İnteqral Nədir

F (x) çıxarmaqla f´ (x) əldə etdiyimizi bilirik:

Qeyri-müəyyən inteqral: xassələr, tətbiqetmələr, hesablama (nümunələr)

The qeyri-müəyyən inteqral türevinin tərs işidir və bunu ifadə etmək üçün uzanan “s” simvolu istifadə olunur: ∫. Riyazi olaraq F (x) funksiyasının qeyri-müəyyən inteqrasiyası yazılır:

İnteqrand F (x) = f´ (x) dəyişənin funksiyasıdır xbu da öz növbəsində inteqral və ya antiderivativ adlanan başqa bir f (x) funksiyasının törəməsidir.

Öz növbəsində, C olaraq bilinən bir sabitdir inteqrasiya daimi, hər zaman hər qeyri-müəyyən inteqralın nəticəsini müşayiət edir. Nümunə ilə mənşəyini dərhal görəcəyik.

Tutaq ki, bizdən aşağıdakı qeyri-müəyyən inteqralı tapmağımızı xahiş edirik:

Dərhal f´ (x) x ilə müəyyən edilir. Bu o deməkdir ki, f (x) funksiyasını elə gətirməliyik ki, onun törəməsi x olsun, çətin olmayan bir şey olsun:

F (x) çıxarmaqla f´ (x) əldə etdiyimizi bilirik:

İndi funksiya: f (x) = ½ x 2 + 2 də tələbi ödəyir, çünki hasilat xətti və sabitin törəməsi 0-dır, f (x) = ilə nəticələnən digər funksiyalar:

½ x 2 -1, ½ x 2 + 15; ½ x 2 – √2…

Və ümumiyyətlə formanın bütün funksiyaları:

Problemin doğru cavablarıdır.

Bu funksiyalardan hər hansı birinə deyilir antivivativ və ya f´ (x) = x ibtidai və dəqiq olmayan bir inteqrasiya olaraq bilinən bir funksiyanın bütün antidivivlərinin bu dəstinə aiddir.

İlkəllərdən yalnız birini bilmək kifayətdir, çünki göründüyü kimi, aralarındakı yeganə fərq inteqrasiyanın daimi C-sidir.

Əgər problem ilkin şərtləri ehtiva edirsə, onlara uyğun C dəyərini hesablamaq mümkündür (aşağıdakı həll nümunəsinə baxın).

Qeyri-müəyyən bir inteqral necə hesablanır

Əvvəlki misalda ∫x.dx hesablandı, çünki f (x) funksiyası məlum olduqda inteqranla nəticələndi.

Bu səbəbdən, əsas inteqrallar ən populyar funksiyalardan və onların törəmələrindən tez həll edilə bilər.

Bundan əlavə, bir inteqral həll edilərkən imkanları genişləndirən bəzi vacib xüsusiyyətlər var. Ol k həqiqi bir rəqəm, onda doğrudur:

1.- ∫kdx = k ∫dx = kx + C

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

3.- ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

4.- ∫x n dx = [x n + 1 / n + 1] + C (n–1)

5.- ∫x -1 dx = ln x + C

İnteqraldan asılı olaraq, inteqralları həll etmək üçün bir sıra cəbri və ədədi metodlar mövcuddur. Burada qeyd edirik:

-Cəbri və trigonometrik əvəzetmələr.

-Hissələrə görə inteqrasiya

-Rasional tipin inteqrasiyası üçün sadə kəsrlərə ayrılma

Birdən çox metodla həll edilə bilən integral var. Təəssüf ki, müəyyən bir inteqrasiyanı həll etmək üçün əvvəlcədən ən təsirli metodu təyin etmək üçün tək bir meyar yoxdur.

Əslində, bəzi metodlar müəyyən inteqralların həllinə digərlərindən daha tez çatmağa imkan verir. Ancaq həqiqət budur ki, inteqral həll bacarıqlarını əldə etmək üçün hər metodla tətbiq etməlisiniz.

