraq hesablanır TO.

Tutaq ki, A tərəfindən verilən bir matris:

hara_{mən, j} satırın elementidir mən və sütun j matrisin TO.

Matrisin birləşməsi TO deyiləcək Adj (A) və onun elementləri bunlardır:

reklam_{mən, j} = (-1) (i + j) İ Ai, j¦

harada Ai, j sətir i və j sütunu orijinal matrisdən kənarlaşdırılaraq əldə edilən tamamlayıcı kiçik matrisdir TO. Çubuqlar ¦ ¦ determinantın hesablandığını göstərir, yəni İAi, j¦ kiçik tamamlayıcı matrisin determinantıdır.

Tərs matris düsturu

Orijinal matrisin bitişik matrisindən başlayaraq tərs matrisin tapılması formulu aşağıdakı kimidir:

Yəni, ters matrisası TO, TO -1 , bitişik hissəsinin transpozisiyasıdır TO nin determinantına bölünür TO.

Transpozisiya TO T bir matris TO satırlar sütunlara dəyişdirilərək əldə ediləndir, yəni ilk sətir birinci sütuna, ikinci sətir ikinci sütuna çevrilir və s. orijinal matrisin n sətri tamamlanana qədər.

Məşq həll edildi

A matrisası aşağıdakılar olsun:

A bitişik matrisinin hər bir elementi hesablanır: Adj (A)

A, Adj (A) bitişik matrisinin nəticəsidir:

Sonra A, det (A) matrisinin determinantı hesablanır:

Nəhayət A-nın tərs matrisi alınır:

İstinadlar

1. Anthony Nicolaides (1994) Determinants & Matrices. Keçir Nəşr.
2. Awol Assen (2013) 3 × 3-ün Determinantlarının Hesablanmasına dair Tədqiqat
3. Casteleiro Villalba M. (2004) Xətti cəbrə giriş. ESIC Redaksiya.
4. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
5. Jenny Olive (1998) Maths: A Student’s Survival Guide. Cambridge University Press.
6. Richard J. Brown (2012) 30 saniyəlik riyaziyyat: Riyaziyyatda ən çox düşünülmüş 50 nəzəriyyə. Şirkət Adı Ivy Press Limited.
7. Matris. Lap Lambert Akademik Nəşriyyat.