– Nümunə həll edildi

Subradikal kəmiyyət üçün sadə dəyişən dəyişiklik edək:

İki ifadənin hər hansı birində hər iki tərəfi çıxarmaq belə verir:

İndi I kimi göstərəcəyimiz inteqralın yerini tuturuq:

I = ∫x √ (x-3) dx = ∫ (u + 3) (√u) du = ∫ (u + 3) u 1/2 du

Dağıtım mülkiyyətini və bərabər əsaslı güclərin vurulmasını tətbiq edirik və əldə edirik:

I = ∫ (u 3/2 + 3 u 1/2 ) du

Əvvəlki hissədən 3 əmlak:

I = ∫ u 3/2 du + ∫ 3u 1/2 du

İndi 4 kimi tətbiq olunan əmlak tətbiq olunur güclər qaydası:

Birinci inteqral

. U 3/2 du = [u 3/2 + 1 / (3/2 + 1)] + C₁ =

İkinci inteqral

U 3u 1/2 du = 3 ∫u 1/2 du = 3 [u 3/2 / (3/2)] + C₂ =

Sonra nəticələr I-də birləşdirilir:

I = (2/5) u 5/2 + 2u 3/2 + C

İki sabit problemsiz birinə birləşdirilə bilər. Nəhayət, əvvəllər edilmiş dəyişən dəyişikliyini qaytarmağı və nəticəni orijinal dəyişən x ilə ifadə etməyi unutmayın:

I = (2/5) (x-3) 5/2 + 2 (x-3) 3/2 + C

Nəticəni faktorlaşdırmaq mümkündür:

I = 2 (x-3) 3/2 [(1/5) (x-3) +1] + C = (2/5) (x-3) 3/2 (x + 2) + C

Proqramlar

Qeyri-müəyyən inteqrasiya təbii və sosial elmlərdəki çoxsaylı modellərə aiddir, məsələn:

Hərəkat

Hərəkət problemlərinin həllində, sürətini bilməklə və sürətini bilməklə bir cibin sürətini hesablamaq.

İqtisadiyyat

Məsələn, məhsulların istehsal xərclərini hesablamaq və bir tələb funksiyasını modelləşdirməklə.

Tətbiqi məşq

Bir cisimin Yerin cazibə qüvvəsindən qaçması üçün tələb etdiyi minimum sürət belədir:

-v Yerdən qaçmaq istəyən cismin sürətidir

-y planetin mərkəzindən ölçülən məsafəsidir

-M quru kütləsidir

-G sabit cazibə qüvvəsidir

Arasındakı əlaqəni tapmağı xahiş edir v Y Y, obyektə başlanğıc sürət v verilsə, qeyri-müəyyən inteqralların həlli_{və ya} və Yerin radiusu məlumdur və R adlanır.

Həll

İnteqrasiya qaydalarını istifadə edərək həll etmək üçün bizə iki qeyri-müəyyən inteqral təqdim olunur:

Mən₂ = -GM ∫ (1 / y 2 ) dy = -GM ∫ y -2 dy = -GM [y -2+1 / (- 2 + 1)] + C₂ = GM. Y -1 + C₂

Məni eyniləşdiririk₁ və mən₂:

İki sabit birinə birləşdirilə bilər:

İnteqrallar həll edildikdən sonra, aşağıdakı şərtlər olan ilkin şərtləri tətbiq edirik: cisim Yerin səthində olanda onun mərkəzindən R məsafədədir. Bəyanatda y-nin Yerin mərkəzindən ölçülən məsafə olduğunu izah edirlər.

Və yalnız səthdə olmaq ona planetin cazibə qüvvəsindən xilas olacağı ilkin sürət vo verilmişdir. Bu səbəbdən v (R) = v olduğunu təyin edə bilərik_{və ya}. Bu vəziyyətdə, bu şərti yeni əldə etdiyimiz nəticə ilə əvəzləməyimizə heç bir şey mane olmur:

Və v_{və ya} bilinir və G, M və R də bilinir, C inteqrasiya sabitinin dəyəri üçün həll edə bilərik:

Hansı inteqralların nəticəsi ilə əvəz edə bilərik:

Və nəhayət v 2 , faktorinq və uyğun qruplaşdırma:

Bu sürətlə əlaqəli ifadədir v ilkin sürətlə planetin səthindən (radius R) atılan bir peykin vo, məsafədə olduqda Y planetin mərkəzindən.

İstinadlar

1. Haeussler, E. 1992. İdarəetmə və İqtisadiyyat üçün Riyaziyyat. Grupo Editorial Iberoamérica.
2. Hiperfizika. Sürətdən qaçın. Qurtarıldı: hthyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
3. Larson, R. 2010. Dəyişənin hesablanması. 9-cu. Nəşr. McGraw Hill.
4. Purcell, E. 2007. Analitik Həndəsə ilə Hesablama. 9-cu. Nəşr. Pearson Təhsil.
5. Wolfram MathWorld. İnteqral nümunələr. Mathworld.wolfram.com saytından bərpa edildi.

İnteqral Nədir

İnteqral, funksiyanın diferensialına tərs kəmiyyətdir. Bir çox fiziki və digər problemlər mürəkkəb diferensial və ya inteqral tənliklərin həllinə gətirilir. Bunu etmək üçün diferensial və inteqral hesabın nədən ibarət olduğunu bilməlisiniz. İnteqral nədir

Təlimat

Addım 1

Törəməsi f (x) funksiyası olan bəzi F (x) funksiyasını təsəvvür edin. Bu ifadəni belə yazmaq olar: F ‘(x) = f (x). Əgər f (x) funksiyası F (x) funksiyasının törəməsidirsə, F (x) funksiyası f (x) üçün antidivivdir. Eyni funksiyada bir neçə antividiv maddə ola bilər. Buna misal olaraq x ^ 2 funksiyasını göstərmək olar. Bunların arasında x ^ 3/3 və ya x ^ 3/3 + 1 kimi əsasları olan sonsuz sayda antividiv var. Bir və ya digər rəqəmin əvəzinə aşağıdakı kimi yazılan C sabit göstərilir: F (x) = x ^ n + C, burada C = const. İnteqrasiya – diferensiala tərs funksiyanın antiderivativinin tərifi. İnteqral ∫ işarəsi ilə qeyd olunur. Bəzi funksiyalar ixtiyari C ilə verildikdə ya tərif olunmamış, həm də C-nin bir dəyəri olduqda müəyyən edilə bilər. Bu vəziyyətdə inteqral yuxarı və alt sərhəd adlanan iki dəyərlə verilir.

Addım 2

İntegral törəmənin qarşılıqlı olduğu üçün ümumiyyətlə belə görünür: ∫f (x) = F (x) + C Məsələn, diferensiallar cədvəlindən istifadə edərək y = cosx funksiyasının antidivivini tapa bilərsiniz: ∫cosx = sinx, f (x) funksiyasının törəməsi f ‘(x) = (sinx)’ = cosx olduğundan. İntegralların digər xüsusiyyətləri də var. Aşağıda yalnız ən əsas olanlar: – cəmin ayrılmaz hissəsi cəmin cəminə bərabərdir; – sabit amil ayrılmaz işarədən çıxarıla bilər;

Addım 3

Bəzi problemlərdə, xüsusən həndəsə və fizikada fərqli bir növ inteqral istifadə olunur – qəti. Məsələn, t1 və t2 dövrləri arasında bir maddi nöqtənin keçdiyi məsafəni təyin etmək lazım olduqda istifadə edilə bilər.

Addım 4

İnteqrasiya edə biləcək texniki cihazlar var. Bunlardan ən sadəi analog inteqrasiya zənciridir. Birləşdirən voltmetrlərdə olduğu kimi bəzi dozimetrlərdə də mövcuddur. Biraz sonra rəqəmsal inteqratorlar – impuls sayğacları icad edildi. Hal-hazırda inteqrator funksiyası proqram təminatı ilə mikroprosessora malik istənilən cihaza təyin edilə bilər.

Müəyyən və qeyri -müəyyən inteqrallar arasındakı fərq

Riyaziyyat riyaziyyatın vacib bir sahəsidir və fərqləndirmədə hesablamada mühüm rol oynayır. Fərqlənmənin tərs prosesi inteqrasiya, tərsinə isə inteqral və ya sadə desək, fərqləndirmənin tərsi inteqral verir. İstehsal etdikləri nəticələrə görə inteqrallar iki sinfə bölünür; müəyyən və qeyri -müəyyən inteqrallar.

Qeyri -müəyyən inteqrallar haqqında daha çox

Qeyri-müəyyən inteqral daha çox ümumi inteqrasiya formasıdır və nəzərdən keçirilən funksiyanın törəmə əleyhinə olaraq şərh edilə bilər. Tutaq ki, F -nin fərqlənməsi f verir, f -nin inteqrasiyası isə inteqral verir. Çox vaxt F (x) = ∫ƒ (x) dx və ya F = ∫ƒ dx olaraq yazılır, burada həm F, həm də x x funksiyasıdır və F fərqlənir. Yuxarıdakı formada buna Reimann inteqralı deyilir və nəticədə ortaya çıxan funksiya ixtiyari sabit ilə müşayiət olunur. Qeyri -müəyyən bir inteqral çox vaxt bir funksiya ailəsi yaradır; buna görə də inteqral qeyri -müəyyəndir.

İnteqrallar və inteqrasiya prosesi diferensial tənliklərin həllinin əsasını təşkil edir. Bununla birlikdə, fərqləndirmədən fərqli olaraq, inteqrasiya həmişə aydın və standart bir rejimə riayət etmir; bəzən həll elementar funksiya baxımından açıq şəkildə ifadə edilə bilməz. Bu halda analitik həll çox vaxt qeyri -müəyyən bir inteqral şəklində verilir.

Müəyyən İnteqrallar haqqında daha çox

Müəyyən inteqrallar, inteqrasiya prosesinin sonlu sayda istehsal etdiyi qeyri -müəyyən inteqralların çox dəyərli həmkarlarıdır. Qrafik olaraq müəyyən bir müddət ərzində ƒ funksiyasının əyrisi ilə məhdudlaşan sahə olaraq təyin edilə bilər. İnteqrasiya müstəqil dəyişən bir interval ərzində həyata keçirilir zaman, inteqrasiya _tez-tez ∫ b ƒ (x) DX _ya ∫ b ƒ dx kimi yazılmışdır müəyyən dəyər istehsal edir.

Qeyri -müəyyən inteqrallar və müəyyən inteqrallar hesablamanın ilk fundamental teoremi vasitəsi ilə bir -birinə bağlıdır və bu, müəyyən inteqralın qeyri -müəyyən inteqrallardan istifadə edərək hesablanmasına imkan verir. Teorem _a ∫ b ƒ (x) dx = F (b) -F (a) bildirir, burada həm F, həm də ƒ x funksiyasıdır və F (a, b) intervalında fərqlənə bilər. Aralıq nəzərə alınmaqla a və b sırasıyla alt və üst hədd olaraq bilinir.

Yalnız real funksiyalarla dayanmaq əvəzinə, inteqrasiya kompleks funksiyalara qədər uzadıla bilər və bu inteqrallara our kompleks dəyişənin funksiyası olduğu kontur inteqralları deyilir.

Qeyri -müəyyən və qeyri -müəyyən inteqrallar arasındakı fərq nədir?

Qeyri-müəyyən inteqrallar, müəyyən bir həll deyil, bir funksiyanın türevini və çox vaxt bir funksiya ailəsini təmsil edir. Müəyyən inteqrallarda inteqrasiya sonlu bir rəqəm verir.

Qeyri -müəyyən inteqrallar ixtiyari bir dəyişəni (buna görə də funksiyalar ailəsini) birləşdirir və müəyyən inteqrallar ixtiyari sabit deyil, üst və alt inteqrasiya həddinə malikdir.

Qeyri -müəyyən inteqral ümumiyyətlə diferensial tənliyə ümumi bir həll verir.